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广东深圳市盐田区外国语学校2026—2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题
1．近年来，“博物馆热”持续升温，博物馆作为生动的历史教科书成为文旅新宠．下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A：是轴对称图形，不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：是轴对称图形，不是中心对称图形，所以B不符合题意；
C：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以D符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行分析，即可得出答案。
2．下列说法错误的是（　　)
A．若a>b， 则 ac>bc B．若a>b， 则a+3>b+3
C．若 则a>b D．若a+3>b+3， 则a>b
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：根据不等式的基本性质逐一验证：
A选项：对不等式 的两边同时乘 时，若 ，则 ；若 ，则 ，因此该变形不恒成立，说法错误，符合题意。、
B选项：对不等式 的两边同时加上3，不等号方向保持不变，可推出 ，变形正确，不符合题意。
C选项：由平方的非负性可知 ，因此 恒成立；对不等式两边同时乘正数 ，不等号方向不变，可推出 ，变形正确，不符合题意。
D选项：对不等式 的两边同时减去3，不等号方向保持不变，可推出 ，变形正确，不符合题意。
故答案为：A
【分析】本题考查不等式的基本性质，需结合加减、乘除运算的规则判断每个变形的正误。不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变；两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变；乘或除以同一个负数时，不等号方向必须改变，同时还要注意乘数为0的特殊情况。选项B、D是不等式的加减变形，符合性质；选项C中分母恒为正数，乘除后不等号方向不变；选项A未限定 的符号与取值，变形不成立。
3．下列长度的四组线段中，不是成比例线段的是（　　)
A．3， 9， 2， 6 B．1， 2， 2， 4
C．1， 2， 3， 9 D．1， 2， 4， 8
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：判断四条线段是否成比例，先将每组线段按长度从小到大排序，再验证最长线段与最短线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积。
A选项：排序后为2，3，6，9，计算得 ，，乘积相等，是成比例线段，不符合题意。
B选项：排序后为1，2，2，4，计算得 ，，乘积相等，是成比例线段，不符合题意。
C选项：排序后为1，2，3，9，计算得 ，，乘积不相等，不是成比例线段，符合题意。
D选项：排序后为1，2，4，8，计算得 ，，乘积相等，是成比例线段，不符合题意。
故答案为：C
【分析】本题考查成比例线段的判定方法，核心是利用比例的基本性质，将比例式转化为等积式验证。解题时先将每组线段按长度升序排列，若最长与最短线段的长度之积等于中间两条线段的长度之积，则这四条线段为成比例线段。依次对四组线段计算验证，即可找出不成比例的一组。
4．若关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取值范围是 （　　)
A．k≥-1 B．k≥-1且k≠0 C．k>-1 D．k>-1且k≠0
【答案】B
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵方程 是关于x的一元二次方程，
∴二次项系数 。
又∵方程有实数根，
∴根的判别式 。
将 ，， 代入判别式得：
，
解得 。
综上，k的取值范围是 且 。
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程的定义与根的判别式的综合应用，解题时需同时满足两个条件：一是一元二次方程的二次项系数不为0，二是方程有实数根时判别式大于等于0。首先根据一元二次方程的定义确定 ，再将各项系数代入判别式 ，令 解出k的取值范围，最后结合两个条件得到最终结果。
5．小丽用若干个边长相等的正三角形和正方形作平面镶嵌，若每一个顶点处有m个正三角形和n个正方形，则的值可以是(　　)。
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：正三角形的每个内角度数为，正方形的每个内角度数为。
平面镶嵌时，同一顶点处所有内角的和为，因此可得方程：
两边同时除以化简得：。
∵、均为正整数，对正整数解进行枚举：
当时，，，不是正整数，舍去；
当时，，，符合要求；
当时，，，无正整数解。
因此唯一正整数解为，，则。
故答案为：C
【分析】本题考查平面镶嵌的原理与正多边形内角的计算，涉及二元一次方程的正整数解求解。解题时先根据多边形内角和公式，分别算出正三角形与正方形的内角度数；再依据平面镶嵌的核心规则：同一顶点处各内角之和为，列出关于、的方程；通过求解方程的正整数解，得到与的取值，最终计算出的结果。
6．一块矩形绸布的长AB=a米，宽AD=1米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值为 （　　)
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；相似多边形
【解析】【解答】解：原矩形绸布的宽与长的比为 。
裁成三面完全相同的矩形彩旗后，每面彩旗的长为1米，宽为 米，因此每面彩旗的宽与长的比为 。
根据题意，两个比值相等，即：
，
由比例的基本性质得：，
整理得 ，
解得 （长度为正，舍去负根）。
故答案为：B
【分析】本题考查相似多边形的性质与比例式的计算，解题的关键是根据"宽与长的比相同"建立比例关系。原矩形的宽长比为宽AD比长AB，裁剪后的小矩形的长等于原矩形的宽，宽等于原矩形长的三分之一，因此小矩形的宽长比为 比1。令两个比值相等列出比例式，再利用比例的基本性质转化为方程求解，结合长度为正的实际意义舍去负根即可。
7．如图，等宽的丝带重叠部分一定是（　　)
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．以上都有可能
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：如图，过点A作 于点E， 于点F，
