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3.3　导数中的函数构造问题
1.(5分)定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f'(x)>3,f(2)=6,则f(x)>3x的解集为(　　)
A.(-∞,0) B.(-∞,2)
C.(0,+∞) D.(2,+∞)
2.(5分)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),满足f(x)+f'(x)>0(f'(x)为f(x)的导函数),设a=ef(1),b=e3f(3),c=e2f(2),则 (　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.b>a>c D.a>c>b
3.(5分)已知函数f(x)为定义在R上的偶函数,f'(x)为f(x)的导函数,当x>0时,xf'(x)+f(x)>0,则 (　　)
A.f(-3)<3f(1) B.f(-3)>3f(1)
C.f(-3)< D.f(-3)>
4.(5分)已知函数y=f(x)对于任意的x∈满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是 (　　)
A.
B.
C.f(0)>
D.f(0)>2f
5.(5分)已知a=,b=,c=,则 (　　)
A.aC.c6.(5分)定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),当x≥0时,恒有f(x)+f'(x)>0,则不等式x2f(x)<(2x-3)2f(2x-3)的解集为 (　　)
A.(-∞,3) B.(1,3)
C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(3,+∞)
7.(5分)已知f(x)=aln x+x2(a>0),若对于任意两个不相等的正实数x1,x2,都有>2恒成立,则a的取值范围是 (　　)
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(0,3] D.[1,2e)
8.(5分)已知5a=2(ln 5-ln 2),b=,2c=ln 2,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.b>a>c B.a>c>b
C.a>b>c D.b>c>a
9.(8分,多选)已知e是自然对数的底数,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)是f(x)的导函数,且+ln x·f'(x)>0,则 (　　)
A.f+f(e)>0 B.f<0
C.f(e)>0 D.f(1)=0
10.(8分,多选)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0(f'(x)为f(x)的导函数),则下列结论正确的是 (　　)
A.f(2)-ln 2>f(1)
B.f(4)-f(2)>ln 2
C.f(2)+ln 2>f(e)+1
D.f(e2)-f(e)>1
11.(8分,多选)若a,b为正实数,则a>b的充要条件为(　　)
A. B.ln a>ln b
C.bln a12.(4分)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若xf'(x)+f(x)>2,且满足f(1)=3,则不等式x2[f(x2)-2]<1的解集为 .
13.(4分)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-f(x)<0,其中f'(x)是函数f(x)的导函数,若f(m-2 026)>(m-2 026)f(1),则实数m的取值范围是 .
14.(5分)已知函数f(x)在定义域上为偶函数,并且x≥0时,cos xf'(x)≥sin xf(x)(f'(x)为f(x)的导函数),若f=2,则不等式f(x)<的解集为 .
15.(5分)设a=e0.125,b=,c=2ln 3-3ln 2,则 (　　)
A.bC.c16.(8分,多选)下列不等关系正确的有 (　　)
A.πln 2>2ln π B.ln 3C.
3.3　导数中的函数构造问题
1.(5分)定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f'(x)>3,f(2)=6,则f(x)>3x的解集为(　D　)
A.(-∞,0) B.(-∞,2)
C.(0,+∞) D.(2,+∞)
解析:令函数g(x)=f(x)-3x,求导得g'(x)=f'(x)-3,而f'(x)>3,则g'(x)>0,函数g(x)在R上单调递增.又f(2)=6,所以g(2)=f(2)-6=0,不等式f(x)>3x f(x)-3x>0 g(x)>g(2),解得x>2,所以所求解集为(2,+∞).故选D.
2.(5分)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),满足f(x)+f'(x)>0(f'(x)为f(x)的导函数),设a=ef(1),b=e3f(3),c=e2f(2),则 (　B　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.b>a>c D.a>c>b
解析:令g(x)=exf(x),x∈(0,+∞),则g'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)].因为f(x)+f'(x)>0,所以g'(x)>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.因为1<2<3,所以b>c>a.故选B.
