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数学　必修 第一册 RJB
1.1.1　 第1课时　集合的概念
一、单选题
1．现有以下说法，其中正确的是(　　)
①接近于0的数的全体组成一个集合；
②正方体的全体组成一个集合；
③我校所有聪明的学生组成一个集合；
④不大于3的所有自然数组成一个集合．
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
2．唐诗“离离原上草，一岁一枯荣”中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为(　　)
A．10 B．9
C．8 D．7
3．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3 Z；④－ N，其中正确的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的所有解组成的集合，且2∈A，则实数a的值为(　　)
A．－5 B．－4
C．4 D．5
5．由实数x，－x，|x|，，－组成的集合，最多含有(　　)
A．2个元素 B．3个元素
C．4个元素 D．5个元素
二、多选题
6．下列给出的对象组成的集合是有限集的是(　　)
A．方程x2－6x－16＝0的根
B．大于0且小于5的实数
C．小于22的素数
D．倒数等于它本身的实数
7．集合A中的元素y满足y＝x2＋1，集合B中的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列元素与集合的关系中正确的是(　　)
A．2∈A B．(1，2)∈A
C．2∈B D．(3，10)∈B
三、填空题
8．下列集合中，是空集的是________(填序号)．
①集合A中的元素是大于8且小于5的实数；
②集合B中的元素是方程|x|＋1＝0在R内的根；
③集合C中只有一个元素0；
④集合D中有0个元素．
9．已知集合P中有三个元素，且集合P中的元素x满足x∈N，210．已知集合A中含有三个元素a，0，－1，集合B中含有三个元素c＋b，，1，且A＝B，则a＝________，b＝________，c＝________．
四、解答题
11．集合A是由形如m＋n(m∈Z，n∈Z)的数组成的，试分别判断a＝－，b＝，c＝(1－2)2与集合A的关系．
12．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求元素x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x的值．
13．若集合M中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
14．设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是________．
15．已知x，y为非零实数，代数式＋＋的值所组成的集合是M，求集合M中的元素．
16．设实数集S是满足下面两个条件的集合：
①1 S；②若a∈S，则∈S.
(1)求证：若a∈S，则1－∈S；
(2)若2∈S，则S中必含有其他的两个数，试求出这两个数；
(3)求证：集合S中至少有三个不同的元素．
1.1.1　 第1课时　集合的概念
一、单选题
1．现有以下说法，其中正确的是(　　)
①接近于0的数的全体组成一个集合；
②正方体的全体组成一个集合；
③我校所有聪明的学生组成一个集合；
④不大于3的所有自然数组成一个集合．
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
答案：D
解析：对于①，接近于0的数的全体不能组成一个集合，故①错误；对于②，正方体的全体能组成一个集合，故②正确；对于③，“聪明的学生”的标准不明确，所以不能组成集合，故③错误；对于④，不大于3的所有自然数能组成一个集合，故④正确．
2．唐诗“离离原上草，一岁一枯荣”中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为(　　)
A．10 B．9
C．8 D．7
答案：C
解析：由集合中元素的互异性知，两个“离”相同，去掉一个，两个“一”相同，去掉一个，所以集合M中有8个元素．故选C.
3．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3 Z；④－ N，其中正确的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
解析：是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确．故选B.
4．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的所有解组成的集合，且2∈A，则实数a的值为(　　)
A．－5 B．－4
C．4 D．5
答案：A
解析：因为2∈A，所以2×22＋2a＋2＝0，解得a＝－5.
5．由实数x，－x，|x|，，－组成的集合，最多含有(　　)
A．2个元素 B．3个元素
C．4个元素 D．5个元素
答案：A
解析：＝|x|，－＝－x.当x＝0时，它们均为0；当x>0时，它们分别为x，－x，x，x，－x；当x<0时，它们分别为x，－x，－x，－x，－x.通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故此集合中最多含有2个元素．
二、多选题
6．下列给出的对象组成的集合是有限集的是(　　)
A．方程x2－6x－16＝0的根
B．大于0且小于5的实数
C．小于22的素数
D．倒数等于它本身的实数
答案：ACD
解析：方程x2－6x－16＝0的根为－2，8；大于0且小于5的实数有无穷多个；小于22的素数为2，3，5，7，11，13，17，19；倒数等于它本身的实数为±1.故选ACD.
