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二　 不等式的证明
1.(15分)已知函数f(x)=e2x+(a-2)ex-2ax(a∈R).
(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;
(2)当a=0时,求证:对任意的x∈(0,+∞),f(x)+4ex>2x2+恒成立.
2.(15分)已知函数f(x)=(x2+4)(1+xln x).
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求证:f(x)>4x.
3.(15分)已知函数f(x)=-ax.
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x-y+=0,求a的值;
(2)若a≤-,判断函数f(x)的单调性;
(3)当a=0时,求证:emf(x)≤(1-m)x+m2,其中0≤x≤2,04.(15分)已知函数f(x)=sin x-aln(x+1).
(1)若a=1,求证:当x∈[0,1]时,f(x)≥0;
(2)若a=-1,求证:当x∈[0,+∞)时,f(x)≤2ex-2.
二　 不等式的证明
1.(15分)已知函数f(x)=e2x+(a-2)ex-2ax(a∈R).
(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;
(2)当a=0时,求证:对任意的x∈(0,+∞),f(x)+4ex>2x2+恒成立.
解:(1)当a=2时,f(x)=e2x-4x,则f'(x)=e2x-4.
令f'(x)<0,得x0,得x>ln 2.
函数f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2),单调递增区间是(ln 2,+∞).
(2)证明:当a=0时,f(x)=e2x-2ex.
要证f(x)+4ex>2x2+,即证>0.
构建h(x)=(x>0),则h'(x)=e2x+2ex-4x.
设m(x)=e2x+2ex-4x(x>0),则m'(x)=2e2x+2ex-4=2(ex-1)(ex+2)>0.
所以函数m(x)在(0,+∞)上单调递增,则m(x)>m(0)=3>0,即h'(x)>0,
可知函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,则h(x)>h(0)=0,即>0,得证.
2.(15分)已知函数f(x)=(x2+4)(1+xln x).
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求证:f(x)>4x.
解:(1)f'(x)=2x(1+xln x)+(x2+4)(1+ln x),则f'(1)=2+5=7,
因为f(1)=5,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-5=7(x-1),即7x-y-2=0.
(2)证明:f(x)的定义域为(0,+∞),要证明f(x)>4x,
只需证.
设函数g(x)=+ln x,则g'(x)=-.
当01时,g'(x)>0.g(x)min=g(1)=1,g(x)≥1.
设函数h(x)=(x>0),则h(x)==1,则h(x)从而,
故f(x)>4x.
3.(15分)已知函数f(x)=-ax.
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x-y+=0,求a的值;
(2)若a≤-,判断函数f(x)的单调性;
(3)当a=0时,求证:emf(x)≤(1-m)x+m2,其中0≤x≤2,0解:(1)因为f(x)=-ax,x∈R,
所以f(1)=-a.
因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x-y+=0,
所以1-f(1)+=0,
得f(1)=1+.
所以,得a=-1.
(2)因为f(x)=-ax,所以f'(x)=-a.
令φ(x)=f'(x),
则φ'(x)=.
所以当x>2时,φ'(x)>0,f'(x)在(2,+∞)上单调递增;
当x<2时,φ'(x)<0,f'(x)在(-∞,2)上单调递减.
f'(x)min=f'(2)=--a,
因为a≤-,所以f'(x)min≥0,则f'(x)≥0恒成立,
所以f(x)在R上单调递增.
(3)证明:欲证emf(x)≤(1-m)x+m2,即证f(x)≤.
设F(x)=,x∈R,则F(m)=0,
F'(x)=.
设G(x)=,
则G(m)=0,
G'(x)=,
则G(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.
则G(x)在[0,2]上单调递减,且G(m)=0,0故当0≤x0,即F'(x)>0,则F(x)在[0,m)上单调递增;
当m故当x∈[0,2]时,F(x)在x=m处取得极大值,也是最大值,且最大值为F(m)=0,
故当x∈[0,2]时,F(x)≤F(m)=0,即f(x)≤,
即emf(x)≤(1-m)x+m2.
4.(15分)已知函数f(x)=sin x-aln(x+1).
(1)若a=1,求证:当x∈[0,1]时,f(x)≥0;
(2)若a=-1,求证:当x∈[0,+∞)时,f(x)≤2ex-2.
证明:(1)首先证明sin x≤x,x∈[0,+∞),证明如下:
构造j(x)=sin x-x,x∈[0,+∞),则j'(x)=cos x-1≤0恒成立,
故j(x)=sin x-x在[0,+∞)上单调递减,故j(x)≤j(0)=0,
即sin x≤x,x∈[0,+∞).
当a=1时,f(x)=sin x-ln(x+1),x∈[0,1],f'(x)=cos x-(0≤x≤1),
故f'(x)≥≥0在x∈[0,1]上恒成立,故f(x)在[0,1]上单调递增,故f(x)≥f(0)=0.
(2)令g(x)=(2ex-2)-f(x),x∈[0,+∞).
当a=-1时,g(x)=2ex-2-sin x-ln(x+1)=2(ex-x-1)+x-sin x+x-ln(x+1),
下证:ex-x-1≥0(x≥0),x-sin x≥0(x≥0),x-ln(x+1)≥0(x≥0),且在x=0处取等号,
令r(x)=ex-x-1(x≥0),则r'(x)=ex-1≥0,
故r(x)=ex-x-1在[0,+∞)上单调递增,故r(x)≥r(0)=0,即ex-x-1≥0,且在x=0处取等号;
由(1)知j(x)=sin x-x在[0,+∞)上单调递减,
故j(x)≤j(0)=0,即x-sin x≥0,且在x=0处取等号;
令t(x)=x-ln(x+1)(x≥0),则t'(x)=1-≥0,
故t(x)=x-ln(x+1)在[0,+∞)上单调递增,故t(x)≥t(0)=0,且在x=0处取等号.
综上有g(x)=2(ex-x-1)+x-sin x+x-ln(x+1)≥0,且在x=0处取等号,即(2ex-2)-f(x)≥0,即f(x)≤2ex-2.

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