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3.5 利用导数研究函数的零点
1.（2026重庆万州模拟预测）过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【错因解读】将极值点的个数直接等同于零点的个数，或认为极值点就是零点，忽略零点存在性需要通过极值符号来判断.
【解析导引】设切点为，，切线斜率.
切线方程：，即.
切线过，代入得：， 整理得：.
由分离参数，得.
令，原题等价于与的图象有两个交点.
（易错提示1：需要注意极值点并非函数的零点，不可直接计入零点个数，最终须结合函数值的符号判断零点是否存在）
求导：，令，得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故，
当时，，当时，，
作出的大致图象：
由此可知要使得与的图象有两个交点.，需满足
综上所述时，原方程有两个零点.
【补救措施】1.极值点对应坐标，零点对应的值，两者严格区分.
2.求零点个数时先求极值，再判断极值正负，结合端点趋势确定零点所在区间.
3.若极大值小于0或极小值大于0，零点个数相应减少.
2.（2026贵州贵阳模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数有3个零点 B．曲线存在一条对称轴
C．函数有3个极值点 D．曲线的对称中心在x轴上
【答案】A
【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数图象及性质
【分析】根据导数作出函数图象，数形结合依次判断即可.
【详解】对函数求导可得，
当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，，当时，，，，
所以函数大致图象如下：
由图象可知，函数有3个零点，2个极值点 ，
图象关于成中心对称，没有对称轴，故A正确，BCD错误.
3.若函数有极值点，，且，若，，则关于的方程的不同实根个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【错因解读】解决复合函数的零点问题时，将的零点与的零点混为一谈，未能遵循“由外向内逐层分析”的原则.
【解析导引】，且，是极值点，
则，故
令，则方程即为 ，解得或，
（易错提示1：需要注意解决复合函数零点问题必须分层处理，先求出外层函数的零点，再分别求解对应的内层方程的根，最后统计所有不重复的实根总数）
因此原方程等价于，．示意图如下，可得实根个数为4．
【补救措施】复合函数零点严格遵循“先外层后内层”的顺序，画出外层函数的图象后，求出所有根再解方程.
4.（2026贵州毕节三模）已知定义在R上的可导函数满足：①是奇函数，②.设函数，则（ ）
A．的周期为6
B．在至多有两个零点
C．曲线的一条对称轴为
D．若，则曲线在处的切线方程为
【答案】AD
【知识点】函数周期性的应用、函数对称性的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点
【分析】利用已知的递推关系推导周期；由于，将的零点转化为求的零点；利用对称轴的定义，验证是否成立；利用导数求斜率，结合切点坐标表示切线方程.
【详解】选项 A：由，可得，因此的周期为，故A正确；
选项 B：，由于恒成立，故的零点等价于的零点.
由是奇函数得，即；
令代入得，即，
令得 ，即，
因此在上至少有个零点，故B错误；
选项 C：由题意知，
令，则 ，
故 ，即 关于点 中心对称，故C错误；
选项 D：对 求导得，
代入 得 ，，
故切线方程为，故D正确.
5.（2026届新疆高三上期阶段检测）已知函数（是自然对数的底数，），若关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【错因解读】处理分段函数零点问题时，只关注各段解析式在区间内部的零点，忽略了分段点处需单独代入左右两侧解析式验证是否为零点，导致漏解.
【解析导引】令，
则有且只有一个实根，可转化为与只有1个交点，
当时，，则，
若时，，即在上单调递增，
若时，，即在上单调递减；
当时，，则恒成立，
故在上单调递减，
（易错提示1：需要注意分段点处的函数值需要单独验证，本题中作为分段点，必须验证时是否满足题意）
又，，则的图象大致如下：

所以要想与只有1个交点，则只需或，
故实数a的取值范围是．
故选：C
【补救措施】1.解决分段函数零点问题时先分析先区间内部，再考虑分段点.
2.对各段分别解 f（x）=0 后，将分段点单独代入左右两侧解析式，确认其是否为零点.
3.零点计数时，分段点需单独计入，合并后去重统计总数.
6.（2026届江苏高三上期期末）已知，若函数有两个零点，则正数m的取值范围是________
【答案】
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点
【分析】由题意得有两个不等实根，时，令，利用导数求得的单调性和极值；当，令，利用导数求得的单调性和极值，作出、与图象，则与和图象一共有两个交点，结合m的范围，分析即可得答案.
【详解】令函数，可得有两个不等实根，
当时，，整理得，
令，则，
令，解得或0（舍），
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以的极大值为，
当时，，当时，；
当时，，整理得，
令，则，
令，解得，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以的极大值为，
当时，，当时，，
作出、与图象，如下图所示：
因为函数有两个零点，且，
所以与和图象一共有两个交点，
由图象得，则正数m的取值范围是.
故答案为：
7.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【错因解读】将方程根或零点问题分离参数转化为两函数图象交点后，画图时未标注关键点、未分析渐近线及无穷趋势，仅凭草图大致走势判断，导致交点个数失误.