∵两条丝带的对边分别平行，即 ，，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵两条丝带宽度相同，
∴平行四边形ABCD的高 。
又∵平行四边形的面积 ，
且 ，
∴。
∵平行四边形ABCD有一组邻边相等，
∴四边形ABCD是菱形，
即等宽丝带的重叠部分一定是菱形。
故答案为：C
【分析】本题考查平行四边形的判定与菱形的判定，需结合平行四边形的面积公式推导出邻边相等的结论。首先根据丝带对边平行的特点，判定重叠部分的四边形是平行四边形；再由丝带宽度相等，得到平行四边形的两条高相等；结合平行四边形面积等于底乘高，在面积不变、高相等的情况下，对应的底边长相等，即平行四边形的一组邻边相等，由此根据菱形的判定定理，得出重叠部分是菱形的结论。
8．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A 出发沿AB 向点B运动，移动到点B停.延长EO交CD于点 F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　)
A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→正方形→矩形
C．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
D．平行四边形→正方形→菱形→矩形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵点O是矩形ABCD的对称中心，
∴，且 ，
∴，
又∵，
∴（ASA），
∴，
∴四边形AECF的对角线互相平分，因此始终是平行四边形。
当点E运动到AB中点位置时，EF与AC互相垂直，平行四边形AECF为菱形；
点E继续向B运动时，EF与AC不再垂直，四边形变回平行四边形；
当点E运动到与点B重合时，点F与点D重合，此时四边形AECF的内角为直角，是矩形。
因此形状变化依次为：平行四边形→菱形→平行四边形→矩形。
故答案为：B
【分析】本题考查中心对称的性质、矩形的性质以及特殊平行四边形的判定，需结合动点的运动过程分析对角线的位置关系。首先根据矩形对称中心的性质，结合全等三角形证明对角线EF与AC始终互相平分，因此四边形始终是平行四边形；再根据点E的位置变化，分析EF与AC的垂直关系：当E在AB中点时，对角线互相垂直，为菱形；E在其余非端点位置时，仅为平行四边形；E与B重合时，四边形的内角为直角，变为矩形，由此得到形状变化的顺序。
9．深圳与北京的实际距离约1600千米，在比例尺为1：4000000的地图上，两地的图上距离约　 　厘米.
【答案】40
【知识点】图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）
【解析】【解答】解：先统一单位，1600千米 = 160000000厘米。
根据"图上距离 = 实际距离 × 比例尺"，代入数据得：
图上距离 （厘米）。
故答案为：40
【分析】本题考查比例尺的应用，解题的关键是掌握实际距离、图上距离与比例尺三者的关系，同时注意单位的统一。首先将实际距离的千米单位换算为厘米，再根据"图上距离 = 实际距离 × 比例尺"的公式，代入数值计算即可得到图上距离。
10．已知，则　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设x=3k，y=5k，
∴
故答案为：.
【分析】由比例性质，设x=3k，y=5k，然后代入待求式子分子合并同类项后，再约分化简即可.
11．学校里一段艺术连廊是由完全相同的砖块密铺而成，如图，每块砖可看作五边形ABCDE， 其中∠C=∠E=90°， ∠A=∠B=∠D， 则∠A的度数为　 　度．
【答案】120
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，
因为 ∠C=∠E=90°，
所以 ∠A+∠B+∠D=360°，
因为 ∠A=∠B=∠D，
所以 ∠A =120°。
故答案为：120
【分析】首先根据多边形内角和定理得出五边形的内角和，进而可得出∠A+∠B+∠D的度数，再根据三个角相等，即可求得 ∠A的度数 。
12．如图，在 ABCD中，连接对角线BD，已知直线EF是线段BD的垂直平分线，EF分别交AD、BC于点E、F，连接BE。若 ABCD的周长为20，则△ABE的周长为　 　。
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，周长为，
∴（平行四边形对边相等，周长为邻边和的倍）。
∵直线垂直平分线段，
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
的周长，将替换为，可得：
故答案为：
【分析】本题考查平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质的综合应用，核心是通过线段等量代换转化三角形的周长。解题时先由平行四边形的周长与对边相等的性质，求出邻边与的长度和；再根据线段垂直平分线的性质，得到；最后将的周长中的代换为，把周长转化为的长度和，从而求出结果。
13．如图，在△ABC中， ∠A=60°， BD为AC边上的高， E为BC边的中点，点F在AB边上， ∠EDF=60°，若 则BC边的长为　 　.
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点D作 于点M，取AB的中点H，连接EH、DH，
∵，，
∴。
∵BD是AC边上的高，∴，
在 中，，∴，
∴。
∵H是AB的中点，∴DH是 斜边的中线，
∴，
∴，即 是等边三角形，
∴。
∵，根据等边三角形三线合一，
∴，
在 中，。
∵，∴，
在 中，。
∵H是AB中点，E是BC中点，
∴EH是 的中位线，
∴，
∴，
∴。
∵，
∴，
即 。
在 和 中：
∴（ASA），
∴。
在 中，E是斜边BC的中点，
∴DE是斜边BC的中线，
∴。
故答案为：
【分析】本题综合考查直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形与特殊三角形。首先由已知线段长度算出AB的长，在含60°角的直角三角形ABD中求出AD的长度；取AB中点H，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到DH与AD相等，进而判定△ADH是等边三角形，结合三线合一求出DM、MF的长度，用勾股定理算出DF；再由中位线定理得到EH与AC平行，推出角相等，结合已知的60°角，通过角的和差证明△ADF与△HDE全等，得到DE与DF相等；最后利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，由DE的长度求出BC的长。
14．解方程组
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
∴，
∴，
∴，.
