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2026-2027学年五年级上册数学单元核心素养培优提升卷（北师大版）
（新教材）第7单元 倍数与因数
学校： 班级： 姓名： 成绩：
注意事项：
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。
一、选择题
1．学校准备用长48厘米，宽36厘米的长方形纸来做直角三角形的小红旗，小红旗直角边分别是6厘米和4厘米，最多能剪（ ）面。
A．132 B．144 C．150 D．160
2．下面的说法中，正确的是（ ）。
A．8是48的倍数 B．27是9的因数
C．一个数的因数的个数是有限的 D．15×4＝60，所以15是60的因数，也是4的倍数
3．下面各数中，是3的倍数的是（　）。
A．16 B．25 C．37 D．42
4．一个三位数43是3的倍数，里有（ ）种填法。
A．4 B．3 C．2 D．1
5．下面各数中，既是2的倍数又是5的倍数的是（ ）。
A．15 B．24
C．30 D．45
6．一个是奇数的两位数，个位上的数与十位上的数的积是14，这个两位数是（ ）。
A．14 B．41 C．27 D．72
7．下列各数中，既是奇数又是合数的是（ ）。
A．13 B．15 C．2
8．已知a÷b＝8（a、b均为非0自然数），则a和b的最大公因数是（ ）。
A．a B．b C．8
9．在一次烟花节上，每16秒可以看到一次星星图案的礼花，每24秒可以看到一次花朵图案的礼花。在同时看到这两种礼花后，至少还要过（ ）秒可以再次同时看到这两种图案的礼花。
A．6 B．16 C．24 D．48
10．著名的哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，这个猜想的内容是“任意一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和”。下面的算式中符合这个猜想的是（ ）。
A．19＝2＋17 B．8＝1＋7 C．36＝17＋19 D．21＝3＋18
二、填空题
11．一个四位数，千位上数字是10以内最大的偶数，百位上数字是最小的质数，十位上数字是最小合数，个位上数字既不是质数也不是合数，这个四位数是( )。
12．一个数既是2的倍数又是5的倍数，它个位上的数字一定是( )；在12、16、24、32这四个数中，3的倍数是( )和( )。
13．因为，所以28是4和7的( )，4和7是28的( )；28一共有( )个因数。
14．一个数的最大因数是12，它的最小倍数是( )，这个数全部因数有( )。
15．一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做( )；在8、11、15、19中，质数有( )个；最小的合数是( )。
16．从0、2、5、6、7五个数中，选择四个数组成两个有因数3的四位数( )、( )。
17．吃早饭时，小明数了一下餐桌上盘子的个数，这个数既是5的倍数，又是10的因数，这个数可能是( )。（写出所有可能）
18．10以内（不包含10）最小的合数是( )，最大的质数是( )，最大的偶数是( )。
19．( )既不是质数，也不是合数；既是质数，又是偶数的数是( )；合数中最小的奇数是( )。
20．一个两位数5□，当它是3的倍数时，□里最大填( )。一个两位数2□，当它是质数时，□里最小填( )。
21．自然数390，369，425被某自然数（且大于1）除时余数相同，那么2014被这个自然数除的余数是__________。
22．A、B两只青蛙进行跳跃比赛，A每次跳10厘米，B每次跳15厘米，每秒都跳1次，且一起从起点开始向同一方向跳跃。在比赛途中，每隔12厘米有一陷阱，当它们中第一只掉进陷阱时，另一只距离它最近的陷阱有__________厘米。
23．已知一个六位数能被99整除，这个六位数最大是____________。
24．红星茶社有一款名优瑞草魁绿茶，如果6盒装一箱少1盒，8盒装一箱多7盒，这批瑞草魁绿茶至少( )盒。
25．校园手工实践活动中，同学们精心制作传统五谷摆件，若每6个摆件装进一个收纳盒，或是每9个装一盒，都能恰好装满没有剩余。这批摆件总数在个之间，一共有( )个摆件。
三、判断题
26．比2大，且比7小的偶数只有4。( )
