资源简介

四　 利用导数研究函数的零点
1.(15分)(2025·山东烟台一模)已知函数f(x)=x(x+c)2在x=1处有极大值.
(1)求实数c的值;
(2)若函数g(x)=f(x)+a有三个零点,求实数a的取值范围.
2.(15分)已知函数f(x)=ex+acos x的图象在x=0处的切线方程为y=x+2.
(1)求实数a的值;
(2)(一题多解)探究f(x)在区间上的零点个数,并说明理由.
3.(15分)已知函数f(x)=ln x-mx2+(2-m)x.
(1)若函数f(x)在(2,3)内有极值点,求m的取值范围;
(2)若f(x)有两个零点,求正实数m的取值范围.
4.(15分)已知函数f(x)=ex+x+4ln(2-x).
(1)求函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)(一题多解)判断函数f(x)的零点个数,并说明理由.
四　 利用导数研究函数的零点
1.(15分)(2025·山东烟台一模)已知函数f(x)=x(x+c)2在x=1处有极大值.
(1)求实数c的值;
(2)若函数g(x)=f(x)+a有三个零点,求实数a的取值范围.
解:(1)由函数f(x)=x(x+c)2,求导可得f'(x)=(x+c)(3x+c),
由函数f(x)=x(x+c)2在x=1处有极大值,得f'(1)=0,解得c=-1或-3,
当c=-1时,可得f'(x)=(x-1)(3x-1),
易知当1时,f'(x)>0.
则此时函数f(x)在x=1处有极小值,不符合题意,舍去;
当c=-3时,可得f'(x)=(x-3)(3x-3),
易知当x<1时,f'(x)>0;当1则此时函数f(x)在x=1处有极大值,符合题意.
综上所述,c=-3.
(2)由(1)可得函数f(x)=x(x-3)2,求导可得f'(x)=3(x-1)(x-3),令f'(x)=0,解得x=1或3,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
函数f(x)的极大值为f(1)=4,极小值为f(3)=0,
函数g(x)=f(x)+a有三个零点,等价于函数f(x)的图象与直线y=-a有三个交点,如图,由图可得0<-a<4,即-42.(15分)已知函数f(x)=ex+acos x的图象在x=0处的切线方程为y=x+2.
(1)求实数a的值;
(2)(一题多解)探究f(x)在区间上的零点个数,并说明理由.
解:(1)∵函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=x+2,∴切点为(0,2),
把点(0,2)代入f(x)=ex+acos x,得e0+acos 0=2,解得a=1.
(2)方法一　由(1)可知f(x)=ex+cos x,
则f'(x)=ex-sin x,
令g(x)=f'(x),则g'(x)=ex-cos x,
当x∈时,g'(x)>0,则g(x)在区间上单调递增.
∵g-1<0,g(-π)=e-π>0,
∴由函数零点存在定理可知,存在x0∈,使得g(x0)=0,
当x∈时,f'(x)<0,则f(x)在区间上单调递减;
当x∈(x0,-π)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(x0,-π)上单调递增.
∵f>0,f(-π)=e-π-1<0,
∴f(x)在区间上有且仅有一个零点.
当x∈[-π,0)时,f'(x)=ex-sin x>0;
当x∈[0,+∞)时,f'(x)=ex-sin x>e0-1=0.
故f(x)在区间[-π,+∞)上单调递增.
∵f(-π)=e-π-1<0,f(0)=e0+1>0,
∴由函数零点存在定理可知,当x∈[-π,+∞)时,f(x)存在唯一零点x1∈(-π,0),使得f(x1)=0.
综上,f(x)在区间上有两个零点.
方法二　当x>-时,f(x)=ex+cos x=0 ex=-cos x,f(x)的零点个数即函数h(x)=ex的图象与g(x)=-cos x的图象的交点个数.
作出函数h(x)与函数g(x)的大致图象,如图,
∵h(x)的图象与g(x)的图象在上有两个交点,
∴f(x)在上有两个零点.
3.(15分)已知函数f(x)=ln x-mx2+(2-m)x.
(1)若函数f(x)在(2,3)内有极值点,求m的取值范围;
(2)若f(x)有两个零点,求正实数m的取值范围.
解:(1)由f(x)=ln x-mx2+(2-m)x,得f'(x)=-2mx+2-m=-,
要使函数f(x)在(2,3)内有极值点,
则f'(x)在(2,3)上有变号零点,
即mx-1=0在(2,3)上有解,则,
即m的取值范围为.
(2)由f(x)=ln x-mx2+(2-m)x,x>0,
得f'(x)=-2mx+2-m=-,
因为m>0,2x+1>0,令f'(x)=0,得x=,
当00,函数f(x)在上单调递增,
当x>时,f'(x)<0,函数f(x)在上单调递减,
又x→0时,f(x)→-∞,x→+∞时,f(x)→-∞,
要使f(x)有两个零点,则f+(2-m)·-1>0,
设g(x)=ln x+x-1,x>0,则g'(x)=+1>0,
函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,
则>1,解得0综上所述,m的取值范围为(0,1).
4.(15分)已知函数f(x)=ex+x+4ln(2-x).
(1)求函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)(一题多解)判断函数f(x)的零点个数,并说明理由.
解:(1)f'(x)=ex+1-(x<2),f'(0)=e0+1-=0,
又f(0)=e0+0+4ln(2-0)=1+4ln 2,所以切点坐标为(0,1+4ln 2),所以函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=1+4ln 2.
(2)方法一　函数f(x)有两个零点.理由如下:
令g(x)=f'(x),x∈(-∞,2),g'(x)=ex-,
令h(x)=(2-x)2ex-4,x∈(-∞,2),h'(x)=x(x-2)ex,
当x<0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
当0h(x)≤h(0)=0,故g'(x)≤0,
g(x)在(-∞,2)上单调递减,
故当x<0时,g(x)>g(0)=0,即当x<0时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,0)上单调递增,
当0又因为f(2-e6)=+2-e6+24<0,f(0)=e0+0+4ln 2>0,
f(2-e-6)=+2-e-6-24所以f(x)在区间(2-e6,0),(0,2-e-6)内各有一个零点,即函数f(x)有两个零点.
综上,函数f(x)有两个零点.
方法二　函数f(x)有两个零点.理由如下:
令f(x)=ex+x+4ln(2-x)=0,可得ex=-x-4ln(2-x),
函数f(x)的零点个数即为函数t(x)=ex(x<2)与g(x)=-x-4ln(2-x)(x<2)的图象交点的个数.
t(x)=ex在(-∞,2)上单调递增,且t(x)>0,
当x→-∞时,t(x)→0,
由g'(x)=-1+=0,得x=-2,
当-20,g(x)单调递增,
当x<-2时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
因为当x→-∞时,g(x)→+∞,g(-2)=2-4ln 4<0,
当x→2时,g(x)→+∞,t(2)=e2,
所以t(x)=ex与g(x)=-x-4ln(2-x)的图象在x<-2时有一个交点,在-2综上,函数f(x)有两个零点.

展开更多......

收起↑