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数学　必修 第一册 RJB
1.1.2　集合的基本关系
一、单选题
1．下列关系式不正确的是(　　)
A．{1} {1，2} B．{0} {1，2}
C．{2} {1，2} D．1∈{1，2}
2．已知集合A＝{x∈N|－2A．6 B．7
C．14 D．15
3．若集合A满足A B，A C，B＝{0，1，2，3}，C＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
4．已知集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论正确的是(　　)
A．1∈A B．B A
C．(1，1) B D． ∈A
5．若集合M＝，N＝，P＝，则M，N，P的关系是(　　)
A．M＝N?P B．M?N＝P
C．M?N?P D．N?P?M
二、多选题
6．已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{0，1，2}，若A B，则实数a的值可以为(　　)
A． B．1
C．0 D．以上都不对
7．已知集合A＝{x|mx2＋4x＋1＝0}有2个子集，则m的值可以是(　　)
A．0 B．2
C．3 D．4
三、填空题
8．满足条件{x|x2＋1＝0}?M {x|x2－4＝0}的集合M共有________个．
9．设A＝(－1，3]，B＝{x|x>a}，若A?B，则a的取值范围是________．
10．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，则x＝________，y＝________．
四、解答题
11．判断下列集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{x∈N|x2＝1}；
(2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；
(3)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}；
(4)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}．
12．已知集合A＝{x|2m≤x≤m＋2}，B＝[－3，5]，若A B，求实数m的取值范围．
13．(多选)已知集合A＝{x|ax≤4}，B＝{4，}，若B A，则实数a的值可能是(　　)
A．－1 B．1
C．－2 D．2
14．非空集合P满足下列两个条件：(1)P?{1，2，3，4，5}；(2)若元素a∈P，则6－a∈P，则集合P的个数是(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
15．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B A，求实数a的取值范围．
16．已知集合P＝{x∈R|x2＋b＝0}，Q＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}．
(1)若b＝4，存在集合M使得P?M?Q，求这样的集合M；
(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围．
1.1.2　集合的基本关系
一、单选题
1．下列关系式不正确的是(　　)
A．{1} {1，2} B．{0} {1，2}
C．{2} {1，2} D．1∈{1，2}
答案：B
解析：∵0 {1，2}，∴{0} {1，2}不正确，故B不正确；根据子集的概念可知A，C正确；D显然正确．
2．已知集合A＝{x∈N|－2A．6 B．7
C．14 D．15
答案：A
解析：由题意可得A＝{0，1，2}，所以集合A的所有非空真子集的个数是23－2＝6.故选A.
3．若集合A满足A B，A C，B＝{0，1，2，3}，C＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
答案：D
解析：∵A B，A C，∴A中最多能含有0，2两个元素，∴A＝ ，{0}，{2}，{0，2}，共4个．故选D.
4．已知集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论正确的是(　　)
A．1∈A B．B A
C．(1，1) B D． ∈A
答案：B
解析：A项中集合A是一个点集，故1 A；B项中B＝＝{(1，1)}，故B A；C项中“ ”表示集合与集合之间的关系，而(1，1)是一个元素，应为(1，1)∈B；D项中“∈”表示元素与集合之间的关系，而 与A都是集合，应为 A.故选B.
5．若集合M＝，N＝，P＝，则M，N，P的关系是(　　)
A．M＝N?P B．M?N＝P
C．M?N?P D．N?P?M
答案：B
解析：M＝，N＝＝(n∈Z，q＝n－1∈Z)，P＝.所以M?N＝P.故选B.
二、多选题
6．已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{0，1，2}，若A B，则实数a的值可以为(　　)
A． B．1
C．0 D．以上都不对
答案：ABC
解析：因为集合A＝{x|ax＝1}，B＝{0，1，2}，A B，所以A＝ 或A＝{1}或A＝{2}，所以不存在或＝1或＝2，解得a＝0或a＝1或a＝.故选ABC.
