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数学　必修 第一册 RJB
1.2.1　命题与量词
一、单选题
1．下列语句中，命题的个数是(　　)
①空集是任何集合的子集；②求证9是无理数；③若x∈R，则x2－x＋1＝0；④面积相等的三角形是全等三角形．
A．1 B．2
C．3 D．4
2．给出下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除以0，都等于0.
其中全称量词命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．下列命题是存在量词命题的是(　　)
A．等腰三角形是锐角三角形 B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0
C．存在实数大于或者等于3 D．菱形的对角线互相垂直
4．下列四个命题中为假命题的是(　　)
A．若x>1，则x2>1 B．梯形不是平行四边形
C．全等三角形的面积相等 D．x2＋xy－y2≥0
5．下列命题是全称量词命题且是真命题的是(　　)
A． x∈R，x3>0 B． x，y∈R，x2＋y2>0
C． x∈Q，x2∈Q D． x∈Z，x2>1
二、多选题
6．下列说法错误的是(　　)
A．对所有的正实数t，有B．存在实数x，使x2－3x－4＝0
C．不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0
D．对任意实数x，有|x＋1|≤1且x2>4
4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，所以B正确；对于C，由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C错误；对于D，当x＝0时，不成立，所以D错误．故选ACD.
7．已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，B＝{x|x>3}，则下列命题为真命题的是(　　)
A． m∈A，m B B． m∈B，m A
C． m∈A，m∈B D． m∈B，m∈A
三、填空题
8．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“ ”或“ ”符号表示为______________．
9．给出下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③空集是任何一个非空集合的真子集；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.
其中，既是全称量词命题又是真命题的是________，既是存在量词命题又是真命题的是________．(填上所有满足要求的序号)
10．已知命题p： x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是________．
四、解答题
11．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断命题的真假．
(1)存在x，使得x－2≤0；
(2)矩形的对角线互相垂直平分；
(3)三角形的两边之和大于第三边；
(4)有些素数是奇数．
12．用量词符号“ ”“ ”表述下列命题，并判断命题的真假．
(1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；
(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．
13．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是(　　)
A．红豆生南国 B．春来发几枝
C．愿君多采撷 D．此物最相思
14．(多选)下列命题中的真命题是(　　)
A． x∈R，|x|＋1>0 B． x∈N＋，(x－1)2>0
C． x∈R，<1 D． x∈R，5x－3＝2
15．已知命题p：“ x∈[－1，1]，2x2－a≥0”，命题q：“ x∈R，x2＋2x＋2－a＝0”，若命题p和命题q都是真命题，求实数a的取值范围．
16．若函数y＝ax2＋2ax＋3＋a，且 x∈R，y≥0恒成立，求实数a的取值范围．
1.2.1　命题与量词
一、单选题
1．下列语句中，命题的个数是(　　)
①空集是任何集合的子集；②求证9是无理数；③若x∈R，则x2－x＋1＝0；④面积相等的三角形是全等三角形．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：①③④是命题，②不是命题．故选C.
2．给出下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除以0，都等于0.
其中全称量词命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：①②④都是全称量词命题，③是存在量词命题．故选C.
3．下列命题是存在量词命题的是(　　)
A．等腰三角形是锐角三角形 B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0
C．存在实数大于或者等于3 D．菱形的对角线互相垂直
答案：C
解析：A，B，D中的命题都是全称量词命题，C中的命题是存在量词命题．故选C.
4．下列四个命题中为假命题的是(　　)
A．若x>1，则x2>1 B．梯形不是平行四边形
C．全等三角形的面积相等 D．x2＋xy－y2≥0
答案：D
解析：对于A，若x>1，则x2>1，故A是真命题；对于B，梯形是四边形，但不是平行四边形，故B是真命题；对于C，全等三角形的面积一定相等，故C是真命题；对于D，当x＝0，y＝2时，x2＋xy－y2＝－4<0，故D是假命题．故选D.
5．下列命题是全称量词命题且是真命题的是(　　)
A． x∈R，x3>0 B． x，y∈R，x2＋y2>0
C． x∈Q，x2∈Q D． x∈Z，x2>1
答案：C
解析：首先D项是存在量词命题，不符合要求；A项不是真命题，因为当x＝0时，x3＝0；B项也不是真命题，因为当x＝y＝0时，x2＋y2＝0；只有C项是真命题，同时也是全称量词命题．故选C.
