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数学　必修 第一册 RJB
3.3 函数的应用（一）
一、单选题
1．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是(　　)
A．[5，6) B．(5，6]
C．[6，7) D．(6，7]
2．某种药物服用x小时后在血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(　　)
A．上午10：00 B．中午12：00
C．下午4：00 D．下午6：00
3．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　)
A．120.25万元 B．120万元
C．90.25万元 D．132万元
4．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(单位：万元)与年产量x(单位：吨)之间的关系可近似地表示为y＝－30x＋4000，则每吨成本最低时的年产量为(　　)
A．240吨 B．200吨
C．180吨 D．160吨
5．某厂推出一款品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为15000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，总收益为R(x)(单位：元)．根据初步测算R(x)＝其中x是“玉兔”的月产量，则该厂所获最大利润为(总收益＝成本＋利润)(　　)
A．4万元 B．3万元
C．2.5万元 D．2万元
二、多选题
6．图①是某大型游乐场的游客人数x(单位：万人)与收支差额y(单位：万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．图①中点A的实际意义表示该游乐场投入的成本费用为1万元
B．图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡
C．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价
D．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用
7．某上市股票在30天内每股的交易价格P(单位：元)与时间t(单位：天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在如图所示的两条线段上，该股票在30天内(包括30天)的日交易量M(单位：万股)是关于时间t(单位：天)的一次函数，部分数据如下表所示：
第t天 6 13 20 27
M/万股 34 27 20 13
下列说法正确的是(　　)
A．第10天的股价是8元
B．日交易量M关于时间t的函数关系是M＝－t＋40
C．该股票第20天时，每股的交易价格达到最大值
D．第15天时，日交易额最大，为125万元
三、填空题
8．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量x(单位：kg)与运费y(单位：元)之间的函数关系如图所示，那么乘客免费可携带行李的最大重量为________．
9．某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
10．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________ h后池水中该药品的浓度达到最大，最大浓度为________ mg·L－1.
四、解答题
11．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出以下两种优惠方法：
①买一个茶壶赠送一个茶杯；
②按总价的92%付款．
某顾客需购茶壶4个，茶杯若干(不少于4个)，若需茶杯x个，付款数为y元，试分别建立两种优惠方法中y与x的函数解析式，并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算？
12．临近新年，车厘子、榴莲等高档水果受到人们青睐．老张水果店瞄准商机，准备新进一大批车厘子来满足市场需求，同时为提高销售量，老张水果店特准备举办一场车厘子促销活动．据市场调查发现，当每斤车厘子的售价定为x元时，销售量为(120－0.8x)斤．现批发商为配合老张水果店的活动，将供货价格分为固定价格与浮动价格两部分，即供货价格＝固定价格＋浮动价格，其中固定价格为50元/斤，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：斤)成反比，比例系数为20.
(1)试将总利润y表示成关于x的函数；
(2)当每斤车厘子售价定为多少时，总利润最大，为多少？
13．某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(k≠0)，函数图象如图所示．
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b(k≠0)的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？
14．某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是万元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；
(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润．
15．住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲区域，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形(如图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.
