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专题02 运动学图像、多过程运动模型及追击相遇
目录
题型一 运动学图像的理解与应用 1
类型1 x－t图象与v－t图象的比较 1
类型2 v-t图像中的曲线问题 6
类型3 x-t图像中的曲线问题 13
题型二 常见的多过程运动模型 21
类型1 “0—v—0”运动模型 21
类型2 先减速为为0，后原路返回运动模型 30
类型3 先匀速，后减速运动模型---反应时间问题 35
类型4 三倍加速度运动模型 41
类型5 等时间折返模型 48
题型三 追及相遇问题 61
类型1 变速物体追匀速物体 62
类型2 变速物体追变速物体 69
题型一 运动学图像的理解与应用
【解题指导】1．x－t图像、v－t图像都只能描述直线运动，且不表示物体运动的轨迹.
x－t图像的斜率表示物体运动的速度，可根据斜率判断速度变化情况，两图线交点表示相遇.
v－t图像的斜率大小表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向，在拐点处加速度方向改变，速度方向不变.
v－t图像中图线与t轴所围成的图形的面积表示该段时间内的位移．图线在t轴上方，表示位移为正；图线在t轴下方，表示位移为负，物体在该段时间内的总位移为上、下面积的代数和.
5.有些特殊图像，比如v2－x图像、－t图像、a－t图像、x－t2图像等，先确定纵坐标与横坐标的函数关系，转化为常见形式，再从图像的斜率、截距、面积等找突破口，从而求解相关物理量．
类型1 x－t图象与v－t图象的比较
x－t图象 v－t图象
图象 举例
意义 倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动
特别处 两条图线的交点表示相遇 图线与时间轴所围面积表示位移
运动 情况 甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动 丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动
位移 0～t1时间内甲、乙位移相等 0～t2时间内丁的位移大于丙的位移
平均 速度 0～t1时间内甲、乙平均速度相等 0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度
【典例1】某汽车行驶过程中发现其前方30m处有一辆货车，驾驶员立即刹车，其刹车过程中的图像如图所示，同时货车以下列方式行驶，不相撞的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A．由汽车刹车过程的图像可知，，即
与匀变速直线运动位移公式对比可得汽车初速度，加速度
刹车到停止的时间
刹车总位移
由图A可知，货车以匀速行驶。设经过时间两车相遇，有
解得或
在时两车已经相遇，会相撞，故A错误；
B．由图B可知，货车做初速度为零的匀加速直线运动，由结合图像斜率可得
解得
设经过时间两车速度相等，有
解得
此时汽车位移
货车位移
相对距离
说明在速度相等前两车已经相撞，故B错误；
C．由图C可知，货车在内做加速度减小的加速运动，图线为向上凸的曲线。与匀加速直线运动相比，相同时间内图线与时间轴围成的面积更大，所以内货车位移大于
汽车在内位移为
初始距离为，则
此时两车未相撞，后汽车速度继续减小，货车速度大于汽车速度，间距持续变大，不会相撞，故C正确；
D．由图D可知，货车在内做加速度逐渐增大的加速运动，图线为向下凹的曲线。与匀加速直线运动相比，相同时间内图线与时间轴围成的面积更小，所以内货车位移小于
汽车在内位移为，初始距离，则
即汽车在前已经追上货车，会相撞，故D错误。
故选C。
【典例2】如图所示，甲、乙两个图像分别表示四个物体沿同一直线的运动情况，、为直线，、为曲线，末，、物体图线的斜率分别与、物体图线的斜率相同，下列说法正确的是（　　）
A．末，、两物体的速度相等，、两物体的加速度相等
B．、在末相遇，、也在末相遇
C．、两物体在内的平均速度相等
D．四个物体的运动方向一直都相同
【答案】A
【详解】A．末，、物体图线的斜率分别与、物体图线的斜率相同，甲图中图线斜率表示速度，乙图中图线斜率表示加速度，则末，、两物体的速度相等，、两物体的加速度相等，故A正确；
B．甲图为图像，、图像的交点表示相遇，乙图为图像，、图线的交点表示速度相等，则、两物体在末相遇，由于不知道、两物体的初位置关系，故不能判断、两物体在末是否相遇，故B错误；
C．图像与轴围成的面积表示位移，由图像可知，、两物体在内的位移不相等，故平均速度不相等，故C错误；
D．物体先向负方向运动再向正方向运动，、、三个物体都向正方向运动，故D错误。
故选A。
【典例3】有四个物体、、、，物体、运动的图像如图甲所示；物体、从同一地点沿同一方向运动的图像如图乙所示．根据图像做出的以下判断中正确的是（ ）
A．物体和均做匀变速直线运动
B．在的时间内，物体、的间距逐渐减小
C．时，物体、的位移相同
D．在的时间内，物体与的间距逐渐增大
【答案】D
【详解】A．由题图甲看出：物体和的位移-时间图像都是倾斜的直线，斜率都不变，说明两物体都做匀速直线运动，A错误；
B．从图像上可以看出两者之间的距离一直在增大，B错误；
C．根据图线与轴所围面积表示位移以及物体、从同一地点沿同一方向运动可知，时物体、的位移不相同，C错误；
D．由题图乙看出：在的时间内，在C的前方且速度较大，、间距离增大，D正确。
故选D。
练习1、（多选）有四个运动的物体A、B、C、D，物体A、B运动的x-t图像如图甲所示；物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v-t图像如图乙所示。根据图像做出的以下判断中正确的是
A．物体A和B的速度均不变且A的速度比B更小
B．在0～3 s的时间内，物体B运动的位移为10 m
C．t=3 s时，物体C和D的速度相同
D．t=3 s时，物体C的加速度为m/s2
【答案】BCD
【详解】A．由甲图看出物体和位移图像都是倾斜的直线，斜率都不变，速度都不变，说明两物体都做匀速直线运动，图线的斜率大于图线的斜率，的速度比更大，故A错误；
B．由甲图看出在0～3 s的时间内，物体B运动的位移为：
故B正确；
C．由乙图看出时，图线和图线相交，说明物体和的速度相同，故C正确；
D．根据加速度定义可知物体的加速度为：
故D正确；
故选BCD。
练习2、如图所示，甲图是x-t即位置与时间图像，乙图是v-t图像，图中给出的四条曲线1、2、3、4，分别代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是（　　）
A．两图像中，t2、t4时刻分别表示物体2、物体4已经向负方向运动
B．两图像中，物体1和物体2在t1时刻相遇，物体3和物体4在t3时刻相遇
C．x-t图像中0至t1时间内物体1和物体2的平均速度相等
D．v-t图像中0至t3时间内物体3和物体4的平均速度相等
【答案】C
【详解】A．x-t图像切线的斜率表示物体运动的速度，速度的正负表示物体的运动方向，所以甲图中t2时刻物体2已经向负方向运动，而乙图中t4时刻速度为正，物体4仍向正方向运动，故A错误；
B．x-t图像的交点表示两物体相遇，而v-t图像的交点表示速度相等，故B错误；
C．平均速度等于物体发生的位移与所用时间的比值，甲图中两物体位移相等，时间相等，所以平均速度相等，故C正确；
D．v-t图像与横轴所围区域的面积表示物体发生的位移，乙图中物体4的位移大于物体3的位移，两物体运动时间相等，所以物体4的平均速度大于物体3的平均速度，故D错误。
故选C。
类型2 v-t图像中的曲线问题
<(v1+v2)/2 >(v1+v2)/2 >(v1+v2)/2 <(v1+v2)/2
加速度增大 加速度减小 加速度增大 加速度减小
曲线不表示物体做曲线运动，而是表示物体做变加速直线运动
【典例1】中国自主研发制造的万米级全海深载人潜水器“奋斗者”号在马里亚纳海沟成功坐底，创造了10909米的中国载人深潜新纪录。某次深潜探测中，“奋斗者”号的速度-时间图像如图所示，忽略下潜过程重力加速度的变化。则（ ）
A．时间内潜水器内的科考人员处于超重状态
B．时间内“奋斗者”号的平均速度大于它在时间内的平均速度
C．时间内“奋斗者”保持静止状态
D．时间内“奋斗者”号受到的合力不断增大
【答案】B
【详解】A．时间内潜水器内的科考人员加速下潜，有向下的加速度，故处于失重状态，故A错误；
B．v-t图像中图线与时间轴所围成的面积表示位移，时间内“奋斗者”号的平均速度大于速度从的匀加速直线运动的平均速度
而时间内的平均速度小于，故B正确；
C．时间内“奋斗者”以的速度做匀速直线运动，故C错误；
D．时间内“奋斗者”号的加速度逐渐减小，则受到的合力不断减小，故D错误。
故选B。
【典例2】一质点沿直线运动，其速度随时间变化的关系图像恰好是与坐标轴相切的圆弧，如图所示。则质点在4s时的加速度大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】速度-时间图像中斜率表示加速度，在图像中作t=4s时对应点的切线PQ，如图乙所示
有
即
所以
结合图形意义可知4s时加速度的大小为。
故选B。
【典例3】甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t1的时间内，它们的v一t图像如图所示。在这段时间内（　　）
A．汽车甲的平均速度比乙的小
B．汽车甲的平均速度大于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐增大，汽车乙的加速度大小逐渐减小
【答案】B
【详解】AC．在v-t图像中图形的面积代表位移的大小，根据图像可知，在这段时间内，甲的位移大于乙的位移，时间相同，根据平均速度等于位移与时间之比，可知汽车甲的平均速度比乙的大，故AC错误；
B．若甲做匀加速直线运动，其平均速度等于，而实际上，甲做变加速直线运动，通过的位移大于匀加速直线运动的位移，所以甲的平均速度大于，故B正确；
D．因为速度时间图像切线的斜率等于物体的加速度，汽车甲和乙的加速度大小都是逐渐减小，故D错误。
故选B。
练习1、刚刚结束的奥运会上，广东小将全红婵（图甲）以总分466.2分打破世界纪录，获得跳水单人十米台金牌。自运动员离开跳台开始计时到完全落入水中，其速度随时间变化情况可简化如图乙，选向下为正方向，下列结论正确的是（　　）
A．0-t2为空中运动时间，速度始终向下
B．t1-t2内的加速度比在t2-t3内加速度大
C．在0-t1内，平均速度等于
D．在t2-t3内，平均速度
【答案】C
【详解】A．0～t2为空中运动时间内，速度先为负值，后为正值，则速度方向先向上，后向下，故A错误；
B．v-t图像斜率的绝对值表示加速度大小，由图可以看出，t1-t2内的加速度比在t2-t3内加速度小，故B错误；
C．在0~t1内，图线斜率不变，表示匀变速直线运动，则由匀变速直线运动推论，平均速度等于初、末速度和的一半，即为，故C正确；
D．v-t图像与坐标轴所围的面积表示位移，由图像可以看出，实际图线在t2~t3时间内围的面积小于虚线（匀减速到零）所围面积，平均速度等于位移与所用时间的比值，所以此段时间内的平均速度小于此段时间内匀减速到零的平均速度，故D错误。故选C。
练习2、如图甲运动员从离开跳板开始计时，其重心的图像如图乙所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．运动员在空中做的是自由落体运动 B．运动员在时，刚好到达最高点
C．运动员在水中的加速度逐渐增大 D．运动员双脚离开跳板后重心上升的高度为
【答案】D
【详解】A．运动员离开跳板时有向上的速度，所以在空中不是做自由落体运动，故A错误；
B．由图可知，运动员在时，刚好到达最高点，故B错误；
C．在图中，图线的斜率表示加速度，由图可知，运动员在水中时的斜率逐渐变小，加速度逐渐变小，故C错误；
D．在内，由题意可得
故D正确。
故选D。
练习3、（多选）在抗击“新冠”疫情期间，为了保障百姓基本生活，许多快递公司推出了“无接触配送”即用无人机配送快递（如图1）。某次快递员操作无人机竖直向上由地面向10楼阳台配送快递，无人机飞行过程的v-t图像如图2所示，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．0~t1时间内，无人机做匀加速直线运动 B．时间内，无人机的平均速度小于
C．t3时刻，无人机仅受重力作用 D．t1-t2时间内，无人机的机械能增加
【答案】BD
【详解】A．根据v-t图像的斜率表示加速度可知，时间内斜率在变小，即加速度在变小，无人机做加速度减小的加速运动，A错误；
B．根据v-t图像与时间轴围成的“面积”表示无人机运动的位移，可知图像与横轴围成的面积小于连接曲线上和两点直线时与横轴围成的面积，再根据匀变速直线运动的平均速度表达式可得，时间内无人机的平均速度，B正确；
C．根据v-t图像，时刻无人机悬停，速度为零，处于平衡状态，受到升力和重力作用，C错误；
D．时间内，无人机的动能不变，而高度升高，则重力势能增加，机械能增加，D正确。
故选BD。
练习4、（多选）自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，是一种通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车。在进行无人驾驶汽车和常规汽车运动工况对比实验的时候，如图所示直线和曲线分别是在平直公路上行驶的无人驾驶汽车和常规汽车的速度—时间（）图线，时刻两车经过同一位置，由图可知（ ）
A．在时刻，两车加速度方向相反
B．在到这段时间内，常规汽车车的平均速度比无人驾驶汽车车的大
C．在到这段时间内，两车之间的距离先拉开后靠近
D．在到这段时间内，常规汽车车的加速度一直比无人驾驶汽车车的大
【答案】AB
【详解】A．时刻，车的v-t图斜率为正，加速度为正；车的v-t图斜率为负，加速度为负，因此两车加速度方向相反，故A正确；
B．到时间内，的v-t图面积始终大于，即的位移
运动时间相同，由得：的平均速度更大，故B正确；
C．时刻两车同一位置，内始终满足（仅两端点速度相等）
因此两车距离一直增大，时刻距离最大，没有出现“靠近（距离减小）”的过程，故C错误；
D．车的斜率先大后小，在最高点处斜率减为0，小于车恒定的加速度，因此的加速度不是一直比大，故D错误。
故选AB。
练习5、（多选）甲、乙两个质点分别在两个并排直轨道上运动，其速度随时间的变化规律分别如图中a、b所示，图线a是直线，图线b是抛物线，时间内图线a、b与横轴围成的面积相等，抛物线顶点的横坐标为，下列说法正确的是（　　）
A．时间内甲、乙的位移大小相等
B．时间内甲、乙的位移大小之比为