27．两个质数的和一定是偶数，也一定都是合数。( )
28．几个非零自然数的乘积一定是合数。( )
29．两个质数的乘积一定是合数。( )
30．如果A和B的最大公因数只有1，那么它们的积一定是合数。( )
四、计算题
31．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
5和11 36和54 16和48
五、作图题
32．先思考，再作答。
（1）在方格纸上画出长方形，使它的边长是整厘米数，面积是。有哪几种画法？画一画。（每个小方格的边长表示1cm）
（2）8的因数有：（ ）。
六、解答题
33．一块长方形菜地，它的长既是60的因数、又同时是2，3，5的倍数，宽既是42的因数，又是14的倍数。这个长方形菜地的面积最小是多少？（单位：米）
34．张阿姨家的电话号码是一个8位数，从前到后依次排列为：6的最大因数、7的最小倍数、最小的质数、最小的合数、最小的奇数、8的最小因数、最大的一位数、既不是质数也不是合数的非0自然数。张阿姨家的电话号码是多少？
35．五（1）班有36名同学参加劳动实践活动，要平均分成人数相同的若干个小组，每组人数不少于5人，也不多于12人。
(1)每个小组的人数可以是多少？请把所有可能的结果都写出来。
(2)如果每个小组有9人，可以分成多少个小组？
36．学校买来66盆鲜花，要摆成如图三种图案中的一种，选择哪种图案，鲜花能正好摆完，没有剩余？为什么？
37．某市的24路和25路公交车都从幸福小区始发，24路公交车每12分钟发一次车，25路公交车每18分钟发一次车，这两路公交车第一次同时发车时间是6：50，下一次两路公交车同时发车是什么时间？
38．有一张长30分米、宽18分米的长方形硬纸板，乐乐想在这张长方形硬纸板上裁若干个正方形纸板且没有剩余（正方形纸板的边长为整分米数），裁成的正方形边长最大是多少分米？一共可以裁多少块这样的正方形？（先画一画，再算一算）
39．少年读书时，未来自有光。小聪和小颖暑期计划去图书馆看书，按照计划，7月1日他们将同时在图书馆看书，那么他们第二次同时在图书馆看书的时间是几月几日？
40．同学们去观看无人机表演，李老师给大家准备了130瓶矿泉水和84根香蕉，李老师把两种物品分别平均分给每名学生，结果矿泉水多出4瓶，香蕉正好，这个班最多有多少名学生？
41．玲玲在分糖果时遇到了下面的问题。
一共有77颗糖果，自己留下了10颗，将其余的平均分给5个小朋友。
玲玲至少再留几颗糖果，就能使每个小朋友分到的糖果颗数是整数？结合文字或者算式等方式说明理由。
42．王叔叔家的客厅长6米、宽4米，准备在地面铺地砖（使用的地砖必须都是整块）。有下面三种规格的地砖可供选择，选哪种规格的地砖合适？至少需要多少块这样的地砖？
43．进了学校大门，左侧有一个长方形的展示栏，长40分米，宽12分米。如果本期需要展示同学们的手抄报作品，所用纸张是完全相同的正方形纸，既不重叠、也无缝隙地正好贴满展示栏，正方形纸的边长最大是多少分米？
44．石榴红了，两棵石榴树采摘下来的果子一样多，都有二百多个，第一棵石榴树摘下的石榴每筐装30个，正好装完；第二棵石榴树摘下的石榴每筐装24个，也正好装完。每棵石榴树摘下多少个石榴？
45．一块布料长3米，宽1.4米，李老师准备拿它做同样大的正方形手帕，有两种尺寸参考（如图），如果想不浪费布料，做哪种比较合适？可以做多少块这种手帕？

46．6月15日爸爸和妈妈正好一起休息，小明一家去江阴市体育中心观看了无锡队和常州队的比赛。此后，妈妈每工作3天后休息1天，爸爸每工作4天后休息1天。下一场，无锡队将于7月5日客场对战扬州队，按爸爸和妈妈的工作休息规则，他们能同时在休息日去扬州市为无锡队加油助威吗？请说明理由。
47．金金的爸爸想给奶奶家的储藏室重新装修，储藏室的长方形地面长24分米，宽18分米。如果用一种边长是整分米数的正方形地砖将储藏室的地面铺满（用的地砖必须都是整块的），可以选择边长最大是几分米的地砖？需要几块这种型号的地砖？
48．为了美化校园，阳光小学购买了40朵向日葵、48朵玫瑰、72朵百合和36朵康乃馨。
(1)如果从中选择两种花布置校门口的花坛，有多少种不同的选法？
(2)制作同一种花篮，要求每个花篮都必须用到玫瑰、百合和康乃馨，三种花又都恰好用完，没有剩余。最多能制作多少个这样的花篮？
