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3.2　导数与函数的单调性
1. (5分)已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是 (　　)
2.(5分)下列函数在区间[1,4]上单调递增的是 (　　)
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)=xln x D.f(x)=x-ln x2
3.(5分)函数f(x)=的单调递增区间是 (　　)
A.(0,2)
B.(-∞,0),(2,+∞)
C.(-∞,-2),(0,+∞)
D.(-2,0)
4.(5分)(2025·湖南长沙二模)已知函数f(x)=sin x+cos x+ax(a∈R)在R上单调递减,则实数a的取值范围是 (　　)
A.[,+∞) B.(-∞,]
C.[-,+∞) D.(-∞,-]
5.(5分)已知函数f(x)=2x+cos 2x,则 (　　)
A.f(e)B.f(e)C.f(π)D.f(π)6.(5分)已知函数f(x)=x2+a(ex+e-x)+3(a>0),则不等式f(2x-1)≤f(x+2)的解集是 (　　)
A.∪[3,+∞)
B.
C.[3,+∞)
D.(-∞,3]
7.(6分,多选)(2026·河南南阳一模)若函数f(x)=-x2+2x+1是区间(m-1,m+4)上的单调函数,则实数m的值可以是 (　　)
A.-5 B.-3
C.3 D.4
8.(6分,多选)已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且满足>0,下列结论正确的是 (　　)
A.f(2)>f(1)
B.f(3)>f(2)
C.f(1)+f(3)<2f(2)
D.f(1)+f(3)>2f(2)
9.(5分)函数f(x)=(x-2)e2x+3的单调递增区间是 .
10.(5分)(2026·山西太原一模)设a>0,若函数f(x)=xln x-x2+x在区间(a,+∞)上单调,则a的取值范围是 .
11.(19分)(2025·云南丽江三模)已知函数f(x)的定义域为R,f(2x)=2f(x)+1,且f(1)=2.
(1)求f(4)的值;
(2)若f(x)为一次函数,且g(x)=mf(x)+ln x在(0,+∞)上单调递增,求m的取值范围.
12.(19分)已知函数f(x)=ex+me-x+(m-1)x.
(1)当m=0时,求证:f(x)≥1恒成立;
(2)讨论f(x)的单调性.
13.(5分)设定义在上的函数f(x)=xsin x+cos x,则不等式f(2x)A.
C.
14.(5分)已知f(x)=x2-2x+,a=2ln 3,b=,c=t2-t+6,则f(a),f(b),f(c),f(π)的大小关系正确的为 (　　)
A.f(a)f(c)
C.f(a)>f(c) D.f(π)>f(a)
3.2　导数与函数的单调性
1. (5分)已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是 (　D　)
解析:由函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象可知,当x<0时,f'(x)<0,y=f(x)在(-∞,0)上单调递减,可排除A,C;当00,y=f(x)在(0,2)上单调递增,可排除B;当x>2时,f'(x)<0,y=f(x)在(2,+∞)上单调递减,D均符合,故D正确.故选D.
2.(5分)下列函数在区间[1,4]上单调递增的是 (　C　)
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)=xln x D.f(x)=x-ln x2
解析:对于A,f(x)=的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),f(x)在[1,2)上单调递增,在(2,4]上单调递增,不满足在[1,4]上单调递增,故A错误;对于B,在[1,4]上,f'(x)=≤0恒成立,f(x)在[1,4]上单调递减,不满足在[1,4]上单调递增,故B错误;对于C,在[1,4]上,f'(x)=ln x+1>0恒成立,满足在[1,4]上单调递增,故C正确;对于D,f'(x)=1-,f(x)在[1,2)上单调递减,在(2,4]上单调递增,不满足在[1,4]上单调递增,故D错误.故选C.
3.(5分)函数f(x)=的单调递增区间是 (　A　)
A.(0,2)
B.(-∞,0),(2,+∞)
C.(-∞,-2),(0,+∞)
D.(-2,0)
解析:函数f(x)=的定义域为R,f'(x)=,由f'(x)>0可得2x-x2>0,即x2-2x<0,解得04.(5分)(2025·湖南长沙二模)已知函数f(x)=sin x+cos x+ax(a∈R)在R上单调递减,则实数a的取值范围是 (　D　)
A.[,+∞) B.(-∞,]
C.[-,+∞) D.(-∞,-]
解析:由题意得f'(x)=cos x-sin x+a≤0在R上恒成立,则a≤sin x-cos x在R上恒成立.因为sin x-cos x=∈[-,],要使得不等式恒成立,则a≤-.故选D.
5.(5分)已知函数f(x)=2x+cos 2x,则 (　B　)
A.f(e)B.f(e)C.f(π)D.f(π)解析:由f(x)=2x+cos 2x,得f'(x)=2-2sin 2x=2(1-sin 2x),对于x∈R,都有sin 2x≤1成立,故f'(x)≥0,即函数f(x)=2x+cos 2x在R上单调递增.又e<3<π,所以f(e)6.(5分)已知函数f(x)=x2+a(ex+e-x)+3(a>0),则不等式f(2x-1)≤f(x+2)的解集是 (　B　)
A.∪[3,+∞)
B.
C.[3,+∞)
D.(-∞,3]
解析:函数f(x)=x2+a(ex+e-x)+3(a>0)的定义域为R,f(-x)=(-x)2+a(e-x+ex)+3=f(x),即函数f(x)是偶函数.当x>0时,f'(x)=2x+a(ex-e-x)>0,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,不等式f(2x-1)≤f(x+2) f(|2x-1|)≤f(|x+2|) |2x-1|≤|x+2|,即3x2-8x-3≤0,解得-≤x≤3,故原不等式的解集为.故选B.