3.(5分)已知函数f(x)为定义在R上的偶函数,f'(x)为f(x)的导函数,当x>0时,xf'(x)+f(x)>0,则 (　D　)
A.f(-3)<3f(1) B.f(-3)>3f(1)
C.f(-3)< D.f(-3)>
解析:令函数g(x)=xf(x),而函数f(x)是偶函数,则g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x),即函数g(x)是奇函数,当x>0时,求导得g'(x)=xf'(x)+f(x)>0,即函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,则g(x)在(-∞,0)上单调递增.因为-3<-1,所以g(-3),故D正确.故选D.
4.(5分)已知函数y=f(x)对于任意的x∈满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是 (　A　)
A.
B.
C.f(0)>
D.f(0)>2f
解析:设g(x)=,x∈,则g'(x)=>0,g(x)在上单调递增.对于A,,化简得,故A正确;对于B,,化简得,故B错误;对于C,,化简得f(0)<,故C错误;对于D,,化简得f(0)<2f,故D错误.故选A.
5.(5分)已知a=,b=,c=,则 (　B　)
A.aC.c解析:设f(x)=,则f'(x)=,当x≥2时,f'(x)<0,故f(x)在[2,+∞)上单调递减,因此,故c6.(5分)定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),当x≥0时,恒有f(x)+f'(x)>0,则不等式x2f(x)<(2x-3)2f(2x-3)的解集为 (　C　)
A.(-∞,3) B.(1,3)
C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(3,+∞)
解析:构造函数F(x)=f(x),则F'(x)=xf(x)+f'(x)=x.∵当x≥0时,恒有f(x)+f'(x)>0,∴F'(x)≥0,即F(x)在[0,+∞)上单调递增.∵f(x)是偶函数,y=x2是偶函数,∴F(x)为偶函数,∴F(x)在(-∞,0)上单调递减.又x2f(x)<(2x-3)2f(2x-3),即F(x)3.故选C.
7.(5分)已知f(x)=aln x+x2(a>0),若对于任意两个不相等的正实数x1,x2,都有>2恒成立,则a的取值范围是 (　B　)
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(0,3] D.[1,2e)
解析:不妨设x1>x2>0,可得f(x1)-f(x2)>2x1-2x2,可得f(x1)-2x1>f(x2)-2x2,令g(x)=f(x)-2x=aln x+x2-2x,则g(x1)>g(x2),则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,故g'(x)=+x-2≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,故a≥2x-x2,当x>0时,2x-x2=-(x-1)2+1≤1,当且仅当x=1时,等号成立,故a≥1.故选B.
8.(5分)已知5a=2(ln 5-ln 2),b=,2c=ln 2,则a,b,c的大小关系为(　A　)
A.b>a>c B.a>c>b
C.a>b>c D.b>c>a
解析:令f(x)=,则f'(x)=≥0对任意的x∈(1,e]恒成立,故函数f(x)在(1,e]上单调递增,故f(e)>f>f(2),因此b>a>c.故选A.
9.(8分,多选)已知e是自然对数的底数,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)是f(x)的导函数,且+ln x·f'(x)>0,则 (　AC　)
A.f+f(e)>0 B.f<0
C.f(e)>0 D.f(1)=0
解析:令函数g(x)=ln x·f(x),则g'(x)=+ln x·f'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增.又g(1)=0,所以g(e)=ln e·f(e)=f(e)>0,g<0,即f>0,所以f+f(e)>0,而+ln 1·f'(1)>0,则f(1)>0,故A,C正确,B,D错误.故选AC.
