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三　 不等式恒(能)成立问题
1.(15分)(2025·辽宁盘锦三模)已知函数f(x)=x2-3x+λln x.
(1)当0<λ<时,讨论f(x)的单调性;
(2)若 x∈[2,4],f(x)≤0,求实数λ的取值范围.
2.(15分)(2025·山东滨州二模)已知函数f(x)=+aln x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若a>0时,f(x)≥a2-(a+1)ln a恒成立,求实数a的值.
3.(15分)(2025·安徽滁州二模)已知函数f(x)=.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若对任意x1∈(0,+∞)和任意x2∈(0,+∞),都有x2f(x1)-ln(ax2)≥0,求实数a的取值范围.
4.(15分)设函数f(x)=ax+ka-x(k∈R,a>0,a≠1).
(1)当k=4时,求f(x)的最小值.
(2)讨论函数f(x)的图象是否有对称中心.若有,请求出;若没有,请说明理由.
(3)(一题多解)当k=0时, x∈都有f(x)≤,求实数a的取值集合.
三　 不等式恒(能)成立问题
1.(15分)(2025·辽宁盘锦三模)已知函数f(x)=x2-3x+λln x.
(1)当0<λ<时,讨论f(x)的单调性;
(2)若 x∈[2,4],f(x)≤0,求实数λ的取值范围.
解:(1)依题意,x∈(0,+∞),f'(x)=2x-3+,由2x2-3x+λ=0得Δ=9-8λ.当0<λ<时,Δ>0.
令f'(x)=0,得x1=,x2=,
故当0<λ<时,0故当x∈(0,x1)时,f'(x)>0,当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,当x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,
故f(x)在上单调递增;在上单调递减;在上单调递增.
(2)令x2-3x+λln x≤0,因为x∈[2,4],所以ln x>0,故λ≤,
令g(x)=,
则g'(x)=,
令h(x)=(3-2x)ln x-3+x,则h'(x)=-2ln x+-1,
易知h'(x)在[2,4]上单调递减,故h'(x)≤h'(2)=-2ln 2<0,
故h(x)在[2,4]上单调递减,则h(x)≤h(2)=-ln 2-1<0,
故g'(x)<0,g(x)在[2,4] 上单调递减,故λ≤g(x)min=g(4)=-,
故实数λ的取值范围为.
2.(15分)(2025·山东滨州二模)已知函数f(x)=+aln x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若a>0时,f(x)≥a2-(a+1)ln a恒成立,求实数a的值.
解:(1)由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-,
当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递减,
当a>0时,由f'(x)>0,解得x>,由f'(x)<0,解得0故f(x)在上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当a>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)知当a>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.
函数f(x)的最小值为f=a-aln a,则a-aln a≥a2-(a+1)ln a恒成立,
整理得a2-ln a-a≤0,令h(x)=x2-ln x-x,
则h'(x)=2x-,
由h'(x)>0,解得x>1,由h'(x)<0,解得0则h(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
h(x)≥h(1)=12-ln 1-1=0,
又h(a)≤0,所以h(a)=0,
所以a=1.
3.(15分)(2025·安徽滁州二模)已知函数f(x)=.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若对任意x1∈(0,+∞)和任意x2∈(0,+∞),都有x2f(x1)-ln(ax2)≥0,求实数a的取值范围.
解:(1)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)=,
①若a=0,当x<0时,f'(x)>0,当x>0时,f'(x)<0,
f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.
②若a>0,当x<0或x>时,f'(x)>0,当0f(x)在(-∞,0)和上单调递增,在上单调递减.
③若a<0,当x<或x>0时,f'(x)<0,当0,
f(x)在和(0,+∞)上单调递减,在上单调递增.
综上可知,当a=0时,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减;
当a>0时,f(x)在(-∞,0)和上单调递增,在上单调递减;
当a<0时,f(x)在和(0,+∞)上单调递减,在上单调递增.
(2)令g(x)=,易知a>0,由题意知,f(x)min≥g(x)max,
由(1)知f(x)min=f,
又g'(x)=,当00,当x>时,g'(x)<0,
g(x)在上单调递增,在上单调递减,
g(x)max=g,故,
故实数a的取值范围为.
4.(15分)设函数f(x)=ax+ka-x(k∈R,a>0,a≠1).
(1)当k=4时,求f(x)的最小值.
(2)讨论函数f(x)的图象是否有对称中心.若有,请求出;若没有,请说明理由.
(3)(一题多解)当k=0时, x∈都有f(x)≤,求实数a的取值集合.
解:(1)当k=4时,f(x)=ax+4a-x≥2=4(当且仅当ax=4a-x,即x=loga2时取等号),所以当x=loga2时,f(x)取得最小值4.
(2)设点P(m,n)为函数f(x)图象的对称中心,
则f(x)+f(2m-x)=2n,
所以ax+ka-x+a2m-x+ka-2m+x=2n,即ax(1+ka-2m)+a-x(k+a2m)=2n,
所以a2x(1+ka-2m)-2nax+(k+a2m)=0,
于是
当k≥0时,m无解,此时函数f(x)的图象没有对称中心;
当k<0时,m=loga(-k),
此时函数f(x)图象的对称中心为.
(3)方法一　当k=0时,f(x)=ax(a>0,a≠1),
所以ax≤上恒成立,即xln a+ln(1-2x)≤0在上恒成立.
令φ(x)=xln a+ln(1-2x),x∈,则φ(0)=0,
φ(x)≤0在上恒成立.φ'(x)=ln a-,令g(x)=φ'(x),
则g'(x)=-<0,
所以φ'(x)在上单调递减.
当0φ(0),舍去.
当a>1时,由φ'(x)=ln a-=0,
解得x=.
当a=e2时,=0,
x∈(-∞,0)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增;
x∈时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减.
故x=0时,φ(x)取最大值,则φ(x)≤φ(0)=0,
a=e2满足题意.
当1当x∈时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减,
故x∈时,φ(x)>φ(0)=0,则1当a>e2时,0<,
当x∈时,
φ'(x)>0,φ(x)单调递增,
故x∈时,φ(x)>φ(0)=0,则a>e2不满足题意.
综上,实数a的取值集合为{e2}.
方法二　当k=0时,f(x)=ax(a>0,a≠1),
则ax≤上恒成立,
因为1-2x>0,
所以ax(1-2x)≤1.
令g(x)=ax(1-2x),
则g(x)≤1在上恒成立.
g'(x)=ax(ln a)(1-2x)-2ax=ax[(-2ln a)x+ln a-2]=(-2ln a)ax.
①当0g'(x)<0,g(x)在上单调递减,
当x<0时,g(x)>g(0)=1,舍去.
②当a>1时,由g'(x)=0,
得x=,
当x∈时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
当且仅当x=时,g(x)取得最大值,
又g(0)=1,g(x)=ax(1-2x)≤1=g(0)恒成立,
故当x=0时,g(x)取得最大值1,
故=0,故a=e2.
综上,实数a的取值集合为{e2}.

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