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5.1 平面向量的概念及线性运算
1.（2026·山东·一模）下列说法正确的是（ ）
A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量
C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量
【错因解读】对零向量的定义（长度为0，方向任意）理解不透彻，将零向量与非零向量的性质混为一谈，缺乏分类讨论意识.
【解析导引】
选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误；
选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量. 零向量与任一向量共线，故B正确；
选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，
（易错提示：零向量方向是任意的，并非没有方向），故C错误；
选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误.
故选：B.
【补救措施】牢记零向量的“双重特殊性”——长度为0、方向任意；遇到向量共线、方向判断、向量等式等问题时，先主动排查“是否存在零向量”的情况，养成分类讨论习惯.
2.给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③向量与相等.其中正确命题的序号为（ ）
A．① B．③ C．①③ D．①②
【答案】A
【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量）
【分析】由向量的有关概念逐项判断即可.
【详解】因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，
且零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确；
根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，
故两个单位向量不一定相等，故②错误；
向量与互为相反向量，故③错误.
故选：A.
3.已知向量，不共线，且，，若与同向，则实数的值为（ ）
A.1 B.C.1或 D.或
【错因解读】对“共线向量”的定义（方向相同或相反的非零向量）理解片面，只关注“共线”的位置关系，忽略方向的双向性；对共线向量定理中参数的几何意义（正负表方向，绝对值表长度比例）掌握不足.
【解析导引】因为与共线，所以，解得或.
（易错提示：不去分类讨论参数取不同值时两向量的方向是否一致）
若，则，，所以，所以与方向相反，故舍去；
若，则，，所以，所以与方向相同，故为所求.
故选：B
【补救措施】明确“共线”包含“同向”和“反向”两种情况；记忆共线向量定理时，结合的符号分析：时两向量同向，时反向，通过具体例题（如三点共线判定）强化理解.
4.（25-26高三·全国·一轮复习）设，都是非零向量，下列四个条件，使成立的充要条件是（ ）
A． B． C．且 D．且方向相同
【答案】D
【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）
【详解】表示与同向的单位向量，因此的充要条件是且与同向．
5.（25-26高一下·贵州贵阳·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．非零向量与平行，则与的方向相同或相反
C．起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量
D．与非零向量平行的单位向量有1个
【错因解读】对“向量相等”的定义（长度相等且方向相同）掌握不全面，只关注“长度”这一数量属性，忽略“方向”这一向量特有属性，将向量等同于“有长度的线段”.
【解析导引】对于A选项， ,向量与方向未必同向或反向，故错误；
（易错提示：模相等与方向无关，同样方向相同与相反也和是否相等无关，只有方向与模相同才是相等向量）
对于B选项，非零向量与平行，则与的方向相同或相反，符合向量平行的定义，正确；
对于C选项，方向相同且模相等的向量就是相等向量，与起点无关，正确；
对于D选项，与非零向量平行的单位向量有2个，，
【补救措施】牢记“向量相等”的两个必要条件——模相等且方向相同，缺一不可；判断向量关系时，先分析方向（如共线向量的同向/反向），再比较模的大小，避免只看模而忽略方向.
6.如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ）
A．与不平行
B．
C．与的模相等的向量有9个（不含）
D．与相等的向量只有一个（不含）
【答案】BCD
【知识点】向量的模、相等向量、平行向量（共线向量）
【分析】对A，根据平行向量的定义判断；对B，根据条件，求得得解；对C，根据相等向量的定义结合图形求解判断；对D，根据相等向量的定义判断.
【详解】对于A，向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误；
对于B，因为，则，所以，故B正确；
对于C，根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等，
故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确；
对于D，与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确.
故选：BCD.
7.（2026·山东临沂·二模）已知四边形ABCD为平行四边形，，F为AC与DE的交点，则（ ）
A． B． C． D．
【错因解读】对向量的“代数运算规则”掌握不扎实，将向量的减法等同于数的减法，但未注意“向量减法是加法的逆运算”，去括号时未正确分配负号，或者线条过多而思维混乱找不到处理方向.
