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1.1.2　空间向量基本定理
基础巩固
1.已知A,B,C三点共线,O为空间任意一点,若=x,则x的值为(　　).
A. B. C.- D.-
2.对于空间中任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是(　　).
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线也不共面向量
3.已知O,A,B,C为空间四边形的四个顶点,M,N分别为OA,BC的中点,=a,=b,=c,用a,b,c表示向量为(　　).
A.(c+b-a)
B.(a+b-c)
C.(a+c-b)
D.(a+b+c)
4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若=x+2y-3z,则x+y+z等于(　　).
A.1 B. C. D.
5.(多选题)下列命题是真命题的是(　　).
A.若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面
B.若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线
C.若a,b是两个不共线向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R,且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底
D.若{a,b,c}是空间向量的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量
6.已知a,b,c不共面,且m=3a+2b+c,n=x(a-b)+y(b-c)-2(c-a).若m∥n,则x+y=　　　　　.
7.在三棱柱ABC-A1B1C1中,设=a,=b,=c,M是BC1的中点,N是B1C1的中点,则=　　　　　.
8.设e1,e2为不共线的向量,=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2.若A,B,D三点共线,则k=　　　　　.
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q分别为A1D1,D1C1,AA1,CC1的中点,求证:M,N,P,Q四点共面.
拓展提高
1.若a=e1+e2+3e3,b=e1+e2-2e3,c=e1-3e2+2e3,d=4e1+6e2+8e3,d=αa+βb+γc,则α,β,γ的值分别为(　　).
A.,- B.-,-
C.,-,- D.-,-
2.如图,在空间四边形ABCD中,点G为△BCD的重心,E,F,H分别为边CD,AD和BC的中点,则的化简结果为(　　).
A.
B.
C.
D.
3.(多选题)若e1,e2是同一个平面α内的两个向量,则下列结论错误的是(　　).
A.平面α内任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)
B.若存在实数λ1,λ2,使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0
C.若e1,e2不共线,则空间任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)
D.若e1,e2不共线,则平面α内任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)
4.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m与n共线,则x=　　　　　,y=　　　　　.
5.在空间四边形ABCD中,=a-2c,=5a-5b+8c,对角线AC,BD的中点分别是E,F,则=　　　　　.
6.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1.
(1)求证:A,E,C1,F四点共面;
(2)若=x+y+z,求x+y+z的值.
挑战创新
如图,已知 ABCD,从平面ABCD外一点O引向量=k=k=k=k,求证:
(1)E,F,G,H四点共面;
(2)平面ABCD∥平面EFGH.
1.1.2　空间向量基本定理
基础巩固
1B
∵A,B,C三点共线,∴x+=1,∴x=.
2.A
3.A
)-(b+c-a),故选A.
4.B
如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=x+2y-3z,由待定系数法可知x=1,y=,z=-,故x+y+z=.
5.AB
6. -4
∵n=(x+2)a+(y-x)b-(y+2)c,
又m∥n,∴=-(y+2),
解得x=-2,y=-2,
∴x+y=-4.
7.a
因为M,N分别为BC1与B1C1的中点,所以a.
8. -8
由于A,B,D三点共线,
则=λ,
又=2e1+ke2-e1-3e2+2e1-e2=3e1+(k-4)e2,则2e1+ke2=λ[3e1+(k-4)e2],故有得k=-8.
9.证明:如图,设=a,=b,=c,
∵M,N,P,Q分别为A1D1,D1C1,AA1,CC1的中点,
∴b-a,
a+c,
=-a+b+c.
设=λ+μ(λ,μ均为实数),
则-a+b+c=(μ-λ)a+λb+μc,
∴
∴
∴=2,因此向量共面,
∴M,N,P,Q四点共面.
拓展提高
1.A
由题意,有
解得
2.A
∵G是△BCD的重心,
∴||=|,∴.
又,
∴,
从而.
3.ABC
4. 1　-1
因为m与n共线,所以存在实数λ,使m=λn,
即a-b+c=λxa+λyb+λc,
于是有解得
5. 3a-b+3c
如图,
=
=)+)
=
=(5a-5b+8c+a-2c)=3a-b+3c.
6.
(1)证明:∵=()+()=,
∴A,E,C1,F四点共面.
(2)解:∵-()==-,且=x+y+z,∴x=-1,y=1,z=.∴x+y+z=-1+1+.
挑战创新
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴=k-k=k=k()=k()=k-k+k-k.
∴E,F,G,H四点共面.
(2)=k()=k,且由(1)知=k-k=k,于是,即EF∥AB,EG∥AC.
∵EF,EG是平面EFGH内的相交线,AB,AC是平面ABCD内的相交线,
∴平面EFGH∥平面ABCD.

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