49．尊老爱幼是中华民族的传统美德。王乐的父母在外地工作，妈妈每6天去看望一次爷爷、奶奶，爸爸每8天去看望一次爷爷、奶奶。如果5月1日王乐的父母同时看望了爷爷、奶奶。那么王乐的父母下一次同时去看望爷爷、奶奶的时间是几月几日？
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参考答案与试题解析
1．B
【分析】两个直角边分别为6厘米、4厘米的直角三角形可以拼成1个长6厘米、宽4厘米的小长方形，用长方形纸的长除以红旗的6厘米，求出长能剪几个，纸的宽除以红旗的4厘米求出宽能剪几个，再将个数相乘计算大长方形能剪出的小长方形数量，再乘2即可得到小红旗总数，本题中大长方形的长和宽均为小长方形长、宽的倍数，无材料浪费。
【解析】（个）
（个）
（个）
（面）
所以，最多能剪144面。
2．C
【分析】在乘法算式a×b＝c中（a、b、c均为非0的自然数），a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数；验证两个数的因数或倍数关系，可以把两个数相除，看所得的商是否是整数；一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。
【解析】A．48÷8＝6，所以48是8的倍数，8是48的因数，原说法错误；
B．27÷9＝3，所以27是9的倍数，9是27的因数，原说法错误；
C．一个数的因数的个数是有限的，原说法正确；
D．15×4＝60，所以15和4是60的因数，60是15和4的倍数，原说法错误。
3．D
【分析】一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，则这个数是3的倍数，分别计算各选项数字的各位和，进而分析即可。
【解析】A．，7不是3的倍数；
B．，7不是3的倍数；
C．，10不是3的倍数；
D．，6是3的倍数，因此42是3的倍数。
4．B
【分析】要使三位数4□3是3的倍数，那么每位上的数字相加的和是3的倍数。依此去判断□里能填几。
【解析】4＋3＝7
7＋0＝7，7不是3的倍数，所以0不能填；
7＋1＝8，8不是3的倍数，所以1不能填；
7＋2＝9，9是3的倍数，所以2可以填；
7＋3＝10，10不是3的倍数，所以3不能填；
7＋4＝11，11不是3的倍数，所以4不能填；
7＋5＝12，12是3的倍数，所以5可以填；
7＋6＝13，13不是3的倍数，所以6不能填；
7＋7＝14，14不是3的倍数，所以7不能填；
7＋8＝15，15是3的倍数，所以8可以填；
7＋9＝16，16不是3的倍数，所以9不能填；
所以□里可以填2、5、8这3个数，□里有3种填法。
5．C
【分析】2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；5的倍数特征：个位数字是0或5的数是5的倍数；同时是2和5的倍数特征：个位数字是0，据此解答。
【解析】A．15是5的倍数，不是2的倍数；
B．24是2的倍数，不是5的倍数；
C．30既是2的倍数又是5的倍数；
D．45是5的倍数，不是2的倍数。
既是2的倍数又是5的倍数的是30。
6．C
【分析】先找到乘积是14的两个一位数，再结合奇数的特征确定两位数的个位和十位数字。
【解析】
符合条件的两个数字是2和7，奇数的个位需是奇数，因此个位是7，十位是2，这个两位数是27。
7．B
【分析】合数的定义：除了1和它本身外还有其它因数的数；奇数的定义：不是2的倍数的数是奇数；先筛选出选项中的奇数，再从筛选出的奇数里找出符合合数定义即可。
【解析】13、15是奇数；
13的因数有1、13，是质数；15的因数有1、3、5、15，是合数。
8．B
【分析】由a÷b＝8可知a＝8b，所以a是b的倍数。成倍数关系的两个非0自然数，较小数是它们的最大公因数，据此确定答案。
【解析】a÷b＝8
a＝8b
a是b的倍数
所以a和b的最大公因数是b。
9．D
【分析】要计算同时看到两种礼花后，再次同时看到的最少间隔时间，本质是求16和24的最小公倍数。
【解析】
24＝2×2×2×3
2×2×2×2×3＝48
至少还要过48秒可以再次同时看到这两种图案的礼花。
10．C
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。根据质数的意义，先判断等号右面的两个数是不是质数，再进行选择。
