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数学　必修 第一册 RJB
本册综合测评
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{－1，1，2，4}，则B∩( RA)＝(　　)
A． B．{4}
C．{1，2，4} D．{－1，1，2}
2．已知x>y>z，且x＋y＋z＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．xy2>zy2
3．已知函数g(x)＝f(x＋1)－1是奇函数，则f(0)＋f(2)＝(　　)
A．2 B．1
C．－1 D．－2
4．已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x，则(　　)
A．p和q都是真命题 B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题 D． p和 q都是真命题
5．如果ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，那么对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c有(　　)
A．f(5)C．f(2)6．若函数f(x)＝－x2＋3ax＋a在[1，2]上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
7．函数f(x)＝x－1的定义域为[0，4]，则函数y＝f(x2)＋[f(x)]2的值域为(　　)
A. B.
C. D.
8．定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集为(　　)
A．[1，3] B．[－3，－1]
C．(－∞，－3]∪[－2，－1] D．(－∞，1]∪[2，3]
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在线段AD上(不与端点重合)，点F在线段AB上(不与端点重合)，且线段BF与线段DE的长度相等，设DE＝x，△AEF的面积为S(x)，则(　　)
A．函数S(x)的定义域为[0，2) B．S(1)<1
C．函数S(x)的定义域为(0，2) D．S(x)有最大值
10．已知正数a，b满足a＋b＝4，ab的最大值为t，不等式x2＋3x－t<0的解集为M，则(　　)
A．t＝2 B．t＝4
C．M＝{x|－411．已知函数f(x)，g(x)的图象分别如图1，2所示，方程f(g(x))＝1，g(f(x))＝－1，g(g(x))＝－的实根个数分别为a，b，c，则(　　)
A．a＋b＝c B．b＋c＝a
C．ab＝c D．b＋c＝2a
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．设a＞2，b＞0，若a＋b＝3，则＋的最小值为________．
13．已知函数f(x)＝是R上的单调函数，则a的取值范围是________．
14．已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－3，3]，且它们在x∈[0，3]上的图象如图所示，则f(g(－3))＝________，不等式<0的解集是________．
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)设集合A＝{x|a－1(1)当a＝0时，求集合A，B；
(2)当A B时，求实数a的取值范围．
16．(本小题满分15分)设x>0，y>0，且x＋y＋xy＝2.
(1)求x＋y的取值范围；
(2)求xy的取值范围．
17．(本小题满分15分)随着中国第一款5G手机投入市场，5G技术已经进入高速发展阶段．已知某5G手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机x(0≤x≤10)万台，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R(x)(单位：万元)满足
R(x)＝
(1)将利润f(x)表示为产量x万台的函数；
(2)当产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？
18．(本小题满分17分)已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1及f(x＋1)－f(x)＝2x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的取值范围．
19．(本小题满分17分)已知函数y＝有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0，)上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
(1)已知f(x)＝，x∈[2，4]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－a，若对任意的x1∈[2，4]，总存在x2∈[0，1]使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
本册综合测评
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{－1，1，2，4}，则B∩( RA)＝(　　)
A． B．{4}
C．{1，2，4} D．{－1，1，2}
答案：B
解析：∵集合A＝{x|－2≤x≤3}，∴ RA＝{x|x<－2或x>3}，∵集合B＝{－1，1，2，4}，∴B∩( RA)＝{4}．故选B.
2．已知x>y>z，且x＋y＋z＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．xy2>zy2
答案：C
解析：由题意得3x>x＋y＋z>3z，即x>0>z，由不等式的基本性质可得，若y<0，由x>z，得xyy，z<0，得xz0，y>z，得xy>xz，故C正确；当y＝0时，xy2＝zy2，故D错误．故选C.
3．已知函数g(x)＝f(x＋1)－1是奇函数，则f(0)＋f(2)＝(　　)
A．2 B．1
C．－1 D．－2
答案：A
解析：由函数g(x)＝f(x＋1)－1是奇函数，得g(－x)＝－g(x)，即f(－x＋1)－1＝－[f(x＋1)－1]，整理得f(－x＋1)＋f(x＋1)＝2，令x＝1，得f(0)＋f(2)＝2.故选A.
4．已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x，则(　　)
A．p和q都是真命题 B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题 D． p和 q都是真命题
答案：B
解析：对于p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题， p是真命题．对于q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题， q是假命题．综上， p和q都是真命题．故选B.
5．如果ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，那么对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c有(　　)
A．f(5)C．f(2)答案：C
解析：由于关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2和4，且a>0.由根与系数的关系得解得∴f(x)＝ax2－2ax－8a，∴f(－1)＝－5a，f(2)＝－8a，f(5)＝7a，因此f(2)6．若函数f(x)＝－x2＋3ax＋a在[1，2]上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：依题意，f(x)＝－x2＋3ax＋a＝－＋a＋在[1，2]上单调递增，由二次函数的图象和性质，得≥2，解得a≥.故选C.
7．函数f(x)＝x－1的定义域为[0，4]，则函数y＝f(x2)＋[f(x)]2的值域为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：因为函数f(x)的定义域为[0，4]，所以y＝f(x2)＋[f(x)]2的定义域满足所以0≤x≤2，所以y＝f(x2)＋[f(x)]2的定义域为[0，2]，所以y＝f(x2)＋[f(x)]2＝x2－1＋(x－1)2＝2(x2－x)，x∈[0，2]，所以y＝f(x2)＋[f(x)]2在上单调递减，在上单调递增，则当x＝时，y＝f(x2)＋[f(x)]2取得最小值，为－，当x＝2时，y＝f(x2)＋[f(x)]2取得最大值，为4，所以y＝f(x2)＋[f(x)]2的值域为.故选C.
