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专题4.5　三角函数的图象与性质的综合应用
纠正一 求定义域时未考虑周期性
1.下列函数中，定义域是 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析导引】对于A，要使函数有意义，则，解得，
即函数的定义域为，不符合题意；
对于B，要使函数有意义，则，解得，
即函数的定义域为，符合题意；
对于C，要使函数有意义，则，解得，
即函数的定义域为，不符合题意；
对于D，要使函数有意义，则，解得，
（易错提示：留意函数图像存在的一系列断点）
所以函数的定义域不是，不符合题意.
故选：B.
【补救措施】求含三角函数的函数定义域时，要注意：
①不能直接整理函数解析式，要先分析成立条件，方能整理；
②注意三角函数的周期性；
③先求非三角函数的定义域，再结合三角函数性质分析求解.
2.在内，函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】具体函数的定义域、求含sinx(型)函数的定义域、求含cosx型的函数的定义域
【分析】由题直接求函数定义域即可.
【详解】由题意得，解得，所以，
即在内，函数的定义域为．
故选：C.
3.已知函数，则下列结论正确的个数是（ ）
①的图象关于点对称；
②在区间内有2个极大值点；
③；
④将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析导引】.
对于①，因为，所以是的一条对称轴，故①错误；
对于②，由，得，，所以，，
（易错提示：需要注意函数的周期性的范围，不能将三种三角函数的周期范围搞混）
所以可能为：，等等，在内只有两个极大值点和，故②正确；
对于③，因为，
，
又在上单调递减，所以，即，故③正确；
对于④，把的图象向左平移个单位，可得，
当时，为函数最小值，是所得函数的一条对称轴，故④正确.
综上，结论正确的个数是3.
【补救措施】换元法求函数最值（或值域）时，要注意变量的取值范围，在这个范围内求最值（或值域），检查求得的值是否合理
4.已知函数，，则函数的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、求含sinx（型）的二次式的最值
【详解】由，
因为，则，
设，则在上单调递减，
所以当时，.
5.记函数的最小正周期为T，若，且的图像关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【解析导引】因为函数的最小正周期为，且，
可得，
又因为函数的图像关于点中心对称，可得，且，
（易错提示：各三角函数的对称中心公式不同，应加强记忆）
所以，即，可得，
解得，由，可得，，即，
所以．
【补救措施】应牢记各三角函数对称中心公式，同时，求三角函数对称中心时，应注意函数的纵坐标值
6.已知将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象关于对称
B．函数图象在内有3个极值点
C．函数在上单调递增
D．函数图象关于中心对称
【答案】C
【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、cosx（型）函数的对称轴与单调性、最值的关系、求图象变化前（后）的解析式
【分析】本题考查三角函数的图象变换、性质，解题的关键在于先对函数进行化简，再根据图象平移规律得到的表达式，最后逐一分析选项.
【详解】由题意可得
因为将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，
所以；
当时，或0，
所以不是对称轴，选项A错误；
令,解得，
当时， ；当时， ；
所以函数图象在内有2个极值点，选项B错误；
当时，，在内单调递增，选项C正确；
当时，，
所以是对称中心,图象关于中心对称，选项D错误.
故选：C
7.已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【解析导引】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中，B选项中，
C选项中，D选项中，
排除选项CD，
（易错提示：注意求解各三角函数最小正周期公式的区别，不要混淆）
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，
故选：B.
【补救措施】对于函数周期，注意周期不为0即可，可为负且为最小正周期的整数倍；另外，研究函数周期时，要注意函数定义域.
8.已知下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】求含sinx的函数的最小正周期、求含cosx的函数的最小正周期
【分析】根据正弦函数、余弦函数的性质求出最小正周期.
【详解】画的图象，如图，
由图可知函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，函数周期为，故B错误；
对于C，设，则，，
所以，故C错误；
对于D，对于函数，当时，，
当时，，
所以，其最小正周期为，故D错误.
故选：A.
9.（1）在上的单调递减区间为 ；
（2）的单调递减区间为 .
【解析导引】（1）因为，
令，解得
则的单调递减区间为
（易错提示1：应将化为正值以便于计算，防止混淆符号致误）
令，则，
所以在上的单调递减区间为和；
（2）令，解得，
可知的定义域为，
（易错提示2：，应注意对数函数的定义域，避免出错）
因为在定义域内单调递增，
且在内单调递增，在内单调递减，
可得在内单调递增，在内单调递减，
所以函数的单调递减区间为，
故答案为：和；.
【补救措施】与三角函数有关的单调性问题，要保证，否则根据奇偶性将化为正数，而且应先求函数的定义域，在定义域范围内研究函数单调性.
10.函数的单调增区间为______________.
【答案】
【知识点】求cosx型三角函数的单调性
【分析】根据给定函数，结合余弦函数的性质、诱导公式求出单调增区间.
【详解】函数，即，
则，解得，
所以函数的单调增区间为.
故答案为：
11．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
（错因：求定义域时未考虑周期性）
【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、求含sinx(型)函数的定义域
【分析】由对数真数大于零和根式被开方数大于或等于零得不等式组，解不等式，取交集，得到函数的定义域.
【详解】由题知，
由，解得
由解得，，
当时，由，解得.
当时，区间和无交集；
当时，区间和无交集；
所以函数的定义域.
故选：A.
12．已知函数，则在的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
（错因：求最值时忽略有界性）
【知识点】求15°等特殊角的正弦、求含sinx（型）的二次式的最值
【分析】利用同角公式化简函数，再利用正弦函数的性质，结合二次函数求出值域.
【详解】函数在上单调递增，而，
，即
函数，当时，，
当时，，
所以在的值域为.
故选：A
13．已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列命题①，②的图象关于直线对称，③，④在上的值域为，其中正确的个数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
（错因：记错函数的对称中心）
【知识点】求cosx(型)函数的值域、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式
【分析】结合函数图像求出的解析式，进而判断①③；利用代入检验法可判断②；利用换元法和三角函数性质求出在上的值域可判断④.
【详解】由图象可知，，，故①正确；
从而，
由，，
因为，所以，
从而，故③正确；
因为，所以不是的对称轴，故②错误；
当时，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，所以，
因为，，所以，故，即，
从而，即在上的值域为，故④错误.
14.（2026届甘肃兰州高三下期模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
（错因：未考虑符号对函数单调性的影响）
【知识点】求cosx型三角函数的单调性、利用余弦函数的单调性求参数
【详解】令，
得，
所以的单调递增区间为，
因为在区间上单调递增，
所以，，
解得，
当，得；
当，且，无交集；
当，由可知显然不符合题意，
所以的取值范围为．
15．函数的零点个数为（ ）
A．1013 B．2026 C．3039 D．4052
【答案】B
（错因：记错三角函数的周期性）
【知识点】零点存在性定理的应用、求含sinx的函数的最小正周期、求含cosx的函数的最小正周期、求函数零点或方程根的个数
【分析】分， ，三种情况分析的零点个数，并结合函数的周期性，可得的零点.
【详解】因，则函数是周期函数，其最小正周期为.
令，当时，单调递增，单调递增，所以单调递增；
又在上单调递减，故函数 在上单调递增；
又因，所以函数在上有一个零点.
当 时， ，，则，函数在上无零点.
当时， ，则 ，.
令，在 上单调递增，单调递增，所以单调递增；
在 上单调递增，且增长速度逐渐增快.
若，则，而，所以；
若，则，，所以 ；
若，则，，所以 ；
又 ，所以在上恰有一个零点.
综上，函数 在有两个零点.
所以函数 有 个零点.
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