【解析导引】已知，则．
因为为与的交点，所以，，三点共线，，，三点共线．
（易错提示1：对于交叉线的位置不知可两次使用三点共线，利用共线定理写两遍构建方程）
设（为实数），因为是平行四边形，所以，所以．
因为，，三点共线，所以存在实数，使得．
又因为，
，所以．
，解得．
（易错提示2：同一组基底表示一个向量两次，待定系数解方程粗心出错）
所以．
根据向量减法的三角形法则，，将代入可得： ．
【补救措施】牢记向量的代数运算规则——与数的运算类似，但需保留向量符号：① 去括号时，负号分配到每一项；② 减法转化为加法；计算后通过“几何意义验证”（如画图确认向量方向和长度是否合理），避免符号错误.
8.（2026·江苏·二模）在平行四边形中，为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】向量的线性运算的几何应用
【详解】在平行四边形中，为中点，
则，
因为，所以，
若，则，所以.
9.（2026·江苏盐城·模拟预测）在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【错因解读】向量共线定理理解不透彻，或在使用共线定理计算参数时方法模糊.
【解析导引】
已知，由共线，设，
，故，
，则，
（易错提示1：不能熟练运用三点共线的推论，从而难以确定E的位置）
，
，故，故；
设，则，即，则，
，解得，
由得出，故，
由知，设到的距离为，则，
由知，设到的距离为，则，即，
．
（易错提示2：不能点的特殊位置将面积问题化为线段比）
【补救措施】利用共线向量定理：若，则两向量共线，否则不共线，通过待定系数法计算参数即可.
10.（2026·山东济宁·二模）是的重心，过点且不过顶点的直线分别交边，于点，，记和的面积分别为，，则的最小值是________.
【答案】
【知识点】三角形的心的向量表示、基本不等式求和的最小值、平面向量共线定理的推论
【分析】设，利用三角形重心的性质，结合等高的三角形面积关系建立函数，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】设，由是的重心，得，
则，又点共线，因此，即，
而，，
则
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
11.（25-26高三上·辽宁·期中）已知平面内不同的四点，，，，设甲：，，，四点位于同一条直线上；乙：与共线，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
（（平行与共线概念模糊））
【答案】A
【知识点】判断命题的必要不充分条件、平行向量（共线向量）
【分析】判断甲乙两命题之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】若，，，四点位于同一条直线上，则与共线，故充分性成立；
若与共线，可能存在直线与直线平行的情况，故必要性不成立，
故甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件.
故选：A.
12.已知向量，与共线且方向相反的单位向量______．
（不注意方向要求）
【答案】
【知识点】零向量与单位向量、坐标计算向量的模
【分析】求出的模，除以这个模再取相反向量可得．
【详解】，，所以与共线且方向相反的单位向量是．
故答案为：
13.（25-26高一上·湖北武汉·期末）“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（相等向量与模长、共线概念混淆）
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件、相等向量、平行向量（共线向量）
【分析】由相等向量与相反向量的概念，以及向量共线的概念，结合充分必要条件的判定即可求解.
【详解】若“”则“且”成立，即充分性成立；
反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立，
故“”是“且”的充分不必要条件，
故选：A.
14.（2024·浙江·一模）已知平行四边形中，为的中点，，其中，且均不为0，若，则_______________．
（共线充要条件不会使用）
【答案】
【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用
【分析】将用基底表示，用平面向量基本定理建立方程组，可计算出的值.
【详解】，
由，所以设，
即，
，所以.
故答案为：.
15.（2025·山东潍坊·一模）已知同一平面内的单位向量，，，则的最小值是________；若与不共线，，，，，则________．
（运算法则不熟，无分类讨论思想）
【答案】 2
【知识点】平行向量（共线向量）、向量的线性运算的几何应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律
【分析】利用数量积定义及运算律可得第一空；设，利用平面向量的线性运算分类讨论结合共线的充要条件确定的值即可.
【详解】要使最小，需模长最大，且与夹角为，
故当同向，且反向时，，
可取得最小值；
设，即，又，，均为单位向量，
若共线，则首尾相连一条线段，则此时与共线，不符题意；
所以不共线，则首尾相连形成一个菱形，即，
因为，，
所以，则，
所以.
故答案为：，
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