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数学　必修 第一册 RJB
第2课时　充要条件
一、单选题
1．若x，y∈R，则“x2＋y2≤1”是“x≤1，y≤1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知p：x≤－1或x≥3，q：x>5，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知a，b是实数，则“a<0且b<0”是“a＋b<0且ab>0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的(　　)
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
6．下列命题中是真命题的是(　　)
A．“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件
B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件
C．“b2－4ac＝0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数解”的充要条件
D．“三角形的三边满足勾股定理”的充要条件是“此三角形为直角三角形”
7．已知集合A＝{x|－1A．m≤－2 B．m<－2
C．m<2 D．－4三、填空题
8．“x<0”是“|x|＝－x”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
9．若“x>k”是“－3≤x<2”的必要不充分条件，则实数k的取值范围是________．
10．“关于x的方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是________．
四、解答题
11．证明：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
12．已知p：013．已知集合M＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，则“x∈M”是“x∈N”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知p：m－115．求关于x的方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．
16．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
第2课时　充要条件
一、单选题
1．若x，y∈R，则“x2＋y2≤1”是“x≤1，y≤1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：因为若x，y∈R，x2＋y2≤1，则可得x≤1，y≤1，所以充分性成立．当x≤1，y≤1时，x2＋y2≤1不一定成立，所以必要性不成立．故选A.
2．已知p：x≤－1或x≥3，q：x>5，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由{x|x>5}是{x|x≤－1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件．故选B.
3．已知a，b是实数，则“a<0且b<0”是“a＋b<0且ab>0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：“a<0且b<0”可以推出“a＋b<0且ab>0”，反之也是成立的．故选C.
4．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的(　　)
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：若方程x2＋x＋m＝0有实数解，则Δ＝1－4m≥0，解得m≤.又m<是m≤的充分不必要条件．故选A.
5．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：根据题意列出A，B，C，D的关系如图，显然有D C B A，即D A；而AB CD，即AD.故选B.
二、多选题
6．下列命题中是真命题的是(　　)
A．“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件
B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件
C．“b2－4ac＝0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数解”的充要条件
D．“三角形的三边满足勾股定理”的充要条件是“此三角形为直角三角形”
答案：BD
解析：因为由x>2且y>3 x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3，所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件，A为假命题；因为由x>1 |x|>0，而由|x|>0不能推出x>1，所以“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件，B为真命题；因为由b2－4ac＝0能推出关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数解，而由关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数解 b2－4ac≥0，所以“b2－4ac＝0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数解”的充分不必要条件，C为假命题；由三角形的三边满足勾股定理 此三角形为直角三角形，由三角形为直角三角形 该三角形的三边满足勾股定理，D为真命题．故选BD.
7．已知集合A＝{x|－1A．m≤－2 B．m<－2
C．m<2 D．－4答案：BD
解析：设A∩B＝ 的一个充分不必要条件是p，p对应的集合为C，当A∩B＝ 时，m＋1≤－1，解得m≤－2，所以C?(－∞，－2]，因此B，D满足条件．故选BD.
三、填空题
8．“x<0”是“|x|＝－x”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案：充分不必要
解析：因为|x|＝－x x≤0，{x|x<0}?{x|x≤0}，由此可知“x<0”是“|x|＝－x”的充分不必要条件．
9．若“x>k”是“－3≤x<2”的必要不充分条件，则实数k的取值范围是________．
答案：(－∞，－3)
解析：若“x>k”是“－3≤x<2”的必要不充分条件，则[－3，2)是(k，＋∞)的真子集，故k<－3，即实数k的取值范围是(－∞，－3)．
10．“关于x的方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是________．
答案：a<－1
解析：因为关于x的方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根．故“关于x的方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是a<－1.
四、解答题
11．证明：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明：①充分性：由a＋b＋c＝0，
得a＝－b－c，代入ax2＋bx＋c＝0，
得(－b－c)x2＋bx＋c＝0，
即(1－x)(bx＋cx＋c)＝0，
∴ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
②必要性：由关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，把它代入方程即有a＋b＋c＝0.
综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
12．已知p：0解：设x1，x2是方程mx2－2x＋3＝0的两个根，则一元二次方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实数根等价于
所以p是q的充要条件．
13．已知集合M＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，则“x∈M”是“x∈N”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：集合N表示所有奇数构成的集合，而集合M中的元素为奇数，但不是所有的奇数，所以“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件．故选A.
14．已知p：m－1答案：
解析：因为p是q的必要不充分条件，所以?(m－1，m＋1)，则解得－≤m≤.当m＝－时，有?；当m＝时，有?.综上所述，实数m的取值范围是.
15．求关于x的方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．
解：

所以两方程有一个公共实根的充要条件为k＝－2.
16．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
证明：①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，
则|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
当xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0.
又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，
∴等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，
|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，
∴等式成立．
综上，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性：由|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，
∴|xy|＝xy，
∴xy≥0.
综上可知，|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
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