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数学　必修 第一册 RJB
第三章　单元质量测评
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[1，2) D．[1，2)∪(2，＋∞)
2．函数f(x)＝x2－4x＋1，x∈[2，5]的值域是(　　)
A．[1，6] B．[－3，1]
C．[－3，6] D．[－3，＋∞)
3．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a＝(　　)
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
4．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
①如果不超过200元，则不给予优惠；
②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
③如果超过500元，其500元内的按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款(　　)
A．413.7元 B．513.7元
C．548.7元 D．546.6元
5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
6．设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝(　　)
A．56 B．112
C．0 D．38
7．已知定义域为R的函数f(x)满足f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈R)，且f(x)>0，若f(1)＝，则f(－2)＝(　　)
A．2 B．4
C． D．
8．二次函数f(x)＝ax2＋2a(a≠0)是区间[－a，a2]上的偶函数，又g(x)＝f(x－1)，则g(0)，g，g(3)的大小关系为(　　)
A．gC．g二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．下列四个函数中，在(－∞，0]上为减函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x B．f(x)＝2x2
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝
10．已知函数f(x)的定义域为R，且g(x)＝(x＋2)f(x)，h(x)＝f(x)－2x，若g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(1)＝
B．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减
D．函数f(x)的最大值为1
11．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．方程f(g(x))＝0有且仅有6个实根 B．方程g(f(x))＝0有且仅有4个实根
C．方程f(f(x))＝0有且仅有5个实根 D．方程g(g(x))＝0有且仅有5个实根
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．某批发商批发某种商品的单价P(单位：元/千克)与数量Q(单位：千克)之间的函数关系如图所示，现一零售商仅有现金2700元，他最多可购买这种商品________千克．
13．已知函数f(x)＝为奇函数，则a－b＝________；若f(x)在区间[－1，m－2]上单调递增，则实数m的取值范围为________．
14．已知f(x)＝x＋3，g(x)＝(x＋1)2，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记作M(x)＝max{f(x)，g(x)}，则M(x)的最小值为________．
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝2x－，且f＝3.
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并证明．
16．(本小题满分15分)定义在R上的偶函数f(x)，当x∈(－∞，0]时，f(x)＝－x2＋4x－1.
(1)求函数f(x)在(0，＋∞)上的解析式；
(2)求函数f(x)在[－2，3]上的最大值和最小值．
17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－2－a(a≤0)．
(1)若a＝－1，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)在区间(0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．
18．(本小题满分17分)函数f(x)＝是定义在(－3，3)上的奇函数，且f(1)＝.
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断并证明f(x)的单调性；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
19．(本小题满分17分)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)(单位：万元)．在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38.每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
第三章　单元质量测评
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[1，2) D．[1，2)∪(2，＋∞)
答案：D
解析：根据题意有解得x≥1且x≠2.
2．函数f(x)＝x2－4x＋1，x∈[2，5]的值域是(　　)
A．[1，6] B．[－3，1]
C．[－3，6] D．[－3，＋∞)
答案：C
解析：因为f(x)＝(x－2)2－3，函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，又f(2)＝－3，f(5)＝6，所以f(x)＝x2－4x＋1，x∈[2，5]的值域是[－3，6]．
3．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a＝(　　)
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
答案：B
解析：当a>0时，有a2＝4，∴a＝2；当a≤0时，有－a＝4，∴a＝－4.因此实数a＝－4或2.
4．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
①如果不超过200元，则不给予优惠；
②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
③如果超过500元，其500元内的按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款(　　)
A．413.7元 B．513.7元
C．548.7元 D．546.6元
答案：D
解析：因为168<200×0.9＝180，所以第一次购物原价为168元，因为200×0.9＝180<423<500×0.9＝450，所以第二次购物原价为423÷0.9＝470元，两次购物原价的和为168＋470＝638元，若合一次付款，应付500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6元．故选D.
5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
答案：B
解析：由题图知f(x)的定义域为{x|x≠±1}，排除A，D；对于C，当x＝0时，f(0)＝－1，与图象不符，排除C.故选B.
