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数学　必修 第一册 RJB
第1课时　函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
一、单选题
1．下列说法中正确的是(　　)
①f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)；
②f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1；
③y＝f(x)的零点即y＝f(x)的图象与x轴的公共点；
④y＝f(x)的零点即y＝f(x)的图象与x轴公共点的横坐标．
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
2．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　)
A．－，－1 B．，1
C．，－1 D．－，1
3．若函数y＝x2－bx＋1只有一个零点，则b的值为(　　)
A．2 B．－2
C．±2 D．3
4．函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则函数y＝f(|x|)的零点的个数为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
5．已知二次函数y＝ax2＋bx－c的图象如图所示，则不等式bx2＋ax＋c>0的解集为(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．
C．(－∞，－1)∪ D．(－1，2)
二、多选题
6．已知a为常数，则函数f(x)＝|x2－9|－a－2的零点个数可能为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
7．已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，则下列结论正确的是(　　)
A．a<1 B．若x1x2≠0，则＋＝
C．f(－1)＝f(3) D．函数y＝f(|x|)有四个零点
三、填空题
8．函数f(x)＝x2－x－1的零点有________个．
9．函数f(x)＝的零点为________．
10．已知函数f(x)＝ax2－5x＋2a＋3的一个零点为0，则a＝________，f(x)的另一个零点为________．
四、解答题
11．设函数f(x)＝(m＋1)x2－mx＋m－1.
(1)当m＝1时，求不等式f(x)>0的解集；
(2)若不等式f(x)＋1>0的解集为，求m的值．
12．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1，4]．
(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出f(x)≥0的解集；
(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m，x∈[－1，4]有两个零点？
13．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－t有三个零点，则实数t的取值范围为(　　)
A．(－1，3) B．(－∞，－1]
C．(3，＋∞) D．[－4，3)
14．已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　)
A． B．
C．－ D．－
15．已知函数f(x)＝x3－4x.
(1)求函数的零点并画出函数的草图；
(2)解不等式xf(x)<0.
16．已知关于x的函数f(x)＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
第1课时　函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
一、单选题
1．下列说法中正确的是(　　)
①f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)；
②f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1；
③y＝f(x)的零点即y＝f(x)的图象与x轴的公共点；
④y＝f(x)的零点即y＝f(x)的图象与x轴公共点的横坐标．
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
答案：B
解析：根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1，函数y＝f(x)的零点即y＝f(x)的图象与x轴公共点的横坐标．因此②④正确．故选B.
2．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　)
A．－，－1 B．，1
C．，－1 D．－，1
答案：B
解析：方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.
3．若函数y＝x2－bx＋1只有一个零点，则b的值为(　　)
A．2 B．－2
C．±2 D．3
答案：C
解析：因为函数只有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.
4．函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则函数y＝f(|x|)的零点的个数为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
答案：D
解析：∵y＝f(|x|)是偶函数，∴其图象关于y轴对称．∵当x>0时，函数有3个零点，∴当x<0时，函数也有3个零点．又0是y＝f(|x|)的1个零点，故共有7个零点．
5．已知二次函数y＝ax2＋bx－c的图象如图所示，则不等式bx2＋ax＋c>0的解集为(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．
C．(－∞，－1)∪ D．(－1，2)
答案：A
解析：由题图可知，a<0，且一元二次方程ax2＋bx－c＝0有两个不同的实数根，分别为x1＝－1，x2＝2，∴x1＋x2＝－＝1，x1x2＝＝－2，∴b＝－a，c＝2a，∴bx2＋ax＋c>0等价于－ax2＋ax＋2a>0，∵a<0，∴x2－x－2>0，解得x<－1或x>2，故不等式bx2＋ax＋c>0的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．故选A.
二、多选题
6．已知a为常数，则函数f(x)＝|x2－9|－a－2的零点个数可能为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：BCD
解析：令g(x)＝|x2－9|，h(x)＝a＋2，在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象，如图所示．由图可知，当a＋2>9，即a>7时，两函数图象有2个交点，即函数f(x)有2个零点；当a＋2＝9，即a＝7时，两函数图象有3个交点，即函数f(x)有3个零点；当07．已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，则下列结论正确的是(　　)
A．a<1 B．若x1x2≠0，则＋＝
C．f(－1)＝f(3) D．函数y＝f(|x|)有四个零点
答案：ABC
解析：对于A，二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a＝4－4a>0，a<1，故A正确；对于B，由根与系数的关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝a，＋＝＝，故B正确；对于C，f(－1)＝1＋2＋a＝3＋a，f(3)＝9－6＋a＝3＋a，所以f(－1)＝f(3)，故C正确；对于D，当a＝0时，由y＝f(|x|)＝0，得|x|2－2|x|＝0，所以x1＝0，x2＝－2，x3＝2，有三个零点，故D错误．故选ABC.