【解析】A．2是质数，17是质数，19不是偶数，所以19＝2＋17不符合这个猜想；
B．1既不是质数也不是合数，7是质数，8是偶数，所以8＝1＋7不符合这个猜想；
C．17是质数，19是质数，36是偶数，所以36＝17＋19符合这个猜想；
D．3是质数，18是偶数，21不是偶数，所以21＝3＋18不符合这个猜想。
11．8241
【分析】10以内最大的偶数是8，所以千位上的数是8；10以内的合数是4、6、8、9，10以内的质数是：2、3、5、7，百位上是最小的质数，所以百位上的数是2；十位上是最小的合数，所以十位上的数是4；1既不是质数也不是合数，所以个位上的数是1；据此即可求解。
【解析】由分析可知：这个数千位上是8，百位上是2，十位上是4，个位上是1，所以这个四位数是：8241。
12．
【分析】个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数；个位上是0或5的数，都是5的倍数。
一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【解析】一个数既是2的倍数又是5的倍数，它个位上的数字一定是0；
在12、16、24、32中，3的倍数有12和24。
13．倍数 因数
【分析】两个整数相乘等于积，积是这两个整数的倍数，这两个整数是积的因数；找一个数的因数，可以用除法。找出28的因数，再统计个数。
【解析】28是4和7的倍数，4和7是28的因数。
28÷1＝28
28÷2＝14
28÷4＝7
28的因数有1，2，4，7，14，28。共6个。
14．12 1、2、3、4、6、12
【分析】一个数最大的因数是它本身，根据题意，即可求出这个数；一个数最小的倍数是它本身，即可求出这个数的最小倍数；求一个数的因数，可以从小到大依次找出乘积等于这个数的整数即可。
【解析】一个数的最大因数是12，也就是它本身，则这个数是12，它的最小倍数是它本身，则它的最小倍数是12；
12＝1×12＝2×6＝3×4
所以，这个数全部因数有1、2、3、4、6、12。
15．质数
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1既不是质数，也不是合数；最小的合数是4。
【解析】一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；
在8、11、15、19中，质数有11、19。共2个；
最小的合数是4。
16．5067
5076
【分析】要组成含有因数3的四位数，确保千位上的数不是0且各数位上的数字之和能被3整除即可。据此解答。
【解析】在0、2、5、6、7五个数中：
因为0＋5＋6＋7＝18，18÷3＝6，所以0、5、6、7可以组成有因数3的四位数，可以是5067、5076。（答案不唯一）
17．5或10
【分析】一个数既是5的倍数又是10的因数，即求10以内的5的倍数，那就先求出10的因数和5的倍数，再找共同的数即可。
【解析】10的因数有：1、2、5、10
10以内的5的倍数有：5、10
所以一个数既是5的倍数，又是10的因数，这个数可能是5或10。
18．4 7 8
【分析】只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身还有别的因数的数是合数，是2的倍数的数是偶数，根据质数、合数、偶数的概念，找出10以内符合要求的数即可。
【解析】10以内（不包含10）最小的合数是4，最大的质数是7，最大的偶数是8。
19．1 2 9
【分析】质数要求大于1的自然数中仅能被1和自身整除；合数要求大于1的自然数中除了1和自身还有其他正因数；偶数是能被2整除的整数，奇数是不能被2整除的整数，再按题干要求逐一匹配符合条件的特殊数。
①先找不属于质数、合数定义范畴的数；
②从偶数集合里筛选同时满足质数要求的数；
③从奇数集合里找符合合数定义的最小数值
【解析】①质数的定义是大于1的自然数，仅能被1和自身整除，合数的定义是大于1的自然数，除了1和自身外还能被其他正整数整除，因此1不满足质数、合数的判定条件，是既不是质数也不是合数的数。
②偶数是能被2整除的整数，其中只有2同时符合质数的定义，其余偶数都至少有1、2和自身3个因数，因此既是质数又是偶数的数是2。
③奇数里从小到大排查：1不是合数，3、5、7都是质数，9除了1和9之外还有因数3，是满足合数要求的最小奇数，因此合数中最小的奇数是9。
