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数学　必修 第一册 RJB
第2课时　零点的存在性及其近似值的求法
一、单选题
1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的零点个数分别为(　　)
A．4，4 B．3，4
C．5，4 D．4，3
2．对于函数f(x)＝x2＋c，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内(　　)
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至多有一个零点
3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984 f(1.375)≈－0.260
f(1.4375)≈0.162 f(1.40625)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度小于0.02)为(　　)
A．1.5 B．1.25
C．1.390625 D．1.421875
4．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间内一定有零点
B．函数f(x)在区间或内有零点
C．函数f(x)在内无零点
D．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是
5．若函数f(x)＝x2＋x＋m的零点在区间(1，2)内，则m的取值范围为(　　)
A．[－6，－2] B．(－6，－2)
C．(－∞，－6]∪[－2，＋∞) D．(－∞，－6)∪(－2，＋∞)
二、多选题
6．已知函数f(x)，g(x)的图象在[－1，3]上都是连续不断的．根据下表，能够判断f(x)＝g(x)有实数解的区间是(　　)
x －1 0 1 2 3
f(x) －0.677 3.011 5.432 5.241 7.651
g(x) －0.530 3.451 4.890 5.980 6.892
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
7．若函数f(x)的图象是连续的，且函数f(x)的唯一零点同在(0，4)，(0，2)，内，则与f(0)符号不同的是(　　)
A．f(4) B．f(2)
C．f(1) D．f
三、填空题
8．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
9．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，4)内的实数根时，取中点x1＝3，则下一个含有根的区间是________．
10．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
四、解答题
11．用二分法求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度小于0.1)．
12．以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度小于0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．
设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．
先求值：f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________．
所以f(x)在区间________内存在零点x0，填表：
零点所在区间 中点m f(m)的符号 取中点作为近似值时误差小于的值
13．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点
B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点
C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点
D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点
14．已知函数f(x)满足对任意x1，x2∈[a，b]，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，且f(a)·f(b)<0.在用二分法寻求零点的过程中，依次确定了零点x0所在区间为[a，b]，，，，则b－a＝______；若要使x0近似值的精确度小于0.001，则至少需要进行________次区间中点函数值的计算．
15．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0，1]内有两个实根．
16．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4.
(1)若函数f(x)的零点均大于1，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)的一个零点大于1，一个零点小于1，求实数a的取值范围；
(3)若函数f(x)的一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内，求实数a的取值范围．
第2课时　零点的存在性及其近似值的求法
一、单选题
1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的零点个数分别为(　　)
A．4，4 B．3，4
C．5，4 D．4，3
答案：D
解析：由图象知函数f(x)的图象与x轴有4个公共点，因此零点个数为4，从左往右数第4个公共点两侧不满足函数值异号，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．
2．对于函数f(x)＝x2＋c，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内(　　)
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至多有一个零点
答案：C
解析：利用特殊值法和数形结合的思想验证．如：①令c＝1，则f(x)＝x2＋1，f(2)＝f(－2)＝5>0，在(－2，2)内无零点；②令c＝0，则f(x)＝x2，f(2)＝f(－2)＝4>0，在(－2，2)内有一个零点；③令c＝－1，则f(x)＝x2－1，f(2)＝f(－2)＝3>0，在(－2，2)内有两个零点．故选C.
3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984 f(1.375)≈－0.260
f(1.4375)≈0.162 f(1.40625)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度小于0.02)为(　　)
A．1.5 B．1.25
C．1.390625 D．1.421875
答案：D
解析：由参考数据，知f(1.40625)≈－0.054，f(1.4375)≈0.162，即f(1.40625)f(1.4375)<0，且1.4375－1.40625＝0.03125<2×0.02＝0.04，所以方程的一个近似解可取＝1.421875.故选D.
4．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间内一定有零点
B．函数f(x)在区间或内有零点
C．函数f(x)在内无零点
D．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是
答案：D
解析：根据二分法，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，零点应在或内，或零点是.
5．若函数f(x)＝x2＋x＋m的零点在区间(1，2)内，则m的取值范围为(　　)
A．[－6，－2] B．(－6，－2)
C．(－∞，－6]∪[－2，＋∞) D．(－∞，－6)∪(－2，＋∞)
答案：B
解析：因为f(x)在(1，2)上单调递增，且f(x)的图象是连续不断的，所以解得－6二、多选题
6．已知函数f(x)，g(x)的图象在[－1，3]上都是连续不断的．根据下表，能够判断f(x)＝g(x)有实数解的区间是(　　)
x －1 0 1 2 3
f(x) －0.677 3.011 5.432 5.241 7.651
g(x) －0.530 3.451 4.890 5.980 6.892
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
答案：BCD
解析：令F(x)＝f(x)－g(x)，因为F(－1)＝f(－1)－g(－1)＝－0.677－(－0.530)＝－0.147<0，F(0)＝f(0)－g(0)＝3.011－3.451＝－0.44<0，F(1)＝f(1)－g(1)＝5.432－4.890＝0.542>0，F(2)＝f(2)－g(2)＝5.241－5.980＝－0.739<0，F(3)＝f(3)－g(3)＝7.651－6.892＝0.759>0，于是有F(0)F(1)<0，F(1)F(2)<0，F(2)F(3)<0.所以F(x)在(0，1)，(1，2)，(2，3)内有零点，即f(x)＝g(x)在(0，1)，(1，2)，(2，3)内有实数解．故选BCD.
