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4.7 解三角形的“三线”应用
1.记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【错因解读】混淆中线长定理中的系数和符号，导致中线长度计算错误.
【解析导引】由，得，
所以，
即，
则由正弦定理得，
因为，所以，所以，即，
又，所以，因为，
所以由余弦定理得，即.
（易错提示1：需要注意中线长公式的分母为4，分子为，不要记错系数）
由中线长公式可得，
因为，所以
因为，所以，当且仅当时等号成立，
则，
所以边上的中线长度的最小值为.
故选：C.
【补救措施】中线长定理的核心是“两邻边平方和等于中线与半底边平方和的两倍”，具体操作中，遇中线问题优先考虑用该定理建立方程，若记不清系数，也可用向量法，两边平方同样可导出中线长度，不易出错.
2.在中，角、、的对边分别为、、.若，，，是的中点，则_____.
【答案】
【知识点】正弦定理边角互化的应用、已知数量积求模
【分析】由正弦定理可得，由题意得出，利用平面向量数量积的运算性质可求出的长.
【详解】因为，由正弦定理可得，故，又因为，所以，
因为为的中点，所以，
所以
，故.
故答案为：.
3.在非直角中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，是角的内角平分线，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【错因解读】将角平分线性质与角平分线长公式混为一谈，或在求角平分线长度时不知道使用等面积法或公式法.
【解析导引】由已知和正弦定理得，
则，
为非直角三角形，，，
，
（易错提示1：需要注意角平分线的两个核心工具——角平分线性质用于求分点比，角平分线长公式或等面积法用于求长度）
，
即，
又，
所以，
，，
，，
．
故选：A.
【补救措施】处理角平分线问题时，先明确题目要求什么——若求分点比，直接用内角平分线定理；若求角平分线长度，可选用角平分线长公式或等面积法.
4.（2026·陕西·二模）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且．
(1)若，求的大小；
(2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度.
【答案】(1)；
(2)2
【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算
【分析】（1）由正弦定理得到，根据，结合三角形面积公式建立关于的方程，再结合余弦定理求解；
（2）同（1）建立关于的方程，再结合基本不等式求解最值，进而根据等腰三角形性质求解即可.
【详解】（1）因为，由正弦定理得.
因为的角平分线交于点，所以，
由，得，
则，
即，所以.
在中，由余弦定理得，
即；
（2）由，得，
得，
化简得，即，
所以，即，
当且仅当时等号成立，取得最小值，面积取得最小值，
此时为等腰三角形，为中点，则既是中线也是角平分线.
即重合，故.
5.已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（ ）
A．
B．当为中线时，
C．当为高线时，
D．当为角平分线时，
【错因解读】面对中线、角平分线、高线综合问题时，不能合理选择等面积法、向量法或中线长定理等工具，导致解题思路受阻.
【解析导引】由以及正弦定理可得，，得，故A正确；
因为的面积为，所以，即，
因为，所以，
因为，所以，则，则，
在中利用余弦定理可得，，
则，
（易错提示1：需要注意需要注意中线、高线、角平分线各有对应解法——中线用向量法或中线长定理，高线用等面积法，角平分线用等面积法）
当为中线时，，则，
即，得，故B正确；
当为高线时，，得，故C错误；
当为角平分线时，则，
由，得，
则，故D正确.
故选：ABD
【补救措施】解“三线”综合题的关键在于识别所求量属于中线、高线还是角平分线，然后调用对应工具：中线用中线长定理或向量法，高线用等面积法，角平分线用内角平分线定理或角平分线长公式.若题目同时涉及多种线，则需分步求解——先用一个定理求中间量，再换另一个定理求目标量，切忌试图用一个公式解决所有问题.
6.（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，，，，则（ ）
A． B．若是的中线，则
C．若是的高，则 D．若是的角平分线，则
【答案】BD
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律
【分析】利用余弦定理求解判断A；利用数量积运算律求解判断B；利用三角形面积列式求解判断CD.
【详解】对于A，由余弦定理，得，A错误；
对于B，由是的中线，得，则
，B正确；
对于C，由是的高，得，则，C错误；
对于D，由是的角平分线，得，由，
得，则，D正确.
7.如图，在中，，，.取边中点D，连接AD，设E为中点，连接并延长与交于点F，则的长为（ ）
B． C． D．
【错因解读】不熟悉中线、角平分线、高线的独特几何性质，无法建立边角等量关系，导致解题缺乏突破口.
