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3.4　导数与函数的极值、最值
1.(5分)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,下列结论正确的是 (　　)
A.y=f(x)在x=-1处取得极大值
B.x=1是函数y=f(x)的极值点
C.x=-2是函数y=f(x)的极小值点
D.函数y=f(x)在区间(-1,1)上单调递减
2.(5分)(人教A版选择性必修第二册P95例7改编)已知函数f(x)=sin x+x(0A.极大值为,无极小值
B.极小值为,无极大值
C.极大值为,无极小值
D.极小值为,无极大值
3.(5分)函数f(x)=sin 3x+6sin x,x∈的最大值为 (　　)
A.4 B.3
D.5
4.(5分)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则a= (　　)
A.-2 B.-4
C.2 D.4
5.(5分)(2026·广东汕头一模)设a∈R,若函数f(x)=x2+x+2在(1,2)内存在极值点,则a的取值范围是 (　　)
A.
C.(-∞,3) D.
6.(5分)一种锥底孵化桶常用于鱼虾类的孵化,其桶底采用上大下小的漏斗状设计,底部设计成锥形便于收集幼苗.铁匠老张准备从一个半径为R的圆形铁片上剪出一个扇形(圆心和半径与圆形铁片一致)作为圆锥的侧面,制作成一个圆锥形无盖漏斗(接缝处忽略不计).若该漏斗的容积为2π,则圆形铁片的面积的最小值为 (　　)
A.4π B.6π
C.8π D.9π
7.(6分,多选)(2025·全国二卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(x2-3)ex+2,则 (　　)
A.f(0)=0
B.当x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2
C.当且仅当x≥时,f(x)≥2
D.x=-1是f(x)的极大值点
8.(6分,多选)(2025·河北邯郸二模)已知函数f(x)=(x2-3)ex,则下列结论正确的是 (　　)
A.=3
B.函数f(x)在(-1,1)上单调递减
C.函数f(x)有极大值6e-3
D.函数f(x)在[-4,-2]上的最小值为f(-4)
9.(5分)(2025·陕西宝鸡二模)若函数f(x)=4sin x+3cos x的极大值点为x0,则sin x0= .
10.(5分)(2026·湖南常德一模)若函数f(x)=有最小值,则实数a的取值范围是 .
11.(19分)已知函数f(x)=-ln x(a>0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在上的最大值g(a).
12.(19分)(2025·广东广州三模)已知函数f(x)=ln(x+1)-ax-a2.
(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性;
(3)若f(x)存在极大值,且极大值不大于-3-ln 2,求实数a的取值范围.
13.(5分)(2025·陕西咸阳一模)已知f(x)=aex-内存在2个极值点,则实数a的取值范围为 (　　)
A.
C.
14.(5分)(2025·山东聊城三模)函数f(x)=|x+3|+2|x+2|+e-x的最小值为 .
3.4　导数与函数的极值、最值
1.(5分)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,下列结论正确的是 (　C　)
A.y=f(x)在x=-1处取得极大值
B.x=1是函数y=f(x)的极值点
C.x=-2是函数y=f(x)的极小值点
D.函数y=f(x)在区间(-1,1)上单调递减
解析:由题中图象可知,当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x≥-2时,f'(x)≥0,f(x)单调递增,故x=-2是函数y=f(x)的极小值点,y=f(x)无极大值.故选C.
2.(5分)(人教A版选择性必修第二册P95例7改编)已知函数f(x)=sin x+x(0A.极大值为,无极小值
B.极小值为,无极大值
C.极大值为,无极小值
D.极小值为,无极大值
解析:f'(x)=cos x+,令f'(x)=0,解得x=,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减.因此,f(x)在x=处取得极大值,极大值为f,无极小值.故选A.