C．时间内乙的平均速度大于甲的平均速度
D．时间内甲的加速度一直小于乙的加速度
【答案】AB
【详解】A．图像中，图线与坐标轴所围图形的面积表示位移，时间内图线a、b与横轴围成的面积相等，所以甲、乙的位移大小相等，故A正确；
B．图线b是抛物线，根据抛物线的特点可知
则在时间内甲乙的位移为
根据匀变速直线运动中间时刻的速度等于平均速度，可得时刻甲的速度
则时间内甲的位移
由抛物线的对称性可知乙的位移为
则，故B正确；
C．时间内a与坐标轴围成的面积大于b与坐标轴围成的面积，可知此时间段内甲的位移大于乙的位移，则甲的平均速度大于乙的平均速度，故C错误；
D．图像中图线的斜率等于加速度，则根据图像可知时间段内乙的加速度是不断减小的，到时刻乙的加速度变为零，而甲的加速度一直固定不变，所以时间段内甲的加速度大小一开始小于乙的加速度大小，之后甲的加速度大小大于乙的加速度大小，故D错误。
故选AB。
类型3 x-t图像中的曲线问题
(1)一般曲线
①曲线不表示物体做曲线运动，而是表示物体做变速直线运动；
②一段割线的斜率等于平均速度，某点切线斜率等于瞬时速度；
③注意路程和位移区别。0~t1，路程等于位移大小(x1)；0~t2，路程(2x1-x2)大于位移大小(x2)。
（2）抛物线
①开口向上的抛物线表示物体做匀加速直线运动，开口向下表示匀减速；
②加速度用逐差法计算：(x3-x2)-(x2-x1)=aT2；
③中间时刻速度等于该段时间内的平均速度，例如2s末的速度等于1s~3s内的平均速度，v2=(x3-x1)/2T。
【典例1】（多选）一列复兴号动车进站时做匀减速直线运动，车头经过站台上三个立柱A、B、C，对应时刻分别为t1、t2、t3，其x-t图像如图所示。则下列说法正确的是（ ）
A．
B．车头经过立柱A的速度大于
C．车头经过立柱B的加速度大小为
D．车头经过立柱B时的速度大小为
【答案】BC
【详解】AB．由图像的纵坐标可知，车头在，和时刻的位移分别为，和。取运动方向为正方向，车头加速度沿负方向，设初速度为，加速度大小为。由匀变速直线运动的位移公式得，
由这两个方程，前两段相等位移的平均速度之差为
因此第二段用时更长，有
A项给出的时间比却满足
设时刻车头的速度为，由速度公式得
结合前述位移方程可得，故A错误，B正确；
CD．设时刻车头的速度为，对至的运动，速度关系为
由位移公式，前一段位移满足
代入速度关系并除以该段用时，前一段平均速度为
后一段位移满足
除以该段用时，后一段平均速度为
两式相减并整理，得到加速度大小为
上述前一段平均速度大于后一段，因此后一段用时更长，即
将两段位移相加并整理得，故C正确，D错误。
故选BC。
【典例2】（多选）如图（a），倾角为的足够长斜面放置在粗糙水平面上。质量相等的小物块A、B（可视为质点）同时以相同的初速度沿斜面下滑，A、B与斜面的动摩擦因数分别为、；整个过程中斜面相对地面静止。A和B的位置x与时间t的关系曲线如图（b）所示，两条曲线均为抛物线，A的曲线在时切线斜率为0，则（ ）
A．时，B追上A
B．时，B的速度大小为
C．之前，A和B的加速度大小相等，方向相反
D．
【答案】ACD
【详解】A．由图可知，时，A、B处在同一位置，即B追上A，故A正确；
B．位置与时间图像的斜率表示速度，A、B两个物块的曲线均为抛物线，由图可知，A物体做匀减速运动，B物体做匀加速运动，对A物块有
对B物块有
解得，故B错误；
C．之前，A的加速度为
B的加速度为
可知，A和B的加速度大小相等，方向相反，故C正确；
D．取沿斜面向下为正方向，对A由牛顿第二定律有
对B由牛顿第二定律有
联立解得，故D正确。
故选ACD。
【典例3】（多选）如图（a），倾角为的足够长斜面放置在粗糙水平面上。质量均为的小物块甲、乙同时以初速度沿斜面下滑，斜面的质量为，甲、乙与斜面的动摩擦因数分别为、，整个过程中斜面相对地面静止。甲和乙的位置与时间的关系曲线如图（b）所示，两条曲线均为抛物线，乙的曲线在时切线斜率为0，重力加速度为g，则（ ）
A．时，甲的速度大小为
B．
C．之后，地面对斜面的支持力大小为
D．之后，地面对斜面的摩擦力大小为
【答案】BD
【详解】AB．x-t图像的斜率表示速度，甲乙两个物块的曲线均为抛物线，则甲物体做匀加速运动，乙物体做匀减速运动，在时间t0内甲乙位移可得，
可得t0时刻甲物体的速度为v=2v0
甲物体的加速度大小为
乙物体的加速度大小为
由牛顿第二定律可得甲物体，
同理可得乙物体
联立可得，故A错误，B正确；
CD．之后，乙相对斜面静止，甲沿斜面继续以加速度向下滑动，则对三个物体的整体，竖直方向
解得地面对斜面的支持力大小为
水平方向，地面对斜面的摩擦力大小为，C错误，D正确。
故选BD。
练习1、（多选）在水平面上做匀减速直线运动的质点通过O、A、B三点的过程中，其位移随时间变化规律图像如图所示。则质点（　　）
A．从O点运动到B点过程的平均速度为
B．通过A点时的速度为
C．加速度为
D．从A点运动到B点，速度的变化量为
【答案】AD
【详解】A．从O点运动到B点过程的平均速度为
故A正确；
BCD．设O点的速度为，加速度大小为；从O点运动到A点过程，有
从O点运动到B点过程，有
联立解得
，
从A点运动到B点，速度的变化量为
通过A点时的速度为
故BC错误，D正确。故选AD。
练习2、（多选）如图所示，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置—时间（x- t）图线。由图可知（　　）
A．在时刻t1，a车追上b车 B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反
C．在t1到t2这段时间内，b车一直比a车快 D．在t1到t2这段时间内，两车平均速度相同
【答案】BD
【详解】A．在时刻t1前，a的位移大于b的位移，a车在b车的前面，在时刻t1，两车的位置相同，b车追上a车，A错误；
B．图像上升表示向正方向运动，图像下降表示向负方向运动，所以t2时刻两车的运动方向相反，B正确；
C．图像b的最高点斜率等于零，表示此时b车的速度等于零，C错误；
D．在t1到t2这段时间内，两车的位移相同，运动时间也相同，所以平均速度相同，D正确。
故选BD。
练习3、某同学在百米赛跑过程中，其位移随时间变化的关系可简化为如图所示的图像，其中Oa段为抛物线，ab段为直线，根据该图像，关于时间内该同学的运动，下列说法正确的是（　　）
A．加速度逐渐增加
B．速度最大值为
C．时间内加速度的大小为
D．时间内平均速度的大小为
【答案】D
【详解】A．在图像中Oa段为抛物线，则做匀加速直线运动，在ab段为直线，则做匀速直线运动，故A错误；
B．在ab段时速度最大,最大值为
故B错误；
C．0 t1时间内做匀加速直线运动，则有
加速度的大小为
故C错误；
D．0 t2时间内平均速度的大小为
故D正确。
故选D。
练习4、（多选）一质点做匀变速直线运动，其运动的位移-时间图像如图所示，为图像上一点。为过点的切线，与轴交于点。则下列说法正确的是（ ）
A．时刻，质点的速率为 B．时刻，质点的速率为
C．质点的加速度大小为 D．质点的加速度大小为
【答案】BD
【详解】AB．图像的切线斜率表示速度，则时刻，质点的速率为
故A错误，B正确；
CD．根据中间时刻的速度等于这段时间内的平均速度可得时刻的速度为
根据加速度的定义有
故C错误，D正确。
故选BD。
题型二 常见的多过程运动模型
类型1 “0—v—0”运动模型
1.特点：初速度为零，末速度为v，两段初末速度相同，平均速度相同。三个比例式：
①速度公式 推导可得：
②速度位移公式 推导可得：
③平均速度位移公式 推导可得：
2.位移三个公式：；；
【典例1】（多选）如图所示的自由落锤式强夯机将8~30 t的重锤从6~30m高处自由落下，对土进行强力夯实。某次重锤从某一高度自由落下，已知重锤在空中运动的时间为、从自由下落到运动至最低点经历的时间为，重锤从地面运动至最低点的过程可视为做匀减速直线运动，当地重力加速度为g，则该次夯土作业（　　）
A．重锤下落时离地高度为
B．重锤接触地面后下降的距离为
C．重锤接触地面后的加速度大小为
D．重锤在空中运动的平均速度大于接触地面后的平均速度
【答案】AC
【详解】AD．由题意可知，重锤在运动过程中受到的空气阻力可以忽略不计。作出图像，如图所示，根据自由落体公式可知，重锤下落时离地高度为
根据匀变速直线运动中平均速度可知，重锤在空中运动的平均速度等于接触地面后的平均速度，A正确，D错误；
B．根据
可知，重锤下落时离地高度和重锤接触地面后下降距离之比为
故重锤接触地面后下降的距离为
B错误；
C．根据可知，重锤接触地面后的加速度大小为
C正确。
故选AC。
【典例2】新能源汽车进行性能测试，时刻，汽车从静止开始做匀加速直线运动，速度达到时立即做匀减速直线运动，时，汽车刚好停止运动。汽车加速时的加速度大小是减速时的2倍，则汽车加速时的加速度大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设加速阶段加速度大小为，减速阶段加速度大小为，由题意知
加速阶段时间
减速阶段时间
总时间
代入
得
因此
故选B。
【典例3】（多选）两带电的平行板A、B水平放置，上极板A的中央有一小孔．如图甲所示，一带电油滴从小孔的正上方的O点处自由下落，穿过上极板A中央的小孔后，刚好不与下极板B相碰，在此过程中，油滴的速度v随时间t变化的关系如图乙所示．重力加速度为g，不计空气阻力，可知（ ）
A．在时，油滴刚好穿过A板的小孔
B．在时，油滴刚好返回到O点
C．油滴受到的重力与电场力之比为2∶3
D．O点到下极板B的距离为
【答案】AC
【详解】AB．根据题意再结合甲乙两图分析可知，油滴先从O点开始做自由落体运动，在时，油滴刚好穿过A板的小孔，在时，油滴在电场中速度减为零，刚好到达B板（未与之相碰），故A正确，B错误；
C．速度-时间图像的斜率表示物体的加速度，设油滴进入电场时的速度为，由图乙可知，油滴做自由落体运动时，由牛顿第二定律有
油滴进入电厂后，由牛顿第二定律有
联立以上两式可得
故C正确；
D．时间段内油滴做自由落体运动，则时刻的速度为
而速度-时间图线与时间轴围成的面积表示位移，则可知O点到下极板B的距离为
故D错误。
故选AC。
练习1、如图是某运动员做低空跳伞表演的图像，从该运动员离开悬停的飞机开始计时，运动员先做自由落体运动，时刻打开降落伞，时刻落到地面，打开降落伞后运动员获得的加速度大小为5m/s2。，下列说法正确的是（　　）
A．运动员离开飞机10s后打开降落伞
B．运动员在空中下落过程用时9s
C．运动员距离地面247.5m时打开降落伞
D．飞机距离地面375m
【答案】C
【详解】A．由打开降落伞前运动员做自由落体运动，则
得
故A错误；
B．减速时，有
得
运动员在空中下落过程用时14s，故B错误；
C．运动员减速下落的距离为
故运动员距离地面247.5m时打开降落伞，故C正确；
D．运动员自由落体的距离为
飞机距离地面的高度等于运动员下落的距离
故D错误。
故选C。
练习2、水平面上一物体从静止开始，沿直线先做匀加速直线运动，3s后接着又做匀减速直线运动，再经9s停止。在加速和减速的两个过程中，下列说法正确的是（ ）
A．两过程的位移大小之比为1∶1
B．两过程的平均速度大小之比为1∶3
C．在第1s内和9~12s内的位移大小之比为1∶3
D．第3s末和第9s末的速度大小之比为2∶1
【答案】C
【详解】A．设3s时的速度大小为，则加速阶段位移为
减速阶段位移为
故两过程的位移大小之比为，故A错误；
B．两阶段平均速度均为
故两过程的平均速度大小之比为，故B错误。
C．根据可知，加速阶段与减速阶段的加速度大小之比为
在第1s内的位移大小为
根据逆向思维可知，9~12s内的位移大小为
则在第1s内和9~12s内的位移大小之比为，故C正确；
D．第3s末的速度大小为
根据逆向思维可知，第9s末的速度大小为
则第3s末和第9s末的速度大小之比为，故D错误。
故选C。
练习3、冰壶由花岗岩凿磨而成，冰壶运动是冬奥会的一个项目。如图所示，运动员在O点以一定的初速度将冰壶（可看作质点）沿水平冰面投出，冰壶在冰面上沿直线滑行、经历时间后经过P点，然后继续沿直线滑行、经历时间后经过Q点，最后停在R点。冰壶和冰面间的动摩擦因数处处相等，取重力加速度。求：
(1)冰壶的初速度大小；
(2)Q和R两点之间的距离。
【答案】(1)3.6m/s (2)0.9m
【详解】（1）因为冰壶与冰面间的动摩擦因数处处相等，因此冰壶滑动时受到的摩擦力处处相等，又因为冰壶沿直线运动，因此冰壶在O点至R点的运动为匀减速直线运动，假设冰壶运动的加速度大小为a，在O点时的速度大小为，在Q点时的速度大小为，因此有
解得
（2）由
代入数据可得
已知运动到R点时冰壶停下，因此有
代入已知数据可知
练习4、人工智能已在生活中得到广泛应用。一游客携带智能行李箱出行，旅客行走时，行李箱无需人的牵引可在地面上跟随游客运动，如图甲所示。某段时间内，行李箱速度v随时间t的变化图像如图乙所示。已知行李箱的质量，时间内行李箱的总位移。求：
(1)行李箱加速阶段的位移大小以及减速运动的时间；
(2)减速阶段行李箱受到的合力大小F。
【答案】(1)， (2)
【详解】（1）由图像可知行李箱前5s内的位移大小为
其中
，
代入可得
5s后的位移大小为
其中
解得
（2）行李箱减速过程中的加速度大小为，由运动学公式
由牛顿第二定律有
解得
练习5、潜艇从海水高密度区域驶入低密度区域，浮力突然减小，潜艇如同汽车那样掉下悬崖，称之为“掉深”，曾有一些潜艇因此沉没。某潜艇总质量为，在高密度海水区域海平面下200m沿水平方向缓慢潜航，如图所示。当该潜艇驶入海水低密度区域时，浮力突然降为；12s后，潜艇官兵迅速对潜艇减重（排水），此后潜艇以的加速度匀减速下沉，速度减为零后开始上浮。若潜艇减重的时间不计，水的粘滞阻力可忽略，潜艇减重前后受到的浮力保持不变。取重力加速度大小，求：
（1）潜艇为阻止“掉深”减重后的质量；
（2）潜艇“掉深”达到距海平面的最大深度。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）潜艇匀减速下沉过程，根据牛顿第二定律，可得
解得
（2）由牛顿第二定律，潜艇匀加速下沉的加速度为
解得
12s后潜艇速度为
潜艇下落的高度为
潜艇减重后下落的高度为
潜艇“掉深”达到距海平面的最大深度为
类型2 先减速为为0，后原路返回运动模型
（1）特点：初（或末）速度为零，两段运动位移大小相等为x。
（2）位移三个公式：位移公式；速度位移公式；
平均速度位移公式
（3）三个比例式：① ；② ； ③
【典例1】如图所示，一物块(可视为质点)以一定的初速度从一足够长的光滑固定斜面的底端开始上滑，在上滑过程中的最初5 s内和最后5 s内经过的位移之比为11∶5.忽略空气阻力，则此物块从底端开始上滑到返回斜面底端一共经历的时间是(　　)
A．8 s B．10 s C．16 s D．20 s
【答案】C.