【解析导引】因为 ，∴ ，
由已知函数f（x）有两个极值点可得有两个解
即和有两个交点，
，
∴当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，
而 时， ， 时，；
（易错提示1：需要注意作图时需要标注各个关键点、渐近线与无穷趋势，才能精确判断零点个数）
大致图象如下：
若和有两个交点只需.
故选：A.
【补救措施】分离参数后构造函数 h（x），转化为水平直线 y=a 与 y=h（x） 的交点问题，
仔细分析分析函数的渐近线及端点趋势；画图时标注所有关键点坐标及间断点位置，逐段判断交点个数.
8.（2026江西宜春一模）已知关于x的方程有两个不相等的实数解，则正实数m的取值范围是______.
【答案】
【知识点】函数图象的应用、判断指数函数的单调性、已知切线（斜率）求参数、利用导数研究方程的根
【分析】换元令，可得，根据题意结合指数函数单调性分析可知，整理可得，结合导数的几何意义分析求解即可.
【详解】因为，则，
令，可得，
原题意等价于关于t的方程有两个不相等的实数解，
若，则在定义域内单调递增，
可知方程不可能有两个不相等的实数解，不合题意，所以，
可得，原题意等价于与有2个不同的交点，
因为，可知与必有一个交点，
且，令，解得，
当，由图象可知与有2个不同的交点，
所以正实数m的取值范围是.
9.（2026届辽宁高三上期阶段检测）已知函数，若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（错因：不会根据图象分析函数零点）
【答案】B
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究方程的根
【分析】求导，判断函数单调性及极值，作出函数图象，将方程变形为，结合函数图象，数形结合可得参数范围.
【详解】因为，
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
注意到时，，，时，大致图象如下，
方程分解为，
由于，故知有三个解，故须使有一个不同的实数解，
由图象知.
故选：B.

10.（2026山东泰安模拟预测）已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（错因：忽视复合函数零点的层次性）
【答案】B
【知识点】分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点
【分析】由，得到为奇函数，的零点关于原点对称，因此只需研究时的零点个数为2，即可对应得到时的零点个数；当时，得到的具体解析式，令分离出参数；构造关于的新函数，利用导数研究函数的单调性、极值、值域，结合方程解的个数要求，得到时方程有2个解对应的的范围，结合奇函数的性质得到总零点为4个时的范围.
【详解】，的定义域为.
，为奇函数，图象关于原点对称.
，恰有4个零点，
可得时，恰有2个零点；时，恰有2个零点，且这4个零点关于原点对称.
，
当时，，得.
时，，
当且时，令，得，即.
时，恰有2个零点，等价于且时，有2个解；
即与在且时有两个交点.
令（且），则；
；
，；
当且时，，即在和上单调递减；
当时，；时，；，；时，；如图所示：
由图可知，当时，与有两个交点；
恰有4个零点时，实数k的取值范围是．
11.（2026山西忻州模拟预测）已知函数.若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则（ ）
A． B．0 C．2 D．或2
（错因：混淆极值点与零点）
【答案】D
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、利用导数研究方程的根
【分析】根据导函数正负得出函数单调性进而得出极值，再结合边界值应用实根的个数求解.
【详解】函数，，
当单调递增，当单调递减，当单调递增，
所以的极大值为，的极小值为，且，，
所以的最大值为2，的最小值为，
所以若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则或.
12.（2026山东青岛模拟预测）已知函数…是自然对数的底数，）．
(1)讨论的单调性；
(2)讨论关于x的方程根的个数．
（错因：混淆极值点与零点）
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)当时，关于x的方程根的个数为0；当时，关于x的方程根的个数为1；当时，关于x的方程根的个数为2．
【知识点】利用导数研究方程的根、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）对函数求导，判断导数与0的大小关系，得出单调区间；
（2）将方程转化为，令，讨论和时的单调性，再对的范围进行分析，讨论得到的零点个数，即可得出答案.
【详解】（1）解法一:，
当时，；当时．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
解法二：，
由，解得，
当时，，单调递减，
所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2）
解法一:
通过图象可对c进行讨论：
当即，时，函数，的图象有两个交点，
即方程有两个根．
当即，时，函数，的图象有一个交点，
即方程有一个根．
显然当时，方程没有根．
解法二：令，
（1）当时，，则，
所以，，
因为，，所以，
因此在上单调递增．
（2）当时，，则，
所以，，
因为，，
又，所以，所以，
因此在上单调递减．
综合（1）（2）可知当时，，
当，即时，没有零点，
故关于x的方程根的个数为0；
当，即时，只有一个零点，
故关于x的方程根的个数为1；
当，即时，
①当时，由（1）知，
要使，只需使，即．
②当时，由（1）知；
要使，只需使，即；
所以当时，有两个零点，故关于x的方程根的个数为2；
综上所述：
当时，关于x的方程根的个数为0；
当时，关于x的方程根的个数为1；
当时，关于x的方程根的个数为2．
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