20．
【分析】3的倍数的特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数。
【解析】对于两位数5□，各位数字之和为5＋□
当□＝1时，，6是3的倍数，所以51是3的倍数；
当□＝4时，，9是3的倍数，所以54是3的倍数；
当□＝7时，，12是3的倍数，所以57是3的倍数；
综上所述，□可以填1、4、7，其中最大的数是7。
两位数2□是一个质数，20~30的质数有23、29
所以□可以填3、9，其中最小的数是3。
21．5
【分析】根据余数的性质，若几个自然数被同一个自然数除得的余数相同，则这几个自然数两两之差能被这个自然数整除。先求出已知三个数两两的差，再找出这些差的大于1的公因数以确定除数，最后计算2014除以该除数的余数。
【解析】因为390，369，425被某自然数除时余数相同，所以这个自然数能整除它们两两的差。
计算差值：、。
求21和35的公因数：
21 的因数有1，3，7，21。
35 的因数有1，5，7，35。
21 和 35 的公因数是1和7。
因为题目要求该自然数大于 1，所以这个自然数是7。
验证第三个差：，，能整除，符合题意。
计算2014除以7的余数：
所以 2014 被这个自然数除的余数是5。
22．
【分析】需确定第一只青蛙掉进陷阱的时间，再计算另一只青蛙与最近陷阱的距离。
【解析】[10，12]＝60
[15，12]＝60
A青蛙所用时间：（秒）
B青蛙所用时间：（秒）
计算4秒时A青蛙的跳跃总路程：（厘米）
与40最接近的两个陷阱位置分别如下：
（厘米）
（厘米）
A青蛙与最近陷阱的距离：
（厘米）
（厘米）
距离最近陷阱的距离为4厘米。
23．346203
【分析】一个数能被99整除，因为99＝9×11，且9和11互质，所以这个数既要满足能被9整除，又要满足能被11整除。能被9整除的数，各个数位上数字之和是9的倍数；能被11整除的数，奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数。设六位数千位数字为a，十位数字为b，a、b都是0～9的数字，结合两条整除特征求出a、b关系，再要六位数最大，高位数字尽量取大。
【解析】六位数，奇数位数字之和：3＋2＋4＝9；
偶数位数字之和：b＋a＋3。
数字总和：9＋b＋a＋3＝a＋b＋12，总和需要是9的倍数。
奇数位和与偶数位和的差：（b＋a＋3）－9＝a＋b－6，该差必须为11的倍数。
a、b都是0到9的整数，a＋b取值范围0～18。
a＋b－6是11的倍数，只能取0，得到a＋b－6＝0，即a＋b＝6。
要六位数最大，优先让高位千位a尽可能大，a最大可取6，则b＝0。
所以这个六位数最大是346203。
24．23
【分析】6盒装一箱少1盒，说明总盒数加1后刚好能被6整除，8盒装一箱多7盒，说明总盒数加1后刚好能被8整除，即先求出6和8的最小公倍数，然后减1即可。
【解析】
6和8的最小公倍数：2×3×4＝24
24－1＝23（盒）
即红星茶社有一款名优瑞草魁绿茶，如果6盒装一箱少1盒，8盒装一箱多7盒，这批瑞草魁绿茶至少23盒。
25．
【分析】根据题意，摆件总数既能被整除，又能被整除，说明总数是和的公倍数。先求出和的最小公倍数，然后找出该最小公倍数的倍数中，位于之间的数即可。
【解析】
26．×
【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数。先找出比2大且比7小的整数，再筛选其中的偶数，判断是否只有4。
【解析】比2大且比7小的整数有3、4、5、6，其中偶数为4、6，共2个，不是只有4；原题说法错误。
故答案为：×
27．×
【分析】根据质数、合数、偶数的意义回答。一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，最小的质数是2；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数。根据以上内容举反例说明即可。
【解析】举反例说明：
一个质数是2，另一个质数是5
2＋5＝7
7既不是偶数，也不是合数。
故答案为：×
28．×
【分析】合数是指除了1和本身外，还能被其他数整除的自然数，1既不是质数也不是合数。本题可通过举反例验证，
【解析】如：非零自然数1和2，
2只有1和它本身两个因数，是质数。