【解析】：设物体运动的加速度为a，运动总时间为t，把物体上滑的运动看成反向的初速度为0的匀加速直线运动，则有：最后5 s内位移为s1＝a×52＝a；最初5 s内位移为s2＝a(t－5)×5＋a×52＝5at－a，又因为s2∶s1＝11∶5，解得t＝8 s；由于斜面光滑，上滑和下滑的时间相同，则物块从底端开始上滑到返回斜面底端一共经历的时间是16 s，故A、B、D错误，C正确．
【典例2】(多选)在塔顶边缘将一物体竖直向上抛出，抛出点为A，物体上升的最大高度为20 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，设塔足够高，则物体位移大小为10 m时，物体运动的时间可能为(　　)
A．(2－) s B．(2＋) s
C．(2＋) s D． s
【答案】ABC
【解析】取竖直向上为正方向，由v＝2gh得v0＝20 m/s。物体的位移为x＝v0t－gt2，当物体位于A点上方10 m处时x＝10 m，解得t1＝(2－) s，t2＝(2＋) s，故选项A、B正确，当物体位于A点下方10 m处时，x＝－10 m，解得t3＝(2＋) s，另一解为负值，舍去，故选项C正确，D错误。
【典例3】(多选)一物体以5 m/s的初速度在光滑斜面上向上运动，其加速度大小为2 m/s2，设斜面足够长，经过t时间物体位移的大小为4 m，则时间t可能为 (　　)
A．1 s　　　　　　　　　 B．3 s
C．4 s D. s
【答案】ACD
【解析】当物体的位移为4 m时，根据x＝v0t＋at2得4＝5t－×2t2解得t1＝1 s，t2＝4 s当物体的位移为－4 m时，根据x＝v0t＋at2得－4＝5t－×2t2解得t3＝ s，故A、C、D正确，B错误．
练习1、一质点做匀变速直线运动，已知初速度大小为v，经过一段时间速度大小变为2v，加速度大小为a，这段时间内的路程与位移大小之比为5∶3，则下列叙述正确的是(　　)
A．这段时间内质点运动方向不变
B．这段时间为
C．这段时间的路程为
D．再经过相同时间质点速度大小为3v
【答案】B　
【解析】由题意知，质点做匀减速直线运动，速度减小到零后，再返回做匀加速运动，即在这段时间内运动方向改变，如图所示，选项A错误；由v＝v0＋at得－2v＝v－at，这段时间t＝，选项B正确；由v2－v＝2ax得，由初速度为v减速到零所通过的路程s1＝，然后反向加速到2v所通过的路程s2＝＝，总路程为s＝s1＋s2＝，选项C错误；再经过相同时间，质点速度v′＝v－a·2t＝－5v，即速度大小为5v，选项D错误。
练习2、（多选）一质量为m的物体自倾角为的固定斜面底端沿斜面向上滑动。该物体开始滑动时的动能为，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为。已知，重力加速度大小为g。则（　　）
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
【答案】BC
【详解】AC．物体从斜面底端回到斜面底端根据动能定理有
物体从斜面底端到斜面顶端根据动能定理有
整理得
；
A错误，C正确；
B．物体向下滑动时的根据牛顿第二定律有
求解得出
B正确；
D．物体向上滑动时的根据牛顿第二定律有
物体向下滑动时的根据牛顿第二定律有
由上式可知
a上 > a下
由于上升过程中的末速度为零，下滑过程中的初速度为零，且走过相同的位移，根据公式
则可得出
D错误。
故选BC。
练习3、如图甲所示，一物块从倾角为的斜面底端以一定的初速度沿足够长的斜面上滑，其运动的速度一时间图像如图乙所示，2t0时刻速度减为零，5t0时刻回到出发点。则下列说法正确的是（　　）
A. 物块返回斜面底端时的速度大小为
B. 物块返回斜面底端时的速度大小为
C. 物块与斜面之间的动摩擦因数为
D. 物块与斜面之间的动摩擦因数为
【答案】C
【解析】
【详解】AB．上滑过程有
，
下滑过程有
，
联立解得
，
所以AB错误；
CD．根据牛顿第二定律，上滑过程有
联立解得
所以C正确；D错误；
故选C。
练习4、海洋馆中一潜水员把一质量为m的小球以初速度从手中竖直抛出，从抛出开始计时，时刻小球返回手中，小球始终在水中且在水中所受阻力大小不变，小球的速度随时间变化的关系图像如图所示，重力加速度大小为g，则小球在水中竖直下落过程中的加速度大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据小球的速度随时间变化的关系图像分析知，第一阶段加速度大，大小为，第二阶段加速度小，故小球先竖直向上做匀减速直线运动，再竖直向下做匀加速直线运动，从抛出开始计时，时刻小球返回手中
解得
故球在水中竖直下落过程中的加速度大小
根据牛顿第二定律，先竖直向上做匀减速直线运动
再竖直向下做匀加速直线运动
联立解得，小球在水中竖直下落过程中的加速度大小为
故选B。
类型3 先匀速，后减速运动模型---反应时间问题
总位移
【典例1】根据《机动车驾驶证申领和使用规定》，司机闯红灯要扣6分，并处罚金200元。某小轿车驾驶员看到绿灯开始闪时，经短暂时间思考后开始刹车，小轿车在红灯刚亮时恰停在停车线上，图像如图所示。若绿灯开始闪烁时小轿车距停车线距离，则（　　）
A．小轿车刹车的加速度大小为2m/s2
B．小轿车的刹车距离为7m
C．绿灯开始闪烁到红灯刚亮的时间为3s
D．绿灯开始闪烁到红灯刚亮的时间为2.5s
【答案】C
【详解】AB．由题意可知小轿车在整个过程的位移L＝10.5m，轿车匀速运动的位移
所以轿车刹车过程的位移
刹车过程根据速度位移关系有
可得刹车的加速度大小为
故AB错误；
CD．刹车过程根据速度时间关系有
解得刹车时间为
绿灯开始闪烁到红灯刚亮的时间为
故C正确，D错误。
故选C。
【典例2】当车辆在公路上出现故障不能移动时，为保证安全，需要在事故车辆后面一定距离放置如图所示的警示标志。通常情况下，司机看到警示标志后会有大约的反应时间。某省道限速（约为），假设某后方司机即将撞到警示标志时才看到该标志，为避免后方车辆与故障车相撞，警示标志应放在故障车尾后面的距离不小于（汽车在此公路刹车过程最大加速度大小为）（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】为充分保证安全距离，取反应时间最大为0.7s，则当以最大速度行驶时开始刹车到停止时距离为
反应时间中行驶距离为
得总距离为
故选C。
【典例3】无人驾驶汽车通过车载传感系统识别道路环境，自动控制车辆安全行驶。无人驾驶有很多优点，如从发现紧急情况到车开始减速，无人车需要0.2s，比人快了1s。人驾驶汽车以某速度匀速行驶，从发现情况到停下的运动距离为44m，汽车减速过程视为匀减速运动，其加速度大小为。同样条件下，无人驾驶汽车从发现情况到停下的运动距离为（ ）
A．24m B．26m C．28m D．30m
【答案】A
【详解】设汽车运动的速度为v0，则人驾驶时发现情况到停下的运动距离为
即
解得
v0=20m/s
无人驾驶汽车时发现情况到停下的运动距离为
故选A。
练习1、无人驾驶汽车通过车载传感系统识别道路环境，自动控制车辆安全行驶。无人驾驶有很多优点，如从发现紧急情况到车开始减速，无人车需要0.2s，比人快了1s。人驾驶汽车以某速度匀速行驶，从发现情况到停下的运动距离为44m，汽车减速过程视为匀减速运动，其加速度大小为。同样条件下，无人驾驶汽车从发现情况到停下的运动距离为（ ）
A. 24m B. 26m C. 28m D. 30m
【答案】A
【解析】
【详解】设汽车运动的速度为v0，则人驾驶时发现情况到停下的运动距离为
即
解得
v0=20m/s
无人驾驶汽车时发现情况到停下的运动距离为
故选A。
练习2、现有一辆小汽车以的速度匀速驶向路口，当行驶至车头距路口斑马线处时，司机发现有人正沿前方斑马线横穿马路，司机经过时间做出反应，随后开始刹车刚好在斑马线处停下，全过程的图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A． B．小车刹车时的加速度为
C．汽车内的平均速度为 D．汽车停车前最后发生的位移是
【答案】D
【详解】A．汽车的初速度为
由运动学公式有
解得
A错误；
B．根据图像可知，小车刹车时的加速度为
B错误；
C．小车内的平均速度为
C错误；
D．汽车停车前最后发生的位移是
D正确。
故选D。
练习3、一辆质量为m的货车以速度在平直公路上做匀速直线运动。司机突然发现正前方有障碍物，司机反应过来后立即紧急刹车，刹车过程中货车受到的阻力大小恒为。已知司机的反应时间为，反应时间内车匀速行驶。
（1）求从司机发现障碍物到车停下来货车前进的距离；
（2）安全驾驶人人有责，为防止发生交通事故，请通过分析第（1）问中影响货车前进距离的因素，给货车司机提出两条安全驾驶的建议（写出给出的建议的依据，只给建议不写依据不得分）。
【答案】（1）（2）不要超载；不要超速；不要疲劳；不要饮酒驾车；注意观察路面变化，雨雪天要减低车速等等。
【详解】（1）设刹车过程中货车运动的位移为x1，由牛顿第二定律得
f＝ma
刹车过程中，由位移—速度公式得

货物前进得距离
联立解得
（2）由
可知，货车质量越大，初速度越大，反应时间越长，刹车得阻力越小，货车得刹车距离越大，越容易发生交通事故。所以在驾驶时不要超载；不要超速；不要疲劳；不要饮酒驾车；注意观察路面变化，雨雪天要减低车速等等。
类型4 三倍加速度运动模型
（1）特点：初速度为零，两段总位移为零。
（2）位移两个公式：；
（3）特殊结论：若 ,则有 ,
【典例1】（多选）一质量为m的物体自倾角为的固定斜面底端沿斜面向上滑动。该物体开始滑动时的动能为，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为。已知，重力加速度大小为g。则（　　）
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
【答案】BC
【详解】AC．物体从斜面底端回到斜面底端根据动能定理有
物体从斜面底端到斜面顶端根据动能定理有
整理得
；
A错误，C正确；
B．物体向下滑动时的根据牛顿第二定律有
求解得出
B正确；
D．物体向上滑动时的根据牛顿第二定律有
物体向下滑动时的根据牛顿第二定律有
由上式可知
a上 > a下
由于上升过程中的末速度为零，下滑过程中的初速度为零，且走过相同的位移，根据公式
则可得出
D错误。
故选BC。
【典例2】如图甲所示，一物块从倾角为的斜面底端以一定的初速度沿足够长的斜面上滑，其运动的速度一时间图像如图乙所示，2t0时刻速度减为零，5t0时刻回到出发点。则下列说法正确的是（　　）
A．物块返回斜面底端时的速度大小为
B．物块返回斜面底端时的速度大小为
C．物块与斜面之间的动摩擦因数为
D．物块与斜面之间的动摩擦因数为
【答案】C
【详解】AB．上滑过程有
，
下滑过程有
，
联立解得
，
所以AB错误；
CD．根据牛顿第二定律，上滑过程有
联立解得
所以C正确；D错误；
故选C。
【典例3】（多选）如图所示，一物块从倾角为θ的斜面底端以初速度沿足够长的斜面上滑，经时间t速度减为零，再经2t时间回到出发点，下列说法正确的是（ ）
A．物块上滑过程的加速度大小是下滑过程加速度大小的2倍
B．物块返回斜面底端时的速度大小为
C．物块与斜面之间的动摩擦因数为
D．物块与斜面之间的动摩擦因数为
【答案】BC
【详解】A．根据匀变速直线运动公式得：
则：
x相同，t是2倍关系，则物块上滑过程的加速度大小是下滑过程加速度大小的4倍，故A错误；
B．根据匀变速直线运动公式得：，则物块上滑过程的初速度大小是返回斜面底端时的速度大小的2倍，故B正确；
CD．以沿斜面向下为正方向，上滑过程，由牛顿第二定律得：
mgsinθ+μmgcosθ=ma1
下滑过程，由牛顿第二定律得：
mgsinθ-μmgcosθ=ma2
又
a2=4a1
联立解得：
故C正确，D错误。
故选BC。
练习1、物体从A点由静止开始做加速度大小为的匀加速直线运动，经时间t到达B点，速度大小为，这时突然改为做加速度大小为的匀减速直线运动，又经过时间t回到A点，速度大小为，求：和。
【答案】，
【详解】根据题意，画出示意图如图所示
以向右为正方向，内总位移为零，由运动学公式有
由运动学公式有
联立解得
练习2、如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平面上，质量为m的物块在沿斜面向上的恒力作用下由静止开始运动，经时间t后撤去恒力作用，再经3t时间后物块恰好返回起点。已知重力加速度为g，求：
（1）恒力的大小？
（2）物块返回起点时的速度大小？
（3）物块沿斜面向上运动的最远点与起点间的距离？
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设物体在恒力作用下的加速度为，由牛顿第二定律得
撤去恒力物体的加速度大小为，由牛顿第二定律得
由运动学公式得
联立解得
，，
（2）设撤去恒力后物块速度减到零所用的时间为，则有
，
联立解得
则物块返回起点时的速度大小为
（3）物块沿斜面向上运动的最远点与起点间的距离
