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4.6 正弦定理与余弦定理
1.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（ ）
B. C.或 D.
【错因解读】利用正弦定理求角时，忽略限制条件，如角的范围、角的大小关系或三角形内角和为.
【解析导引】由正弦定理可得：.
因为，则，且，
（易错提示1：需要注意，，的情况需要舍去）
所以.
故选：B.
【补救措施】利用正弦定理求角时，注意题设的限制条件取舍，如角的范围、角的大小关系或三角形内角和为.
2.（2026黑龙江哈尔滨模拟预测）在中，，，，则角B的大小为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】A
【知识点】正弦定理解三角形
【分析】根据正弦定理求解，再结合三角形边角关系求解.
【详解】由正弦定理：，代入，，可得：
，
则或，
由，得，
故.
3.锐角的内角的对边分别为，已知，，则______.
【错因解读】使用正弦定理边角转化时，只记得边角转化，忽视成立的条件.
【解析导引】因为，由正弦定理可得，
即，
（易错提示1：需要注意约去的前提条件是）
且，则，可得，
（易错提示2：需要注意需结合锐角三角形条件舍去）
且，则，
由余弦定理可得，所以.
故答案为：.
【补救措施】由正弦定理可得，边角转化时，要保证能被消去.
4.（2026贵州遵义模拟预测）记的内角，，的对边分别为 ，， ，已知 ．
(1)求角 ；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用余弦定理与正弦定理，将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和化简求解；
（2）利用余弦定理与面积公式，通过“和平方”将转化为，即可计算面积.
【详解】（1）已知，
由余弦定理，则，
代入可得：.
由正弦定理（为外接圆半径），
可得，，，
代入上式得：，
整理得：，
根据两角和的正弦公式，即，
因为，所以得，解得，
又因为，所以.
（2）已知，，，
由余弦定理，代入得，
所以，
则面积为：.
5.在中，内角所对的边分别为，，则角______.
【错因解读】很多学生记结论习惯认为可以推出，可以推出，死板硬套致使化简错误.
【解析导引】因为，由正弦定理可得，
且，则，可得，
（易错提示1：需要注意不能推出）
又因为，则，可得，
则，
且，则，，可得，
则，所以.
故答案为：.
【补救措施】注意结论，成立的原因，若不是这个形式，要利用等量代换解题.
6.（2026吉林延边二模）在中，角、、的对边分别为、、，满足，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】诱导公式五、六、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用
【分析】先利用正弦定理将边化为角，再结合三角函数两角和差公式化简等式，求出角与角的关系，最后结合二倍角公式，即可求解.
【详解】由题意，，
根据正弦定理，可得，
化简得，
即，
又，所以，
所以，
所以①，即，不符合题意，
②，即，
所以，
又，所以.
7.在锐角中，分别是角所对的边，已知，且则锐角周长的取值范围为（ ）
B. C. D.
【错因解读】解三角形求取值范围时，忽略题干的限制条件，例如锐角三角形、钝角三角形等.
【解析导引】因为且，则，
根据正弦定理得，整理得，
因为，则，可得，解得，
（易错提示1：需要注意不能直接代入否则2R无法消去）
因为，
则，
可得，
（易错提示2：需要注意锐角三角形条件的限制，避免取值扩大）
因为为锐角三角形，则且，
解得，则，可得，
则，
所以锐角周长的取值范围为.
故选：C.
【补救措施】解三角形求取值范围时，若题干有限制条件，一般不能用基本不等式，应用正弦定理边化角，结合正弦函数求取值范围，注意角的取值范围.
8.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】先将目标式化简为，结合已知代入余弦定理，再通过三角恒等变换和辅助角公式求解目标式的最大值.
【详解】由余弦定理，将代入得.
进而.
的最小值为，因此的最大值为.
令，.
， 当时，，
根据对勾函数的性质可得，
故的最大值为，
即的最大值为.
9.（2026届河南高三下期阶段检测）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ）
B. C. D.
【错因解读】已知条件分析不清，不能根据已知边角特征合理选择正弦定理或余弦定理，导致解题路径复杂化甚至无法求解.
【解析导引】依题意，，由正弦定理得，，
所以，
（易错提示1：需要注意结合余弦定理可再得一个边的关系式）
由余弦定理可得，，
即，所以，
（易错提示2：需要注意出现边的平方齐次式，应优先用正弦定理化为角，不可只用正弦定理或只用余弦定理，需两者配合使用）
即，又因为，所以.
【补救措施】1.已知两边及其中一边对角优先选用正弦定理.
2.已知三边或两边及其夹角优先选用余弦定理.
3.涉及边角混合齐次式优先用正弦定理化边为角.
4.涉及边的平方优先用余弦定理化角为边
10.（2026山东青岛二模）在中，角所对的边分别为，，，则边上的高为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】利用正弦定理求，利用余弦定理求，然后结合面积公式可得解.
【详解】由正弦定理和可得，
又，，
所以，
因为，所以，
所以，得，即，
由余弦定理可得，即，
记边上的高为，则由面积公式得，得.
11.已知中，，则（ ）
A． B．或 C． D．或
（错因：正弦定理求角时忽略限制条件）
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值、正弦定理解三角形
【分析】根据正弦定理可求得结果.
【详解】根据正弦定理可得：，
，解得.
因为，所以，所以.
故选：A.
12.（2026河北模拟预测）内角，，的对边分别为，，，，且的面积，则（ ）
A．2或 B．3或 C．4或 D．5或
（错因：正弦定理与余弦定理选择不当）
【答案】A
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用
【分析】先由三角形面积公式求出，再由同角三角函数关系得到，结合余弦定理构造关于的方程求解
【详解】由三角形面积公式，又，得，即，解得，
所以，
由余弦定理，又，整理得，
等式两边同除以得，设，则，
若，代入得，判别式，无实根，舍去；
若，代入得，即，解得或，
故或.
（错因：求取值范围时忽略限制条件）（2026福建泉州模拟预测）
13．钝角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】先对已知等式进行化简，求出角，再利用余弦定理将转化为关于角的表达式，最后根据角的范围求出的取值范围.
【详解】已知，则.
即.
所以.
由于，
所以或.
当时，可得，那么，不满足为钝角三角形， 舍去.
当时，则，满足为钝角三角形，此时.
由正弦定理得，
，
由各内角大于0，即，可得，故，
对勾函数在上单调递减，且，
所以，所以的取值范围为.
14.（2026安徽三模）在中，已知，，，则__________．
（错因：死记公式致使化简错误）
【答案】或
【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数
【详解】因为中，，由正弦定理，
得，因为，所以或，
因为，经检验，或均符合题意.
15.（2026广东肇庆模拟预测）已知分别为三个内角的对边，且
(1)求角；
(2)已知，为锐角三角形，求的取值范围．
（错因：正弦定理边角转化错误）
【答案】(1)
(2)
【知识点】辅助角公式、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】（1）先根据正弦定理边角互化，然后借助辅助角公式化简三角函数式，结合内角范围即可求出角；
（2）先用正弦定理把边化为角的正弦，然后利用三角恒等变换化简，再由锐角三角形约束的范围，最后结合正弦函数的单调性即可得出的取值范围.
【详解】（1）因为，由正弦定理得：
，
因为，所以，则，
即，，
因为，则，所以，即.
（2）因为，，所以，
所以，，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，即，
所以，
所以，
所以．
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