资源简介

数学　必修 第一册 RJB
1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
一、单选题
1．命题“ x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　)
A． x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B． x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C． x∈[0，＋∞)，x3＋x<0 D． x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0
2．命题“有些三角形是等腰三角形”的否定是(　　)
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形都不是等腰三角形
D．所有三角形都是等腰三角形
3．命题“ m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”的否定是(　　)
A． m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C． m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫给数学家欧拉的信中提出的猜想：“任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”，则哥德巴赫猜想的否定为(　　)
A．任意小于2的偶数都不可以表示成两个质数之和
B．任意大于2的偶数都不可以表示成两个质数之和
C．至少存在一个小于2的偶数不可以表示成两个质数之和
D．至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和
5．已知命题p： x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是(　　)
A．{a|a<－1} B．{a|a≥1}
C．{a|a>1} D．{a|a≤－1}
二、多选题
6．下列命题的否定是假命题的是(　　)
A．三角形角平分线上的点到角两边的距离相等
B．所有平行四边形都不是菱形
C．任意两个等边三角形都是相似的
D．3是方程x2－9＝0的一个根
7．下列四个命题的否定为真命题的是(　　)
A．p：所有四边形的内角和都是360°
B．q： x∈R，x2＋2x＋2≤0
C．r： x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
D．s：对所有实数a，都有|a|>0
三、填空题
8．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是____________．
9．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为____________；此命题的否定是____________，是________(填“真”或“假”)命题．
10．若命题“ x∈R，2x2＋3x＋a＝0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
四、解答题
11．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假．
(1)关于x的方程ax＝b总有实数根；
(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1(4) x>1，x2－2x－3＝0.
12．已知命题“ x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．
13．命题“ a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立”的否定为(　　)
A． a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
B． a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
C． a，b>0，a＋>2和b＋>2都不成立
D． a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立
14．已知命题p： x∈R，|x＋3|>0，则 p是________命题．(填“真”或“假”)
15．已知a，b，c为实数，且a＝b＋c＋1，证明：两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．
16．已知命题p： x∈R，－x2－2x＋m≥0，命题q： x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围．
1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
一、单选题
1．命题“ x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　)
A． x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B． x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C． x∈[0，＋∞)，x3＋x<0 D． x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0
答案：C
解析：由全称量词命题的否定是存在量词命题可知A，B错误；因为x3＋x≥0的否定为x3＋x<0，所以D错误，C正确．
2．命题“有些三角形是等腰三角形”的否定是(　　)
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形都不是等腰三角形
D．所有三角形都是等腰三角形
答案：C
解析：存在量词命题的否定为全称量词命题，注意否定结论．故选C.
3．命题“ m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”的否定是(　　)
A． m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C． m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
答案：C
解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词，即“ ”改为“ ”；另一方面要否定结论，即“有实数根”改为“无实数根”．故选C.
4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫给数学家欧拉的信中提出的猜想：“任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”，则哥德巴赫猜想的否定为(　　)
A．任意小于2的偶数都不可以表示成两个质数之和
B．任意大于2的偶数都不可以表示成两个质数之和
C．至少存在一个小于2的偶数不可以表示成两个质数之和
D．至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和
答案：D