练习3、如图所示，在水平地面上固定一个倾角为的绝缘光滑斜面体，斜面体底端连接有挡板，有一个电荷量为q、质量为m的滑块静止于挡板处，某时刻加一沿斜面方向的匀强电场，使得滑块沿斜面方向运动，经历t时间后撤去电场，接着又经历相同的时间，滑块回到挡板位置处。不计空气阻力，已知重力加速度为g，求：
（1）电场强度的大小；
（2）滑块距挡板的最远距离。

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设有匀强电场时滑块上升的加速度为a1，根据牛顿第二定律有
根据运动学规律有
撤去电场后，此时以沿斜面向下为正方向，根据牛顿第二定律有
滑块先沿斜面向上做匀减速再反向做匀加速，经过相同时间回到原点可得
解得，电场强度的大小为
（2）减速到0时距挡板的距离最大为，由动能定理可得
联立解得
练习4、轮滑运动员从t=0时刻开始自斜面底端沿直线滑上足够长的斜面，当速度减为零时，又沿直线滑回到出发点，以运动员的初速度方向为正方向，运动员从开始运动到回到出发点的过程中速度v随着时间t变化的图像如图所示，轮滑运动员可视为质点。求∶
（1）0~6s内运动员在斜面上运动的路程L；
（2）运动员上滑过程与下滑过程的加速度大小之比。
【答案】（1）24m；（2）4
【详解】（1）运动员上滑时
运动员下滑时
由题意可知
x1=－x2，t1+t2=6s
联立解得
t1=2s，t2=4s
路程
L=2x1=24m
（2）运动员上滑时
0=v0－a1t1
运动员下滑时
v=－a2t2
解得
=4
类型5 等时间折返模型
物体由静止出发，先经过一段时间匀加速直线运动，速度达到v1，然后立即做匀减速直线运动，如果经过相等的时间物体回到了原出发点。
如图所示，设物体由A点出发做匀加速直线运动，加速度大小为，运动到B点时速度大小为，这时立即以大小为的加速度做匀减速直线运动，由题意可知，物体速度应先减速到0再返回出发点A，速度为
从A点运动到B点的时间等于由B回到A点的时间，设为，
取向右为正方向：
物体从A到B，由运动学公式得：2 -------------------(1)
-------------------(2)
从B返回A的整个过程： ---------------------(3)
-------------------------(4)
由(1)、(2)、(3)、(4)解得：　 ---------------------------(5)
----------------------------(6)
由以上结论可进一步得出该定理的推论：
深入思考发现推论：设从A到B（匀加速过程）受到的合外力大小为，合力做的功为，物体受到的冲量为；从B返回A（匀减速过程）受到的合力为，合力做的功为，物体受到的冲量为，则：
∵ ∴由得 ------------------(7)
∵ ∴ ------------------(8)
∵ ∴ -------------------(9)
【典例1】（多选）质量为m的小球在竖直向上的恒力F作用下由静止开始向上匀加速运动，经时间t撤去F，又经时间t小球回到出发点，速度大小为v，不计空气阻力，已知重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　）
A．撤去力F时小球的动能为 B．小球上升的最大高度为
C．拉力F所做的功为 D．拉力的最大功率为
【答案】AC
【详解】拉力F作用时，小球上升的加速度大小为a，末速度大小为，则小球上升的高度
撤去外力后
解得
，
C．对全过程由动能定理知
故C正确；
A．拉力F作用时，由动能定理知
其中
，
联立解得
故A正确；
B．设撤去力F后小球上升的高度为，由
可知小球上升的最大高度为
故B错误；
D．撤去拉力前瞬间，小球的速度最大，拉力F的功率最大，为
故D错误。
故选AC。
【典例2】如图所示，空间存在水平向左的匀强电场，一带电量为的物块放在光滑绝缘水平面上，在恒力F作用下由静止开始从O点向右做匀加速直线运动，先经时间t力F做功，此后撤去力F，物块再经时间返回到出发点O，且回到出发点时的速度大小为v。设物块在O点的电势能为零，则（　　）

A．撤去力F时物块的速度大小为
B．物块向右滑动的最大距离为
C．物块回到出发点时的动能为
D．撤去力F时物块的电势能为
【答案】C
【详解】A．设F撤去前、后物块的加速度大小分别为a1、a2，根据位移关系有
解得
根据运动学规律有
所以撤去力F时物块的速度大小为
故A错误；
B．从撤去F到物块速度减为零所经历的时间为
所以物块向右滑动的最大距离为
故B错误；
C．物块从O点开始运动到又回到O点的过程中，电场力做功为零，恒力F做功为90J，根据动能定理可知物块回到出发点时的动能为，故C正确；
D．物块向右运动过程中，电势能增加量等于克服电场力做的功，根据能量守恒定律可知物块向右到达最远位置时的电势能为90J，设撤去F时物块的电势能为Ep，则
解得
故D错误。
故选C。
【典例3】某质点P从静止开始以加速度做匀加速直线运动，经过时间t后立即以大小为的加速度做匀减速直线运动，又经过时间2t后恰好回到出发点，则有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，质点运动总过程的位移为0，由运动学公式可得
解得
a2＝1.25a1
B正确，ACD错误。
故选B。
练习1、（多选）如图所示，在一个固定的光滑的倾角为θ的斜面上，一质量为m的物块在平行于斜面向上的恒力F的作用下，由静止从斜面底端向上做匀加速直线运动，斜面足够长，经一段时间后撤去恒力F，物块又经相同时间回到出发点。重力加速度为g。则（ ）
A．物块在沿斜面向上运动的过程中，机械能先增大后守恒
B．物块在沿斜面向下运动的过程中，机械能一直减小
C．撤去恒力前后，物块物块加速度大小之比为1：2
D．撤去恒力前后，物块物块加速度大小之比为1：3
【答案】AD
【详解】AB．物块在平行于斜面向上的恒力F的作用下向上做匀加速直线运动过程，恒力F做正功，物块机械能增加，撤去恒力F后，物体由于惯性继续向上做匀减速直线运动，速度为零后又向下做匀加速直线运动，但撤去恒力F后，物块只有重力做功，物块机械能守恒，A正确、B错误；
CD．设撤去恒力前物块的加速度为a1，恒力作用时间为t，则在恒力作用下物块的位移和撤去恒力瞬间物块的末速度为
，v = a1t
设撤去恒力后物块的加速度为a2，且取沿斜面向下为正有
联立解得
a1：a2 = 1：3
C错误、D正确。
故选AD。
练习2、物体由静止向右匀加速经t秒后物体的速率为v1，此时立即使其改变加速度并接着做匀变速直线运动，又经 2t秒后物体回到出发点且速率为v2，则v1、v2间的关系是（　　）
A．3 v1=2 v2 B．5 v1=3 v2 C．2 v1= v2 D．v1= v2
【答案】A
【详解】设内的加速度为，的加速度大小为。在t秒内的位移
末速度为
则在后2t秒内的位移
根据题意可知
联立可得
根据速度时间公式得
解得
故选A。
练习3、一质点由静止出发向东做匀加速直线运动，加速度大小为，经过时间2t后做加速度大小为的匀变速直线运动，再经过时间t恰好回到出发点，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．小滑块向东加速与减速过程的速度变化相同
C．若质点回到出发点时速度大小为，则2t末速度大小为
D．若质点在整个3t时间内通过的路程为18m，则向东的前2t时间内通过的路程为8m
【答案】D
【详解】A．由题意可知
，
联立可得
故A错误；
B．小滑块向东加速与减速过程的速度变化大小相等，方向相反，故B错误；
C．若质点回到出发点时速度大小为，则2t末速度大小为，则有
，
联立可得
则若质点回到出发点时速度大小为，则2t末速度大小为，故C错误；
D．设滑块向右减速的时间为，则有
可得
则整个过程的路程为
则向东的前2t时间内通过的路程为
故D正确。
故选D。
练习4、如图甲所示，两平行金属板A、B水平放在真空中，板间距为d，金属板长2d，OO＇为板间中线，AB板间的电势差U随时间t的变化情况如图乙所示。有一个质量为m，电荷量为q的带电小球，t＝0时刻从O点以v0的速度水平沿OO＇射入。T时刻小球恰好从O＇点射出，小球运动过程中恰好未B与极板相碰。已知重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　）
A．小球所受的电场力大小等于重力大小
B．板间电压
C．时，小球速度大小为v0
D．时，小球速度大小为v0
【答案】C
【详解】AB．取竖直向下为正方向，在时间内，小球在竖直方向上做自由落体运动，竖直位移大小为
时间内，在竖直方向上，小球先向下做匀减速直线运动，速度减至零后向上做匀加速直线运动，加速度恒定，将这段时间内小球的运动看成一种匀减速直线运动，设时间内小球的加速度大小为，根据牛顿第二定律有
竖直位移为
时刻小球恰好到达点时，则有
联立解得
故AB错误；
C．设时速度大小为，根据题意则有
联立得到
所以时，速度大小为
故C正确；
D．时，小球竖直分速度为
所以速度大小
故D错误；
故选C。
练习5、（多选）如图所示，在足够长光滑绝缘水平面的上方，存在着方向水平向右、场强大小为的匀强电场。一带正电小物块（可视为质点）从水平面上A点由静止释放，经时间t到达B点，小物块速度大小为v。此时水平面上方突然撤去原来电场，改加方向水平向左、场强大小为的匀强电场，小物块又经时间2t恰好返回A点。下列说法正确的是（　　）
A．小物块返回A点时速度大小为 B．小物块返回A点时速度大小为2v
C．电场强度的大小关系是 D．电场强度的大小关系是
【答案】AC
【详解】设带电体在电场中加速度为，带电体在电场中的加速度为，第一阶段末速度为第二阶段的初速度，因为从A出发最后返回A点，根据题意两个阶段的位移之和为零，则
解得
即
根据速度关系
返回A点时速度
故AC正确，BD错误。
故选AC。
练习6、（多选）一质点从A点做初速度为零、加速度的匀加速直线运动，经过一段时间后到达B点，此时加速度突然反向，大小变为，又经过同样的时间到达C点。已知、的距离为、的距离的一半，则与的大小之比可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】由题意可得如图所示，设，则，选A到B方向为正方向，则
从A到B则有
若C点在A点右侧，从B到C，则有
解得
若C点在A点左侧，从B到C，则有
解得
AD错误，BC正确。
故选BC。
练习7、一小球在外力作用下沿一光滑斜面从静止开始以大小为的加速度向上做匀加速运动；经时间t后，撤去外力，小球再经时间t回到出发点（撤去外力后，小球做的仍为匀变速直线运动）。求
(1)小球沿斜面加速上升的位移的大小；
(2)撤去外力后，小球的加速度的大小；
(3)小球沿斜面向上运动的时间；
(4)小球沿斜面向上运动的距离。
【答案】(1) (2) (3) (4)
【详解】（1）根据运动学公式可知，小球沿斜面加速上升的位移的大小
（2）撤去外力，小球再经时间t回到出发点，根据运动学公式可得
联立解得撤去外力后，小球的加速度的大小为
（3）撤去外力后，小球沿斜面继续向上运动的时间为
则小球沿斜面向上运动的时间为
（4）撤去外力后，小球沿斜面继续向上运动的位移大小为
则小球沿斜面向上运动的距离为
练习8、如图（a），一质量为m=1.5kg的物块在沿斜面向上的恒力F作用下，从倾角为θ=37°的光滑斜面底端由静止开始运动。当恒力做功48J后撤去F，再经过一段时间后物块又返回斜面底端。已知物块沿斜面上滑和下滑所用的时间的比是2∶1。（sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2）
（1）求撤去力F后物块的加速度；
（2）求物块返回到出发点时的速度大小；
（3）在图（b）中画出，物块从开始运动到返回底端过程中的速度与时间的v –t图像；
（4）求恒力F的大小。
【答案】（1）6m/s2，方向沿斜面向下；（2）8m/s；（3）；（4）12N
【详解】（1）撤去力F后，物块受重力和斜面的弹力作用，受力如图1所示
由牛顿第二定律得
mgsinθ=ma
解得
a=gsinθ=10×0.6m/s2=6m/s2
撤去力F后物块的加速度大小为6m/s2，方向沿斜面向下。
（2）物块从静止开始运动到返回出发点的过程中，由功与能量变化的关系可得
WF= Ep+ Ek
由题意可知
Ep=0
Ek=Ekt Ek0=Ekt
故返回到出发点时的动能
Ekt=WF=48J
又
Ekt=mv2
∴返回到出发点时的速度
（3）如图所示
（4）由（3）的图像可得撤去力F前后物块加速度的比为
a ∶a=1∶3
则
a =a=2m/s2
物块撤去力F前受力如图2所示
由牛顿第二定律得
F–mgsinθ=ma
解得
F=ma'+mgsinθ=(1.5×2+1.5×10×0.6）N=12N
或因为a =2m/s2，所以
s =a t 2=×2×22m=4m
由WF=Fs 得
题型三 追及相遇问题
【解题指导】1．(1)“慢追快”型：v后＝v前时，Δx最大．追匀减速运动的机车时，注意要判断追上时前车是否已停下．(2)“快追慢”型：v后＝v前时，Δx最小，若此时追上是“恰好不相撞”；若此时还没追上就追不上了；若此之前追上则是撞上.
在已知出发点的前提下，可由v－t图像“面积”判断相距最远、最近及相遇等情况.
