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数学　必修 第一册 RJB
第2课时　集合的表示方法
一、单选题
1．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　)
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．一次函数y＝2x－1的图象上的所有点组成的集合
2．下列集合中不同于另外三个集合的是(　　)
A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}
C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}
3．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，下列表示正确的是(　　)
A．{x|x是小于18的正奇数}
B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}
C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}
D．{x|x＝4s－3，s∈N＋，且s≤5}
4．下列集合的表示方法正确的是(　　)
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的所有解组成的集合为{x<5}
C．整数集可表示为{Z}
D．实数集R可表示为(－∞，＋∞)
5．已知集合A＝{1，2，4}，B＝，则集合B中元素的个数为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
二、多选题
6．下列说法中正确的是(　　)
A． 与{0}表示同一个集合
B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
C．方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1，2}
D．集合{x|47．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是(　　)
A．x1x2∈A B．x2x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
三、填空题
8．不等式3x－≤x的所有解组成的集合可用区间表示为________．
9．两边长分别为3，5的三角形中，第三条边可取的整数的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．
10．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x－4＝0，a∈R}，若A中至多有一个元素，则a的取值范围是________．
四、解答题
11．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的所有解组成的集合；
(2)由所有小于13的既是偶数又是自然数的数组成的集合；
(3)方程x2－4x＋4＝0的所有实数根组成的集合；
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合；
(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
12．(1)设集合B＝.
①试判断元素1，2与集合B的关系；
②用列举法表示集合B；
(2)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，求a，b的值．
13．用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是(　　)
A．{－2≤x≤0且－2≤y≤0}
B．{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}
C．{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y<0}
D．{(x，y)|－2≤x<0或－2≤y≤0}
14．若集合恰有8个整数元素，则a的取值范围为________(用区间表示)．
15．已知关于x的方程mx＋4＝3x－n(m，n∈R)．
(1)求方程的所有解组成的集合A；
(2)若n＝4，关于上述方程仅有正整数解，求m的所有取值组成的集合B.
16．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？
(2)对任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．
第2课时　集合的表示方法
一、单选题
1．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　)
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．一次函数y＝2x－1的图象上的所有点组成的集合
答案：D
解析：本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1的图象上的所有点组成的集合．故选D.
2．下列集合中不同于另外三个集合的是(　　)
A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}
C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}
答案：B
解析：因为{x|x2＝1}＝{－1，1}，另外三个集合都是{1}，故选B.
3．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，下列表示正确的是(　　)
A．{x|x是小于18的正奇数}
B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}
C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}
D．{x|x＝4s－3，s∈N＋，且s≤5}
答案：D
解析：A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；B中除给定集合中的元素外，还有－3，－7，－11，…；C中t＝0时，x＝－3，不属于给定的集合；只有D是正确的．故选D.
4．下列集合的表示方法正确的是(　　)
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的所有解组成的集合为{x<5}
C．整数集可表示为{Z}
D．实数集R可表示为(－∞，＋∞)
答案：D
解析：A中应是xy<0；B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；C中整数集用Z表示；D正确．
5．已知集合A＝{1，2，4}，B＝，则集合B中元素的个数为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
答案：B
解析：因为A＝{1，2，4}，所以B＝＝，所以集合B中元素的个数为5.
二、多选题
6．下列说法中正确的是(　　)
A． 与{0}表示同一个集合
B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
C．方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1，2}
D．集合{x|4答案：BC
解析：A中“ ”表示不含任何元素的集合，而“{0}”表示的集合中含元素0，故A错误；根据集合中元素的无序性可知B正确；根据集合的表示方法可知C正确；D不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举．
7．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是(　　)
A．x1x2∈A B．x2x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
答案：ABC
解析：∵集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，∴x1，x2是奇数，x3是偶数，∴x1x2为奇数，x2x3为偶数，x1＋x2为偶数，x1＋x2＋x3为偶数，故A，B，C正确，D错误．故选ABC.
三、填空题
8．不等式3x－≤x的所有解组成的集合可用区间表示为________．
答案：
解析：由3x－≤x，得x≤，故不等式的所有解组成的集合为，可用区间表示为.
9．两边长分别为3，5的三角形中，第三条边可取的整数的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．
答案：{3，4，5，6，7}　{x∈N|2解析：设三角形第三边长度为x，根据三角形三边长度的关系得x>5－3，即x>2；x<5＋3，即x<8，所以x的取值范围为210．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x－4＝0，a∈R}，若A中至多有一个元素，则a的取值范围是________．
答案：
解析：当a＝0时，A＝；当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－.故a的取值范围是.
四、解答题
11．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的所有解组成的集合；
(2)由所有小于13的既是偶数又是自然数的数组成的集合；
(3)方程x2－4x＋4＝0的所有实数根组成的集合；
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合；
(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
解：(1)解方程组得
故所有解组成的集合可用描述法表示为，
也可用列举法表示为{(4，－2)}．
(2)小于13的既是偶数又是自然数的数有7个，分别为0，2，4，6，8，10，12.可用列举法表示为{0，2，4，6，8，10，12}．
(3)方程x2－4x＋4＝0的实数根为2，因此可用列举法表示为{2}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－4x＋4＝0}．
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．
(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}．
12．(1)设集合B＝.
①试判断元素1，2与集合B的关系；
②用列举法表示集合B；
(2)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，求a，b的值．
解：(1)①当x＝1时，＝2∈N.
当x＝2时，＝ N，∴1∈B，2 B.
②∵∈N，x∈N，∴2＋x只能取2，3，6，
∴x只能取0，1，4，∴B＝{0，1，4}．
(2)由A＝{2，3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的关系，得
因此a＝5，b＝6.
13．用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是(　　)
A．{－2≤x≤0且－2≤y≤0}
B．{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}
C．{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y<0}
D．{(x，y)|－2≤x<0或－2≤y≤0}
答案：B
解析：由题图中阴影知，－2≤x≤0且－2≤y≤0，所以{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}表示阴影部分的点的坐标的集合．
14．若集合恰有8个整数元素，则a的取值范围为________(用区间表示)．
答案：
解析：由题意可得7<－≤9，解得615．已知关于x的方程mx＋4＝3x－n(m，n∈R)．
(1)求方程的所有解组成的集合A；
(2)若n＝4，关于上述方程仅有正整数解，求m的所有取值组成的集合B.
解：(1)由题意，可得(3－m)x＝4＋n，
①当m≠3时，A＝；
②当m＝3，n＝－4时，A＝R；
③当m＝3，n≠－4时，A＝ .
(2)由题意及(1)中结论知，m≠3，且x＝∈N＋，
所以3－m＝1或2或4或8，
所以B＝{2，1，－1，－5}．
16．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？
(2)对任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．
解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，
令a＝3k＋1，b＝3k＋2，
则m＝a＋b.
故若m∈M，
则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．
(2)不一定．
证明如下：设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，
则a＋b＝3(k＋l)＋3.
当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，
此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；
当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6 M，
此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．
故对任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.
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