资源简介

五　 极值点偏移问题
1.(15分)已知函数f(x)=ln x+,a∈R.若函数f(x)有两个零点x1,x2.
(1)求a的取值范围;
(2)求证:x1+x2>4a.
2.(15分)已知函数f(x)=xe-x(x∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>2.
3.(15分)已知函数f(x)=xln x-x.
(1)求函数f(x)的最值;
(2)若函数g(x)=f(x)-ax2+a有两个极值点,记作x1,x2,且x13.
4.(15分)已知函数f(x)=aex-x,a∈R.若f(x)有两个零点x1,x2.求证:x1+x2>2.
五　 极值点偏移问题
1.(15分)已知函数f(x)=ln x+,a∈R.若函数f(x)有两个零点x1,x2.
(1)求a的取值范围;
(2)求证:x1+x2>4a.
解:(1)由题意可知,f(x)=ln x+(x>0),f'(x)=,
若a≤0,则f'(x)>0恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)至多存在一个零点,不符合题意,故a>0,
显然当x>2a时,f'(x)>0,当0则f(2a)<0,即ln(2a)+1<0,解得a∈,
此时有4a2<2a,且f(4a2)=2ln(2a)+.令g(t)=2ln t+,g'(t)=,而t<,故g'(t)<0,即g(t)在上单调递减,故g(t)>g=e-2>0,则f(4a2)>0.
又f(1)=2a>0,
所以在区间(4a2,2a)和(2a,1)上,函数f(x)各存在一个零点,符合题意.
综上,a∈.
(2)证明:结合(1),不妨令0则G'(x)==-<0,即G(x)在(0,2a)上单调递减,故G(x)>G(2a)=0,
即G(x1)=f(x1)-f(4a-x1)>0,则f(x1)=f(x2)>f(4a-x1).
因为02a.
由(1)知,f(x)在(2a,+∞)上单调递增,则f(x2)>f(4a-x1) x2>4a-x1,故x1+x2>4a.
2.(15分)已知函数f(x)=xe-x(x∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>2.
解:(1)因为f(x)=xe-x,其中x∈R,则f'(x)=(1-x)e-x,
令f'(x)=0,解得x=1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表,
x (-∞,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) 单调递增 极大值 单调递减
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1),单调递减区间为(1,+∞).
故函数f(x)在x=1处取得极大值,无极小值.
(2)证明:构造辅助函数F(x)=f(x)-f(2-x),x>1,
则F'(x)=e-x(1-x)+ex-2(x-1)=(x-1)(ex-2-e-x),
当x>1时,x-1>0,x-2>-x,则ex-2-e-x>0,则F'(x)>0,
F(x)在(1,+∞)上单调递增,当x>1时,F(x)>F(1)=0,
故当x>1时,f(x)>f(2-x)(*),
由f(x1)=f(x2),x1≠x2,
不妨令0f(2-x2),
又f(x1)=f(x2),所以f(x1)>f(2-x2).
又x1<1,2-x2<1,f(x)在(-∞,1)上单调递增,所以x1>2-x2,即x1+x2>2.
3.(15分)已知函数f(x)=xln x-x.
(1)求函数f(x)的最值;
(2)若函数g(x)=f(x)-ax2+a有两个极值点,记作x1,x2,且x13.
解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x.
令f'(x)<0,解得00,解得x>1.
所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以f(x)min=f(1)=1×ln 1-1=-1.
故f(x)的最小值为-1,无最大值.
(2)证明:g(x)=f(x)-ax2+a=xln x-ax2-x+a,g'(x)=ln x-2ax.
因为g(x)有两个极值点x1,x2,所以ln x1=2ax1,ln x2=2ax2.
欲证ln x1+2ln x2>3,即证2ax1+4ax2>3.
又0①.
由ln x1=2ax1,ln x2=2ax2,
得ln=2a(x2-x1),即a=②.
由①②知原问题等价于证明,即证ln.
令t=,则t>1,上式等价于证明ln t>.
令h(t)=ln t-(t>1),则h'(t)=,
因为t>1,所以h'(t)>0恒成立,所以h(t)在(1,+∞)上单调递增,h(t)>h(1)=ln 1-=0,即ln t>,所以原不等式成立,即ln x1+2ln x2>3.
4.(15分)已知函数f(x)=aex-x,a∈R.若f(x)有两个零点x1,x2.求证:x1+x2>2.
证明:由f(x)=aex-x=0,得-a=0,令g(x)=-a,则g'(x)=,
由g'(x)=>0,得x<1;
由g'(x)=<0,得x>1.
所以g(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,由于x1,x2是方程g(x)=0的实根,不妨设x1<1要证x1+x2>2,只要证x2>2-x1>1.
由于g(x)在(1,+∞)上单调递减,故只要证g(x2)由于g(x1)=g(x2)=0,
故只要证g(x1)令H(x)=g(x)-g(2-x)=(x<1),
则H'(x)==,
因为x<1,所以1-x>0,2-x>x,所以e2-x>ex,即e2-x-ex>0,
所以H'(x)>0,所以H(x)在(-∞,1)上单调递增.
所以H(x1)2.

展开更多......

收起↑