3.基本解题思路是：利用速度相等找位移关系．
【必备知识与关键能力】
1.分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。
(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。
2.临界法
寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。
3.函数法
设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇。
4.图像法
(1)若用位移—时间图像求解，分别作出两个物体的位移—时间图像，如果两个物体的位移—时间图像相交，则说明两物体相遇。
(2)若用速度—时间图像求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。
5.特别提醒
若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
类型1 变速物体追匀速物体
【典例1】（多选）甲、乙两辆玩具车在两条平行直轨道上运动，它们运动的图像如图所示。初始时刻，两车在运动方向上相距，甲在后、乙在前，下列说法正确的是（　　）
A．甲车的加速度大小为
B．时间内，甲，乙两车之间的距离先增大后减小
C．时刻甲车的速度大小为
D．在时刻甲、乙两车相遇
【答案】ABC
【详解】A．由，可得
由图像可知，甲车的初速度
加速度，故A正确；
C．由，可得两车共速时
设时刻甲车速度为，则有
解得，故C正确；
BD．由，可得
则0～t0时间内，甲车的位移为
乙车的位移为
两车相距
即t0时两车未相遇，所以0～t0时间内，两车之间的距离逐渐增大，共速后逐渐减小，故B正确，D错误。
故选ABC。
【典例2】（多选）质点A 沿x轴正方向做匀速直线运动，当质点A 经过坐标原点O时，质点B从坐标原点O由静止开始沿x轴正方向做匀加速直线运动，两质点的速度v与位置坐标x的关系图像如图所示，两图像的交点坐标为（4m，6m/s），下列说法正确的是（　　）
A．质点B的加速度大小为
B．质点B追上质点A时的速度大小为12m/s
C．两质点在x=4m处相遇
D．质点B追上质点A前，相距的最大距离为4m
【答案】BD
【详解】A．质点B的加速度大小为，故A错误；
B．质点B追上质点A时有
解得
质点B追上质点A时的速度大小为，故B正确；
C．两质点相遇时有，故C错误；
D．两质点速度相等时距离最大，设经历时间两质点速度相等，则
则两质点的最大距离为，故D正确。
故选BD。
【典例3】（多选）两汽车甲、乙在同一场地同时同起点测试时获得的位置坐标x与时间t的比值随时间t变化的关系如图所示，关于汽车甲、乙在该路段的测试，下列说法正确的是（　　）
A．汽车甲由静止开始做匀加速直线运动，汽车乙做匀速直线运动
B．汽车甲做匀加速直线运动的加速度大小为5m/s2
C．t=6s时，汽车甲、乙第1次相遇
D．汽车甲、乙有可能第2次相遇
【答案】BC
【详解】AB．对汽车甲，根据数学知识得
变形得
可得，
所以汽车甲做初速度大小为15m/s，加速度大小为5m/s2的匀加速直线运动，由图知，对于汽车乙有
则汽车乙做速度大小为30m/s的匀速直线运动，故A错误，B正确；
CD．由图知，t=6s时，两车的平均速度相等，时间相同，初位置相同，则位移x相等，两车相遇，t=6s时，汽车甲的速度大小
此时汽车乙的速度大小为30m/s，以后汽车甲的速度始终大于汽车乙的速度，可知汽车甲、乙不可能再次相遇，故C正确，D错误。
故选BC。
练习1、小强同学在上学途中正沿平直人行道以的速度向公交站台走去时，发现质量的公交车以的速度从身旁平直公路同向匀速驶过，此时他们距站台的距离。为了乘上该公交车去学校，小强开始尽全力加速向前跑去，其最大加速度为，能达到的最大速度。假设公交车刹车时受合力大小恒为，且刹车后刚好到站台停下，不计车长。求：
（1）公交车刹车过程合力所做的功；
（2）公交车在站台至少停多久小强才能赶上公交车。
【答案】（1）-1.6×106J；（2）7.05s
【详解】（1）合力做功
Wf=0-mv22=-1.6×106J
（2）由
Wf=-fs
解得刹车距离
s0=25m
公交车行驶时间
小强加速时间由
vm=v1+a1t1
解得
t1=2s
小强加速位移
s1=（v1+vm）t1=6m
小强匀速过程
s-s1=vmt2
解得
t2=8.8s
公交车停留时间
Δt=t1+t2-t=7.05s
练习2、在某次军事演习中，歼击机以的恒定速度追击前面同一直线上匀速飞行的无人靶机。当两者相距时；歼击机发射一枚导弹，导弹脱离歼击机后沿水平方向做加速度为的匀加速直线运动，时击中无人靶机并将其击落。已知发射导弹的时间不计，发射导弹对歼击机速度无影响。求：
（1）无人靶机被击中前飞行的速度大小；
（2）导弹飞行过程中与无人靶机的最大距离；
（3）若导弹击中无人靶机后，歼击机须尽快到达无人靶机被击落的空中位置且要求歼击机到达时速度为零继而悬停在空中。已知歼击机以最大加速度加速后达到最大速度，且歼击机加速和减速过程最大加速度大小相等，忽略歼击机从发现导弹击中无人靶机到开始加速的反应时间，求从导弹击中无人靶机至歼击机到达无人靶机所在位置的最短时间。（结果保留3位有效数字）
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据题意，设靶机速度为，则有
解得
（2）设导弹被发射后经时间与无人靶机速度相等，此时二者间距最大，则有
解得
最大距离为
解得
（3）导弹击中靶机时，歼击机与无人靶机的距离为
经分析可知，导弹击中靶机后，歼击机须先做匀加速直线运动，达到最大速度后再以最大速度做匀速直线运动，最后做匀减速直线运动，且到达歼击机所在位置时的速度为零。设歼击机的最大加速度为
歼击机做匀加速直线运动的位移大小为
歼击机做匀减速直线运动的时间和位移大小分别为
歼击机做匀速直线运动的时间为
所以从歼击机击中靶机至歼击机到达靶机所在位置的最短时间为
练习3、如图所示，甲、乙两辆汽车在平直公路上两条相邻平行车道上行驶，t=0时刻乙车在甲车前方处做匀速直线运动，速度大小为，甲车此时速度为，开始做加速度大小为的匀加速直线运动。甲、乙车上安装有信号发射与接收装置，当甲乙两车距离超过时，甲乙两车不能接收到彼此的通讯信号（忽略两车横向间隙的宽度）。计算结果保留小数点后一位（取）。求：
(1)在甲车追上乙车之前，甲、乙两车之间的最大距离为多少？
(2)当甲乙两车距离最大时，甲车开始匀速运动，乙车立即刹车，刹车阶段加速度大小为，求甲乙两车共速后还需要经过多长时间甲车追上乙车？
(3)在第（2）问情况下，求全程两车能维持通信的时间。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设两车行驶方向为正方向。甲车速度增大，乙车速度不变，两车速度相等时两车间距达到最大。由匀变速直线运动规律，两车共速满足
此时甲车位移满足
代入得。乙车位移为
代入得。所以最大间距为
代入得。
（2）在两车间距最大时，甲车速度已增大到，随后甲车做匀速直线运动，乙车以初速度、加速度大小做匀减速直线运动。乙车减速至零满足
乙车刹车位移为
代入得。甲车同期位移为
代入得，所以乙车停止时两车间距为
代入得。乙车停止后，甲车以匀速追赶，所需时间满足
解得，故从两车间距最大到甲车追上乙车所需时间为。
（3）前一阶段（甲车开始加速至两车共速前），两车间距由初始间距加上乙车位移再减去甲车位移得到。结合通信上限和前一阶段的时间范围，可得第一次达到通信距离上限的时刻为（另一根为，不在该阶段），所以第一次通信时长为。以两车间距最大时为计时起点，设其后时间为。乙车刹车期间两车间距满足
再次达到通信距离上限时满足
解得
从再次接通到甲车追上乙车的通信时长为。
甲车追上乙车后，乙车已停止，甲车继续以匀速前进；再次达到所需时间为
代入得。因此全程能保持通信的总时间为
类型2 变速物体追变速物体
【典例1】（多选）近日，我国首个国产移动操作系统——华为原生鸿蒙操作系统正式发布，华为此次发布的原生鸿蒙操作系统可以实现多设备联动。其中，蓝牙通讯传输在“纯血鸿蒙万物智联”中有着重要的地位，而设备之间蓝牙配对成功是蓝牙通讯传输的前提。搭载有鸿蒙系统设备的甲、乙两车在平直公路上，遇到突发状况后甲先做匀减速运动后做匀速运动，乙做匀减速运动至停止，运动图像如图所示，时，乙车在前甲车在后且相距10m。已知蓝牙自动配对需要在稳定传输距离内进行，配对成功需要1s（配对成功后，再次传输信息无需重新配对），蓝牙通讯稳定传输的距离在4m以内。已知两车可视为质点且相遇不影响各自运动。则下列说法正确的是（ ）
A．时甲、乙两车蓝牙配对成功
B．时甲、乙两车并列行驶
C．时甲、乙两车并列行驶
D．甲、乙两车蓝牙通讯稳定传输时间为5.0s
【答案】AC
【详解】A．时，由图可知，甲的速度为
乙的速度为
由图像中图线与t轴所围区域面积表示位移可知，甲追赶了乙的距离为
此时相距
达到稳定传输的距离，开始自动配对，在时配对成功，故A正确；
B．时，甲的位移为
乙的位移为
初始甲在乙后10m，故此时甲仍在乙后
未并列行驶，故B错误；
C．设在后经过时间，甲、乙两车并列行驶，则有
其中，，
可得
甲、乙两车在
首次相遇并列行驶，故C正确；
D．在2~6s之间，甲乙相距在4m以内，此间配对成功且稳定传输，稳定传输时间为3s；在6~8s之间，乙在甲前距离大于4m，故不能稳定传输；时，甲车追赶乙车，在时，甲在乙后4m处，此时恰好可以稳定传输，在10~12.5s之间稳定传输，故稳定传输时间为5.5s，故D错误；
故选AC。
【典例2】（多选）可视为质点的、两车在同一条平直公路上行驶，运动的图像如图所示。已知时刻在正前方处，则下列说法正确的是（ ）
A．时两车相距
B．两车第一次相遇时比速度大
C．两车第一次相遇位置到第二次相遇位置之间的距离为
D．、两车的加速度之比为
【答案】BC
【详解】A．t=2 s时，图像面积表示位移
的位移：
的位移：
可知，内比多发生位移为，但最初在前处，故时在前处，故A错误；
B．
相遇时有：
解得：，
这是两车前、后两次相遇的时刻
时，
，故B正确；
C．
故两位置相距为：，故C正确；
D．由上述分析可知，、两车加速度之比为，故D错误。
故选BC。
【典例3】（多选）一辆警车以的速度自东向西行驶，经过一十字路口时，发现一名犯罪嫌疑人驾驶摩托车，对向行驶经过该路口（速度为），于是警车立即减速到并调头追赶。已知警车加、减速的加速度大小均为，最大速度为，摩托车的最大加速度为，最大速度为。为确保安全，警车第1次追上摩托车时速度等于，并喊话让犯罪嫌疑人靠边停车，但犯罪嫌疑人想逃逸，摩托车开始加速，加速至最大速度后匀速行驶，同时警车也再次开始加速，在与摩托车等速时恰好第2次追上，忽略调头过程警车的运动路程和时间，下列说法正确的是（ ）
A．第1次追上之前，两车的最大距离为200m
B．从在路口相遇到第1次追上，用时21s
C．第1次追上后，警车经过加速、匀速、减速直到第2次追上
D．从在路口相遇到第2次追上，摩托车的位移约572m
【答案】BD
【详解】A．结合题述画出两车运动的速度时间图像如图所示，其中，
警车调头后，第1次追上摩托车之前，两车同向运动，且速度相等时，间距最大。图像中面积代表位移，则有，故A错误；
B．以及时间段内加速（或减速）持续的时间均为
设在时第1次追上，期间警车以最大速度匀速运动的时间为，则有
可得，，故B正确；
C．设从第1次追上到第2次追上用时，摩托车速度从加速至所用的时间为
警车加速度较小，则此过程警车未达到最大速度，警车与摩托车共速时，时间为
根据图像由三角形面积相等可得数值关系有
解得
警车加速时间为
此阶段警车的最大速度
则在第2次追及过程中，警车先加速后减速，故C错误；
D．从在路口相遇到第2次追上，摩托车的位移，故D正确。
故选BD。
练习1、（多选）甲，乙两车在平直公路上沿同一方向行驶，其图像如图所示，在时刻，乙车在甲车前方处，在时间内甲车的位移为。下列判断正确的是（　　）
A．若甲、乙在时刻相遇，则
B．若甲、乙在时刻相遇，则下次相遇时刻为
C．若，则甲、乙一定相遇两次
D．若，则甲、乙一定只相遇一次
【答案】ABC
【详解】AD．若甲、乙在时刻相遇，根据图像与时间轴所包围的面积表示位移可得，
解得
若甲、乙只相遇一次，则必然在时刻相遇，则，故A正确，D错误；
B．由图可知，内甲、乙的图像与时间轴所包围的面积相等，即位移相同，所以，若甲、乙在时刻相遇，则下次相遇时刻为，故B正确；
C．只要在时刻之前甲、乙相遇，甲、乙就必然相遇两次，须满足
又
联立得
若，因
则甲、乙一定相遇两次，故C正确。
故选ABC。
练习2、（多选）在某次科技节遥控车漂移激情挑战赛中，红蓝两个遥控车沿同一方向做直线运动，初始时刻红蓝两车间距为，红车在前，两车运动的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．红车的初速度大小为
B．蓝车的加速度大小为4m/s2
C．两车相遇前最远距离为10m
D．两车相遇前最远距离为8m
【答案】BD
【详解】A．红车初速度满足
解得，故A错误；
B．对蓝车，由匀变速直线运动规律有
代入图中数据得
解得蓝车加速度大小为，故B正确；
CD．对红车，由图中两点可得
解得红车加速度大小为
设初始时蓝车在后，红车在前，初始距离为，以蓝车初位置为原点，则两车间距为
蓝车位移为
红车位移为
所以两车间距为
两车相遇前距离最远时，相对速度为零，即两车速度相等，由、
得
解得
此时两车间距为，故C错误，D正确。
故选BD。
练习3、（多选）为了测试某品牌新能源汽车的性能，现有A、B两辆汽车沿着双车道平直公路平行运动，时刻B车在A车前方处，该时刻两车开始刹车，此后过程中两汽车运动的v-t图像如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．A、B的加速度大小之比2∶1
B．时两车相距
C．从计时起A、B两车相遇2次
D．两车间距最小为时，最小间距为10m
【答案】BC
【详解】A．由图像可知，图像的斜率表示加速度，则有，
则A、B的加速度大小之比为，故A错误。
B．时A车运动的位移为
B车运动的位移为
两车相距，故B正确。
CD．设A、B两车相遇的时刻为，则
代入数据解得或
分析可知，开始时因为B车在前，A车在后，且在之前，A车的速度大于B车的速度，则A车先追上B车，后B车速度大于A车，A车又被反超，所以两车相遇两次，且两车间距最小为0，故C正确，D错误。
故选BC。
练习4、（多选）甲，乙两车在平直公路上沿同一方向行驶，其图像如图所示，在时刻，乙车在甲车前方处，在时间内甲车的位移为x。下列判断正确的是（　　）
A．若甲、乙在时刻相遇，则
B．若甲、乙在时刻相遇，则下次相遇时刻为
C．若，则甲、乙一定相遇两次