（2）解：，
∴，
∴或，
解得：，.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）本题考查用公式法解一元二次方程，解题时先对应一元二次方程的一般形式，确定二次项系数、一次项系数和常数项，先计算根的判别式判断方程根的情况，确认有两个实数根后，将系数代入求根公式 ，对根式化简计算即可得到方程的两个解。
（2）本题考查用直接开平方法解一元二次方程，先将方程两边整理为完全平方的形式，根据平方根的性质，若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数，由此拆分得到两个一元一次方程，分别求解这两个一元一次方程，即可得到原方程的两个根。
15．关于x的一元二次方程
（1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为x1，x2，且满足. 求k的值.
【答案】（1）证明：∵，
∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵已知关于的一元二次方程的两根为，，
∴由根与系数的关系可知：，，
∵，
∴，解得．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）本题考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，要证明方程总有两个不相等的实数根，只需证明对于任意实数k，根的判别式 恒大于0。先将方程的各项系数代入判别式表达式，对式子进行配方化简，结合平方的非负性判断 的取值范围，即可完成证明。
（2）本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于一元二次方程 ，两根之和为 ，两根之积为 。先根据韦达定理用含k的代数式表示出两根之和与两根之积，再代入已知的等式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
16．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹)
（1）请在图①中，在菱形ABCD作出其内接矩形 EFGH，使得点E， F， G， H分别在边AB，BC， CD， AD上.
（2）请在图②中，在矩形ABCD作出其内接菱形EFGH，要求点E， F， G， H分别在边AB，BC， CD， AD上.
【答案】（1）如图，四边形即为所作矩形；（答案不唯一）
（2）如图，四边形即为所作菱形；
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】（1）解：由作图可得：，
在菱形中，，，，，
，，
，
同理，
四边形是平行四边形，
，
，
同理可得，
，
，
，
，
平行四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
同理，，
，
，
四边形是菱形．
【分析】（1）本题考查菱形的性质与矩形的判定，以及尺规作图的应用。要在菱形中作内接矩形，可利用菱形邻边相等的特点，以菱形的两个对角顶点为圆心，取相同的长度为半径画弧，在四条边上截出四个点，顺次连接这四个点得到四边形。先根据菱形的性质与截得的等长线段，证明四边形两组对边分别相等，判定为平行四边形，再通过角的计算证明有一个内角为90°，即可判定该四边形为矩形。
（2）本题考查矩形的性质与菱形的判定，以及尺规作图的应用。要在矩形中作内接菱形，可分别作矩形两组对边的垂直平分线，与四条边交于四个点，顺次连接这四个点得到四边形。先根据矩形的性质与垂直平分线的特点，证明截得的四个直角三角形全等，得到四边形的四条边都相等，即可根据四条边相等的四边形是菱形，判定所作四边形为菱形。
17．第十五届全国运动会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神.我们在电商平台和实体店了解其销售情况.
（1）统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若每个月的平均增长率相同，求月平均增长率；
（2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件.通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元
【答案】（1）解：设月平均增长率为，
根据题意得，
解得，（负值不符合题意，舍去），
答：月平均增长率为；
（2）解：设售价为每件元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得，
整理得，
解得，
又∵要尽量减少库存，
∴取，
答：售价应为每件元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】（1）本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，解题的核心是掌握增长率问题的等量关系：增长后的量 = 增长前的量×(1+增长率)增长次数。设月平均增长率为x，以9月份的销量为基础，经过两次增长后得到11月份的销量，据此列出关于x的一元二次方程，求解后结合增长率为正的实际意义，舍去不合题意的解即可。
（2）本题考查一元二次方程在销售利润问题中的应用，解题需明确"总利润 = 单件利润 × 销售量"的等量关系。设每件售价为y元，先表示出每件的利润，再根据售价与销量的变化关系表示出每天的销售量，代入总利润的等量关系列出方程，解方程得到两个售价后，结合"尽量减少库存"的要求，选择销量更大对应的售价，即为最终结果。
18．如图，已知△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，F是BC中点，连接DE、DF和EF。
（1）若AB=10，BC=8，AC=7，求△DEF的周长；
（2）连接AF，求证：AF和DE互相平分。
【答案】（1）解：∵点是的中点，点是中点，点是中点，
、、是的中位线，
，，，
，，，
，，，
的周长是．
（2）∵点D、E、F分别是 AB、AC、BC的中点，
∴FE， DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AC， EF∥AB，
∴四边形 ADFE是平行四边形，
∴AF 和 DE互相平分
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查三角形中位线定理与平行四边形的判定及性质，核心是利用中位线的平行与数量关系解题。
（1）第一小问根据三角形中位线的定义，判定、、均为的中位线；再利用三角形中位线定理，即中位线长度等于第三边的一半，分别算出三条中位线的长度，相加即可得到的周长。
（2）第二小问先由中位线定理得到平行于、平行于，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定四边形为平行四边形；最后利用平行四边形对角线互相平分的性质，证明与互相平分。
19．如图1，是东汉数学家赵爽为证明勾股定理所创制的赵爽弦图 （亦称“勾股圆方图”)，该图以直角三角形斜边为边作正方形，由四个全等直角三角形和一个小正方形拼接而成.某学校数学研究小组受赵爽弦图构图思想的启发，发现了一个不等式（ 并将其命名为“弦图不等式”.
（1）以下是他们的发现过程，请结合图补全他们的思考：
设直角三角形的两条直角边分别为a、b，
①大正方形ABCD 的面积可表示为　 　，四个直角三角形的面积和可表示为　 　（用含有a和b的字母表示)；
②如图1，当a”、“<”或“=”)；
③如图2，当a=b时，则大正方形ABCD的面积　 　四个直角三角形面积和（填“>”、“<”或“=”)；
④综上所述，可得到“弦图不等式”.
