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3.4 利用导数研究不等式
1.若，则（ ）
A． B．
C． D．
【错因解读】学生在构造函数或进行不等式证明时，常常只关注原函数的解析式，而忽略了所构造新函数的定义域，导致求导后单调性分析的区间出错.
【解析导引】令，则，可得：，，.
比较和：
构造函数，求导得，故在单调递增，，即，所以.
比较和：
（易错提示1：需要注意构造函数时，必须满足，超出此区间结论无效）
对，
因此在上单调递增，又，故:
当时，，又，且，故，即.
比较和：
构造函数，，
时，故
所以，即在单调递增，，即，所以.
综上，.
【补救措施】
1. 构造函数后立即确定其定义域，确保所有分析在该区间内进行.
2. 若被比较的量不在同一单调区间，先通过变形或分段讨论转化.
3. 涉及，等函数时，特别注意其自然定义域对分析范围的限制.
2.求函数的最小值___________
【答案】
【知识点】具体函数的定义域、圆的参数方程
【分析】通过三角换元法设，转换为，再将问题转化为关于的一元二次方程有解的问题，利用求解.
【详解】由题知且，解得，设，则，
整理原函数可得，
则，等式两侧同时平方可得，
因为，所以代入上式可得，
设，则，
由题意知关于的一元二次方程在上有解，即知,
解得，即或，
由函数，可知，
所以，即知，当时，
可知，解得，，
即函数的最小值为，
故答案为：.
3.（2026届贵州高三上期阶段检测）已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【错因解读】在处理含参不等式问题时，容易混淆“存在成立”与“对任意
恒成立”的逻辑关系，将存在性误按恒成立的条件转化，导致参数范围完全相反
【解析导引】易知，令得，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以时，单调递增，即，
而时，，
（易错提示1：需要注意应将条件转化为，而非，存在性选自身最大值，任意性选对方最大值，二者均取最大值）
由题意可知，
所以，即.
故选：A
【补救措施】分离参数后根据题目量词选择对应的最值进行比较，二者转化条件要清晰.
4.（2026广东佛山模拟预测）若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】在进行两边取对数和换元法化简后，再通过求导求出函数极值来判断的范围.
【详解】因为，当时，能够得出.
设，，那么得到，.
设，.
因为，， ，
所以在上单调递增，上单调递减，最大值为.
因此.
若，对于任意恒成立.
若，，所以对于任意恒成立.
综上所述，.
5.不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______
【错因解读】处理指对混合的不等式或比较大小问题时，不能通过代数变形将不同结构的式子化为相同结构，无法利用外层函数的单调性统一处理，陷入复杂运算.
【解析导引】若，当时，左边，右边，不等式不成立，因此必有.
不等式两边同乘正数，得： ，
（易错提示1：需要注意构造同构函数时，必须确保两边结构完全一致，将视为，视为，不可错配为其他形式）
构造函数，求导得，
故在上单调递增，在上单调递减，
因，当时恒成立，
（易错提示2：需要注意应用同构函数单调性时，必须先判断与的大小关系，在 和上单调性不同，需分段讨论，不可盲目使用单调性）
当时，由单调性可得，
原不等式等价于，由单调性得：在上恒成立.
不等式变形为对任意恒成立，
令，求导得： ，令得，
当，单调递增，当，单调递减，
所以的最大值为，故，
即的取值范围是.
【补救措施】识别同构标志：式子中同时出现与，与等结构时考虑同构；通过设将原式化为的统一形式，利用的单调性去掉外层.
6.（2026届四川成都高三下期开学考试）已知，，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题
【分析】将条件整理可得，.对于A：整理可得，令，结合导数分析判断即可；对于B：整理可得等价于，令，结合导数分析判断即可；对于C：整理可得等价于，令，，结合导数分析判断即可；对于D：令，，整理可得等价于，令，结合导数分析判断即可.
【详解】因为，则，可得，
由，则，解得.
对于选项A：由题意可得：，则，
令，则，
可知在内单调递减，则，
所以，即，故A正确；
对于选项B：因为，则等价于，
由题意可得：，则，
令，则，
可知在内单调递减，则，
所以，即，故B正确；
对于选项C：因为，则等价于，即，
令，，则，
可知在内单调递减，则，
所以，即，故C错误；
对于选项D：令，，则，即，
可得，，则等价于，
令，则，
令，则，
可知在内单调递增，则，即，
可知在内单调递增，则，
即，所以，故D正确.
故选：C.
7.已知函数，，若对任意的，恒成立，则实数a的最小值为______．
【错因解读】在将含参不等式分离为或的形式后，学生混淆“恒成立”与“能成立”对参数范围的要求：二者均需比较与的最值，但方向完全相反.