D．若，则甲、乙一定只相遇一次
【答案】BC
【详解】由图像物理意义可知：斜率对应加速度，图线与t轴包围面积代表位移。
在时段，甲车位移x为梯形面积，有
乙车位移为三角形面积，有
则有
此时两车位移差（甲追乙距离）为
甲匀减速、乙匀加速，时刻共速时甲追乙距离达最大值，则
A．若时刻相遇，说明初始间距，即，故A错误；
B．若甲、乙在时刻相遇，由题图结合图线与t轴包围面积代表位移可知，在内，两车通过的位移相等，则下次相遇时刻为，故B正确；
C．当时，因，甲在前会先追上乙，后乙反超，则甲、乙一定相遇两次，故C正确；
D．若，因，甲无法追上乙，甲、乙不会相遇，故D错误。
故选BC。
练习5、（多选）甲、乙两车（可视为质点）在同一平直车道上各自行驶时，其速度—时间（v-t）图像如图所示。t＝0时，甲车在后、乙车在前且二者相距18m，两车各自在车道上按图像规律同向行驶。下列说法正确的是（　　）
A．甲车的加速度大小为1.5
B．乙车的加速度大小为1.25
C．甲、乙两车在4s时相遇
D．t＝8s时，甲车在乙车后方6m处
【答案】AC
【详解】AB．v-t图像的斜率表示物体的加速度，则甲车的加速度大小
乙车的加速度大小
故A正确，B错误；
C．设甲车和乙车经过t时间相遇，则有
代入数据解得，
故在4s时甲、乙两车相遇，故C正确；
D．由v-t图像的“面积”可求出0~8s甲、乙两车的位移：，
两者相距，乙车在甲车后方6m处，故D错误。
故选AC。
练习6、（多选）某一长直的赛道上，一辆赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度在相邻车道匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。若当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以大小为4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？（设两车道平行，赛车可以从安全车旁经过而不相碰，用物理分析法和图像法两种方法解题）
【答案】20 s
【详解】方法一：物理分析法
经过时间赛车第一次追上安全车则有
解得
此时赛车速度
假设再经时间两车第二次相遇（两车一直在运动），由位移关系得
解得
赛车停下来的时间
所以不符合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动
设再经时间两车第二次相遇，应满足
解得
方法二：图像法
从图像可知，赛车停下时，安全车的位移小于赛车的位移，由得
练习7、羚羊从静止开始奔跑，经过能加速到最大速度，并能维持一段较长的时间。猎豹从静止开始奔跑，经过的距离能加速到最大速度，以后只能维持此速度。设猎豹距离羚羊时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑。问：猎豹要从最大速度减速前追到羚羊，x值应在什么范围？
【答案】x值应不大于
【详解】设羚羊加速度为，最大速度为，加速时间为，猎豹的加速度为，最大速度为，加速时间为
由运动学公式可得，，，
若猎豹在最大速度减速前追上羚羊，则猎豹运动时间为，羚羊加速运动，匀速运动，有
即
代入数据得
所以x值应不大于
练习8、A、B两列火车在同一直轨道上同向行驶，A在前，速度为vA=36km/h，B车在后速度vB=108km/h，因大雾能见度低，B车在距A车d=175m时，才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但要经过900mB车才能停止。问：
(1)B车刹车的加速度大小多大？
(2)A车若仍按原速前进，两车是否会相撞？B车开始刹车计时，若会相撞，B车将在何时何地发生？若不会相撞，求出两车相距最近距离？
(3)B车在刹车的同时发出信号，A车司机在收到信号2s后加速前进，求A车的加速度多大时，才能避免事故发生。（不计信号传输时间，最后结果可用分式表示）
【答案】(1)
(2)会相撞，刹车后10s、距B车刹车初始位置275m处相撞
(3)
【详解】（1）B车刹车做匀减速直线运动，末速度为0，由匀变速速度-位移公式有
将、代入解得
（2）临界条件为两车共速，设共速所需时间为t，则
将代入解得
此过程B的位移为
A的位移为
由于
则两车会相撞，设经时间，两车相撞，则有
解得或（舍去），
（3）前2s内，B车的位移为
A车位移为
2s末两车间距
2s末B速度
设2s后经两车共速，此时刚好不相撞，满足，
联立解得专题02 运动学图像、多过程运动模型及追击相遇
目录
题型一 运动学图像的理解与应用 1
类型1 x－t图象与v－t图象的比较 1
类型2 v-t图像中的曲线问题 4
类型3 x-t图像中的曲线问题 8
题型二 常见的多过程运动模型 12
类型1 “0—v—0”运动模型 12
类型2 先减速为为0，后原路返回运动模型 16
类型3 先匀速，后减速运动模型---反应时间问题 18
类型4 三倍加速度运动模型 20
类型5 等时间折返模型 23
题型三 追及相遇问题 27
类型1 变速物体追匀速物体 28
类型2 变速物体追变速物体 31
题型一 运动学图像的理解与应用
【解题指导】1．x－t图像、v－t图像都只能描述直线运动，且不表示物体运动的轨迹.
x－t图像的斜率表示物体运动的速度，可根据斜率判断速度变化情况，两图线交点表示相遇.
v－t图像的斜率大小表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向，在拐点处加速度方向改变，速度方向不变.
v－t图像中图线与t轴所围成的图形的面积表示该段时间内的位移．图线在t轴上方，表示位移为正；图线在t轴下方，表示位移为负，物体在该段时间内的总位移为上、下面积的代数和.
5.有些特殊图像，比如v2－x图像、－t图像、a－t图像、x－t2图像等，先确定纵坐标与横坐标的函数关系，转化为常见形式，再从图像的斜率、截距、面积等找突破口，从而求解相关物理量．
类型1 x－t图象与v－t图象的比较
x－t图象 v－t图象
图象 举例
意义 倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动
特别处 两条图线的交点表示相遇 图线与时间轴所围面积表示位移
运动 情况 甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动 丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动
位移 0～t1时间内甲、乙位移相等 0～t2时间内丁的位移大于丙的位移
平均 速度 0～t1时间内甲、乙平均速度相等 0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度
【典例1】某汽车行驶过程中发现其前方30m处有一辆货车，驾驶员立即刹车，其刹车过程中的图像如图所示，同时货车以下列方式行驶，不相撞的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】如图所示，甲、乙两个图像分别表示四个物体沿同一直线的运动情况，、为直线，、为曲线，末，、物体图线的斜率分别与、物体图线的斜率相同，下列说法正确的是（　　）
A．末，、两物体的速度相等，、两物体的加速度相等
B．、在末相遇，、也在末相遇
C．、两物体在内的平均速度相等
D．四个物体的运动方向一直都相同
【典例3】有四个物体、、、，物体、运动的图像如图甲所示；物体、从同一地点沿同一方向运动的图像如图乙所示．根据图像做出的以下判断中正确的是（ ）
A．物体和均做匀变速直线运动
B．在的时间内，物体、的间距逐渐减小
C．时，物体、的位移相同
D．在的时间内，物体与的间距逐渐增大
练习1、（多选）有四个运动的物体A、B、C、D，物体A、B运动的x-t图像如图甲所示；物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v-t图像如图乙所示。根据图像做出的以下判断中正确的是
A．物体A和B的速度均不变且A的速度比B更小
B．在0～3 s的时间内，物体B运动的位移为10 m
C．t=3 s时，物体C和D的速度相同
D．t=3 s时，物体C的加速度为m/s2
练习2、如图所示，甲图是x-t即位置与时间图像，乙图是v-t图像，图中给出的四条曲线1、2、3、4，分别代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是（　　）
A．两图像中，t2、t4时刻分别表示物体2、物体4已经向负方向运动
B．两图像中，物体1和物体2在t1时刻相遇，物体3和物体4在t3时刻相遇
C．x-t图像中0至t1时间内物体1和物体2的平均速度相等
D．v-t图像中0至t3时间内物体3和物体4的平均速度相等
类型2 v-t图像中的曲线问题
<(v1+v2)/2 >(v1+v2)/2 >(v1+v2)/2 <(v1+v2)/2
加速度增大 加速度减小 加速度增大 加速度减小
曲线不表示物体做曲线运动，而是表示物体做变加速直线运动
【典例1】中国自主研发制造的万米级全海深载人潜水器“奋斗者”号在马里亚纳海沟成功坐底，创造了10909米的中国载人深潜新纪录。某次深潜探测中，“奋斗者”号的速度-时间图像如图所示，忽略下潜过程重力加速度的变化。则（ ）
A．时间内潜水器内的科考人员处于超重状态
B．时间内“奋斗者”号的平均速度大于它在时间内的平均速度
C．时间内“奋斗者”保持静止状态
D．时间内“奋斗者”号受到的合力不断增大
【典例2】一质点沿直线运动，其速度随时间变化的关系图像恰好是与坐标轴相切的圆弧，如图所示。则质点在4s时的加速度大小为（　　）
A． B． C． D．
【典例3】甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t1的时间内，它们的v一t图像如图所示。在这段时间内（　　）
A．汽车甲的平均速度比乙的小
B．汽车甲的平均速度大于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐增大，汽车乙的加速度大小逐渐减小
练习1、刚刚结束的奥运会上，广东小将全红婵（图甲）以总分466.2分打破世界纪录，获得跳水单人十米台金牌。自运动员离开跳台开始计时到完全落入水中，其速度随时间变化情况可简化如图乙，选向下为正方向，下列结论正确的是（　　）
A．0-t2为空中运动时间，速度始终向下
B．t1-t2内的加速度比在t2-t3内加速度大
C．在0-t1内，平均速度等于
D．在t2-t3内，平均速度
练习2、如图甲运动员从离开跳板开始计时，其重心的图像如图乙所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．运动员在空中做的是自由落体运动 B．运动员在时，刚好到达最高点
C．运动员在水中的加速度逐渐增大 D．运动员双脚离开跳板后重心上升的高度为
练习3、（多选）在抗击“新冠”疫情期间，为了保障百姓基本生活，许多快递公司推出了“无接触配送”即用无人机配送快递（如图1）。某次快递员操作无人机竖直向上由地面向10楼阳台配送快递，无人机飞行过程的v-t图像如图2所示，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．0~t1时间内，无人机做匀加速直线运动 B．时间内，无人机的平均速度小于
C．t3时刻，无人机仅受重力作用 D．t1-t2时间内，无人机的机械能增加
练习4、（多选）自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，是一种通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车。在进行无人驾驶汽车和常规汽车运动工况对比实验的时候，如图所示直线和曲线分别是在平直公路上行驶的无人驾驶汽车和常规汽车的速度—时间（）图线，时刻两车经过同一位置，由图可知（ ）
A．在时刻，两车加速度方向相反
B．在到这段时间内，常规汽车车的平均速度比无人驾驶汽车车的大
C．在到这段时间内，两车之间的距离先拉开后靠近
D．在到这段时间内，常规汽车车的加速度一直比无人驾驶汽车车的大
练习5、（多选）甲、乙两个质点分别在两个并排直轨道上运动，其速度随时间的变化规律分别如图中a、b所示，图线a是直线，图线b是抛物线，时间内图线a、b与横轴围成的面积相等，抛物线顶点的横坐标为，下列说法正确的是（　　）
A．时间内甲、乙的位移大小相等
B．时间内甲、乙的位移大小之比为
C．时间内乙的平均速度大于甲的平均速度
D．时间内甲的加速度一直小于乙的加速度
类型3 x-t图像中的曲线问题
(1)一般曲线
①曲线不表示物体做曲线运动，而是表示物体做变速直线运动；
②一段割线的斜率等于平均速度，某点切线斜率等于瞬时速度；
③注意路程和位移区别。0~t1，路程等于位移大小(x1)；0~t2，路程(2x1-x2)大于位移大小(x2)。
（2）抛物线
①开口向上的抛物线表示物体做匀加速直线运动，开口向下表示匀减速；
②加速度用逐差法计算：(x3-x2)-(x2-x1)=aT2；
③中间时刻速度等于该段时间内的平均速度，例如2s末的速度等于1s~3s内的平均速度，v2=(x3-x1)/2T。
【典例1】（多选）一列复兴号动车进站时做匀减速直线运动，车头经过站台上三个立柱A、B、C，对应时刻分别为t1、t2、t3，其x-t图像如图所示。则下列说法正确的是（ ）
A．
B．车头经过立柱A的速度大于
C．车头经过立柱B的加速度大小为
D．车头经过立柱B时的速度大小为
【典例2】（多选）如图（a），倾角为的足够长斜面放置在粗糙水平面上。质量相等的小物块A、B（可视为质点）同时以相同的初速度沿斜面下滑，A、B与斜面的动摩擦因数分别为、；整个过程中斜面相对地面静止。A和B的位置x与时间t的关系曲线如图（b）所示，两条曲线均为抛物线，A的曲线在时切线斜率为0，则（ ）
A．时，B追上A
B．时，B的速度大小为
C．之前，A和B的加速度大小相等，方向相反
D．
【典例3】（多选）如图（a），倾角为的足够长斜面放置在粗糙水平面上。质量均为的小物块甲、乙同时以初速度沿斜面下滑，斜面的质量为，甲、乙与斜面的动摩擦因数分别为、，整个过程中斜面相对地面静止。甲和乙的位置与时间的关系曲线如图（b）所示，两条曲线均为抛物线，乙的曲线在时切线斜率为0，重力加速度为g，则（ ）
A．时，甲的速度大小为
B．
C．之后，地面对斜面的支持力大小为
D．之后，地面对斜面的摩擦力大小为
练习1、（多选）在水平面上做匀减速直线运动的质点通过O、A、B三点的过程中，其位移随时间变化规律图像如图所示。则质点（　　）
A．从O点运动到B点过程的平均速度为