（2）若a=x， 时，请利用“弦图不等式”，求代数式 的最小值，并求出此时x的值；
（3）为保障2026年深圳APEC会议期间市容整洁有序，推动绿色出行，城市规划部门计划在会场周边人行道设置长方形共享单车停放区.如图3，停放区面积为（ （即长方形 ABCD的面积)，其中靠马路一边无须喷绘油漆，其余三边均喷绘油漆，则AB、BC、CD三条边的和的最小值是多少 若一辆APEC纪念款单车长度为1.7m，如图所示，车头朝向路面整齐摆放，试分析此时能否将车辆放进停车区内.
【答案】（1）；；＞；=
（2）解：当，时，则
即
∴当时，取得最小值8，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（3）解：当设与马路垂直的边长为，则与马路平行的边长为．
∵，
∴，
∴由题意可得，、、三条边的长度和，
此时
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
∴能将车辆放进停车区内，
答：剩余三条边喷绘时最小长度为米，可以将车辆放进停车区．
【知识点】分式方程的实际应用；解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】（1）解：①由勾股定理可得，
∴．
∵，
∴四个直角三角形的面积和为．
②如图，当时，则大正方形的面积＞四个直角三角形面积和；
③如图，当时，则大正方形的面积＝四个直角三角形面积和；
【分析】（1）本题考查勾股定理与几何图形面积的推导，结合赵爽弦图的结构分析面积关系。
①根据勾股定理，大正方形的边长为直角三角形的斜边，因此面积可表示为 ；每个直角三角形的面积为 ，四个的面积和即为 。
②当 时，中间存在小正方形，大正方形的面积等于四个直角三角形面积加小正方形面积，因此大正方形面积大于四个直角三角形的面积和。
③当 时，中间的小正方形缩小为一个点，大正方形的面积与四个直角三角形的面积和相等。
（2）本题考查"弦图不等式"的应用，属于基本不等式的初步应用。将 、 代入不等式 ，计算右边的乘积得到定值，即可得到代数式的最小值；再根据等号成立的条件 列方程，求解得到此时x的值。
（3）本题考查不等式在实际几何问题中的应用，解题的关键是将边长和的问题转化为"弦图不等式"的模型。设与马路垂直的边长为x m，可表示出与马路平行的边长，进而得到三条边的长度和的表达式；将表达式变形为符合 的形式，代入面积定值计算出边长和的最小值，再根据等号成立的条件求出垂直边的长度，与单车长度比较，即可判断能否放下车辆。
20．我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形.“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”.
【探索实践】
（1）【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）【任务二】如图1，四边形ABCD是“垂等四边形”， ∠BCD=90°， AB=AC，点E， F分别是 BD， AD的中点，连接CE， EF，以CE， EF为邻边作平行四边形 CEFG.
求证： ∠ABD=∠ACE；
（3）求证：四边形 CEFG为正方形.
（4）【任务三】如图2，在矩形ABCD中， AD=2AB，将△ABD沿对角线 BD翻折至△EBD，点F在BD上，且满足BF=CE，点G为DE中点，求证：四边形CDFG是“垂等四边形”.
【答案】（1）D
（2）如图，
证明：∵，
∴，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
（3）∵四边形是“垂等四边形”，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵由上已证，
∴，
∵平行四边形，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
（4）连接，分别交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵折叠，
∴，，，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，即，
∴，
∵，
设，则，
∵点为中点，
∴，
∴，
∴四边形是“垂等四边形”．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：A、平行四边形对角线仅仅互相平分，故不符合题意；
B、矩形对角线相等且互相平分，故不符合题意；
C、菱形对角线垂直且互相平分，故不符合题意；
D、正方形对角线互相垂直且相等，故符合题意，
故答案为：D；
【分析】（1）本题考查特殊平行四边形的对角线性质，结合"垂等四边形"的定义（对角线互相垂直且相等）逐一判断即可。平行四边形对角线仅互相平分；矩形对角线相等但不垂直；菱形对角线垂直但不相等；正方形对角线既互相垂直又长度相等，因此正方形一定是"垂等四边形"。
（2）本题考查等腰三角形的性质与直角三角形斜边中线的性质，通过角的和差证明角相等。由 ，根据等腰三角形等边对等角，得到 ；由 ，E是BD中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到 ，再由等边对等角得到 ；最后用 ，即可证明 。
（3）本题考查正方形的判定，需先证明四边形是菱形，再证明有一个内角为直角。首先由三角形中位线定理，得到EF平行于AB且长度为AB的一半；由直角三角形斜边中线性质，得到CE长度为BD的一半；结合"垂等四边形"对角线相等且 ，可推出 ，因此平行四边形CEFG是菱形。再由中位线的平行关系，结合已证的角相等，通过角的转化推出 ，根据有一个角是直角的菱形是正方形，即可完成证明。
（4）本题考查新定义"垂等四边形"的证明，需证明四边形的对角线互相垂直且相等。先连接AE、AC，结合折叠的性质与矩形的性质，利用三角形中位线定理推出EC与BF平行且相等，判定四边形BECF是平行四边形，得到BE与CF平行且相等；再由折叠的直角推出CF垂直于DE；然后设参数表示出各边长度，证明DG与CF相等，最终验证四边形CDFG的对角线既垂直又相等，即为"垂等四边形"。
1 / 1广东深圳市盐田区外国语学校2026—2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题
1．近年来，“博物馆热”持续升温，博物馆作为生动的历史教科书成为文旅新宠．下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
2．下列说法错误的是（　　)
A．若a>b， 则 ac>bc B．若a>b， 则a+3>b+3
C．若 则a>b D．若a+3>b+3， 则a>b
3．下列长度的四组线段中，不是成比例线段的是（　　)
A．3， 9， 2， 6 B．1， 2， 2， 4
C．1， 2， 3， 9 D．1， 2， 4， 8
4．若关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取值范围是 （　　)
A．k≥-1 B．k≥-1且k≠0 C．k>-1 D．k>-1且k≠0
5．小丽用若干个边长相等的正三角形和正方形作平面镶嵌，若每一个顶点处有m个正三角形和n个正方形，则的值可以是(　　)。
A．4 B．2 C． D．
6．一块矩形绸布的长AB=a米，宽AD=1米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值为 （　　)
A．3 B． C．2 D．
7．如图，等宽的丝带重叠部分一定是（　　)
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．以上都有可能
8．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A 出发沿AB 向点B运动，移动到点B停.延长EO交CD于点 F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　)
A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→正方形→矩形
C．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
D．平行四边形→正方形→菱形→矩形
9．深圳与北京的实际距离约1600千米，在比例尺为1：4000000的地图上，两地的图上距离约　 　厘米.