7.(6分,多选)(2026·河南南阳一模)若函数f(x)=-x2+2x+1是区间(m-1,m+4)上的单调函数,则实数m的值可以是 (　ACD　)
A.-5 B.-3
C.3 D.4
解析:f'(x)=-x2+x+2,令f'(x)=0,即-x2+x+2=0,解得x=2或x=-1,当f'(x)>0时,-12,函数f(x)单调递减.因为函数f(x)在区间(m-1,m+4)上是单调函数,所以当(m-1,m+4) (-∞,-1)时,解得m≤-5;当(m-1,m+4) (2,+∞)时,解得m≥3;当(m-1,m+4) (-1,2)时,无解.故A,C,D正确.故选ACD.
8.(6分,多选)已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且满足>0,下列结论正确的是 (　AC　)
A.f(2)>f(1)
B.f(3)>f(2)
C.f(1)+f(3)<2f(2)
D.f(1)+f(3)>2f(2)
解析:由>0,得则当x<2时,f'(x)>0,当x>2时,f'(x)<0,函数f(x)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,故f(2)>f(1),f(2)>f(3),2f(2)>f(1)+f(3),即f(1)+f(3)<2f(2),故A,C正确,B,D错误.故选AC.
9.(5分)函数f(x)=(x-2)e2x+3的单调递增区间是.
解析:因为f(x)=(x-2)e2x+3,所以f'(x)=(2x-3)e2x+3,由f'(x)>0可得x>,所以函数f(x)=(x-2)e2x+3的单调递增区间是.
10.(5分)(2026·山西太原一模)设a>0,若函数f(x)=xln x-x2+x在区间(a,+∞)上单调,则a的取值范围是[1,+∞).
解析:f'(x)=ln x+1-2x+1=ln x-2x+2,设g(x)=ln x-2x+2,则g'(x)=,故g(x)在上单调递减,又f'(1)=0,可知f(x)在区间上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,故(a,+∞) (1,+∞),a的取值范围是[1,+∞).
11.(19分)(2025·云南丽江三模)已知函数f(x)的定义域为R,f(2x)=2f(x)+1,且f(1)=2.
(1)求f(4)的值;
(2)若f(x)为一次函数,且g(x)=mf(x)+ln x在(0,+∞)上单调递增,求m的取值范围.
解:(1)因为f(1)=2,所以f(2)=2f(1)+1=5,f(4)=2f(2)+1=11.
(2)因为f(x)为一次函数,所以设f(x)=kx+b(k≠0).
因为f(2x)=2f(x)+1,且f(1)=2,
所以有解得故f(x)=3x-1,
g(x)=mf(x)+ln x=m(3x-1)+ln x,g'(x)=3m+,
因为函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以有g'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
所以3mx+1≥0在x>0时恒成立,由3mx+1≥0 m≥-,当x>0时,函数y=-∈(-∞,0),因此要想3mx+1≥0在x>0时恒成立,只需m≥0,故m的取值范围为[0,+∞).
12.(19分)已知函数f(x)=ex+me-x+(m-1)x.
(1)当m=0时,求证:f(x)≥1恒成立;
(2)讨论f(x)的单调性.
解:(1)证明:由已知,当m=0时,f(x)=ex-x,则f'(x)=ex-1.
令f'(x)>0,解得x>0,令f'(x)<0,解得x<0,
函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(x)≥f(0)=1.
(2)由f(x)=ex+me-x+(m-1)x,得f'(x)=ex-me-x+(m-1)=,
当m≥0时,ex+m>0恒成立,令f'(x)=0,解得x=0,且当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,
即函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
当m<0时,令f'(x)=0,解得x1=0,x2=ln(-m),
①当-10,当x∈(ln(-m),0)时,f'(x)<0,
即函数f(x)在(-∞,ln(-m))和(0,+∞)上单调递增,在(ln(-m),0)上单调递减.
②当m=-1时,x1=x2,即f'(x)≥0恒成立,函数f(x)在R上单调递增.
③当m<-1时,x2>x1,且当x∈(-∞,0)∪(ln(-m),+∞)时,f'(x)>0,当x∈(0,ln(-m))时,f'(x)<0,即函数f(x)在(-∞,0)和(ln(-m),+∞)上单调递增,在(0,ln(-m))上单调递减.
综上所述,当m≥0时,函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;当-113.(5分)设定义在上的函数f(x)=xsin x+cos x,则不等式f(2x)A.
C.
解析:对于函数f(x)=xsin x+cos x,f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsin x+cos x=f(x),并且定义域关于原点对称,则f(x)是偶函数,f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,当x∈时,∵cos x>0,x>0,∴f'(x)>0,f(x)单调递增,∴对于f(2x)14.(5分)已知f(x)=x2-2x+,a=2ln 3,b=,c=t2-t+6,则f(a),f(b),f(c),f(π)的大小关系正确的为 (　D　)
A.f(a)f(c)
C.f(a)>f(c) D.f(π)>f(a)
解析:因为f(x)=x2-2x+,所以f'(x)=2x-2+=(x-1),当x>1时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增.对于A,因为a=2ln 3>20=1,b=>20=1,又ln 3>1>,所以a=2ln 3>=b,所以f(a)>f(b),故A错误;对于B,c=t2-t+6=>π>1,所以f(π)4=22>2ln 3=a>1,所以f(a)f(a),故D正确.故选D.

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