所以几个非零自然数的乘积一定是合数，说法错误。
故答案为：×
29．√
【分析】质数的因数只有1和它本身，合数的因数除了1和本身外还有其他因数，据此判断即可。
【解析】任意两个质数的乘积，它的因数除了1和它本身之外，如果这两个质数不同，至少还有这两个质数，如果这两个质数相同，则至少还有一个质数，两个质数的积至少有3个因数，所以任意两个质数的乘积一定是一个合数。
故答案为：√
30．×
【分析】若两个互质数中有一个是1，二者的积可能为质数，因此原说法不成立。
【解析】取A＝1，B＝2，二者的最大公因数是1，满足题干条件。
，2是质数，不是合数，因此原说法错误。
故答案为：×
31． 和 ：最大公因数 ，最小公倍数 ；
和 ：最大公因数 ，最小公倍数 ；
和 ：最大公因数 ，最小公倍数 。
【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。
【解析】5和11是互质数：两个互质的数（只有1这一个共同因数），最大公因数直接是1，最小公倍数是两个数的乘积，也就是5×11＝55。
36和54是普通的有多个公因数的数：先把两个数分解为质数相乘的形式： ，
最大公因数：；
最小公倍数：
16和48是倍数关系：48是16的3倍，当两个数有倍数关系时，最大公因数是其中较小的数16，最小公倍数是其中较大的数48。
32．（1）
（2）1，2，4，8。
【分析】（1）要使画出的长方形的边长是整厘米数，面积是，有两种画法：①长是8cm，宽是1cm，8×1＝8（cm2），②长是4cm，宽是2cm。4×2＝8（cm2），据此作图。
（2）找8的因数，可以想哪两个数相乘等于8，比如：1×8＝8，2×4＝8。
【解析】（1）有两种画法：①长是8cm，宽是1cm；②长是4cm，宽是2cm。如图。
（2）8的因数有：（1，2，4，8）。
33．420平方米
【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的。要得到长方形的最小面积，需先确定满足条件的最小长和最小宽。求最小的长时，先写出60的因数，因2、3、5都是质数，所以求2、3、5的倍数时，先用求出2、3、5的最小公倍数，再依次用最小公倍数乘1、乘2、乘3……写出2、3、5的公倍数。最后确定既是60的因数、又同时是2，3，5的倍数的数，并在这些数中确定最小的作为长方形的长。求最小的宽时，先写出42的所有因数，再写出14的不大于42的倍数，最后确定既是42的因数，又是14的倍数的数，并在这些数中确定最小的作为长方形的宽。最后根据长方形的面积＝长×宽进行计算。
【解析】求最小的长：
2、3、5的最小公倍数是，则2、3、5的公倍数有30、60、90……
60的因数有1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。
综上，同时是2、3、5的倍数的数是30、60，因，所以长最小为30米。
求最小的宽：
42的因数有1，2，3，6，7，14，21，42。
14的倍数（不大于42）有14，28，42。
综上，既是42的因数又是14的倍数的数是14、42，因，所以宽最小为14米。
求长方形菜地的最小面积：
（平方米）
答：这个长方形菜地的面积最小是420平方米。
34．67241191
【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的。只有1和它本身两个因数的数叫做质数，最小的质数是2。除了1和它本身两个因数外，还有别的因数，这样的数叫做合数，最小的合数是4。不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1。最大的一位数是9。既不是质数也不是合数的非0自然数是1。
【解析】6的最大因数是6；
7的最小倍数是7；
最小的质数是2；
最小的合数是4；
最小的奇数是1；
8的最小因数是1；
最大的一位数是9；
既不是质数也不是合数的非0自然数是1。
按从前到后的顺序组合得到8位数：67241191。
答：张阿姨家的电话号码是67241191。
35．(1)6人、9人或12人
(2)4个
【分析】（1）平均分组时每组人数必须是36的因数，找出36的因数中在5到12之间的数，就能得到所有符合要求的每组人数。
（2）已知总人数和每组人数，求小组数量，用总人数除以每组人数计算。