二、多选题
6．下列说法错误的是(　　)
A．对所有的正实数t，有B．存在实数x，使x2－3x－4＝0
C．不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0
D．对任意实数x，有|x＋1|≤1且x2>4
答案：ACD
解析：对于A，当t＝时，>t，所以A错误；对于B，由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，所以B正确；对于C，由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C错误；对于D，当x＝0时，不成立，所以D错误．故选ACD.
7．已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，B＝{x|x>3}，则下列命题为真命题的是(　　)
A． m∈A，m B B． m∈B，m A
C． m∈A，m∈B D． m∈B，m∈A
答案：AD
解析：因为A＝{y|y＝x2＋2}＝{y|y≥2}，B＝{x|x>3}，所以B是A的真子集，所以A，D为真命题，B，C为假命题．故选AD.
三、填空题
8．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“ ”或“ ”符号表示为______________．
答案： x≤0，x3≤0
解析：命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“ ”符号可以表示为 x≤0，x3≤0.
9．给出下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③空集是任何一个非空集合的真子集；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.
其中，既是全称量词命题又是真命题的是________，既是存在量词命题又是真命题的是________．(填上所有满足要求的序号)
答案：①②③　④⑤
解析：①②③都是全称量词命题，且都为真命题，④⑤⑥都是存在量词命题，但其中只有④⑤是真命题．
10．已知命题p： x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是________．
答案：(－∞，－1)
解析：由题意可得a四、解答题
11．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断命题的真假．
(1)存在x，使得x－2≤0；
(2)矩形的对角线互相垂直平分；
(3)三角形的两边之和大于第三边；
(4)有些素数是奇数．
解：(1)存在量词命题．因为当x＝2时，x－2＝0，所以存在量词命题“存在x，使得x－2≤0”是真命题．
(2)全称量词命题．因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题．
(3)全称量词命题．由三角形的三边关系可知全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题．
(4)存在量词命题．因为3是素数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题．
12．用量词符号“ ”“ ”表述下列命题，并判断命题的真假．
(1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；
(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．
解：(1) x∈R，x2＋x＋1>0；真命题．
(2) a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命题．
如当a＝0，b＝0时，该方程的解有无数个．
(3) x，y∈Z，3x－2y＝10；真命题．
(4) x∈Q，x2＋x＋1是有理数；真命题．
13．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是(　　)
A．红豆生南国 B．春来发几枝
C．愿君多采撷 D．此物最相思
答案：A
解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．故选A.
14．(多选)下列命题中的真命题是(　　)
A． x∈R，|x|＋1>0 B． x∈N＋，(x－1)2>0
C． x∈R，<1 D． x∈R，5x－3＝2
答案：ACD
解析：对于A，因为x∈R，所以|x|＋1>0，故A是真命题；对于B，因为x∈N＋，所以当x＝1时，(x－1)2＝0，与(x－1)2>0矛盾，故B是假命题；对于C，当x>1时，<1，故C是真命题；对于D，当x＝1时，5x－3＝2，故D是真命题．
15．已知命题p：“ x∈[－1，1]，2x2－a≥0”，命题q：“ x∈R，x2＋2x＋2－a＝0”，若命题p和命题q都是真命题，求实数a的取值范围．
解：若命题p为真命题，
即 x∈[－1，1]，a≤2x2，
即a小于等于2x2的最大值，
所以a≤2；
若命题q为真命题，则关于x的方程x2＋2x＋2－a＝0有实根，
所以Δ＝4－4×1×(2－a)≥0，
解得a≥1.
因为命题p和命题q都是真命题，
所以实数a的取值范围为[1，2]．
16．若函数y＝ax2＋2ax＋3＋a，且 x∈R，y≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解：若a＝0，则y＝3>0，符合题意；
若a≠0，则y＝ax2＋2ax＋3＋a是二次函数，
ax2＋2ax＋3＋a≥0恒成立，
只需即
解得a>0.
综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥0}．
4

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