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/ 让教学更有效 精品试卷 | 高数
4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
1.若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过的角度为（ ）
A． B． C． D．
【错因解读】忽略任意角的旋转方向，错判任意角的符号
【解析导引】因为，所以.
（注意任意角的旋转方向）因为分针是顺时针旋转，
所以在2小时40分钟内，分针转过的角度为，
故选：D.
【补救措施】任意角：逆时针旋转为正；顺时针旋转为负，零角：没有旋转的角.
2.（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图是“二十四节气圆周”图，各节气点等分“节气圆周”，则一年内在“节气圆周”上从谷雨节气点沿顺时针方向旋转到大寒节气点，旋转的角度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】任意角的概念
【详解】从谷雨节气点沿顺时针方向旋转到大寒节气点，共经过18个节气点，
所以旋转的角度为.
3.若，则是（ ）
A．第二或第四象限角 B．第三象限角
C．第二象限角 D．第一或第三象限角
【错因解读】忽略周期性，错判角的取值范围
【解析导引】由，，则是第三象限角，
（忽略周期性，认为）即，
所以，
当，即为偶数时，
，此时是第二象限角；
当，即为奇数时，
，此时是第四象限角；
综上是第二或第四象限角.
【补救措施】根据任意角的定义，旋转一周后，终边相同，所以与角终边相同的角的集合为.
4.若是第一象限角，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】确定n分角所在象限、已知角或角的范围确定三角函数式的符号
【分析】由是第一象限角，可得为第一或第三象限角，结合象限角性质逐项判断即可得.
【详解】由是第一象限角，则，
则，为第一或第三象限角；
对A：若为第三象限角，则，故A错误；
对B：若为第三象限角，则，故B错误；
对C：为第一或第三象限角，则，故C正确；
对D：取，则，，，
此时，故D错误.
5.如图所示，半径为1和3的两圆外切于点P，且直线为其公切线，则（ ）
A． B．
C．涂色区域周长为 D．涂色区域面积为
【错因解读】记错公式或者混淆角度和弧度
【解析导引】由题可知，过作，
则，，，故A错误；
，
，故B正确；
，则，
（记错弧长、扇形面积公式或错用角度）涂色区域周长为，故C正确；
，，
涂色区域面积，故D错误．
【补救措施】扇形的弧长与面积公式中的圆心角为弧度制，
且.
6.如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，，，扇形圆心角，，则扇形区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的有关计算、正弦定理解三角形
【详解】，，.
中，，，，，
由正弦定理得，解得，
扇形区域面积为.
7.已知角的终边在直线上，求的值．
【错因解读】混淆正、余弦定义或者忽略角的终边为射线
【解析导引】在直线上任取一点，
则．
（忽略角的终边为射线，未分类讨论）①若，则，
（混淆正、余弦公式，出现答案对过程错误）从而，，
．
②若，则，
从而，，
．
【补救措施】象限角的终边为射线，在处理问题时要注意确定终边所在的位置.
8.如图，在平面直角坐标系中，质点间隔3分钟先后从点出发，绕原点按逆时针方向作角速度为弧度／分钟的匀速圆周运动，则与的纵坐标之差第4次达到最大值时，运动的时间为（ ）
A．37.5分钟 B．40.5分钟 C．49.5分钟 D．52.5分钟
【答案】A
【知识点】利用定义求某角的三角函数值、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式
【分析】由题意先列出的坐标，写出纵坐标之差的表达式，然后结合正弦函数的性质计算.
【详解】由于间隔3分钟先后从出发，两者速度都是弧度／分钟，
可等效看作从，从同时出发，
设运动时间为，根据三角函数的定义可得，
的纵坐标之差为：，
令，解得，
第四次取到最大值时，，则.
故选：A
9.已知角的终边经过点，且，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
【错因解读】利用三角函数的定义，建立方程，运算求参，但要注意象限角的三角函数值的符号.
【解析导引】由角的终边经过点，
则，，
（忽略符号性的隐含，答案出现增根）
整理得，，
解得或（舍去），
所以m的值为．
【补救措施】三角函数值在各象限内的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
10.已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数
【分析】根据任意角三角函数的定义求解.
【详解】因为是第二象限角，点为其终边上一点，所以，
解得或或，因为是第二象限角，所以，所以.
11.如图，时钟现在的时间为10：10，经过40min后，时钟的分针旋转所形成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
（错因：任意角的旋转方向）（25-26高一下·河南南阳·期中）
【知识点】任意角的概念、弧度的概念
【详解】依题意，经过后，时钟的分针旋转所形成的角为.
12.（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知角是第四象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
（错因：象限角的周期性）
【知识点】确定n分角所在象限、由三角函数式的符号确定角的范围或象限
【分析】根据角是第四象限角列出不等式计算得出角的范围并结合余弦值求解.
【详解】因为角是第四象限角，所以，
所以，所以角是第二象限角或第四象限角．
又因为，即，所以角是第四象限角．
故选：D．
13.（25-26高一上·北京·期中）第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为，弦长为，求弓形的面积约为（ ）（参考数据：，）
A． B． C． D．
【答案】B
（错因：弧长、面积计算错误）
【分析】根据题意，求得扇形所在圆的圆心角，结合扇形的面积公式和三角形的面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，设扇形所在圆的半径为，
则弦长的一半为，弦的中点到圆心的距离为，
根据勾股定理得，整理得，解得，
设扇形所对的圆心角为，因为弦长为，
在直角中，可得，所以，即
所以扇形的面积为，
三角形的面积为，
因为，所以弓形的面积为.
14.（25-26高一上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A为单位圆上一点，以原点O为顶点，轴正半轴为始边，为终边的角为，且终边不在坐标轴上.若将绕点顺时针旋转至，则点的坐标为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
（错因：三角函数的定义）
【知识点】利用定义求某角的三角函数值、诱导公式五、六
【分析】先由题意得为终边的角为，再由角的定义以及诱导公式即可求解点B.
【详解】由题可得为终边的角为，
又，
所以.
故选：C
15.（25-26高一下·江西九江·期中）若角的终边上有一点，且，则（ ）
A．1 B． C．或1 D．或
【答案】B
（错因：任意角三角函数值的符号）
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数
【分析】根据三角函数的定义即可求解.
【详解】由题意得：，
所以，解得.
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