10.(8分,多选)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0(f'(x)为f(x)的导函数),则下列结论正确的是 (　ABD　)
A.f(2)-ln 2>f(1)
B.f(4)-f(2)>ln 2
C.f(2)+ln 2>f(e)+1
D.f(e2)-f(e)>1
解析:构造函数g(x)=f(x)-ln x,x>0,则g'(x)=f'(x)-.因为xf'(x)-1>0,所以g'(x)>0,故g(x)是增函数.对于A,由g(2)>g(1)得,f(2)-ln 2>f(1)-ln 1,即f(2)-ln 2>f(1),故A正确;对于B,由g(4)>g(2)得,f(4)-ln 4>f(2)-ln 2,即f(4)-f(2)>ln 4-ln 2=ln 2,故B正确;对于C,由g(e)>g(2)得,f(e)-ln e>f(2)-ln 2,即f(e)+ln 2>f(2)+1,故C错误;对于D,由g(e2)>g(e)得,f(e2)-ln e2>f(e)-ln e,即f(e2)-2>f(e)-1,即f(e2)-f(e)>1,故D正确.故选ABD.
11.(8分,多选)若a,b为正实数,则a>b的充要条件为(　BD　)
A. B.ln a>ln b
C.bln a解析:对于A,由a>b>0,得,故A错误;对于B,由函数y=ln x在(0,+∞)上单调递增,得ln a>ln b,故B正确;对于C,设函数f(x)=,x∈(0,+∞),f'(x)=,令f'(x)=0,得x=e,则函数f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,故f(a)与f(b)的大小关系无法判断,即bln a0恒成立,即g(x)在(0,+∞)上单调递增,故g(a)>g(b),即ea-a>eb-b,故a-b12.(4分)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若xf'(x)+f(x)>2,且满足f(1)=3,则不等式x2[f(x2)-2]<1的解集为(-1,1).
解析:构造函数F(x)=xf(x)-2x,因为F'(x)=xf'(x)+f(x)-2>0,所以F(x)在R上单调递增.因为f(1)=3,所以F(1)=f(1)-2=3-2=1.x2[f(x2)-2]<1可化为x2f(x2)-2x2<1,即F(x2)13.(4分)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-f(x)<0,其中f'(x)是函数f(x)的导函数,若f(m-2 026)>(m-2 026)f(1),则实数m的取值范围是(2 026,2 027).
解析:构造函数g(x)=,其中x>0,则g'(x)=<0,函数g(x)=在(0,+∞)上单调递减,由f(m-2 026)>(m-2 026)f(1)可得>f(1),即g(m-2 026)>g(1),故014.(5分)已知函数f(x)在定义域上为偶函数,并且x≥0时,cos xf'(x)≥sin xf(x)(f'(x)为f(x)的导函数),若f=2,则不等式f(x)<的解集为.
解析:由题意知,当x≥0时,cos x·f'(x)≥sin xf(x),即cos xf'(x)+f(x)(cos x)'≥0,因此[f(x)·cos x]'≥0,令函数F(x)=f(x)cos x,则F(x)在上单调递增.又由f(x)在上为偶函数,可得F(-x)=f(-x)·cos(-x)=f(x)cos x=F(x),所以函数F(x)=f(x)cos x在上为偶函数,且在=2,所以F时,cos x>0,所以f(x)<,即F(x)=f(x)cos x<1,即F(x)15.(5分)设a=e0.125,b=,c=2ln 3-3ln 2,则 (　B　)
A.bC.c解析:令函数f(x)=ex-x,x>0,求导得f'(x)=ex-1>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,因此f(0.125)>f(0)>0,即e0.125->0,则a=e0.125>=b.令函数g(x)=ln(x+1)-x,x>0,求导得g'(x)=-1<0,函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,因此g16.(8分,多选)下列不等关系正确的有 (　BCD　)
A.πln 2>2ln π B.ln 3C.
解析:令f(x)=,则f'(x)=,当00,函数f(x)单调递增;当x>e时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.对于A,因为e<π<4,函数f(x)在(e,+∞)上单调递减,所以f(4)f(2),即,则>ln 2,ln >ln 2,故>2,故C正确;对于D,由函数f(x)的单调性可知f(e)>f(),即,即3eln 2<4,故D正确.故选BCD.

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