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专题3.2　利用导数研究函数的单调性
纠正一 未考虑定义域
1.（2027届天津南开高二下期期末）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【错因解读】错误的主要原因是由于审题不仔细而忽略定义域的约束导致所求单调区间错误．
【解析导引】
选项A，，当时，，求导可得，即时单调递减，
且时，与图像中先减后增、时趋向正无穷矛盾，故错误.
选项B，结合题干图像可知函数关于原点对称，即是奇函数，
，满足，是偶函数，故错误.
（易错提示：注意间断点±1）
选项C，，是奇函数，符合对称性；
定义域：，符合图像特点；
当时，分子，，
指数增长速度远快于分母二次式增长速度，
故，单调递增，符合图像趋势，故正确.
【补救措施】在解题时要注意树立定义域优先意识，凡函数问题先考虑定义域，定义域不是R，先把定义域表示出来.
2.下列函数中，存在极值点的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数极值点的辨析
【分析】根据题意，求得选项中各个函数的导数，得出函数的单调性，结合极值点的定义，即可求解.
【详解】对于A，由函数，可得，令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，当时，函数取得极小值，所以A符合题意；
对于B，由函数，可得，
所以函数在上单调递增，所以没有极值点，所以B不符合题意；
对于C，由函数，可得其定义域为，且，
所以在上单调递减，没有极值点，所以C不符合题意；
对于D，由函数，可得其定义域为，且，
所以在上单调递增，没有极值点，所以D不符合题意；
3.已知函数，，则的单调递减区间为（ ）．
A． B． C． D．
【错因解读】函数相对复杂，求导函数后有多个零点，由零点分定义域为多个区间，但各区间内导函数的符号不能很好的判定正负而致误．
【解析导引】由题意，，
则，
（易错提示：cosx的导数是-sinx）
当，，
当时，，
故的单调递减区间为．
【补救措施】在平时学习中要注重积累所以基本初等函数的图象与性质，当求导函数后出现多个零点，分定义域为多个区间时其实可以结合数形结合思想来判定导函数的正负，从而正确判定单调区间．
4.（2027届山东济南高二下期期末）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】导数的运算法则、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【详解】∵ 函数的定义域为，对其求导得.
函数单调递增等价于，即.
对选项A，当时，且，∴ ，即，故在上单调递增，A符合要求.
对选项B，当时，但，∴ ，即，故在上单调递减，B不符合要求.
对选项C，当时，但，∴ ，即，故在上单调递减，C不符合要求.
对选项D，当时，时，此时；时，此时，故在上不是单调递增，D不符合要求.
5.（2027届云南昭通高二下期期末）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【错因解读】若在区间上单调递增则导函数在该区间非负，而不是导函数为正，因两者模糊导致错误．
【解析导引】
因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
（易错提示：注意是恒成立条件）
因为在上单调递减，所以时，，故．
【补救措施】理解并记准若，函数在区间D上单调递增，反之函数在区间D上单调递增．
6.（2027届辽宁辽阳高二下期阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】条件可转化为在上恒成立，利用导数求的取值范围，可得结论.
【详解】因为，所以，
因为在上单调递减，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，，则，
在上单调递增，又，
所以当时，的取值范围为，
所以的取值范围为.
7.若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【错因解读】混淆函数的单调区间与函数在区间上单调，导致错误.
【解析导引】
函数求导得，函数在上不是单调函数，
等价于，在内有解，
（易错提示：不单调即为导数不恒为正也不恒为负，即存在零点）
设，设两根，则，故两根异号，
要使正根在区间内，则，
解得，故实数的取值范围是．
【补救措施】首先要区分函数的单调区间与函数在某区间上单调的区别与联系，函数在某区间上单调递增（减），则该区间是函数整个单调递增（减）区间的子集.
8.（2027届江西赣州高二下期期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【错因解读】混淆函数的单调区间与函数在区间上单调，导致错误.
【答案】B
【知识点】由函数的单调区间求参数
【分析】转化为存在使，求在区间最大值，故.
【详解】由题意，所以，，
函数在区间内存在单调递增区间，
则，，即，使得 ，
即，
设，，
则，，单调递减；
，，单调递增，
，，
，故在上最大值为，
只要，即，就存在满足，
即，函数存在递增区间.
9.讨论函数（）的单调性.
【错因解读】对函数单调性定义、导数与单调性关系等基础概念掌握不扎实；面对含参函数不知如何根据参数范围合理分类，分类标准不清而出现重复或遗漏.
【解析导引】函数的定义域为，，，
当时，，在上单调递减；
当时，令，则，
(易错提示：分类明确，逻辑清晰，才能不遗漏）
令，则；令，则；
在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【补救措施】研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论；划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
10.已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
【答案】(1)
(2)
当时，函数的单调递减区间为和，无单调递增区间；
当时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为．
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程，
（2）求导，对分类讨论，根据导函数的正负即可求解.
【详解】（1）当时，，则，
因为，所以．
所以曲线在处的切线方程为．
（2）函数的定义域为．
，
令，解得．
①当，即时，，
所以函数的单调递减区间为和，无单调递增区间；
②当，即时，
令，则，
令，则，
函数的单调递减区间为和，单调递增区间为；
③当，即时，
令，则，
令，则，
函数的单调递减区间为和，单调递增区间为．
综上所述，当时，函数的单调递减区间为和，无单调递增区间；
当时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为．
11.（2027届新疆喀什高二下期期末）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
（错因：未考虑定义域）
【答案】A
【知识点】导数的运算法则、导数的乘除法、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】对函数求导，令，解不等式，即可得到函数的单调递增区间.
【详解】由题意，求导得，
令，因为，所以，解得，
所以函数的单调递增区间为.
12．函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
（错因：混淆单调区间与在区间单调）
【答案】B
【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】根据函数的导数大于0可得增区间.
【详解】因为，.
则，
由，解得，此时单调递增.
故选：B
13.（2027届陕西榆林高二下期期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．有两段单调递减区间 B．有两段单调递增区间
C．有两个极值点 D．有两个零点
（错因：区间内导数符号判断错误）
【答案】D
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系、函数极值点的辨析
【分析】由导函数为负，原函数单调递减；导函数为正，原函数单调递增.与极值点的定义即可选出答案.
【详解】记函数与轴的两个交点横坐标从左往右依次为，
则由图可知：当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
故有两段单调递增区间，有两段单调递减区间，函数有一个极小值点：；有一个极大值点：；即A，B，C选项正确，
不能确定函数的零点个数，D错误.
14.（2027届河北邯郸高二下期期末）已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（错因：已知单调性求参忽视等号）
【答案】C
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】利用导数将函数的单调递增转化为不等式恒成立问题，再通过分离参数法将其转化为求已知函数的最大值问题，从而最终确定参数的取值范围.
【详解】由在区间上单调递增，得在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，所以，
因为在区间上单调递减，在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，
所以的最大值为，
即实数m的取值范围为．
15．讨论函数的单调性.
（错因：含参讨论单调性不够全面）
【答案】
当时，在上单调递增；
当时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减.
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】先求的导函数，再分和两种情况讨论导数的正负进而判断函数的单调性即可.
【详解】由题意知的定义域为，，
对于，.
①当时，，在上单调递增；
②当时，令，
即，
解得，
令，则或；
令，则.
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减.
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