(1)设总造价为S元，AD的边长为x m，试建立S关于x的函数关系式；
(2)至少要投入多少元，才能建造这个休闲区域？
16．近几年，极端天气的天数较往年增加了许多，环境的保护越来越受到民众的关注，企业的节能减排被国家纳入了发展纲要中，这也为检测环境的仪器企业带来了发展机遇．某仪器公司生产环境检测仪全年需要固定投入500万元，每生产x百台检测仪器还需要投入y万元，其中0(1)求该公司生产的环境检测仪的年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：百台)的函数关系式；
(2)求该公司生产的环境检测仪年利润的最大值．
3.3 函数的应用（一）
一、单选题
1．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是(　　)
A．[5，6) B．(5，6]
C．[6，7) D．(6，7]
答案：B
解析：若按x千米(x∈N)计价，则6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得x＝6.故实际行程应属于区间(5，6]．
2．某种药物服用x小时后在血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(　　)
A．上午10：00 B．中午12：00
C．下午4：00 D．下午6：00
答案：C
解析：由图象知，当0≤x≤4时，设函数y＝f(x)＝k1x，把点(4，320)代入得k1＝80，所以y＝f(x)＝80x；当43．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　)
A．120.25万元 B．120万元
C．90.25万元 D．132万元
答案：B
解析：设在甲地销售了x辆车，则在乙地销售了(15－x)辆车，令总利润为L万元，则L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－＋.因为x∈N，所以当x＝9或10时，L有最大值，Lmax＝120.所以在甲地销售9辆车，在乙地销售6辆车或在甲地销售10辆车，在乙地销售5辆车时，可获得最大利润120万元．
4．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(单位：万元)与年产量x(单位：吨)之间的关系可近似地表示为y＝－30x＋4000，则每吨成本最低时的年产量为(　　)
A．240吨 B．200吨
C．180吨 D．160吨
答案：B
解析：依题意，得每吨的成本为＝＋－30≥2－30＝10，当且仅当＝，即x＝200时取等号，因此，每吨成本最低时的年产量为200吨．
5．某厂推出一款品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为15000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，总收益为R(x)(单位：元)．根据初步测算R(x)＝其中x是“玉兔”的月产量，则该厂所获最大利润为(总收益＝成本＋利润)(　　)
A．4万元 B．3万元
C．2.5万元 D．2万元
答案：B
解析：设利润为f(x)元，依题意，得f(x)＝R(x)－100x－15000，即f(x)＝当0≤x≤400时，f(x)＝－x2＋300x－15000＝－(x－300)2＋30000，当x＝300时，f(x)max＝f(300)＝30000；当x>400时，f(x)二、多选题
6．图①是某大型游乐场的游客人数x(单位：万人)与收支差额y(单位：万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．图①中点A的实际意义表示该游乐场投入的成本费用为1万元
B．图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡
C．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价
D．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用
答案：ABD
解析：对于A，图①中点A的实际意义表示游乐场投入的成本费用为1万元，故A正确；对于B，图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，故B正确；对于C，图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，故C错误；对于D，图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，故D正确．故选ABD.
7．某上市股票在30天内每股的交易价格P(单位：元)与时间t(单位：天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在如图所示的两条线段上，该股票在30天内(包括30天)的日交易量M(单位：万股)是关于时间t(单位：天)的一次函数，部分数据如下表所示：
第t天 6 13 20 27
M/万股 34 27 20 13
下列说法正确的是(　　)
A．第10天的股价是8元
B．日交易量M关于时间t的函数关系是M＝－t＋40
C．该股票第20天时，每股的交易价格达到最大值
D．第15天时，日交易额最大，为125万元
答案：BCD
解析：由题图知当t＝10时，P＝4，故A错误；由题意知，M是关于t的一次函数，设M＝ct＋d(c≠0)，把点(6，34)和(13，27)的坐标代入得解得∴M＝－t＋40，故B正确；由题图知，第20天时，该股票每股的交易价格达到最大值，故C正确；当0≤t<20时，设函数解析式为P＝at＋b，把点(0，2)和(10，4)的坐标代入得解得∴P＝t＋2，当t＝20时，P＝6，当20≤t≤30时，设函数解析式为P＝mt＋n，把点(20，6)和(30，5)的坐标代入得解得∴P＝－t＋8，∴P＝∵日交易量M＝－t＋40，∴该股票日交易额y＝PM＝当0≤t<20时，y＝－t2＋6t＋80，当t＝15时，ymax＝125；当20≤t≤30时，y＝t2－12t＋320，当t＝20时，ymax＝120.综上所述，在这30天内，第15天日交易额最大，为125万元，故D正确．故选BCD.
三、填空题
8．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量x(单位：kg)与运费y(单位：元)之间的函数关系如图所示，那么乘客免费可携带行李的最大重量为________．
答案：19 kg
解析：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将点(30，330)，(40，630)的坐标代入得y＝30x－570，令y＝0可得x＝19.
9．某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
答案：60
解析：设涨价x元时，获得的利润为y元，有y＝(5＋x)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250.∴当x＝10时，y取得最大值，此时售价为60元．
10．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________ h后池水中该药品的浓度达到最大，最大浓度为________ mg·L－1.
答案：2　5
解析：C＝＝.因为t>0，所以t＋≥2＝4.所以C＝≤＝5，即当t＝2时，C取得最大值5.