3.(5分)函数f(x)=sin 3x+6sin x,x∈的最大值为 (　B　)
A.4 B.3
D.5
解析:由题意f'(x)=3cos 3x+6cos x=3cos(x+2x)+6cos x=3(cos xcos 2x-sin xsin 2x)+6cos x=3[cos x(2cos2x-1)-2cos x(1-cos2x)]+6cos x=3(4cos3x-3cos x)+6cos x=12cos3x-3cos x=3cos x(4cos2x-1)=3cos x(2cos x-1)·(2cos x+1),当00,当时,f'(x)<0,故f(x)在上单调递增,在上单调递减,函数f(x)=sin 3x+6sin x,x∈.故选B.
4.(5分)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则a= (　A　)
A.-2 B.-4
C.2 D.4
解析:因为当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,所以f(1)==-2,即b=-2,f(x)=aln x-,定义域为(0,+∞).又因为f(x)在x=1处取得最大值,f'(x)=,所以f'(1)==0,解得a=-2,经验证,a=-2符合题意.故选A.
5.(5分)(2026·广东汕头一模)设a∈R,若函数f(x)=x2+x+2在(1,2)内存在极值点,则a的取值范围是 (　B　)
A.
C.(-∞,3) D.
解析:依题意,f'(x)=2x2-ax+1在(1,2)内存在变号零点,而x=0不是f'(x)的零点,从而得a=2x+在(1,2)上单调递增,所以36.(5分)一种锥底孵化桶常用于鱼虾类的孵化,其桶底采用上大下小的漏斗状设计,底部设计成锥形便于收集幼苗.铁匠老张准备从一个半径为R的圆形铁片上剪出一个扇形(圆心和半径与圆形铁片一致)作为圆锥的侧面,制作成一个圆锥形无盖漏斗(接缝处忽略不计).若该漏斗的容积为2π,则圆形铁片的面积的最小值为 (　D　)
A.4π B.6π
C.8π D.9π
解析:设圆锥的底面半径为r,高为h,则母线长为R.圆形铁片的面积最小,即R2最小.因为该漏斗的容积V=π,解得r2=,则R2=h2+r2=h2+(h>0).设y=x2+,x>0,则y'=2x-,令2x-=0,可得x=,当0时,y'>0,函数单调递增.故当x=时,y取得最小值9,此时圆形铁片的面积的最小值为9π.故选D.
7.(6分,多选)(2025·全国二卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(x2-3)ex+2,则 (　ABD　)
A.f(0)=0
B.当x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2
C.当且仅当x≥时,f(x)≥2
D.x=-1是f(x)的极大值点
解析:对于A,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,故A正确;对于B,当x<0时,-x>0,则f(x)=-f(-x)=-(x2-3)e-x-2,故B正确;对于C,f(-1)=-(1-3)e-2=2(e-1)>2,故C错误;对于D,当x<0时,f(x)=(3-x2)e-x-2,则f'(x)=-(3-x2)e-x-2xe-x=(x2-2x-3)e-x,令f'(x)=0,解得x=-1或x=3(舍去),当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增,当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减,则x=-1是f(x)的极大值点,故D正确.故选ABD.
8.(6分,多选)(2025·河北邯郸二模)已知函数f(x)=(x2-3)ex,则下列结论正确的是 (　BC　)
A.=3
B.函数f(x)在(-1,1)上单调递减
C.函数f(x)有极大值6e-3
D.函数f(x)在[-4,-2]上的最小值为f(-4)
解析:对于A,由题意可得f'(x)=(x2+2x-3)ex=(x+3)(x-1)ex,因为f(0)=-3,所以=f'(0)=-3,故A错误;对于B,C,由f'(x)>0得x<-3或x>1,由f'(x)<0得-3f(-2)=,则函数f(x)在[-4,-2]上的最小值为f(-2),故D错误.故选BC.
9.(5分)(2025·陕西宝鸡二模)若函数f(x)=4sin x+3cos x的极大值点为x0,则sin x0=.
