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高一 10月份质量检测数学试题
参考答案及评分标准
一、单选题
B D C A C D A D
二、多选题
ACD AD ABC
三、填空题
1
四、解答题
15．【详解】（1）令 ，解得 ，
则 ， ， 2分
令 ，化简得 ，解得 ，得到 ， 4分
则 ， ． 6分
（2）当 时，满足 ，
此时 ，解得 ， 8分
当 时，可得 ，解得 ， 12分
综上可得， ，即 a的取值范围为 ． 13分
16．【详解】（1）p为真命题时，
当 时， ，成立； 2分
当 时， ，解得 ． 5分
所以 时，p为真命题， 6分
所以若 p为假命题，实数 m的范围为 ． 7分
（2）若命题 q为真命题，则 ，所以 ，解得 ， 9分
设 ， ，
当 p为真命题，q为假命题时，m的范围为 ； 11分
当 p为假命题，q为真命题时，m的范围为 ，13分
综上可得 ，
所以 m的范围为 ． 15分
17．【详解】
（1）由题意， ，即 ， ， ， 2分
所以 ，即 ，
解得 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立， 5分
因为 ，所以 ．
即当 a，b各为 6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为 36立方米． 7分
（2）由 得 9分
所以
13分
当且仅当 即 时，等号成立．
所以 的最小值是 15分
法二：由 得， 9分
， 13分
当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以 的最小值是 15分
18．【详解】（1）因为关于 x的不等式 的解集为 ，
所以关于 x的方程 的两根为 1，2，
所以 ，解得 ． 4分
（2）因为 ，所以 ， ．
①当 时，不等式为 ，解集为 ；
②当 时，不等式可化为 ，解集为 ；
③当 时， ，不等式可化为 ，解集为 ；
④当 时， ，不等式可化为 ，解集为 ；
⑤当 时， ，不等式可化为 ，解集为 ， 9分
综上，当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ． 11分
（3）由（1）知不等式 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
只需 ． 13分
因为 ，且 ，
所以 ． 15分
当且仅当 ，即 时，等号成立， 16分
所以 ， ，故实数 k的取值范围为 ． 17分
19．【详解】（1）因为 ，B不是“完美集”， 2分
又 ，所以 C是“完美集”； 4分
（2） 是“完美集”，则 ， ．
又 ， ．所以 ，同理 ，
设 ，则 ， 是方程 的两不等实根， 6分
所以 ，解得 或 ，又 ，所以 ，
， 9分
因为 ，所以 ；
即 的取值范围是 ； 10分
（3）若 ，则 ，由（2）的解析知 ，且 ，
当 时， 与 互质， ，而 ，所以 ，此时 ，不合题意； 11分
若 ， ， ，不妨设 ， ， ， 都是正整数，
则 ， ， ， ，
由 得 ，则 ，
所以 ， ，所以 ， ，则 ，
所以 ； 14分
若 ， ，不妨设 ，且 ， ，…， 都是正整数，
则 ， ，…， ，
由 知 ，（ⅰ），
时， ，
即 ，所以 ，（ⅱ），
而 ，
（ⅰ）式与（ⅱ）式矛盾，所以 时不存在“完美集”A， 16分
综上，“完美集” ． 17分2026-2027学年度 10月份质量检测
高一数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 选择题（共 58分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．下列集合符号运用不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．下列函数中，值域为 的是（ ）
A． B． C． D．
4．“ 是锐角三角形”是“ 是锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知集合 ， ，若 中恰有3个元素，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 的定义域是 ，则 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B． 的最小值是 2
C．若关于 x的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为
D．若实数 a，b满足 ， ，则
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．使不等式 成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数 与 是同一个函数
B．函数 的定义域为 ，则实数 a的取值范围是
C．函数 的值域为
D．定义在 上的函数 满足 ，则
11．已知对任意的 ，不等式 恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 的最小值为 8 D． 的最小值为
第Ⅱ卷 非选择题（共 92分）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．若 ，且 ，则 __________．
13．设集合 ， ，且 ，则 __________．
14．已知 ， ，则 的最小值为__________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知全集为 ，集合 ， ， ．
（1）求 和 ；
（2）若 ，求 a的取值范围．
16．（15分）
设命题 ，使得不等式 恒成立；命题 ，不等式 成立．
（1）若 p为假命题，求实数 m的取值范围；
（2）若命题 p、q有且只有一个是真命题，求实数 m的取值范围．
17．（15分）
如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2米的无盖长方体沉淀箱．设箱体的长度为 a米，高
度为 b米．现有制箱材料 60平方米．
（1）问当 a，b各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值；
（2）求 的最小值．
18．（17分）
已知函数 ．
（1）若 的解集为 ，求 a，b的值；
（2）若 ，求不等式 的解集；
（3）在（1）的条件下，若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 k的取值范围．
19．（17分）
已知有限集 （ ， ），如果 A中的元素 （ ，2…，n）满足
，就称 A为“完美集”．
（1）判断：集合 ， ，是否是“完美集”并说明理由；
（2） 、 是两个不同的正数，且 是“完美集”，求 的取值范围；
（3）若 为正整数，求：“完美集”A．

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