10．已知，则　 　．
11．学校里一段艺术连廊是由完全相同的砖块密铺而成，如图，每块砖可看作五边形ABCDE， 其中∠C=∠E=90°， ∠A=∠B=∠D， 则∠A的度数为　 　度．
12．如图，在 ABCD中，连接对角线BD，已知直线EF是线段BD的垂直平分线，EF分别交AD、BC于点E、F，连接BE。若 ABCD的周长为20，则△ABE的周长为　 　。
13．如图，在△ABC中， ∠A=60°， BD为AC边上的高， E为BC边的中点，点F在AB边上， ∠EDF=60°，若 则BC边的长为　 　.
14．解方程组
（1）
（2）
15．关于x的一元二次方程
（1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为x1，x2，且满足. 求k的值.
16．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹)
（1）请在图①中，在菱形ABCD作出其内接矩形 EFGH，使得点E， F， G， H分别在边AB，BC， CD， AD上.
（2）请在图②中，在矩形ABCD作出其内接菱形EFGH，要求点E， F， G， H分别在边AB，BC， CD， AD上.
17．第十五届全国运动会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神.我们在电商平台和实体店了解其销售情况.
（1）统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若每个月的平均增长率相同，求月平均增长率；
（2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件.通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元
18．如图，已知△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，F是BC中点，连接DE、DF和EF。
（1）若AB=10，BC=8，AC=7，求△DEF的周长；
（2）连接AF，求证：AF和DE互相平分。
19．如图1，是东汉数学家赵爽为证明勾股定理所创制的赵爽弦图 （亦称“勾股圆方图”)，该图以直角三角形斜边为边作正方形，由四个全等直角三角形和一个小正方形拼接而成.某学校数学研究小组受赵爽弦图构图思想的启发，发现了一个不等式（ 并将其命名为“弦图不等式”.
（1）以下是他们的发现过程，请结合图补全他们的思考：
设直角三角形的两条直角边分别为a、b，
①大正方形ABCD 的面积可表示为　 　，四个直角三角形的面积和可表示为　 　（用含有a和b的字母表示)；
②如图1，当a”、“<”或“=”)；
③如图2，当a=b时，则大正方形ABCD的面积　 　四个直角三角形面积和（填“>”、“<”或“=”)；
④综上所述，可得到“弦图不等式”.
（2）若a=x， 时，请利用“弦图不等式”，求代数式 的最小值，并求出此时x的值；
（3）为保障2026年深圳APEC会议期间市容整洁有序，推动绿色出行，城市规划部门计划在会场周边人行道设置长方形共享单车停放区.如图3，停放区面积为（ （即长方形 ABCD的面积)，其中靠马路一边无须喷绘油漆，其余三边均喷绘油漆，则AB、BC、CD三条边的和的最小值是多少 若一辆APEC纪念款单车长度为1.7m，如图所示，车头朝向路面整齐摆放，试分析此时能否将车辆放进停车区内.
20．我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形.“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”.
【探索实践】
（1）【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）【任务二】如图1，四边形ABCD是“垂等四边形”， ∠BCD=90°， AB=AC，点E， F分别是 BD， AD的中点，连接CE， EF，以CE， EF为邻边作平行四边形 CEFG.
求证： ∠ABD=∠ACE；
（3）求证：四边形 CEFG为正方形.