6．设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝(　　)
A．56 B．112
C．0 D．38
答案：B
解析：由二次函数图象的性质，得当3≤x≤20时，f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝g(1)＋g(2)＝112.
7．已知定义域为R的函数f(x)满足f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈R)，且f(x)>0，若f(1)＝，则f(－2)＝(　　)
A．2 B．4
C． D．
答案：B
解析：令a＝b＝0，得f(0)＝1，再令b＝－a，则f(a)f(－a)＝f(0)＝1，∴f(－a)＝，又f(2)＝f(1)f(1)＝[f(1)]2＝，∴f(－2)＝＝4.
8．二次函数f(x)＝ax2＋2a(a≠0)是区间[－a，a2]上的偶函数，又g(x)＝f(x－1)，则g(0)，g，g(3)的大小关系为(　　)
A．gC．g答案：A
解析：由题意得解得a＝1，所以f(x)＝x2＋2，所以g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以g(0)＝g(2)．又因为函数g(x)＝(x－1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，所以g二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．下列四个函数中，在(－∞，0]上为减函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x B．f(x)＝2x2
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝
答案：AB
解析：对于A，f(x)＝x2－2x的单调递减区间为(－∞，1]，故A符合题意；对于B，f(x)＝2x2的单调递减区间为(－∞，0]，故B符合题意；对于C，f(x)＝x＋1在R上是增函数，故C不符合题意；对于D，f(x)＝中x≠0，故D不符合题意．故选AB.
10．已知函数f(x)的定义域为R，且g(x)＝(x＋2)f(x)，h(x)＝f(x)－2x，若g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(1)＝
B．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减
D．函数f(x)的最大值为1
答案：BCD
解析：因为g(x)为奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即(－x＋2)f(－x)＝－(x＋2)f(x)，因为h(x)为偶函数，所以h(－x)＝h(x)，即f(－x)＋2x＝f(x)－2x，联立
解得f(x)＝－x2＋2x.对于A，f(1)＝－12＋2＝1，故A错误；对于B，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B正确；对于C，因为函数f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故C正确；对于D，由f(x)＝－(x－1)2＋1，可得f(x)max＝f(1)＝1，即函数f(x)的最大值为1，故D正确．故选BCD.
11．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．方程f(g(x))＝0有且仅有6个实根 B．方程g(f(x))＝0有且仅有4个实根
C．方程f(f(x))＝0有且仅有5个实根 D．方程g(g(x))＝0有且仅有5个实根
答案：ABC
解析：对于A，满足f(x)＝0的x值在区间[－2，2]上有三个，把这三个看作g(x)对应的y值，则当g(x)等于这三个值中的每个时，都有两个值与之对应，故方程f(g(x))＝0有且仅有6个实根，A正确；对于B，满足g(x)＝0的x值在区间[－2，2]上有两个，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(0，1)上，把这两个看作f(x)对应的y值，则当f(x)等于这两个值时，在区间(－2，－1)上只有一个x值与之对应，在区间(0，1)上有三个x值与之对应，故方程g(f(x))＝0有且仅有4个实根，B正确；对于C，满足f(x)＝0的x值在区间[－2，2]上有三个，把这三个再看作f(x)对应的y值，在区间(－2，－1)上只有一个x值与之对应，在区间(1，2)上也只有一个x值与之对应，而f(x)＝0所对应的x值有三个，故方程f(f(x))＝0有且仅有5个实根，C正确；对于D，由同样的方法可知方程g(g(x))＝0有且仅有4个实根，D错误．故选ABC.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．某批发商批发某种商品的单价P(单位：元/千克)与数量Q(单位：千克)之间的函数关系如图所示，现一零售商仅有现金2700元，他最多可购买这种商品________千克．
答案：90
解析：由题意可得批发这种商品所需费用y(单位：元)与数量Q(单位：千克)之间的函数关系式为y＝从而易得30×50<2700<30×100，故该零售商购买这种商品的数量应在50与100之间，故最多可购买这种商品＝90千克．
13．已知函数f(x)＝为奇函数，则a－b＝________；若f(x)在区间[－1，m－2]上单调递增，则实数m的取值范围为________．
答案：－1　(1，3]
解析：当x<0时，－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x2－2x)＝x2＋2x，所以a＝1，b＝2，所以a－b＝－1.f(x)＝由二次函数图象的特征，知f(x)在[－1，1]上单调递增，若函数f(x)在区间[－1，m－2]上单调递增，则[－1，m－2] [－1，1]，所以解得114．已知f(x)＝x＋3，g(x)＝(x＋1)2，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记作M(x)＝max{f(x)，g(x)}，则M(x)的最小值为________．
答案：1
解析：令x＋3≤(x＋1)2，则x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)≥0，可得x≤－2或x≥1；令x＋3>(x＋1)2，则x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)<0，可得－2由图可知，M(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，所以M(x)的最小值为M(－2)＝1.