B．通过A点时的速度为
C．加速度为
D．从A点运动到B点，速度的变化量为
练习2、（多选）如图所示，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置—时间（x- t）图线。由图可知（　　）
A．在时刻t1，a车追上b车 B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反
C．在t1到t2这段时间内，b车一直比a车快 D．在t1到t2这段时间内，两车平均速度相同
练习3、某同学在百米赛跑过程中，其位移随时间变化的关系可简化为如图所示的图像，其中Oa段为抛物线，ab段为直线，根据该图像，关于时间内该同学的运动，下列说法正确的是（　　）
A．加速度逐渐增加
B．速度最大值为
C．时间内加速度的大小为
D．时间内平均速度的大小为
练习4、（多选）一质点做匀变速直线运动，其运动的位移-时间图像如图所示，为图像上一点。为过点的切线，与轴交于点。则下列说法正确的是（ ）
A．时刻，质点的速率为 B．时刻，质点的速率为
C．质点的加速度大小为 D．质点的加速度大小为
题型二 常见的多过程运动模型
类型1 “0—v—0”运动模型
1.特点：初速度为零，末速度为v，两段初末速度相同，平均速度相同。三个比例式：
①速度公式 推导可得：
②速度位移公式 推导可得：
③平均速度位移公式 推导可得：
2.位移三个公式：；；
【典例1】（多选）如图所示的自由落锤式强夯机将8~30 t的重锤从6~30m高处自由落下，对土进行强力夯实。某次重锤从某一高度自由落下，已知重锤在空中运动的时间为、从自由下落到运动至最低点经历的时间为，重锤从地面运动至最低点的过程可视为做匀减速直线运动，当地重力加速度为g，则该次夯土作业（　　）
A．重锤下落时离地高度为
B．重锤接触地面后下降的距离为
C．重锤接触地面后的加速度大小为
D．重锤在空中运动的平均速度大于接触地面后的平均速度
【典例2】新能源汽车进行性能测试，时刻，汽车从静止开始做匀加速直线运动，速度达到时立即做匀减速直线运动，时，汽车刚好停止运动。汽车加速时的加速度大小是减速时的2倍，则汽车加速时的加速度大小为（　　）
A． B． C． D．
【典例3】（多选）两带电的平行板A、B水平放置，上极板A的中央有一小孔．如图甲所示，一带电油滴从小孔的正上方的O点处自由下落，穿过上极板A中央的小孔后，刚好不与下极板B相碰，在此过程中，油滴的速度v随时间t变化的关系如图乙所示．重力加速度为g，不计空气阻力，可知（ ）
A．在时，油滴刚好穿过A板的小孔
B．在时，油滴刚好返回到O点
C．油滴受到的重力与电场力之比为2∶3
D．O点到下极板B的距离为
练习1、如图是某运动员做低空跳伞表演的图像，从该运动员离开悬停的飞机开始计时，运动员先做自由落体运动，时刻打开降落伞，时刻落到地面，打开降落伞后运动员获得的加速度大小为5m/s2。，下列说法正确的是（　　）
A．运动员离开飞机10s后打开降落伞
B．运动员在空中下落过程用时9s
C．运动员距离地面247.5m时打开降落伞
D．飞机距离地面375m
练习2、水平面上一物体从静止开始，沿直线先做匀加速直线运动，3s后接着又做匀减速直线运动，再经9s停止。在加速和减速的两个过程中，下列说法正确的是（ ）
A．两过程的位移大小之比为1∶1
B．两过程的平均速度大小之比为1∶3
C．在第1s内和9~12s内的位移大小之比为1∶3
D．第3s末和第9s末的速度大小之比为2∶1
练习3、冰壶由花岗岩凿磨而成，冰壶运动是冬奥会的一个项目。如图所示，运动员在O点以一定的初速度将冰壶（可看作质点）沿水平冰面投出，冰壶在冰面上沿直线滑行、经历时间后经过P点，然后继续沿直线滑行、经历时间后经过Q点，最后停在R点。冰壶和冰面间的动摩擦因数处处相等，取重力加速度。求：
(1)冰壶的初速度大小；
(2)Q和R两点之间的距离。
练习4、人工智能已在生活中得到广泛应用。一游客携带智能行李箱出行，旅客行走时，行李箱无需人的牵引可在地面上跟随游客运动，如图甲所示。某段时间内，行李箱速度v随时间t的变化图像如图乙所示。已知行李箱的质量，时间内行李箱的总位移。求：
(1)行李箱加速阶段的位移大小以及减速运动的时间；
(2)减速阶段行李箱受到的合力大小F。
练习5、潜艇从海水高密度区域驶入低密度区域，浮力突然减小，潜艇如同汽车那样掉下悬崖，称之为“掉深”，曾有一些潜艇因此沉没。某潜艇总质量为，在高密度海水区域海平面下200m沿水平方向缓慢潜航，如图所示。当该潜艇驶入海水低密度区域时，浮力突然降为；12s后，潜艇官兵迅速对潜艇减重（排水），此后潜艇以的加速度匀减速下沉，速度减为零后开始上浮。若潜艇减重的时间不计，水的粘滞阻力可忽略，潜艇减重前后受到的浮力保持不变。取重力加速度大小，求：
（1）潜艇为阻止“掉深”减重后的质量；
（2）潜艇“掉深”达到距海平面的最大深度。
类型2 先减速为为0，后原路返回运动模型
（1）特点：初（或末）速度为零，两段运动位移大小相等为x。
（2）位移三个公式：位移公式；速度位移公式；
平均速度位移公式
（3）三个比例式：① ；② ； ③
【典例1】如图所示，一物块(可视为质点)以一定的初速度从一足够长的光滑固定斜面的底端开始上滑，在上滑过程中的最初5 s内和最后5 s内经过的位移之比为11∶5.忽略空气阻力，则此物块从底端开始上滑到返回斜面底端一共经历的时间是(　　)
A．8 s B．10 s C．16 s D．20 s
【典例2】(多选)在塔顶边缘将一物体竖直向上抛出，抛出点为A，物体上升的最大高度为20 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，设塔足够高，则物体位移大小为10 m时，物体运动的时间可能为(　　)
A．(2－) s B．(2＋) s
C．(2＋) s D． s
【典例3】(多选)一物体以5 m/s的初速度在光滑斜面上向上运动，其加速度大小为2 m/s2，设斜面足够长，经过t时间物体位移的大小为4 m，则时间t可能为 (　　)
A．1 s　　　　　　　　　 B．3 s
C．4 s D. s
练习1、一质点做匀变速直线运动，已知初速度大小为v，经过一段时间速度大小变为2v，加速度大小为a，这段时间内的路程与位移大小之比为5∶3，则下列叙述正确的是(　　)
A．这段时间内质点运动方向不变
B．这段时间为
C．这段时间的路程为
D．再经过相同时间质点速度大小为3v
练习2、（多选）一质量为m的物体自倾角为的固定斜面底端沿斜面向上滑动。该物体开始滑动时的动能为，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为。已知，重力加速度大小为g。则（　　）
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
练习3、如图甲所示，一物块从倾角为的斜面底端以一定的初速度沿足够长的斜面上滑，其运动的速度一时间图像如图乙所示，2t0时刻速度减为零，5t0时刻回到出发点。则下列说法正确的是（　　）
A. 物块返回斜面底端时的速度大小为
B. 物块返回斜面底端时的速度大小为
C. 物块与斜面之间的动摩擦因数为
D. 物块与斜面之间的动摩擦因数为
练习4、海洋馆中一潜水员把一质量为m的小球以初速度从手中竖直抛出，从抛出开始计时，时刻小球返回手中，小球始终在水中且在水中所受阻力大小不变，小球的速度随时间变化的关系图像如图所示，重力加速度大小为g，则小球在水中竖直下落过程中的加速度大小为（　　）
A． B． C． D．
类型3 先匀速，后减速运动模型---反应时间问题
总位移
【典例1】根据《机动车驾驶证申领和使用规定》，司机闯红灯要扣6分，并处罚金200元。某小轿车驾驶员看到绿灯开始闪时，经短暂时间思考后开始刹车，小轿车在红灯刚亮时恰停在停车线上，图像如图所示。若绿灯开始闪烁时小轿车距停车线距离，则（　　）
A．小轿车刹车的加速度大小为2m/s2
B．小轿车的刹车距离为7m
C．绿灯开始闪烁到红灯刚亮的时间为3s
D．绿灯开始闪烁到红灯刚亮的时间为2.5s
【典例2】当车辆在公路上出现故障不能移动时，为保证安全，需要在事故车辆后面一定距离放置如图所示的警示标志。通常情况下，司机看到警示标志后会有大约的反应时间。某省道限速（约为），假设某后方司机即将撞到警示标志时才看到该标志，为避免后方车辆与故障车相撞，警示标志应放在故障车尾后面的距离不小于（汽车在此公路刹车过程最大加速度大小为）（　　）
A． B． C． D．
【典例3】无人驾驶汽车通过车载传感系统识别道路环境，自动控制车辆安全行驶。无人驾驶有很多优点，如从发现紧急情况到车开始减速，无人车需要0.2s，比人快了1s。人驾驶汽车以某速度匀速行驶，从发现情况到停下的运动距离为44m，汽车减速过程视为匀减速运动，其加速度大小为。同样条件下，无人驾驶汽车从发现情况到停下的运动距离为（ ）
A．24m B．26m C．28m D．30m
练习1、无人驾驶汽车通过车载传感系统识别道路环境，自动控制车辆安全行驶。无人驾驶有很多优点，如从发现紧急情况到车开始减速，无人车需要0.2s，比人快了1s。人驾驶汽车以某速度匀速行驶，从发现情况到停下的运动距离为44m，汽车减速过程视为匀减速运动，其加速度大小为。同样条件下，无人驾驶汽车从发现情况到停下的运动距离为（ ）
A. 24m B. 26m C. 28m D. 30m
练习2、现有一辆小汽车以的速度匀速驶向路口，当行驶至车头距路口斑马线处时，司机发现有人正沿前方斑马线横穿马路，司机经过时间做出反应，随后开始刹车刚好在斑马线处停下，全过程的图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A． B．小车刹车时的加速度为
C．汽车内的平均速度为 D．汽车停车前最后发生的位移是
练习3、一辆质量为m的货车以速度在平直公路上做匀速直线运动。司机突然发现正前方有障碍物，司机反应过来后立即紧急刹车，刹车过程中货车受到的阻力大小恒为。已知司机的反应时间为，反应时间内车匀速行驶。
（1）求从司机发现障碍物到车停下来货车前进的距离；
（2）安全驾驶人人有责，为防止发生交通事故，请通过分析第（1）问中影响货车前进距离的因素，给货车司机提出两条安全驾驶的建议（写出给出的建议的依据，只给建议不写依据不得分）。
类型4 三倍加速度运动模型
（1）特点：初速度为零，两段总位移为零。
（2）位移两个公式：；
（3）特殊结论：若 ,则有 ,
【典例1】（多选）一质量为m的物体自倾角为的固定斜面底端沿斜面向上滑动。该物体开始滑动时的动能为，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为。已知，重力加速度大小为g。则（　　）
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
【典例2】如图甲所示，一物块从倾角为的斜面底端以一定的初速度沿足够长的斜面上滑，其运动的速度一时间图像如图乙所示，2t0时刻速度减为零，5t0时刻回到出发点。则下列说法正确的是（　　）
A．物块返回斜面底端时的速度大小为
B．物块返回斜面底端时的速度大小为
C．物块与斜面之间的动摩擦因数为
D．物块与斜面之间的动摩擦因数为
【典例3】（多选）如图所示，一物块从倾角为θ的斜面底端以初速度沿足够长的斜面上滑，经时间t速度减为零，再经2t时间回到出发点，下列说法正确的是（ ）
A．物块上滑过程的加速度大小是下滑过程加速度大小的2倍
B．物块返回斜面底端时的速度大小为
C．物块与斜面之间的动摩擦因数为
D．物块与斜面之间的动摩擦因数为
练习1、物体从A点由静止开始做加速度大小为的匀加速直线运动，经时间t到达B点，速度大小为，这时突然改为做加速度大小为的匀减速直线运动，又经过时间t回到A点，速度大小为，求：和。
练习2、如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平面上，质量为m的物块在沿斜面向上的恒力作用下由静止开始运动，经时间t后撤去恒力作用，再经3t时间后物块恰好返回起点。已知重力加速度为g，求：
（1）恒力的大小？
（2）物块返回起点时的速度大小？
（3）物块沿斜面向上运动的最远点与起点间的距离？
练习3、如图所示，在水平地面上固定一个倾角为的绝缘光滑斜面体，斜面体底端连接有挡板，有一个电荷量为q、质量为m的滑块静止于挡板处，某时刻加一沿斜面方向的匀强电场，使得滑块沿斜面方向运动，经历t时间后撤去电场，接着又经历相同的时间，滑块回到挡板位置处。不计空气阻力，已知重力加速度为g，求：
（1）电场强度的大小；
（2）滑块距挡板的最远距离。

练习4、轮滑运动员从t=0时刻开始自斜面底端沿直线滑上足够长的斜面，当速度减为零时，又沿直线滑回到出发点，以运动员的初速度方向为正方向，运动员从开始运动到回到出发点的过程中速度v随着时间t变化的图像如图所示，轮滑运动员可视为质点。求∶
（1）0~6s内运动员在斜面上运动的路程L；
（2）运动员上滑过程与下滑过程的加速度大小之比。
类型5 等时间折返模型
物体由静止出发，先经过一段时间匀加速直线运动，速度达到v1，然后立即做匀减速直线运动，如果经过相等的时间物体回到了原出发点。
如图所示，设物体由A点出发做匀加速直线运动，加速度大小为，运动到B点时速度大小为，这时立即以大小为的加速度做匀减速直线运动，由题意可知，物体速度应先减速到0再返回出发点A，速度为
从A点运动到B点的时间等于由B回到A点的时间，设为，
取向右为正方向：
物体从A到B，由运动学公式得：2 -------------------(1)
-------------------(2)
从B返回A的整个过程： ---------------------(3)
-------------------------(4)
由(1)、(2)、(3)、(4)解得：　 ---------------------------(5)
----------------------------(6)
由以上结论可进一步得出该定理的推论：
深入思考发现推论：设从A到B（匀加速过程）受到的合外力大小为，合力做的功为，物体受到的冲量为；从B返回A（匀减速过程）受到的合力为，合力做的功为，物体受到的冲量为，则：
∵ ∴由得 ------------------(7)
∵ ∴ ------------------(8)
∵ ∴ -------------------(9)
【典例1】（多选）质量为m的小球在竖直向上的恒力F作用下由静止开始向上匀加速运动，经时间t撤去F，又经时间t小球回到出发点，速度大小为v，不计空气阻力，已知重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　）
A．撤去力F时小球的动能为 B．小球上升的最大高度为