（4）【任务三】如图2，在矩形ABCD中， AD=2AB，将△ABD沿对角线 BD翻折至△EBD，点F在BD上，且满足BF=CE，点G为DE中点，求证：四边形CDFG是“垂等四边形”.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A：是轴对称图形，不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：是轴对称图形，不是中心对称图形，所以B不符合题意；
C：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以D符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行分析，即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：根据不等式的基本性质逐一验证：
A选项：对不等式 的两边同时乘 时，若 ，则 ；若 ，则 ，因此该变形不恒成立，说法错误，符合题意。、
B选项：对不等式 的两边同时加上3，不等号方向保持不变，可推出 ，变形正确，不符合题意。
C选项：由平方的非负性可知 ，因此 恒成立；对不等式两边同时乘正数 ，不等号方向不变，可推出 ，变形正确，不符合题意。
D选项：对不等式 的两边同时减去3，不等号方向保持不变，可推出 ，变形正确，不符合题意。
故答案为：A
【分析】本题考查不等式的基本性质，需结合加减、乘除运算的规则判断每个变形的正误。不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变；两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变；乘或除以同一个负数时，不等号方向必须改变，同时还要注意乘数为0的特殊情况。选项B、D是不等式的加减变形，符合性质；选项C中分母恒为正数，乘除后不等号方向不变；选项A未限定 的符号与取值，变形不成立。
3．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：判断四条线段是否成比例，先将每组线段按长度从小到大排序，再验证最长线段与最短线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积。
A选项：排序后为2，3，6，9，计算得 ，，乘积相等，是成比例线段，不符合题意。
B选项：排序后为1，2，2，4，计算得 ，，乘积相等，是成比例线段，不符合题意。
C选项：排序后为1，2，3，9，计算得 ，，乘积不相等，不是成比例线段，符合题意。
D选项：排序后为1，2，4，8，计算得 ，，乘积相等，是成比例线段，不符合题意。
故答案为：C
【分析】本题考查成比例线段的判定方法，核心是利用比例的基本性质，将比例式转化为等积式验证。解题时先将每组线段按长度升序排列，若最长与最短线段的长度之积等于中间两条线段的长度之积，则这四条线段为成比例线段。依次对四组线段计算验证，即可找出不成比例的一组。
4．【答案】B
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵方程 是关于x的一元二次方程，
∴二次项系数 。
又∵方程有实数根，
∴根的判别式 。
将 ，， 代入判别式得：
，
解得 。
综上，k的取值范围是 且 。
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程的定义与根的判别式的综合应用，解题时需同时满足两个条件：一是一元二次方程的二次项系数不为0，二是方程有实数根时判别式大于等于0。首先根据一元二次方程的定义确定 ，再将各项系数代入判别式 ，令 解出k的取值范围，最后结合两个条件得到最终结果。
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：正三角形的每个内角度数为，正方形的每个内角度数为。
平面镶嵌时，同一顶点处所有内角的和为，因此可得方程：
两边同时除以化简得：。
∵、均为正整数，对正整数解进行枚举：
当时，，，不是正整数，舍去；
当时，，，符合要求；
当时，，，无正整数解。
因此唯一正整数解为，，则。
故答案为：C
【分析】本题考查平面镶嵌的原理与正多边形内角的计算，涉及二元一次方程的正整数解求解。解题时先根据多边形内角和公式，分别算出正三角形与正方形的内角度数；再依据平面镶嵌的核心规则：同一顶点处各内角之和为，列出关于、的方程；通过求解方程的正整数解，得到与的取值，最终计算出的结果。
6．【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；相似多边形
【解析】【解答】解：原矩形绸布的宽与长的比为 。
裁成三面完全相同的矩形彩旗后，每面彩旗的长为1米，宽为 米，因此每面彩旗的宽与长的比为 。
根据题意，两个比值相等，即：
，
由比例的基本性质得：，
整理得 ，
解得 （长度为正，舍去负根）。
故答案为：B
【分析】本题考查相似多边形的性质与比例式的计算，解题的关键是根据"宽与长的比相同"建立比例关系。原矩形的宽长比为宽AD比长AB，裁剪后的小矩形的长等于原矩形的宽，宽等于原矩形长的三分之一，因此小矩形的宽长比为 比1。令两个比值相等列出比例式，再利用比例的基本性质转化为方程求解，结合长度为正的实际意义舍去负根即可。
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：如图，过点A作 于点E， 于点F，
∵两条丝带的对边分别平行，即 ，，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵两条丝带宽度相同，
∴平行四边形ABCD的高 。
又∵平行四边形的面积 ，
且 ，
∴。
∵平行四边形ABCD有一组邻边相等，
∴四边形ABCD是菱形，
即等宽丝带的重叠部分一定是菱形。
故答案为：C
【分析】本题考查平行四边形的判定与菱形的判定，需结合平行四边形的面积公式推导出邻边相等的结论。首先根据丝带对边平行的特点，判定重叠部分的四边形是平行四边形；再由丝带宽度相等，得到平行四边形的两条高相等；结合平行四边形面积等于底乘高，在面积不变、高相等的情况下，对应的底边长相等，即平行四边形的一组邻边相等，由此根据菱形的判定定理，得出重叠部分是菱形的结论。
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵点O是矩形ABCD的对称中心，
∴，且 ，
∴，
又∵，
∴（ASA），
∴，
∴四边形AECF的对角线互相平分，因此始终是平行四边形。
当点E运动到AB中点位置时，EF与AC互相垂直，平行四边形AECF为菱形；
点E继续向B运动时，EF与AC不再垂直，四边形变回平行四边形；
当点E运动到与点B重合时，点F与点D重合，此时四边形AECF的内角为直角，是矩形。
因此形状变化依次为：平行四边形→菱形→平行四边形→矩形。
故答案为：B
【分析】本题考查中心对称的性质、矩形的性质以及特殊平行四边形的判定，需结合动点的运动过程分析对角线的位置关系。首先根据矩形对称中心的性质，结合全等三角形证明对角线EF与AC始终互相平分，因此四边形始终是平行四边形；再根据点E的位置变化，分析EF与AC的垂直关系：当E在AB中点时，对角线互相垂直，为菱形；E在其余非端点位置时，仅为平行四边形；E与B重合时，四边形的内角为直角，变为矩形，由此得到形状变化的顺序。
9．【答案】40
【知识点】图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）
【解析】【解答】解：先统一单位，1600千米 = 160000000厘米。
根据"图上距离 = 实际距离 × 比例尺"，代入数据得：
图上距离 （厘米）。
故答案为：40
【分析】本题考查比例尺的应用，解题的关键是掌握实际距离、图上距离与比例尺三者的关系，同时注意单位的统一。首先将实际距离的千米单位换算为厘米，再根据"图上距离 = 实际距离 × 比例尺"的公式，代入数值计算即可得到图上距离。
10．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设x=3k，y=5k，
∴
故答案为：.
