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/ 让教学更有效 精品试卷 | 高数
4.8 解三角形的实际应用举例
1.已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为 米.
【错因解读】错误理解位角、方向角、仰角、俯角或坡度等概念.
【解析导引】根据题意作图，
（易错提示1：需要注意正确理解北偏西、北偏东等方位角概念，画图不要误判角度）
则，，，
在中，根据正弦定理，，
即，则，
因为，
所以，.
即两点之间的距离为米.
故答案为：.
【补救措施】解三角形的实际应用，正确理解方位角、仰角或坡度等概念，准确判断相关角度，这是解题的基石.
2.（2026甘肃张掖模拟预测）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（ ）
A．6n mile B．7n mile C．n mile D．n mile
【答案】D
【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题
【分析】先在中，利用正弦定理求得AC，再在中，利用余弦定理求解BC即可.
【详解】在中，，
由正弦定理得 n mile，
在中，，
由余弦定理得，
所以 n mile.
3.若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则两点的距离为___________m
【错因解读】面对文字描述的实际场景时，不知道画图、不知道选取哪个三角形作为切入点，列式混乱或无从下手.
【解析导引】如图，设与的交点为，则由题知为等腰三角形，所以，
又因为，所以，为等腰三角形，则，
又，所以，所以.
（易错提示1：需要注意正确构建数学模型，根据已知条件作出三角形进而得出三角关系）
设，因为，所以，所以，
在中，由正弦定理可知，解得，
在中，由余弦定理可得，
代入、，有，代入
化简可得.
【补救措施】1.遇到实际应用题，第一步必须画出示意图，标注所有已知量和未知量.
2.识别图形中的各三角形，判断哪些三角形已知两角一边或两边一角，可优先求解.
3.含斜坡的场景，必须将斜坡路径分解为水平分量和竖直分量，不可忽略高度变化.
4.（2026届吉林四平高三上期阶段检测）紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）.
【答案】389
【知识点】高度测量问题
【分析】设，求出，最后在中利用余弦定理可得.
【详解】由题意可知，，
设，在中，，所以，
同理在中，，
在中，由余弦定理得，
即，
所以.
故紫峰大厦主体的高度约为米.
故答案为：
5.（2026新疆乌鲁木齐三模）为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山隧道，其中在山的同一侧，在山的另一侧，为求出隧道的长度，测量出，则隧道的长度为（ ）
A. B. C. D.
【错因解读】涉及多个三角形时，不能识别先解哪个三角形、后解哪个三角形，或求解过程中变量依赖关系判断错误，导致方程组无法顺利推进.
【解析导引】设，，，，，.
（易错提示1：需要注意求解顺序要正确，根据已知条件依此求解，避免变量过多导致求解混乱）
在中，，，.
由正弦定理，
即，所以.
在中，因为，，
所以.
由正弦定理，
所以，又因为，
所以，
所以，
所以隧道的长度为.
【补救措施】1.画图后标出所有已知边和角，找“两角一边”或“两边夹角”的条件充分的三角形优先求解.
2.每解出一个量，判断它可作为哪个三角形的已知条件，再继续推进.
3.遵循“从已知向未知推进”的原则，而非“从目标倒推”，避免变量混杂交错.
6.（2026届甘肃高三上期阶段检测）小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】高度测量问题
【分析】先根据正弦定理求出的长度，然后在直角三角形中根据边长关系求解出结果.
【详解】在中，，，米，
在中，由正弦定理可得，所以，
又因为，
所以，解得米，
在中，，米，
所以米，
故选：D.
7.（2026重庆模拟预测）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域.则该城市开始受到台风侵袭的时间为（ ）
A.5小时后 B.10小时后 C.15小时后 D.20小时后
【错因解读】求出数学解后未代入实际背景验证（距离是否为负、角度是否合理），直接作答，导致答案不符合实际情况.
【解析导引】设小时后台风中心移动到点，此时城市开始受到台风侵袭，即km，
已知，台风速度为，因此，
根据方位角关系可得，
在中，由余弦定理：，
代入数值，
，
化简得：，解得或，
（易错提示1：需要注意解出结果后要进行验证，根据题设条件判断是否符合题意）
依题意开始受到侵袭的时间，取较小值.
【补救措施】解出结果后检查边长是否为正值，角度是否在合理范围内，答案是否满足题设条件.
8.（2026届黑龙江哈尔滨高三上期期末）如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．

(1)若，求的距离；
(2)求面积的最小值．
【答案】(1)（海里）
(2)（平方海里）．
【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算、距离测量问题
【分析】（1）在和中反复使用正弦定理，用角度表示边长、、、，代入求值即可；
（2）将面积表达式化简为关于的三角函数，利用和角公式、二倍角公式进行变形，通过三角函数的范围求解面积的最小值.
【详解】（1）因为，，所以，
又因为，所以，，
又，设，
∴，，．
在和中由正弦定理可得，
，
即，，
，
．
当时，则，，
∴，，
∴（海里）．
（2）
令
，
∴．
因为，∴，∴，
所以当时，（平方海里）．
9.如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西且与相距7海里的处，现甲船以13海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向8海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（ ）
A．小时 B．1小时
C．小时 D．2小时
（错因：实际应用错判相关角度）
【答案】B
【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题
【详解】由题意可知：，
由余弦定理可得，
所以甲船到达处需要的时间为小时.
（错因：求解顺序混乱）（2026届辽宁高三上期期中）
10．如图，1752年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上，且纬度差约为的柏林（点）与好望角（点）为基点，测量出，的大小.设地球半径为，则地球表面与月球表面的最小距离约为（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】正弦定理解三角形、距离测量问题
【分析】由正弦定理，求出，，设，根据正弦定理求出，根据求出，再减去地球半径即可.
【详解】设地球球心为，月球表面上的点为，
因为柏林与好望角纬度差约为，可以将其看作进行计算，

则，
由地球半径为，则，
在中，由正弦定理，，
解得，，
设，
在中，由正弦定理，，
解得，
在中，由正弦定理，，
解得，
因为，
则，
故，
因此，
而地球表面与月球表面的最小距离为减去地球半径，
故答案为.
故选：A.
11.（2026届河南南阳高三上期期中）某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动时，需要测量某河流同侧的，两点之间的距离，该班学生在这条河流另一侧的点处测得点在点的北偏东30°方向上，点在点的北偏东60°方向上，从点出发，沿正东方向走2千米，到达点，在点处测得点在点的北偏西15°方向上，点在点的北偏东15°方向上，则，两点之间的距离（ ）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
【答案】A
【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题
【分析】在中，由余弦定理求解.
【详解】如图，由题意可得，，，，，千米.
在中，由正弦定理可得，则千米.
在中，由正弦定理可得，则千米.
在中，由余弦定理可得，则千米.
故选：A.
（错因：计算结果未检验）（2026届山东聊城高三上期期中）
12．某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量重兴塔高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，且在，两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得，，两地相距36米.
(1)求重兴塔高；
(2)如图2，塔顶为点，距离塔顶点竖直向下5米处有点，若在离地面竖直高度为2米的点处用测角仪器测得，求的最大值.
【答案】(1)米
(2)
【知识点】高度测量问题、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）设米，可得，，在中，由余弦定理得，，解方程即可求解；
（2）过点作交于，设，可得，，由结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意得，设米，
在中，，则；
在中，，则.
在中，由余弦定理得，，
整理得，解得或（舍）
所以重兴塔高米
（2）过点作交于，设，
则在中，，
在中，，
.
当且仅当，即等号成立
所以的最大值为
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