7．集合A中的元素y满足y＝x2＋1，集合B中的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列元素与集合的关系中正确的是(　　)
A．2∈A B．(1，2)∈A
C．2∈B D．(3，10)∈B
答案：AD
解析：集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为(x，y)，是点集，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B.故选AD.
三、填空题
8．下列集合中，是空集的是________(填序号)．
①集合A中的元素是大于8且小于5的实数；
②集合B中的元素是方程|x|＋1＝0在R内的根；
③集合C中只有一个元素0；
④集合D中有0个元素．
答案：①②④
解析：因为满足大于8且小于5的实数不存在，故集合A是空集；因为方程|x|＋1＝0在R内无根，故集合B是空集；因为空集是不含任何元素的集合，故集合C不是空集，集合D是空集．
9．已知集合P中有三个元素，且集合P中的元素x满足x∈N，2答案：6
解析：∵x∈N，210．已知集合A中含有三个元素a，0，－1，集合B中含有三个元素c＋b，，1，且A＝B，则a＝________，b＝________，c＝________．
答案：1　－2　2
解析：因为A＝B，≠0，所以a＝1，c＋b＝0，＝－1，所以b＝－2，c＝2.
四、解答题
11．集合A是由形如m＋n(m∈Z，n∈Z)的数组成的，试分别判断a＝－，b＝，c＝(1－2)2与集合A的关系．
解：因为a＝－＝0＋(－1)×，而0∈Z，－1∈Z，
所以a∈A；因为b＝＝＝＋，而 Z， Z，所以b A；
因为c＝(1－2)2＝13＋(－4)×，而13∈Z，－4∈Z，所以c∈A.
12．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求元素x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x的值．
解：(1)由集合元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，
解得x≠－1，x≠0且x≠3.
(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.
由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，
所以x＝－2.
由(1)，知x＝－2满足条件．
故x＝－2.
13．若集合M中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案：D
解析：因为a，b，c是集合M中的三个元素，所以a，b，c互不相等．又a，b，c是△ABC的三边长，所以△ABC一定不是等腰三角形．故选D.
14．设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是________．
答案：8
解析：若a∈P，b∈Q，则a＋b的取值分别为1，2，3，4，6，7，8，11，则组成的集合P＋Q中有8个元素．
15．已知x，y为非零实数，代数式＋＋的值所组成的集合是M，求集合M中的元素．
解：①当x，y均为正数时，代数式＋＋的值为3；②当x，y为一正一负时，代数式＋＋的值为－1；③当x，y均为负数时，代数式＋＋的值为－1.所以集合M中的元素是－1，3.
16．设实数集S是满足下面两个条件的集合：
①1 S；②若a∈S，则∈S.
(1)求证：若a∈S，则1－∈S；
(2)若2∈S，则S中必含有其他的两个数，试求出这两个数；
(3)求证：集合S中至少有三个不同的元素．
解：(1)证明：∵1 S，
∴0 S，即a≠0.
由a∈S，则∈S，得∈S，
即＝＝1－∈S.
故若a∈S，则1－∈S.
(2)由2∈S，知＝－1∈S；
由－1∈S，知＝∈S，
当∈S时，＝2∈S，
因此当2∈S时，S中必含有－1和.
(3)证明：由(1)，知a∈S，∈S，1－∈S.
下证a，，1－互不相等．
①若a＝，则a2－a＋1＝0，无实数解，
∴a≠；
②若a＝1－，则a2－a＋1＝0，无实数解，
∴a≠1－；
③若＝1－，则a2－a＋1＝0，无实数解，∴≠1－.
综上所述，集合S中至少有三个不同的元素．
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