【分析】由比例性质，设x=3k，y=5k，然后代入待求式子分子合并同类项后，再约分化简即可.
11．【答案】120
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，
因为 ∠C=∠E=90°，
所以 ∠A+∠B+∠D=360°，
因为 ∠A=∠B=∠D，
所以 ∠A =120°。
故答案为：120
【分析】首先根据多边形内角和定理得出五边形的内角和，进而可得出∠A+∠B+∠D的度数，再根据三个角相等，即可求得 ∠A的度数 。
12．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，周长为，
∴（平行四边形对边相等，周长为邻边和的倍）。
∵直线垂直平分线段，
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
的周长，将替换为，可得：
故答案为：
【分析】本题考查平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质的综合应用，核心是通过线段等量代换转化三角形的周长。解题时先由平行四边形的周长与对边相等的性质，求出邻边与的长度和；再根据线段垂直平分线的性质，得到；最后将的周长中的代换为，把周长转化为的长度和，从而求出结果。
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点D作 于点M，取AB的中点H，连接EH、DH，
∵，，
∴。
∵BD是AC边上的高，∴，
在 中，，∴，
∴。
∵H是AB的中点，∴DH是 斜边的中线，
∴，
∴，即 是等边三角形，
∴。
∵，根据等边三角形三线合一，
∴，
在 中，。
∵，∴，
在 中，。
∵H是AB中点，E是BC中点，
∴EH是 的中位线，
∴，
∴，
∴。
∵，
∴，
即 。
在 和 中：
∴（ASA），
∴。
在 中，E是斜边BC的中点，
∴DE是斜边BC的中线，
∴。
故答案为：
【分析】本题综合考查直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形与特殊三角形。首先由已知线段长度算出AB的长，在含60°角的直角三角形ABD中求出AD的长度；取AB中点H，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到DH与AD相等，进而判定△ADH是等边三角形，结合三线合一求出DM、MF的长度，用勾股定理算出DF；再由中位线定理得到EH与AC平行，推出角相等，结合已知的60°角，通过角的和差证明△ADF与△HDE全等，得到DE与DF相等；最后利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，由DE的长度求出BC的长。
14．【答案】（1）解：，
，
∴，
∴，
∴，.
（2）解：，
∴，
∴或，
解得：，.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）本题考查用公式法解一元二次方程，解题时先对应一元二次方程的一般形式，确定二次项系数、一次项系数和常数项，先计算根的判别式判断方程根的情况，确认有两个实数根后，将系数代入求根公式 ，对根式化简计算即可得到方程的两个解。
（2）本题考查用直接开平方法解一元二次方程，先将方程两边整理为完全平方的形式，根据平方根的性质，若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数，由此拆分得到两个一元一次方程，分别求解这两个一元一次方程，即可得到原方程的两个根。
15．【答案】（1）证明：∵，
∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵已知关于的一元二次方程的两根为，，
∴由根与系数的关系可知：，，
∵，
∴，解得．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）本题考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，要证明方程总有两个不相等的实数根，只需证明对于任意实数k，根的判别式 恒大于0。先将方程的各项系数代入判别式表达式，对式子进行配方化简，结合平方的非负性判断 的取值范围，即可完成证明。
（2）本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于一元二次方程 ，两根之和为 ，两根之积为 。先根据韦达定理用含k的代数式表示出两根之和与两根之积，再代入已知的等式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
16．【答案】（1）如图，四边形即为所作矩形；（答案不唯一）
（2）如图，四边形即为所作菱形；
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】（1）解：由作图可得：，
在菱形中，，，，，
，，
，
同理，
四边形是平行四边形，
，
，
同理可得，
，
，
，
，
平行四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
同理，，
，
，
四边形是菱形．
【分析】（1）本题考查菱形的性质与矩形的判定，以及尺规作图的应用。要在菱形中作内接矩形，可利用菱形邻边相等的特点，以菱形的两个对角顶点为圆心，取相同的长度为半径画弧，在四条边上截出四个点，顺次连接这四个点得到四边形。先根据菱形的性质与截得的等长线段，证明四边形两组对边分别相等，判定为平行四边形，再通过角的计算证明有一个内角为90°，即可判定该四边形为矩形。
（2）本题考查矩形的性质与菱形的判定，以及尺规作图的应用。要在矩形中作内接菱形，可分别作矩形两组对边的垂直平分线，与四条边交于四个点，顺次连接这四个点得到四边形。先根据矩形的性质与垂直平分线的特点，证明截得的四个直角三角形全等，得到四边形的四条边都相等，即可根据四条边相等的四边形是菱形，判定所作四边形为菱形。
17．【答案】（1）解：设月平均增长率为，
根据题意得，
解得，（负值不符合题意，舍去），
答：月平均增长率为；
（2）解：设售价为每件元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得，
整理得，
解得，
又∵要尽量减少库存，
∴取，