【解析】（1）一对一对找出36的因数：
36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。
筛选出不少于5且不多于12的因数：6、9、12。
答：每个小组的人数可以是6人、9人或12人。
（2） （个）
答：可以分成4个小组。
36．选择第一种图案；因为3是66的因数，66盆鲜花摆第一种图案能正好摆完，没有剩余。
【分析】根据题意，如果把66盆鲜花正好摆完，没有剩余，那么每份的盆数一定是66的因数。先根据求一个数的因数的方法，写出66所有的因数，三种摆法的盆数是66的因数的，就能正好摆完，没有剩余。
【解析】66的因数有1，2，3，6，11，22，33，66；
第一种图案是3盆，3是66的因数，这样摆没有剩余；
第二种图案是4盆，4不是66的因数，这样摆有剩余；
第三种图案是5盆，5不是66的因数，这样摆有剩余；
答：选择第一种图案没有剩余；因为3是66的因数，66盆鲜花摆第一种图案能正好摆完，没有剩余。
37．
【分析】先求和的最小公倍数，得到两路车两次同时发车的间隔时长，再用第一次同时发车的时间加上这个间隔，就能算出下一次同时发车的时间。
【解析】
和的最小公倍数是，即每隔分钟两路车同时发车一次。
答：下一次两路公交车同时发车是。
38．；
6分米；15块
【分析】要裁出同样大的正方形且没有剩余，正方形的边长是长和宽的公因数，边长最长就是求30和18的最大公因数。用分解质因数法求出30和18的最大公因数是6分米。画图时，沿着长每6分米画一条竖线，沿着宽每6分米画一条横线，分割出小正方形，再用长、宽分别除以边长，相乘求出总块数。
【解析】30＝2×3×5
18＝2×3×3
30和18的最大公因数是6，即正方形边长最大为6分米。
长方向可裁个数：30÷6＝5（个）
宽方向可裁个数：18÷6＝3（个）
总块数：5×3＝15（块）
答：裁成的正方形边长最大是6分米，一共可以裁15块。
39．7月13日
【分析】小聪每4天去一次，小颖每6天去一次，要找他们再次同时去图书馆的时间，先用分解质因数法求出4和6的最小公倍数，得到两次相遇之间相隔的天数，再从7月1日往后推算这个天数，就是第二次同时去的日期。
【解析】4＝2×2
6＝2×3
4和6的最小公倍数是2×2×3＝12
1＋12＝13（天）
答：他们第二次同时在图书馆看书的时间是7月13日。
40．最多42名学生
【分析】先算出实际分掉的矿泉水数量，学生人数是分掉的矿泉水瓶数和香蕉根数的公因数，求最多的学生人数即求这两个数的最大公因数。
【解析】（瓶）
84＝2×2×3×7
（名）
84和126的最大公因数是42；
答：这个班最多有42名学生。
41．77－10＝67（颗） 67÷5＝13（颗）……2（颗）
玲玲至少再留2颗糖果，就能使每个小朋友分到的糖果颗数是整数。
【分析】先求出准备分给小朋友的糖果总数，要让每个小朋友分到整数颗，分出去的总数必须是5的倍数。据此说明理由。
【解析】77－10＝67（颗）
67÷5＝13（颗）……2（颗）
67颗分给5个小朋友，67不是5的倍数。离67最近、且比67小的5的倍数是65，余下的2颗就是需要再留下的数量，这样分出去的糖果能使每个小朋友分到的糖果颗数是整数。
42．③；24块
【分析】6米＝60分米；4米＝40分米；用正方形地砖把一个长60分米，宽40分米的客厅底面铺满，那么正方形地砖的边长是60和40的公因数，先求出60、40的所有因数，再从中找出这两个数的公因数，这些公因数都是正方形地砖可能的边长，与图中三种地砖的边长对比，找出符合要求的。
然后用长方形的长、宽分别除以地砖的边长，求出长、宽可以铺几块，再相乘，即可求出需要这种地砖的总块数。
【解析】6米＝60分米；4米＝40分米
60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。
40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40。
60和40的公因数有1，2，4，5，10，20。
能正好铺满客厅底面的正方形地砖的边长分别是1分米、2分米、4分米、5分米、10分米、20分米。
选择③规格的地砖合适。
（60÷10）×（40÷10）
＝6×4
＝24（块）
答：选择③规格的地砖合适，至少需要24块这样的地砖。
43．4分米