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝2x－，且f＝3.
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：(1)因为f(x)＝2x－，且f＝3，
所以f＝1－2a＝3，
解得a＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝2x＋，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增．证明如下：
设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1f(x2)－f(x1)＝－＝2(x2－x1)＋＝(x2－x1)，
由x1，x2∈(1，＋∞)且x1知x2－x1>0，x1x2>1，<1，
所以2－>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，
故函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
16．(本小题满分15分)定义在R上的偶函数f(x)，当x∈(－∞，0]时，f(x)＝－x2＋4x－1.
(1)求函数f(x)在(0，＋∞)上的解析式；
(2)求函数f(x)在[－2，3]上的最大值和最小值．
解：(1)当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝－x2－4x－1，
又f(x)为偶函数，
所以f(x)＝－x2－4x－1，x∈(0，＋∞)．
(2)因为f(x)＝
f(x)在[－2，0]上单调递增，在(0，3]上单调递减，
所以f(x)max＝f(0)＝－1，
f(x)min＝min{f(－2)，f(3)}＝－22，
即函数f(x)在[－2，3]上的最大值是－1，最小值是－22.
17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－2－a(a≤0)．
(1)若a＝－1，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)在区间(0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2＋2x－1，
令f(x)＝－x2＋2x－1＝0，解得x＝1.
所以当a＝－1时，函数f(x)的零点是1.
(2)①当a＝0时，f(x)＝2x－2，由2x－2＝0得x＝1，符合题意；
②当a<0时，f(x)＝ax2＋2x－2－a＝a(x－1)，
则x1＝1，x2＝－，
由于函数在区间(0，1]上恰有一个零点，
则－≥1或－≤0，
解得－1≤a<0或a≤－2，
综上可得，a的取值范围为(－∞，－2]∪[－1，0]．
18．(本小题满分17分)函数f(x)＝是定义在(－3，3)上的奇函数，且f(1)＝.
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断并证明f(x)的单调性；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
解：(1)因为函数f(x)＝是定义在(－3，3)上的奇函数，所以f(0)＝0，
又f(1)＝，故
解得
故f(x)＝.
(2)f(x)＝是定义在(－3，3)上的增函数．证明如下：
任取x1，x2∈(－3，3)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为－3所以9＋x1x2>0，x1－x2<0，9－x＞0，9－x>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
所以f(x)＝是定义在(－3，3)上的增函数．
(3)因为f(x)是定义在(－3，3)上的奇函数，所以－f(t)＝f(－t)，
则f(t－1)＋f(t)<0 f(t－1)<－f(t) f(t－1)又因为f(x)是定义在(－3，3)上的增函数，
所以
解得－219．(本小题满分17分)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)(单位：万元)．在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38.每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
解：(1)因为每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x万元，依题意，得
当0当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－.
所以L(x)＝
(2)当0此时，当x＝6时，L(x)取得最大值9.
当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15.
此时，当且仅当x＝，
即x＝10时，L(x)取得最大值15.
因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
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