三、填空题
8．函数f(x)＝x2－x－1的零点有________个．
答案：2
解析：Δ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5>0，所以方程x2－x－1＝0有两个不相等的实数根，故函数f(x)＝x2－x－1有2个零点．
9．函数f(x)＝的零点为________．
答案：2，－
解析：当x≥0时，由2x－4＝0，得x＝2；当x<0时，由2x2－3x－2＝0，得x＝－或x＝2(舍去)．故函数f(x)的零点为2，－.
10．已知函数f(x)＝ax2－5x＋2a＋3的一个零点为0，则a＝________，f(x)的另一个零点为________．
答案：－　－
解析：由已知，得f(0)＝2a＋3＝0，∴a＝－，∴f(x)＝－x2－5x，由－x2－5x＝－x＝0，得x＝0或x＝－，∴f(x)的另一个零点为－.
四、解答题
11．设函数f(x)＝(m＋1)x2－mx＋m－1.
(1)当m＝1时，求不等式f(x)>0的解集；
(2)若不等式f(x)＋1>0的解集为，求m的值．
解：(1)当m＝1时，不等式f(x)>0为2x2－x>0，
由函数f(x)的图象可得，
不等式的解集为(－∞，0)∪.
(2)不等式f(x)＋1>0，
即(m＋1)x2－mx＋m>0，
由题意知，3是方程(m＋1)x2－mx＋m＝0的两根，
因此解得m＝－.
12．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1，4]．
(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出f(x)≥0的解集；
(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m，x∈[－1，4]有两个零点？
解：(1)依题意，f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1，4]，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
因此3和－1都是函数f(x)的零点，其图象如图所示．
由图可知，f(x)≥0的解集为{－1}∪[3，4]．
(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m，x∈[－1，4]有两个零点，
∴方程f(x)＝－m有两个相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．
由(1)所作图象可知，－4<－m≤0，
∴0≤m<4.
∴当0≤m<4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，即当0≤m<4时，函数g(x)＝f(x)＋m，x∈[－1，4]有两个零点．
13．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－t有三个零点，则实数t的取值范围为(　　)
A．(－1，3) B．(－∞，－1]
C．(3，＋∞) D．[－4，3)
答案：A
解析：作出函数f(x)＝的图象，如图所示．因为函数g(x)＝f(x)－t有三个零点，即函数y＝f(x)与y＝t的图象有三个公共点，结合图象，可得－114．已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　)
A． B．
C．－ D．－
答案：C
解析：依题意，函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)的零点即方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0的根，由f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，得f(2x2＋1)＝－f(λ－x)，因为f(x)是R上的奇函数，从而有f(2x2＋1)＝f(x－λ)，又f(x)是R上的单调函数，则有2x2＋1＝x－λ，而函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，于是得2x2－x＋1＋λ＝0有两个相等的实数解，因此Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－，所以实数λ的值是－.故选C.
15．已知函数f(x)＝x3－4x.
(1)求函数的零点并画出函数的草图；
(2)解不等式xf(x)<0.
解：(1)因为x3－4x＝x(x－2)(x＋2)，
所以函数f(x)的零点为0，－2，2，
3个零点把定义域分成4个区间：(－∞，－2]，(－2，0]，(0，2]，(2，＋∞)，
由于f(－3)＝－15，f(－1)＝3，f(1)＝－3，f(3)＝15，相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，所以函数的草图如图所示．
(2)不等式xf(x)<0等价于或结合函数图象得不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)．
16．已知关于x的函数f(x)＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
解：(1)当m＋6＝0，即m＝－6时，函数为y＝－14x－5，显然有零点；
当m＋6≠0，即m≠－6时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，
得m≤－.
∴当m≤－且m≠－6时，二次函数恒有零点．
综上，m≤－，
故m的取值范围是.
(2)设x1，x2是函数的两个零点，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵＋＝－4，即＝－4，
∴－＝－4，解得m＝－3.
又当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0，符合题意，
∴m的值为－3.
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