【解析导引】设，因为B，F，E共线，
所以 ，
（易错提示1：需要注意灵活运用中线，的几何性质，将中点关系转化为向量等式，进而用共线定理求出点F的位置）
又因为，所以，
所以，解得，
所以，得，
，
所以，所以，所以，
在中，，，，所以，
所以，
所以．
故选：A
【补救措施】熟记“三线”的核心性质：中线平分对边；角平分线分对边之比等于邻边之比；高线垂直于对边.解题时遇到相关条件，先联想对应性质能否直接建立等量关系.角平分线出现时优先用内角平分线定理；中线出现时优先用中线长定理或考虑倍长中线构造平行四边形；高线出现时优先考虑垂直关系或等面积法.这些性质是解“三线”问题的第一突破口.
8.（2026山东滨州二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积，且.
(1)求C；
(2)若C的角平分线交AB于D，且，求b.
【答案】(1)
(2)
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由三角形面积公式和余弦定理可得，进而得到；
（2）在（1）基础上，利用三角形面积得到方程，由正弦定理可得，从而求出b.
【详解】（1），，
又，故，
故，又，故；
（2）由（1）中可知，，
，
，
又，，
故，
因为，，所以，，
故，
由正弦定理得，即，，
所以，
又，故，解得，
故.
9.（2026届河北衡水高三下期阶段检测）记锐角的内角的对边分别为，已知，且，若点是线段的中点，则的长度可以为（ ）
A． B． C． D．
（错因：中线长定理公式记忆错误）
【答案】C
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、数量积的运算律、用向量解决线段的长度问题
【分析】先应用正弦定理结合两角和正弦公式计算得出，再应用向量的数量关系得出，最后应用正弦定理结合两角和正弦公式化简得出边长范围.
【详解】因为，
由正弦定理可得：，即得，
化简得出
因为在，，，
所以，因为在，，所以，
因为为的中点，
所以，
即，
设，
因为且由正弦定理可知：，
所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，
又因为，
又因为，单调递增，所以，所以，
所以长度的取值范围是，所以的长度可以为.
10.（2026山东聊城模拟预测）在中，是边的中点，为边上一点，连接，交于点，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
（错因：忽视三角形“三线”的几何性质）
【答案】B
【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、几何图形中的计算
【分析】根据余弦定理、平面向量加法的几何意义，结合锐角三角函数定义、正弦定理进行求解即可.
【详解】设，，
因为，
所以，
因为是边的中点，且，所以
，
在中，由余弦定理，得，
所以有，解得，，或舍去，
所以，是边的中点，
因此，所以，
，
所以，
，
，
由正弦定理，得.
11．已知，内角所对的边分别是，，的角平分线交于点.若，则__________，的取值范围是___________.
（错因：混淆角平分线性质与角平分线长公式）
【答案】
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】利用正弦定理角化边可直接得到；设，利用面积桥和余弦定理可构造方程，将表示为关于的函数的形式；利用基本不等式可求得的范围，进而确定的取值范围.
【详解】由正弦定理得：，又，；
为的角平分线，设，则；
，即，
；
由余弦定理知：，
，；
（当且仅当时取等号），，即，
又，，，
即的取值范围为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形知识的综合应用，本题求解角平分线长度取值范围的关键是能够利用面积桥和余弦定理将角平分线的长度表示为关于的函数的形式，通过确定的取值范围来确定角平分线长度的取值范围.
12.（2026河南驻马店模拟预测）已知在中，，.
(1)求证：；
(2)若边上的中线的长为1，求的面积.
（错因：“三线”综合问题中转化与化归意识不足）
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【知识点】二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由题意知，再结合题意得，整理得，即，再根据内角和定理即可证明结论；
（2）结合（1）得，再结合二倍角公式得，进而得，，根据余弦定理，结合得，再根据正弦定理求得外接圆半径，最后计算面积即可.
【详解】（1）解：因为，，
所以，即，
所以，
因为，即
因为，中至少有一个为锐角，
所以，
所以，
即
所以，
所以，即，
因为，
所以，即.
（2）解：由（1）知，即，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，，
所以，，
因为，所以，
所以，由余弦定理得，即，
所以
设为外接圆半径，
所以，
所以，解得，即，
所以，
所以
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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