解析:由函数f(x)=4sin x+3cos x,求导可得f'(x)=4cos x-3sin x=5,令sin φ=,cos φ=,则f'(x)=5cos(x+φ),由题意可得f'(x0)=5cos(x0+φ)=0,由函数y=cos x可知当x∈(k∈Z)时,cos x>0,当x∈(k∈Z)时,cos x<0,且x0为函数f(x)的极大值点,则可得x0+φ=+2kπ(k∈Z),解得x0=-φ+2kπ(k∈Z),故sin x0=sin.
10.(5分)(2026·湖南常德一模)若函数f(x)=有最小值,则实数a的取值范围是[1,+∞).
解析:当x>1时,f(x)=xln x,求导得f'(x)=1+ln x>0,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在x>1时的取值集合为(0,+∞),当a=0,x≤1时,f(x)=1>0,没有最小值,由函数f(x)在R上有最小值,得f(x)在(-∞,1]上单调递减,且f(1)≤0,因此解得a≥1,故实数a的取值范围是[1,+∞).
11.(19分)已知函数f(x)=-ln x(a>0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在上的最大值g(a).
解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),则f'(x)=.
由题知a>0,由f'(x)>0,可得0a.故函数f(x)的单调递增区间为(0,a),单调递减区间为(a,+∞).
(2)当0当当a≥e时,函数f(x)在上单调递增,此时,g(a)=f(e)=-.
综上所述,g(a)=
12.(19分)(2025·广东广州三模)已知函数f(x)=ln(x+1)-ax-a2.
(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性;
(3)若f(x)存在极大值,且极大值不大于-3-ln 2,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=4时,f(x)=ln(x+1)-4x-16,f'(x)=-4,
则f(0)=ln 1-16=-16,f'(0)=-4=-3,故切线方程为y+16=-3(x-0),即3x+y+16=0.
(2)由f(x)=ln(x+1)-ax-a2可得f'(x)=-a,则x+1>0,函数定义域为(-1,+∞),
当a≤0时,f'(x)=-a>0恒成立,f(x)在(-1,+∞)上单调递增.
当a>0时,令f'(x)>0,即-a>0,解得x<-1+,因为定义域为(-1,+∞),所以-1-1+.故f(x)在上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当a≤0时,f(x)在(-1,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(3)由(2)可知,当a≤0时,函数无极值,当a>0时,函数在x=-1+处取得极大值,
可得f≤-3-ln 2,代入得ln+a-1-a2≤-3-ln 2,化简得a2-a+ln a-2-ln 2≥0,
令g(a)=a2-a+ln a-2-ln 2(a>0),则g'(a)=2a-1+,
因为2a2-a+1=2>0,所以g'(a)>0,g(a)在(0,+∞)上单调递增,
因为g(2)=22-2+ln 2-2-ln 2=0,所以由a2-a+ln a-2-ln 2≥0可得a≥2,所以实数a的取值范围是[2,+∞).
13.(5分)(2025·陕西咸阳一模)已知f(x)=aex-内存在2个极值点,则实数a的取值范围为 (　B　)
A.
C.
解析:因为f'(x)=aex-x,可知f'(x)在内有2个变号零点,由f'(x)=0可得a=,可知直线y=a与g(x)=内有2个交点.g'(x)=,令g'(x)>0,解得14.(5分)(2025·山东聊城三模)函数f(x)=|x+3|+2|x+2|+e-x的最小值为10-3ln 3.
解析:f(x)=|x+3|+2|x+2|+e-x,当x<-3时,f(x)=-x-3-2(x+2)+e-x=-3x-7+e-x.f'(x)=-3-e-x<0,故f(x)在(-∞,-3)上单调递减;当-3≤x≤-2时,f(x)=x+3-2(x+2)+e-x=-x-1+e-x,f'(x)=-1-e-x<0,f(x)在[-3,-2]上单调递减;当x>-2时,f(x)=x+3+2(x+2)+e-x=3x+7+e-x,f'(x)=3-e-x,令f'(x)>0,解得x>-ln 3,令f'(x)<0,解得-2

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