【分析】要使正方形纸既不重叠也无缝隙地正好贴满长方形展示栏，正方形的边长必须是展示栏长和宽的公因数；要求最大边长，就是求40和12的最大公因数，用分解质因数法求最大公因数。
【解析】40＝2×2×2×5
12＝2×2×3
40和12的最大公因数是2×2＝4
答：正方形纸的边长最大是4分米。
44．240个
【分析】石榴总数是24和30的公倍数，且数量为二百多个，先求二者的最小公倍数，两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，求出两个数的最小公倍数，再筛选符合范围的数即可。
【解析】30＝2×3×5
24＝2×2×2×3
30和24的最小公倍数是2×3×2×2×5＝120
120×1＝120（个），数量不足二百，不符合。
120×2＝240（个），数量为二百多，符合。
120×3＝360（个），数量超过三百，不符合。
所以每棵石榴树摘下240个石榴。
答：每棵石榴树摘下240个石榴。
45．做边长20厘米的正方形手帕比较合适；105块
【分析】先统一布料尺寸和正方形手帕边长的单位，根据1米＝100厘米将米换算为厘米。
因为要不浪费布料，所以布料的长和宽都需要能被正方形手帕的边长整除，据此判断哪种尺寸符合要求。
如果确定了符合要求的手帕边长，那么分别计算布料的长、宽方向能裁剪的手帕数量，再将两个方向的数量相乘得到总块数。
【解析】
（块）
（块）
（块）
（块）
答：如果想不浪费布料，做边长20厘米的正方形手帕比较合适，可以做105块这种手帕。
46．能；因为4和5的最小公倍数是20，他们再一次同时休息的时间是继6月15日后的第20天，7月5日的比赛也在6月15日后的第20天，因此他们能同时在休息日去扬州市为无锡队加油助威。
【分析】根据题意，先确定6月15日至7月5日经过的天数，再求出爸爸和妈妈的休息周期，再找出它们之间的最小公倍数，最后计算出6月15日到7月5日经过的天数是否为它们的最小公倍数即可。
【解析】经过的天数：30－15＝15（天）
15＋5＝20（天）
所以从6月15日至7月5日，经过20天。
妈妈：3＋1＝4（天）
妈妈的休息周期为4天；
爸爸：4＋1＝5（天）
爸爸的休息周期为5天；
答：4和5的最小公倍数是20，也就是爸爸和妈妈再一次同时休息的时间是继6月15日后的第20天，因此他们能同时在休息日去扬州市为无锡队加油助威。
47．可以选择边长最大是6分米的地砖，需要12块这种型号的地砖。
【分析】地砖边长需同时是24和18的因数，求最大边长即求二者的最大公因数（两数公有质因数的乘积）；再用长、宽分别除以最大边长，得到两方向的地砖块数，相乘得总块数。
【解析】24＝2×2×2×3
18＝2×3×3
24和18的公有质因数是2、3，因此它们的最大公因数是2×3＝6。
即可以选择边长最大是6分米的地砖。
24÷6＝4（块）
18÷6＝3（块）
4×3＝12（块）
答：可以选择边长最大是6分米的地砖，需要12块这种型号的地砖。
48．(1)6种
(2)12个
【分析】（1）第1种花选择向日葵时，第2种花可以选择玫瑰、百合、康乃馨；
第1种花选择玫瑰时，第2种花可以选择百合、康乃馨；
第1种花选择百合时，第2种花可以选择康乃馨；
按顺序列举出所有不同的搭配，做到不重复不遗漏，最后数出所有不同的选法；
（2）三种花都恰好用完，且没有剩余，说明花篮的数量同时是玫瑰、百合、康乃馨数量的因数，求花篮的最多数量就是求48、72、36的最大公因数，据此解答。
【解析】（1）根据分析，解答如下：
不同的选法有：向日葵和玫瑰、向日葵和百合、向日葵和康乃馨、玫瑰和百合、玫瑰和康乃馨、百合和康乃馨，所以一共有6种不同的选法。
答：如果从中选择两种花布置校门口的花坛，有6种不同的选法。
（2）根据分析，解答如下：
48、72、36的最大公因数为：2×2×3＝12
答：最多能制作12个花篮。
49．5月25日
【分析】先求出6和8的最小公倍数得到两次同时看望的间隔天数，再结合5月1日的起始日期推算结果。
【解析】6＝2×3
8＝2×2×2
6和8的最小公倍数：2×2×2×3＝24
1＋24＝25（日）
答：王乐的父母下一次同时去看望爷爷、奶奶的时间是5月25日。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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