【解析导引】∵对任意的，恒成立，
即，在上恒成立，
即在上恒成立，
（易错提示1：需要注意要将通过同构变形转化为，而非直接比较与）
即，.
设函数，，则在R上为增函数，
则在上恒成立，
（易错提示2：需要注意需要注意分离参数后，需取的最大值而非最小值，理解恒成立与能成立的异同）
则.
令，，
则在上递增，在递减，
则.
【补救措施】分离参数后先判断题目是“恒成立”还是“能成立”，再选择对应的最值.
8.（2026云南三模）已知函数，关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_________.
【答案】
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】将恒成立的不等式转化为，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.
【详解】由题知，原不等式在上恒成立 在上恒成立，
即在上恒成立，若设，
有，令，
有，
，易得，
所以在上递减；在上递增
故，
所以，即实数的取值范围为.
9.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【错因解读】学生在比较大小或证明不等式时，缺乏对常见不等式结论的积累，遇到
，，等结构时不能快速调用已知结论，导致解题效率低甚至无从下手.
【解析导引】现在证明一个不等式：，
（易错提示1：需要注意要将常用不等式与题目巧妙结合，快速调用已知结论从而迅速判断）设，则，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，当且仅当时等号成立，
故，当且仅当时等号成立，
故当时，，即.
令，由可得，
而，
故.
故选：D.
【补救措施】1.含有指数函数与对数函数的式子中计算最值，有时需借助常用的函数放缩如：等，通过化简变形简化计算过程
2.比较大小题中，先观察是否可直接套用上述结论，能直接判断的快速排除选项.
3.涉及指对混合时，考虑将各数化为统一结构后再调用相应不等式.
10.（2026山西太原二模） 已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】比较指数幂的大小、利用导数证明不等式、比较对数式的大小
【分析】根据指数函数的单调性，利用不等式放缩进行分析求解即可.
【详解】在上为增函数，，，即.
，.
令，，
，，
当时，，所以在上单调递增.
又因为，所以当时，，
当时，.
，
，即.
11.（2026届江苏无锡高三上期阶段检测）设，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
（错因：构造函数时未明确新函数的定义域）
【答案】A
【知识点】利用导数证明不等式
【分析】构造函数，，，利用导数求解函数的单调性，即可由单调性求解．
【详解】设函数，则，
当时，，所以在上单调递增，
故，即，
所以，即，
设函数，则，
所以在上单调递减，当时，，
故当时，，
即，所以，
设函数（令），
，
当时，，故在上单调递增，
所以，
而，
所以，
综上所述，可得．
故选：A．
12.（2026江苏扬州模拟预测）已知函数，其中．若存在，使成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（错因：混淆“存在性”与“恒成立”的转化条件）
【答案】C
【知识点】利用导数研究能成立问题
【分析】将条件不等式变形后分离参数，根据分离参数所得不等式构造函数，再利用导数求解出所构造函数的最小值，则的范围可知.
【详解】由题意可知，变形得，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以存在使得，
令，故只需要让，
因为，令，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以，
又，因此，所以在上单调递增，
故，故．
13．已知函数， ，若 ，使得，则的最大值为（ ）
A． B．-1 C．-e D．
（错因：忽视同构思想的应用）
【答案】A
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究双变量问题
【分析】转换，函数表达式，进而得到，之间的关系，即可求解.
【详解】因为，故设，
所以，
因此如果，则，
而对于，，因此在定义域上单调递增，
则应有，且，故，
设，所以，
因此当时，，即单调递增，
当时，，即单调递减，
所以，
则的最大值为
14．“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：在点(0，1)处的切线为，如图所示，易知除切点(0，1)外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．该结论可通过构造函数并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，下列命题中正确的是（ ）
①；
②；
③；
④．
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
（错因：忽视常见不等式结论的积累与运用）
【答案】D
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】利用已知不等式，可变形得到，然后再进行赋值代入证明各选项，即可.
【详解】对于①，对，由于恒成立，可得，当时，两边取自然对数得，
所以有，即，故①正确；
对于②，对，由于恒成立，可得，即，故②正确；
对于③，对，由于恒成立，可得，因为，
所以有，即，故③正确；
对于④，对，由于恒成立，可得，
当时，两边取自然对数得，
把用代得：，
又因为，所以有，故④正确；
故选：D.
15．设函数在处取得极值.
(1)求a的值，并求的单调区间；
(2)若，有，求b的取值范围.
（错因：混淆“恒成立”与“能成立”）
【答案】(1)，的单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）先求导，再由题意，可求a的值，根据定义域，令，可得增区间，令，可得减区间；
（2）参变分离转化成新函数求导求最小值问题.
【详解】（1）因为在处取得极值，且，
则，所以，则，
又的定义域为，
所以时，，时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为
（2）因为，有，则，
即恒成立，令，则
求导，，
当时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以，即b的取值范围为.
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