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郑州外国语学校 2027届高三调研考试（二）
数学
（120分钟 150分）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 设集合 ， ，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若函数 的零点所在区间为 ， ，则 的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 使得“ ”成立的充分不必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数 的定义域为 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 将方程 对应的曲线绕原点逆时针旋转 角后，所得曲线是一个函数的图像，则锐角
的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若不等式 恒成立，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正实数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知命题 ，命题 ，且命题 是 的必要不充分条件，则（ ）．
A. 是 的充分不必要条件 B. 是 的充分不必要条件
C. 命题 可以是“ ” D. 命题 可以是“ ”
10. 已知 是定义在 上的奇函数， 为偶函数， ，则（ ）
A. 的图象关于直线 对称
B. 的一个周期为 4
C.
D. 的图象关于点 对称
11. 已知函数 ，在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图像关于 轴对称，下列说
法正确的有（ ）
A.
B. 当 时， 与 的大小关系不确定
C. 当 且 时，不等式 恒成立，则实数 的最大值为
D. 记 ，当 时，若 为 的极小值点，则
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 已知集合 ， ，则 __________．
13. 若对满足条件 的任意实数 恒成立，则实数
的最大值是_______．
14. 若 ， ，则 的值为______.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求数列 的通项公式．
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（2）数列 的前 项和为 ，求证： ．
16. 如图，四棱锥 中，侧面 底面 ，底面 为平行四边形， ，
， ， ， ．
（1）求证： ．
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值．
17. 甲、乙两人进行游戏比赛，游戏共五局，先获得三局胜利的人赢得比赛；比赛分为进攻方与防守方，一
方进攻则另一方防守，进攻成功或防守成功的人均看作获得本局游戏胜利，一方进攻成功则继续进攻，一
方进攻失败则更换进攻方；甲在进攻方胜率为 a，乙在进攻方胜率为 ，甲优先进攻．
（1）第二局乙获胜的概率；
（2）若 ，求甲在四局以内赢得比赛的概率；
（3）若 ，记游戏局数为 ，求 的最大值．
18. 已知双曲线
（1） ，求双曲线 的渐近线方程.
（2）设 ， 为双曲线 的左右顶点，双曲线 上一点 的纵坐标为 ，且 ，求 的值；
（3）已知点 在双曲线上，直线 交 于 两点，直线 的斜率之和为 求直线 的斜率.
19. 已知 ，
（1）当 时，证明： ；
（2）设 ，若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数 ，总有 .
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郑州外国语学校 2027届高三调研考试（二）
数学
（120分钟 150分）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】C
二、多选题：本题共 3小题，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】ABC
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
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【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】 ## 6.5
【14题答案】
【答案】1
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）由(1)知 ，故 ，
，
，
因为 ，所以 .
【16题答案】
【答案】（1）取 中点 ，连接 ， ，由于 ，故 ，
由余弦定理可得 ，所以 ，
所以 ，又由于 ，所以 平面 ，且 平面 ，
所以 .
（2） .
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【18题答案】
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【答案】（1）
（2）
（3）
【19题答案】
【答案】（1）证明如下：
， ，则 ，定义域为
令 ，则 .
令 ，得 ；令 ，得 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 ，所以当 时 .
所以 得证.
（2）
（3）证明如下：
由（2）中结论，
有当 时， ，对任意的 恒成立，
取 可得， ，对任意的 恒成立.
即对任意的 ， ，变形可得 ，
分别令 ， ，..， ，可得 ， ，……，
累加可得 ，证毕.
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