7．若函数f(x)的图象是连续的，且函数f(x)的唯一零点同在(0，4)，(0，2)，内，则与f(0)符号不同的是(　　)
A．f(4) B．f(2)
C．f(1) D．f
答案：ABD
解析：由二分法的步骤可知：①零点在(0，4)内，则有f(0)·f(4)<0，不妨设f(0)>0，则f(4)<0，取中点2；②零点在(0，2)内，则有f(0)·f(2)<0，又f(0)>0，则f(2)<0，取中点1；③零点在(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，又f(2)<0，则f(1)>0，取中点；④零点在内，则有f(1)·f<0，又f(1)>0，则f<0.综上可得，与f(0)符号不同的是f(4)，f(2)，f.故选ABD.
三、填空题
8．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
答案：a2＝4b
解析：函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.
9．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，4)内的实数根时，取中点x1＝3，则下一个含有根的区间是________．
答案：(2，3)
解析：令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝23－2×2－5＝－1<0，f(3)＝33－2×3－5＝16>0，故下一个含有根的区间为(2，3)．
10．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
答案：(－∞，－1)∪
解析：若a＝0，则f(x)＝1，函数f(x)没有零点，不符合题意，所以a≠0.当a≠0时，函数f(x)＝3ax＋1－2a是一次函数，在区间(－1，1)上是单调函数，由函数零点存在定理，得f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1－2a)(3a＋1－2a)<0，整理得(－5a＋1)(a＋1)<0，解得a<－1或a>.故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪.
四、解答题
11．用二分法求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度小于0.1)．
解：设f(x)＝x2－2x－1.
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，
又f(x)在(2，3)上单调递增，
∴在区间(2，3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根．
用二分法逐次计算，列表如下：
零点所在区间 区间中点 中点对应的函数值 取中点作为近似值时误差小于的值
(2，3) ＝2.5 f(2.5)＝0.25>0 0.5
(2，2.5) ＝2.25 f(2.25)＝－0.4375<0 0.25
(2.25，2.5) ＝2.375 f(2.375)＝－0.109375<0 0.125
(2.375，2.5) ＝2.4375 — 0.0625
∵|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1，∴方程x2－2x－1＝0的一个精确度小于0.1的近似正解可取为2.4375.
12．以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度小于0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．
设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．
先求值：f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________．
所以f(x)在区间________内存在零点x0，填表：
零点所在区间 中点m f(m)的符号 取中点作为近似值时误差小于的值
解：－5　－1　9　31　(1，2)
填表如下：
零点所在区间 中点m f(m)的符号 取中点作为近似值时误差小于的值
(1，2) 1.5 ＋ 0.5
(1，1.5) 1.25 ＋ 0.25
(1，1.25) 1.125 － 0.125
(1.125，1.25) 1.1875 0.0625
∵|1.1875－1.125|＝0.0625<0.1，
∴原方程的近似解可取为1.1875.
13．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点
B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点
C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点
D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点
答案：D
解析：∵f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则f(1)，f(2)，f(4)恰有一负两正或三个都是负的．∴函数f(x)在区间(0，4)内有零点．故选D.
14．已知函数f(x)满足对任意x1，x2∈[a，b]，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，且f(a)·f(b)<0.在用二分法寻求零点的过程中，依次确定了零点x0所在区间为[a，b]，，，，则b－a＝______；若要使x0近似值的精确度小于0.001，则至少需要进行________次区间中点函数值的计算．
答案：4　12
解析：由题意，得解得所以b－a＝4.设需要进行k次区间中点函数值的计算，则×4<0.001，解得k>11，所以至少需要进行12次区间中点函数值的计算．
15．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0，1]内有两个实根．
证明：∵f(1)>0，
∴3a＋2b＋c>0，即3(a＋b＋c)－b－2c>0.
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0.
则－b－c>c，即a>c.
∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.
在区间[0，1]内选取二等分点，则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.
∵f(0)>0，f(1)>0，∴函数f(x)在区间和上各有一个零点．又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在区间[0，1]内有两个实根．
16．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4.
(1)若函数f(x)的零点均大于1，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)的一个零点大于1，一个零点小于1，求实数a的取值范围；
(3)若函数f(x)的一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内，求实数a的取值范围．
解：(1)由二次函数的性质，结合二次函数的图象，得解得2≤a＜.
所以实数a的取值范围是.
(2)由二次函数的性质，结合二次函数的图象，
可得f(1)＝5－2a<0，解得a>.
所以实数a的取值范围是.
(3)由二次函数的性质，结合二次函数的图象，可得解得所以实数a的取值范围是.
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