解析：哥德巴赫猜想的否定为“至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和”．
5．已知命题p： x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是(　　)
A．{a|a<－1} B．{a|a≥1}
C．{a|a>1} D．{a|a≤－1}
答案：B
解析：因为p为假命题，所以 p为真命题，即 x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，则a≥1.故选B.
二、多选题
6．下列命题的否定是假命题的是(　　)
A．三角形角平分线上的点到角两边的距离相等
B．所有平行四边形都不是菱形
C．任意两个等边三角形都是相似的
D．3是方程x2－9＝0的一个根
答案：ACD
解析：A的否定为存在一个三角形，它的角平分线上的点到角两边的距离不相等，是假命题；B的否定为有些平行四边形是菱形，是真命题；C的否定为有些等边三角形不相似，是假命题；D的否定为3不是方程x2－9＝0的一个根，是假命题．故选ACD.
7．下列四个命题的否定为真命题的是(　　)
A．p：所有四边形的内角和都是360°
B．q： x∈R，x2＋2x＋2≤0
C．r： x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
D．s：对所有实数a，都有|a|>0
答案：BD
解析：对于A， p：有的四边形的内角和不是360°，是假命题；对于B， q： x∈R，x2＋2x＋2>0，是真命题，这是由于 x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立；对于C， r： x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，是假命题；对于D， s：存在实数a，使|a|≤0，是真命题．
三、填空题
8．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是____________．
答案：任意一个三角形都有外接圆
解析：该命题是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则否定是“任意一个三角形都有外接圆”．
9．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为____________；此命题的否定是____________，是________(填“真”或“假”)命题．
答案： x，y∈R，x＋y>1　 x，y∈R，x＋y≤1　假
解析：此命题用符号表示为 x，y∈R，x＋y>1，此命题的否定是 x，y∈R，x＋y≤1，原命题为真命题，所以它的否定为假命题．
10．若命题“ x∈R，2x2＋3x＋a＝0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案：
解析：因为命题“ x∈R，2x2＋3x＋a＝0”是假命题，所以其否定“ x∈R，2x2＋3x＋a≠0”是真命题，即方程2x2＋3x＋a＝0无实根，所以Δ＝32－4×2×a<0，解得a>.故实数a的取值范围是.
四、解答题
11．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假．
(1)关于x的方程ax＝b总有实数根；
(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1(4) x>1，x2－2x－3＝0.
解：(1)这个命题的否定为“有些关于x的方程ax＝b无实数根”，如0x＝1，所以所得命题为真命题．
(2)这个命题的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”，如2只有1和它本身这两个约数，所以所得命题为假命题．
(3)这个命题的否定为“存在实数x1，x2，满足x1这个命题中若x1＝－1，x2＝1，有x＋1＝x＋1，所以所得命题为真命题．
(4)这个命题的否定为“ x>1，x2－2x－3≠0”，因为当x＝3时，x2－2x－3＝0，
所以所得命题为假命题．
12．已知命题“ x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．
解：题中的命题为全称量词命题，因为其为假命题，所以其否定“ x∈R，ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根．所以a＝0或即a＝0或a≤1且a≠0，所以a≤1.
所以实数a的取值范围是(－∞，1]．
13．命题“ a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立”的否定为(　　)
A． a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
B． a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
C． a，b>0，a＋>2和b＋>2都不成立
D． a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立
答案：D
解析：由存在量词命题的否定为全称量词命题可得，“ a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立”的否定为“ a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”．故选D.
14．已知命题p： x∈R，|x＋3|>0，则 p是________命题．(填“真”或“假”)
答案：真
解析：命题p： x∈R，|x＋3|>0，则 p： x∈R，|x＋3|≤0，当x＝－3时，|－3＋3|＝0≤0成立，所以 p是真命题．
15．已知a，b，c为实数，且a＝b＋c＋1，证明：两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．
证明：要证明结论的否定为两个方程都没有两个不相等的实数根，若其为真命题，
则有Δ1＝1－4b≤0，Δ2＝a2－4c≤0.
所以Δ1＋Δ2＝1－4b＋a2－4c≤0.
因为a＝b＋c＋1，所以b＋c＝a－1.
所以1－4(a－1)＋a2≤0，即a2－4a＋5≤0.
但是a2－4a＋5＝(a－2)2＋1>0，故矛盾．
所以要证明结论的否定是假命题，则要证明的结论为真命题，即两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．
16．已知命题p： x∈R，－x2－2x＋m≥0，命题q： x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围．
解：因为命题p为假命题，
所以命题p的否定为真命题，即命题“ x∈R，－x2－2x＋m<0”为真命题，
即－x2－2x＋m＝－(x2＋2x＋1)＋1＋m＝－(x＋1)2＋1＋m<0对任意x∈R恒成立，
故m<(x＋1)2－1对任意x∈R恒成立，
所以m<－1；
若命题q： x∈R，x2＋2x－m－1＝0为真命题，
则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，
所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.
综上，实数m的取值范围为[－2，－1)．
9

展开更多......

收起↑