C．拉力F所做的功为 D．拉力的最大功率为
【典例2】如图所示，空间存在水平向左的匀强电场，一带电量为的物块放在光滑绝缘水平面上，在恒力F作用下由静止开始从O点向右做匀加速直线运动，先经时间t力F做功，此后撤去力F，物块再经时间返回到出发点O，且回到出发点时的速度大小为v。设物块在O点的电势能为零，则（　　）

A．撤去力F时物块的速度大小为
B．物块向右滑动的最大距离为
C．物块回到出发点时的动能为
D．撤去力F时物块的电势能为
【典例3】某质点P从静止开始以加速度做匀加速直线运动，经过时间t后立即以大小为的加速度做匀减速直线运动，又经过时间2t后恰好回到出发点，则有（　　）
A． B．
C． D．
练习1、（多选）如图所示，在一个固定的光滑的倾角为θ的斜面上，一质量为m的物块在平行于斜面向上的恒力F的作用下，由静止从斜面底端向上做匀加速直线运动，斜面足够长，经一段时间后撤去恒力F，物块又经相同时间回到出发点。重力加速度为g。则（ ）
A．物块在沿斜面向上运动的过程中，机械能先增大后守恒
B．物块在沿斜面向下运动的过程中，机械能一直减小
C．撤去恒力前后，物块物块加速度大小之比为1：2
D．撤去恒力前后，物块物块加速度大小之比为1：3
练习2、物体由静止向右匀加速经t秒后物体的速率为v1，此时立即使其改变加速度并接着做匀变速直线运动，又经 2t秒后物体回到出发点且速率为v2，则v1、v2间的关系是（　　）
A．3 v1=2 v2 B．5 v1=3 v2 C．2 v1= v2 D．v1= v2
练习3、一质点由静止出发向东做匀加速直线运动，加速度大小为，经过时间2t后做加速度大小为的匀变速直线运动，再经过时间t恰好回到出发点，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．小滑块向东加速与减速过程的速度变化相同
C．若质点回到出发点时速度大小为，则2t末速度大小为
D．若质点在整个3t时间内通过的路程为18m，则向东的前2t时间内通过的路程为8m
练习4、如图甲所示，两平行金属板A、B水平放在真空中，板间距为d，金属板长2d，OO＇为板间中线，AB板间的电势差U随时间t的变化情况如图乙所示。有一个质量为m，电荷量为q的带电小球，t＝0时刻从O点以v0的速度水平沿OO＇射入。T时刻小球恰好从O＇点射出，小球运动过程中恰好未B与极板相碰。已知重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　）
A．小球所受的电场力大小等于重力大小
B．板间电压
C．时，小球速度大小为v0
D．时，小球速度大小为v0
练习5、（多选）如图所示，在足够长光滑绝缘水平面的上方，存在着方向水平向右、场强大小为的匀强电场。一带正电小物块（可视为质点）从水平面上A点由静止释放，经时间t到达B点，小物块速度大小为v。此时水平面上方突然撤去原来电场，改加方向水平向左、场强大小为的匀强电场，小物块又经时间2t恰好返回A点。下列说法正确的是（　　）
A．小物块返回A点时速度大小为 B．小物块返回A点时速度大小为2v
C．电场强度的大小关系是 D．电场强度的大小关系是
练习6、（多选）一质点从A点做初速度为零、加速度的匀加速直线运动，经过一段时间后到达B点，此时加速度突然反向，大小变为，又经过同样的时间到达C点。已知、的距离为、的距离的一半，则与的大小之比可能为（　　）
A． B． C． D．
练习7、一小球在外力作用下沿一光滑斜面从静止开始以大小为的加速度向上做匀加速运动；经时间t后，撤去外力，小球再经时间t回到出发点（撤去外力后，小球做的仍为匀变速直线运动）。求
(1)小球沿斜面加速上升的位移的大小；
(2)撤去外力后，小球的加速度的大小；
(3)小球沿斜面向上运动的时间；
(4)小球沿斜面向上运动的距离。
练习8、如图（a），一质量为m=1.5kg的物块在沿斜面向上的恒力F作用下，从倾角为θ=37°的光滑斜面底端由静止开始运动。当恒力做功48J后撤去F，再经过一段时间后物块又返回斜面底端。已知物块沿斜面上滑和下滑所用的时间的比是2∶1。（sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2）
（1）求撤去力F后物块的加速度；
（2）求物块返回到出发点时的速度大小；
（3）在图（b）中画出，物块从开始运动到返回底端过程中的速度与时间的v –t图像；
（4）求恒力F的大小。
题型三 追及相遇问题
【解题指导】1．(1)“慢追快”型：v后＝v前时，Δx最大．追匀减速运动的机车时，注意要判断追上时前车是否已停下．(2)“快追慢”型：v后＝v前时，Δx最小，若此时追上是“恰好不相撞”；若此时还没追上就追不上了；若此之前追上则是撞上.
在已知出发点的前提下，可由v－t图像“面积”判断相距最远、最近及相遇等情况.
3.基本解题思路是：利用速度相等找位移关系．
【必备知识与关键能力】
1.分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。
(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。
2.临界法
寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。
3.函数法
设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇。
4.图像法
(1)若用位移—时间图像求解，分别作出两个物体的位移—时间图像，如果两个物体的位移—时间图像相交，则说明两物体相遇。
(2)若用速度—时间图像求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。
5.特别提醒
若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
类型1 变速物体追匀速物体
【典例1】（多选）甲、乙两辆玩具车在两条平行直轨道上运动，它们运动的图像如图所示。初始时刻，两车在运动方向上相距，甲在后、乙在前，下列说法正确的是（　　）
A．甲车的加速度大小为
B．时间内，甲，乙两车之间的距离先增大后减小
C．时刻甲车的速度大小为
D．在时刻甲、乙两车相遇
【典例2】（多选）质点A 沿x轴正方向做匀速直线运动，当质点A 经过坐标原点O时，质点B从坐标原点O由静止开始沿x轴正方向做匀加速直线运动，两质点的速度v与位置坐标x的关系图像如图所示，两图像的交点坐标为（4m，6m/s），下列说法正确的是（　　）
A．质点B的加速度大小为
B．质点B追上质点A时的速度大小为12m/s
C．两质点在x=4m处相遇
D．质点B追上质点A前，相距的最大距离为4m
【典例3】（多选）两汽车甲、乙在同一场地同时同起点测试时获得的位置坐标x与时间t的比值随时间t变化的关系如图所示，关于汽车甲、乙在该路段的测试，下列说法正确的是（　　）
A．汽车甲由静止开始做匀加速直线运动，汽车乙做匀速直线运动
B．汽车甲做匀加速直线运动的加速度大小为5m/s2
C．t=6s时，汽车甲、乙第1次相遇
D．汽车甲、乙有可能第2次相遇
练习1、小强同学在上学途中正沿平直人行道以的速度向公交站台走去时，发现质量的公交车以的速度从身旁平直公路同向匀速驶过，此时他们距站台的距离。为了乘上该公交车去学校，小强开始尽全力加速向前跑去，其最大加速度为，能达到的最大速度。假设公交车刹车时受合力大小恒为，且刹车后刚好到站台停下，不计车长。求：
（1）公交车刹车过程合力所做的功；
（2）公交车在站台至少停多久小强才能赶上公交车。
练习2、在某次军事演习中，歼击机以的恒定速度追击前面同一直线上匀速飞行的无人靶机。当两者相距时；歼击机发射一枚导弹，导弹脱离歼击机后沿水平方向做加速度为的匀加速直线运动，时击中无人靶机并将其击落。已知发射导弹的时间不计，发射导弹对歼击机速度无影响。求：
（1）无人靶机被击中前飞行的速度大小；
（2）导弹飞行过程中与无人靶机的最大距离；
（3）若导弹击中无人靶机后，歼击机须尽快到达无人靶机被击落的空中位置且要求歼击机到达时速度为零继而悬停在空中。已知歼击机以最大加速度加速后达到最大速度，且歼击机加速和减速过程最大加速度大小相等，忽略歼击机从发现导弹击中无人靶机到开始加速的反应时间，求从导弹击中无人靶机至歼击机到达无人靶机所在位置的最短时间。（结果保留3位有效数字）
练习3、如图所示，甲、乙两辆汽车在平直公路上两条相邻平行车道上行驶，t=0时刻乙车在甲车前方处做匀速直线运动，速度大小为，甲车此时速度为，开始做加速度大小为的匀加速直线运动。甲、乙车上安装有信号发射与接收装置，当甲乙两车距离超过时，甲乙两车不能接收到彼此的通讯信号（忽略两车横向间隙的宽度）。计算结果保留小数点后一位（取）。求：
(1)在甲车追上乙车之前，甲、乙两车之间的最大距离为多少？
(2)当甲乙两车距离最大时，甲车开始匀速运动，乙车立即刹车，刹车阶段加速度大小为，求甲乙两车共速后还需要经过多长时间甲车追上乙车？
(3)在第（2）问情况下，求全程两车能维持通信的时间。
类型2 变速物体追变速物体
【典例1】（多选）近日，我国首个国产移动操作系统——华为原生鸿蒙操作系统正式发布，华为此次发布的原生鸿蒙操作系统可以实现多设备联动。其中，蓝牙通讯传输在“纯血鸿蒙万物智联”中有着重要的地位，而设备之间蓝牙配对成功是蓝牙通讯传输的前提。搭载有鸿蒙系统设备的甲、乙两车在平直公路上，遇到突发状况后甲先做匀减速运动后做匀速运动，乙做匀减速运动至停止，运动图像如图所示，时，乙车在前甲车在后且相距10m。已知蓝牙自动配对需要在稳定传输距离内进行，配对成功需要1s（配对成功后，再次传输信息无需重新配对），蓝牙通讯稳定传输的距离在4m以内。已知两车可视为质点且相遇不影响各自运动。则下列说法正确的是（ ）
A．时甲、乙两车蓝牙配对成功
B．时甲、乙两车并列行驶
C．时甲、乙两车并列行驶
D．甲、乙两车蓝牙通讯稳定传输时间为5.0s
【典例2】（多选）可视为质点的、两车在同一条平直公路上行驶，运动的图像如图所示。已知时刻在正前方处，则下列说法正确的是（ ）
A．时两车相距
B．两车第一次相遇时比速度大
C．两车第一次相遇位置到第二次相遇位置之间的距离为
D．、两车的加速度之比为
【典例3】（多选）一辆警车以的速度自东向西行驶，经过一十字路口时，发现一名犯罪嫌疑人驾驶摩托车，对向行驶经过该路口（速度为），于是警车立即减速到并调头追赶。已知警车加、减速的加速度大小均为，最大速度为，摩托车的最大加速度为，最大速度为。为确保安全，警车第1次追上摩托车时速度等于，并喊话让犯罪嫌疑人靠边停车，但犯罪嫌疑人想逃逸，摩托车开始加速，加速至最大速度后匀速行驶，同时警车也再次开始加速，在与摩托车等速时恰好第2次追上，忽略调头过程警车的运动路程和时间，下列说法正确的是（ ）
A．第1次追上之前，两车的最大距离为200m
B．从在路口相遇到第1次追上，用时21s
C．第1次追上后，警车经过加速、匀速、减速直到第2次追上
D．从在路口相遇到第2次追上，摩托车的位移约572m
练习1、（多选）甲，乙两车在平直公路上沿同一方向行驶，其图像如图所示，在时刻，乙车在甲车前方处，在时间内甲车的位移为。下列判断正确的是（　　）
A．若甲、乙在时刻相遇，则
B．若甲、乙在时刻相遇，则下次相遇时刻为
C．若，则甲、乙一定相遇两次
D．若，则甲、乙一定只相遇一次
练习2、（多选）在某次科技节遥控车漂移激情挑战赛中，红蓝两个遥控车沿同一方向做直线运动，初始时刻红蓝两车间距为，红车在前，两车运动的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．红车的初速度大小为
B．蓝车的加速度大小为4m/s2
C．两车相遇前最远距离为10m
D．两车相遇前最远距离为8m
练习3、（多选）为了测试某品牌新能源汽车的性能，现有A、B两辆汽车沿着双车道平直公路平行运动，时刻B车在A车前方处，该时刻两车开始刹车，此后过程中两汽车运动的v-t图像如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．A、B的加速度大小之比2∶1
B．时两车相距
C．从计时起A、B两车相遇2次
D．两车间距最小为时，最小间距为10m
练习4、（多选）甲，乙两车在平直公路上沿同一方向行驶，其图像如图所示，在时刻，乙车在甲车前方处，在时间内甲车的位移为x。下列判断正确的是（　　）
A．若甲、乙在时刻相遇，则
B．若甲、乙在时刻相遇，则下次相遇时刻为
C．若，则甲、乙一定相遇两次
D．若，则甲、乙一定只相遇一次
练习5、（多选）甲、乙两车（可视为质点）在同一平直车道上各自行驶时，其速度—时间（v-t）图像如图所示。t＝0时，甲车在后、乙车在前且二者相距18m，两车各自在车道上按图像规律同向行驶。下列说法正确的是（　　）
A．甲车的加速度大小为1.5
B．乙车的加速度大小为1.25
C．甲、乙两车在4s时相遇
D．t＝8s时，甲车在乙车后方6m处
练习6、（多选）某一长直的赛道上，一辆赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度在相邻车道匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。若当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以大小为4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？（设两车道平行，赛车可以从安全车旁经过而不相碰，用物理分析法和图像法两种方法解题）
练习7、羚羊从静止开始奔跑，经过能加速到最大速度，并能维持一段较长的时间。猎豹从静止开始奔跑，经过的距离能加速到最大速度，以后只能维持此速度。设猎豹距离羚羊时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑。问：猎豹要从最大速度减速前追到羚羊，x值应在什么范围？
练习8、A、B两列火车在同一直轨道上同向行驶，A在前，速度为vA=36km/h，B车在后速度vB=108km/h，因大雾能见度低，B车在距A车d=175m时，才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但要经过900mB车才能停止。问：
(1)B车刹车的加速度大小多大？
(2)A车若仍按原速前进，两车是否会相撞？B车开始刹车计时，若会相撞，B车将在何时何地发生？若不会相撞，求出两车相距最近距离？
(3)B车在刹车的同时发出信号，A车司机在收到信号2s后加速前进，求A车的加速度多大时，才能避免事故发生。（不计信号传输时间，最后结果可用分式表示）

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