答：售价应为每件元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】（1）本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，解题的核心是掌握增长率问题的等量关系：增长后的量 = 增长前的量×(1+增长率)增长次数。设月平均增长率为x，以9月份的销量为基础，经过两次增长后得到11月份的销量，据此列出关于x的一元二次方程，求解后结合增长率为正的实际意义，舍去不合题意的解即可。
（2）本题考查一元二次方程在销售利润问题中的应用，解题需明确"总利润 = 单件利润 × 销售量"的等量关系。设每件售价为y元，先表示出每件的利润，再根据售价与销量的变化关系表示出每天的销售量，代入总利润的等量关系列出方程，解方程得到两个售价后，结合"尽量减少库存"的要求，选择销量更大对应的售价，即为最终结果。
18．【答案】（1）解：∵点是的中点，点是中点，点是中点，
、、是的中位线，
，，，
，，，
，，，
的周长是．
（2）∵点D、E、F分别是 AB、AC、BC的中点，
∴FE， DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AC， EF∥AB，
∴四边形 ADFE是平行四边形，
∴AF 和 DE互相平分
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查三角形中位线定理与平行四边形的判定及性质，核心是利用中位线的平行与数量关系解题。
（1）第一小问根据三角形中位线的定义，判定、、均为的中位线；再利用三角形中位线定理，即中位线长度等于第三边的一半，分别算出三条中位线的长度，相加即可得到的周长。
（2）第二小问先由中位线定理得到平行于、平行于，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定四边形为平行四边形；最后利用平行四边形对角线互相平分的性质，证明与互相平分。
19．【答案】（1）；；＞；=
（2）解：当，时，则
即
∴当时，取得最小值8，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（3）解：当设与马路垂直的边长为，则与马路平行的边长为．
∵，
∴，
∴由题意可得，、、三条边的长度和，
此时
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
∴能将车辆放进停车区内，
答：剩余三条边喷绘时最小长度为米，可以将车辆放进停车区．
【知识点】分式方程的实际应用；解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】（1）解：①由勾股定理可得，
∴．
∵，
∴四个直角三角形的面积和为．
②如图，当时，则大正方形的面积＞四个直角三角形面积和；
③如图，当时，则大正方形的面积＝四个直角三角形面积和；
【分析】（1）本题考查勾股定理与几何图形面积的推导，结合赵爽弦图的结构分析面积关系。
①根据勾股定理，大正方形的边长为直角三角形的斜边，因此面积可表示为 ；每个直角三角形的面积为 ，四个的面积和即为 。
②当 时，中间存在小正方形，大正方形的面积等于四个直角三角形面积加小正方形面积，因此大正方形面积大于四个直角三角形的面积和。
③当 时，中间的小正方形缩小为一个点，大正方形的面积与四个直角三角形的面积和相等。
（2）本题考查"弦图不等式"的应用，属于基本不等式的初步应用。将 、 代入不等式 ，计算右边的乘积得到定值，即可得到代数式的最小值；再根据等号成立的条件 列方程，求解得到此时x的值。
（3）本题考查不等式在实际几何问题中的应用，解题的关键是将边长和的问题转化为"弦图不等式"的模型。设与马路垂直的边长为x m，可表示出与马路平行的边长，进而得到三条边的长度和的表达式；将表达式变形为符合 的形式，代入面积定值计算出边长和的最小值，再根据等号成立的条件求出垂直边的长度，与单车长度比较，即可判断能否放下车辆。
20．【答案】（1）D
（2）如图，
证明：∵，
∴，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
（3）∵四边形是“垂等四边形”，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵由上已证，
∴，
∵平行四边形，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
（4）连接，分别交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵折叠，
∴，，，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，即，
∴，
∵，
设，则，
∵点为中点，
∴，
∴，
∴四边形是“垂等四边形”．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：A、平行四边形对角线仅仅互相平分，故不符合题意；
B、矩形对角线相等且互相平分，故不符合题意；
C、菱形对角线垂直且互相平分，故不符合题意；
D、正方形对角线互相垂直且相等，故符合题意，
故答案为：D；
【分析】（1）本题考查特殊平行四边形的对角线性质，结合"垂等四边形"的定义（对角线互相垂直且相等）逐一判断即可。平行四边形对角线仅互相平分；矩形对角线相等但不垂直；菱形对角线垂直但不相等；正方形对角线既互相垂直又长度相等，因此正方形一定是"垂等四边形"。
（2）本题考查等腰三角形的性质与直角三角形斜边中线的性质，通过角的和差证明角相等。由 ，根据等腰三角形等边对等角，得到 ；由 ，E是BD中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到 ，再由等边对等角得到 ；最后用 ，即可证明 。
（3）本题考查正方形的判定，需先证明四边形是菱形，再证明有一个内角为直角。首先由三角形中位线定理，得到EF平行于AB且长度为AB的一半；由直角三角形斜边中线性质，得到CE长度为BD的一半；结合"垂等四边形"对角线相等且 ，可推出 ，因此平行四边形CEFG是菱形。再由中位线的平行关系，结合已证的角相等，通过角的转化推出 ，根据有一个角是直角的菱形是正方形，即可完成证明。
（4）本题考查新定义"垂等四边形"的证明，需证明四边形的对角线互相垂直且相等。先连接AE、AC，结合折叠的性质与矩形的性质，利用三角形中位线定理推出EC与BF平行且相等，判定四边形BECF是平行四边形，得到BE与CF平行且相等；再由折叠的直角推出CF垂直于DE；然后设参数表示出各边长度，证明DG与CF相等，最终验证四边形CDFG的对角线既垂直又相等，即为"垂等四边形"。
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