7．已知集合A＝{x|mx2＋4x＋1＝0}有2个子集，则m的值可以是(　　)
A．0 B．2
C．3 D．4
答案：AD
解析：由题意可知，集合A中只有一个元素，当m＝0时，A＝，满足题意；当m≠0时，由题意，得Δ＝16－4m＝0，解得m＝4.综上，m＝0或m＝4.故选AD.
三、填空题
8．满足条件{x|x2＋1＝0}?M {x|x2－4＝0}的集合M共有________个．
答案：3
解析：因为{x|x2＋1＝0}＝ ，{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，其非空子集为{－2}，{2}，{－2，2}，所以满足条件{x|x2＋1＝0}?M {x|x2－4＝0}的集合M共有3个．
9．设A＝(－1，3]，B＝{x|x>a}，若A?B，则a的取值范围是________．
答案：(－∞，－1]
解析：根据题意画出数轴，如图所示．∵A?B，∴a≤－1.
10．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，则x＝________，y＝________．
答案：－1　－1
解析：由已知，得A＝B＝{0，|x|，y}，所以0∈A.若x＝0，则A＝{0，0，－y}，不满足元素的互异性；若xy＝0，即y＝0，则B＝{0，|x|，0}，也不满足元素的互异性．所以只有x－y＝0，即y＝x.所以A＝{x，xy，x－y}＝{x，x2，0}，B＝{0，|x|，x}．所以x2＝|x|，所以x＝0(舍去)或x＝1或x＝－1.当x＝1时，A＝B＝{1，1，0}，不满足元素的互异性，故x≠1.当x＝－1时，A＝B＝{－1，1，0}，满足题意．所以x＝y＝－1.
四、解答题
11．判断下列集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{x∈N|x2＝1}；
(2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；
(3)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}；
(4)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}．
解：(1)用列举法表示集合B＝{1}，故B?A.
(2)因为B中n∈Z，所以n－1∈Z，B与A都表示偶数集，所以A＝B.
(3)因为A＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}，B＝{x|2x－5≥0}＝，
利用数轴判断A，B的关系．
如图所示，所以A?B.
(4)因为A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，
B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，所以A＝B.
12．已知集合A＝{x|2m≤x≤m＋2}，B＝[－3，5]，若A B，求实数m的取值范围．
解：①当A＝ 时，满足题意，此时，2m>m＋2，即m>2；
②当A≠ 时，由A B，得
解得－≤m≤2.
综上可得，实数m的取值范围是.
13．(多选)已知集合A＝{x|ax≤4}，B＝{4，}，若B A，则实数a的值可能是(　　)
A．－1 B．1
C．－2 D．2
答案：ABC
解析：因为B A，所以4∈A，∈A，则解得a≤1.故选ABC.
14．非空集合P满足下列两个条件：(1)P?{1，2，3，4，5}；(2)若元素a∈P，则6－a∈P，则集合P的个数是(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
答案：C
解析：由题意，若元素a∈P，则6－a∈P，可以推导出集合P中1，5要同时存在，2，4要同时存在，3可以存在也可以不存在，故集合P的个数是23－2＝6.故选C.
15．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B A，求实数a的取值范围．
解：易知A＝{－4，0}，因为B A，
所以分B＝A和B?A两种情况．
①当A＝B时，B＝{－4，0}，则有－4，0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，于是得a＝1.
②当B?A时，若B＝ ，
则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，
解得a<－1；
若B≠ ，则B＝{－4}或{0}，
Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，验证知B＝{0}满足条件．
综上可知，实数a的取值范围为{a|a＝1或a≤－1}．
16．已知集合P＝{x∈R|x2＋b＝0}，Q＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}．
(1)若b＝4，存在集合M使得P?M?Q，求这样的集合M；
(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围．
解：(1)当b＝4时，方程x2＋4＝0无实根，
所以P＝ ，
又Q＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}＝{－4，－1，1}，
所以P?Q.
由已知，得M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，故可得这样的集合M共有23－2＝6个，分别为{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4，1}，{－1，1}．
(2)当P＝ 时，P是Q的一个子集，
此时b>0.
当P≠ 时，因为Q＝{－4，－1，1}，若P Q，则b＝－1.
综上，b的取值范围是(0，＋∞)∪{－1}．
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