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专题3.3　利用导数研究函数的极值、最值
1.已知函数，其导函数的图像如图所示，则对于的描述正确的是（ ）
A．在区间上单调递减 B．当时取得最大值
C．在区间上单调递增 D．当时取得极小值
【错因解读】错误的主要原因是由于对极值与最值的定义理解不清
【解析导引】当时，，所以在和上单调递增，故A错误；
当时，，所以在和上单调递减，故C错误；
所以当和3时，取得极大值，
（易错提示：极大值并不一定是最大值）
又与的大小未知，故无法判断最大值，
当时，取得极小值，故B错误，D正确．
【补救措施】出现错误的原因是对极值与最值的概念理解不透彻．在解题时要注意极值是局部的，最值是整体的；最值不一定是极值，若函数 在区间 上只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.
2.（2026届广东广州高三下期期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A．为函数的一个零点
B．函数在区间上单调递减
C．为函数的一个极大值点
D．是函数的最大值
【答案】C
【知识点】求函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数最值与极值的关系辨析、函数极值点的辨析
【分析】利用导数图象，分析函数的单调性，逐项判断即可.
【详解】对于A选项，由图象可知，当时，，当时，，
所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以为函数的一个极小值点，不一定为函数的一个零点，A错；
对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B错；
对于C选项，当时，，当时，，
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，为函数的一个极大值点，C对；
对于D选项，因为函数在区间上单调递增，故不是函数的最大值，D错.
故选：C.
3.函数 的极值点是 ，函数 的极值点 （填“存在”或“不存在”）．
【错因解读】错认为函数的极值点就是其导函数的零点，对极值点的理解不透彻．
【解析导引】结合函数图象可知 的极值点是 ．
(易错提示：极值点处必须为导函数的变号零点，必须在定义域内）
因为 ，所以无变号零点，所以函数 不存在极值点．
【补救措施】可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，异号
4.若是函数的极值点，则的值为（ ）
A． B．3 C．或3 D．或2
【答案】B
【知识点】根据极值点求参数
【分析】根据题意，求出函数的导数，由求出，然后针对的每一个值，进行讨论，验证是不是函数的极值点，即可得答案.
【详解】，
由题意可知或，
当时，，
令，解得或，函数在和上单调递增，
令，解得，函数在上单调递减，
所以是函数的极值点符合题意；
当时，，
所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，
综上所述，.
故选：B.
【点睛】易错点点睛：本题易错的地方是求出的值，没有通过单调性来验证是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.
5.函数的最小值为________.
【错因解读】确定函数单调区间后单纯只认为极小值点在区间内，而忽视函数的整体图象．
【解析导引】函数，
则，
令，得或（舍），
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
则当时，函数有极小值，即最小值为.
【补救措施】函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
6.已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知函数最值求参数
【分析】求导研究函数的单调性，结合即可得出范围.
【详解】由得，
则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
又，
则在区间上有最大值时有，，
得，
则实数的取值范围是.
故选：B
7.设函数有极值，则实数a的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【错因解读】忽视条件中的极大值，只取得极值求参而没有验证
【解析导引】函数有极值，首先求导得.
函数有极值的充要条件：导函数有至少一个变号零点.
（易错提示：需要依次讨论a为0和不为0的情况，避免遗漏）
当时，，是一次函数，有一个变号零点，函数有极值.
当时，是二次函数，需满足判别式，即，化简得，解得.
综上，的取值范围是.
【补救措施】关于极值与极值点中含参问题，应验证取得极值的情况，避免错误．
8.（2027届江苏南高二下期阶段检测）若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据极值求参数、已知函数最值求参数
【分析】先求，得出的单调性和最值，可得，解不等式即可．
【详解】 ，，
所以当或时，，所以在，上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以当时取得极大值，
所以要使函数 在区间存在最大值，
则可得：，即，
解得：．
9.某箱子的容积与底面边长的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．以上都不对
【错因解读】直接将应用问题转化为数学问题，而忽略了实际应用对变量的限制．
【解析导引】因为，所以，
所以当时，；当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
（易错提示：应判断极值点是否在定义域内)
所以是的极大值点，也是最大值点．
【补救措施】在解决实际应用问题时，要注意实际应用中变量的意义，确定定义域.
10.（2027届江西吉安高二下期阶段检测）某工厂制作一个底面为正方形的无盖长方体储物箱，容积为48立方米，底面每平方米的造价为15元，侧面每平方米的造价为10元，当总造价最低时，底面正方形的边长为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
【答案】D
【知识点】面积、体积最大问题
【详解】设底面边长为米，高为米，则，总造价，，
当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时总造价最低，即此时底面正方形的边长为4米．
11．圆锥的底面半径为12，高为12，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（ ）
A．64 B．128 C．144 D．256
（错因：未考虑实际问题条件）
【答案】D
【知识点】面积、体积最大问题、柱体体积的有关计算
【详解】如图，依题意，，，设此时的圆柱的半径为，
则，，所以，
所以该圆柱体积为，，
，令，得，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以，当，取得最大值，此时.

12.（23-24高二上·安徽六安·期末）已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（ ）
A．是函数的最小值
B．是函数的极小值
C．在区间上单调递增
D．在处的切线的斜率大于0
（错因：将极值与最值混为一谈）
【答案】D
【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、函数最值与极值的关系辨析
【分析】根据图象得到的单调性，并结合极值的定义和导数的几何意义求出答案.
【详解】C选项，由图象可看出当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，C错误；
A选项，是函数的极小值，但无法确定是不是最小值，A错误；
B选项，是函数的极大值，B错误；
D选项，由于，故在处的切线的斜率大于0，D正确.
故选：D
13.（2027届广东广州高二下期期中）若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（ ）
A．有四个极值点 B．
C．有一个极小值点 D．
（错因：将极值点视为导函数零点）
【答案】C
【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系、函数极值点的辨析
【分析】根据导数与函数单调性、极值的关系可以判断A，C；结合导数和单调性可以判断B，D.
【详解】由导函数的图像可得：
的变号零点共3个：，，；
处，但左右导数均为正，没有变号，因此不是极值点.
其中和是左正右负，为极大值点；是左负右正，为极小值点.
因此共3个极值点，1个极小值点，故A错误，C正确；
选项B，当时，，仅处导数为0，不改变单调性，
因此在上单调递增.
因为，所以，故B错误；
选项D，在单调递增，因此大于区间内所有点的函数值；
在单调递减：由，可知，故D错误.
14.（2027届河南南阳高二下期期末）函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
（错因：求解最值时未考虑端点）
【答案】B
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】应用导数研究函数的区间单调性，进而求各区间端点值并比较大小，即可得值域.
【详解】对，求导得，
令且，解得，，
当，，在上单调递增，
当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
，
，
，
，
综上，在上的值域为.
15.（2027届四川内江高二下期期中）函数在处取得极小值，则（ ）
A． B．1 C．或 D．1或3
（错因：含参问题存在遗漏）
【答案】B
【知识点】根据极值点求参数
【分析】先由求出的可能取值，再逐一进行验证，即可得到的确定取值.
【详解】因为，所以.
由或.
当时，.
由或；由.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，
故满足题意；
当时，.
由或；由.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极大值，
故不满足题意.
综上，.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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