四、解答题
11．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出以下两种优惠方法：
①买一个茶壶赠送一个茶杯；
②按总价的92%付款．
某顾客需购茶壶4个，茶杯若干(不少于4个)，若需茶杯x个，付款数为y元，试分别建立两种优惠方法中y与x的函数解析式，并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算？
解：由优惠方法①，得函数解析式y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4)．
由优惠方法②，得函数解析式y2＝(5x＋4×20)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4)．
所以y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4)．
当0.4x－13.6>0，即x>34时，y1>y2，则优惠方法②更合算；
当0.4x－13.6＝0，即x＝34时，y1＝y2，则两种优惠方法付款数一样；
当0.4x－13.6<0，即4≤x<34时，y112．临近新年，车厘子、榴莲等高档水果受到人们青睐．老张水果店瞄准商机，准备新进一大批车厘子来满足市场需求，同时为提高销售量，老张水果店特准备举办一场车厘子促销活动．据市场调查发现，当每斤车厘子的售价定为x元时，销售量为(120－0.8x)斤．现批发商为配合老张水果店的活动，将供货价格分为固定价格与浮动价格两部分，即供货价格＝固定价格＋浮动价格，其中固定价格为50元/斤，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：斤)成反比，比例系数为20.
(1)试将总利润y表示成关于x的函数；
(2)当每斤车厘子售价定为多少时，总利润最大，为多少？
解：(1)设每斤车厘子的售价定为x元时，总利润为y元，
由
得50y＝×(120－0.8x)＝－0.8x2＋160x－6020(50(2)总利润y＝－0.8x2＋160x－6020，
所以当x＝－＝100时，y取得最大值，为－0.8×1002＋160×100－6020＝1980，
即每斤车厘子售价定为100元时，总利润最大，为1980元．
13．某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(k≠0)，函数图象如图所示．
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b(k≠0)的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？
解：(1)由图象知，当x＝600时，y＝400；当x＝700时，y＝300，代入y＝kx＋b(k≠0)中，
得解得
所以y＝－x＋1000(500≤x≤800)．
(2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy，成本总价＝成本单价×销售量＝500y，代入求毛利润的公式，得S＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000)＝－x2＋1500x－500000＝－(x－750)2＋62500(500≤x≤800)．
所以当销售单价定为750元时，该公司可获得最大毛利润62500元，此时的销售量为250件．
14．某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是万元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；
(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润．
解：(1)由题意可知，2≥30，
即5x2－14x－3＝(5x＋1)(x－3)≥0，
所以x≤－或x≥3.
又1≤x≤10，
所以3≤x≤10.
(2)易知获得的利润y＝＝120，x∈[1，10]，
令t＝∈，
则y＝120(－3t2＋t＋5)．
当t＝，
即x＝6时，ymax＝610，
故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为610万元．
15．住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲区域，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形(如图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.
(1)设总造价为S元，AD的边长为x m，试建立S关于x的函数关系式；
(2)至少要投入多少元，才能建造这个休闲区域？
解：(1)设DQ＝y m，则x2＋4xy＝200，
y＝.S＝4200x2＋210×4xy＋80×4×y2＝38000＋4000x2＋(0(2)S＝38000＋4000x2＋≥38000＋2＝118000，当且仅当4000x2＝，即x＝时，Smin＝118000，即至少要投入118000元，才能建造这个休闲区域．
16．近几年，极端天气的天数较往年增加了许多，环境的保护越来越受到民众的关注，企业的节能减排被国家纳入了发展纲要中，这也为检测环境的仪器企业带来了发展机遇．某仪器公司生产环境检测仪全年需要固定投入500万元，每生产x百台检测仪器还需要投入y万元，其中0(1)求该公司生产的环境检测仪的年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：百台)的函数关系式；
(2)求该公司生产的环境检测仪年利润的最大值．
解：(1)当0当50≤x≤100时，L(x)＝200x－－500＝－20x－＋7000.
故L(x)＝
(2)当0所以当x＝31时，L(x)max＝2383；
当50≤x≤100时，L(x)＝－20x－＋7000＝6200－.
因为20(x－40)＋≥2＝800，
当且仅当20(x－40)＝，
即x＝60时，等号成立，
所以L(x)＝6200－≤6200－800＝5400.
所以当x＝60时，L(x)max＝5400>2383.
所以当年产量为6000台时，年利润最大，且最大利润为5400万元．
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