8．定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集为(　　)
A．[1，3] B．[－3，－1]
C．(－∞，－3]∪[－2，－1] D．(－∞，1]∪[2，3]
答案：D
解析：因为f(x)是定义域为R的奇函数且在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(0)＝0，又f(－1)＝0，故f(1)＝0.由以上可知，当－11时，f(x)<0；当0≤x≤1或x≤－1时，f(x)≥0，故不等式f(x－2)≥0等价于0≤x－2≤1或x－2≤－1，即2≤x≤3或x≤1.故选D.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在线段AD上(不与端点重合)，点F在线段AB上(不与端点重合)，且线段BF与线段DE的长度相等，设DE＝x，△AEF的面积为S(x)，则(　　)
A．函数S(x)的定义域为[0，2) B．S(1)<1
C．函数S(x)的定义域为(0，2) D．S(x)有最大值
答案：BC
解析：在边长为2的正方形ABCD中，因为BF＝DE＝x>0，所以AF＝AE＝2－x>0，则010．已知正数a，b满足a＋b＝4，ab的最大值为t，不等式x2＋3x－t<0的解集为M，则(　　)
A．t＝2 B．t＝4
C．M＝{x|－4答案：BC
解析：∵正数a，b满足a＋b＝4，∴ab≤＝4，即ab的最大值为t＝4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立．∵x2＋3x－4<0的解集为M，∴M＝{x|－411．已知函数f(x)，g(x)的图象分别如图1，2所示，方程f(g(x))＝1，g(f(x))＝－1，g(g(x))＝－的实根个数分别为a，b，c，则(　　)
A．a＋b＝c B．b＋c＝a
C．ab＝c D．b＋c＝2a
答案：AD
解析：由方程f(g(x))＝1，得－1三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．设a＞2，b＞0，若a＋b＝3，则＋的最小值为________．
答案：4
解析：根据题意，若a＋b＝3，则(a－2)＋b＝1，则＋＝[(a－2)＋b]＝2＋，又a＞2，b＞0，则＋≥2＝2，当且仅当＝，a＋b＝3，即a＝，b＝时，等号成立，则＋＝2＋≥4，故＋的最小值为4.
13．已知函数f(x)＝是R上的单调函数，则a的取值范围是________．
答案：(0，1]
解析：∵f(x)＝是R上的单调函数，又y＝－x2－1在(－∞，0]上单调递增，∴f(x)在R上单调递增．∴a＞0且－02－1≤－a，∴0＜a≤1.
14．已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－3，3]，且它们在x∈[0，3]上的图象如图所示，则f(g(－3))＝________，不等式<0的解集是________．
答案：0　{x|－2解析：由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，并结合图象知f(g(－3))＝f(g(3))＝f(0)＝0.根据函数图象的对称性画出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3，0]上的图象如图所示.<0等价于或可求得其解集是{x|－2四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)设集合A＝{x|a－1(1)当a＝0时，求集合A，B；
(2)当A B时，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，A＝{x|－1B＝{x|x2－7x＋6<0}＝{x|1(2)①当a－1≥2a，
即a≤－1时，
可得A＝ ，满足A B，故a≤－1符合题意；
②当a－1<2a，即a>－1时，
由A B，可得
解得2≤a≤3.
综上可得a≤－1或2≤a≤3.
所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[2，3]．
16．(本小题满分15分)设x>0，y>0，且x＋y＋xy＝2.
(1)求x＋y的取值范围；
(2)求xy的取值范围．
解：(1)∵2＝x＋y＋xy≤x＋y＋，
当且仅当x＝y＝－1时，等号成立．
∴(x＋y)2＋4(x＋y)－8≥0，
∴x＋y≤－2－2或x＋y≥－2＋2，
又x>0，y>0，∴x＋y≥－2＋2，
又x＋y<2，∴x＋y的取值范围是[2－2，2)．
(2)解法一：∵2＝x＋y＋xy≥2＋xy，
当且仅当x＝y＝－1时，等号成立．
∴()2＋2－2≤0，
∴－1－≤≤－1＋，
又x>0，y>0，
∴0<≤－1＋，
∴0∴xy的取值范围是(0，4－2]．
解法二：∵x＋y＋xy＝2，x＋y∈[2－2，2)，
∴xy的取值范围是(0，4－2]．
17．(本小题满分15分)随着中国第一款5G手机投入市场，5G技术已经进入高速发展阶段．已知某5G手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机x(0≤x≤10)万台，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R(x)(单位：万元)满足
R(x)＝
(1)将利润f(x)表示为产量x万台的函数；
(2)当产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？
解：(1)由题意得G(x)＝800＋1000x.
因为R(x)＝
所以f(x)＝R(x)－G(x)＝
(2)由(1)可得，当0≤x≤5时，
f(x)＝－400(x－4)2＋5600.
所以当x＝4时，f(x)max＝5600；
当5所以f(x)max＝f(10)＝5400.
综上，当x＝4时，f(x)max＝5600.
所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元．
18．(本小题满分17分)已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1及f(x＋1)－f(x)＝2x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的取值范围．
解：(1)∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴f(1)－f(0)＝0，
∴f(1)＝f(0)，
∵f(0)＝1，∴f(1)＝1，
∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝.
设函数f(x)的解析式为f(x)＝a＋h.
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴f(0)－f(－1)＝－2，
∵f(0)＝1，
∴f(－1)＝3，∴
∴a＝1，h＝，
∴f(x)＝＋＝x2－x＋1.
(2)∵在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，
∴x2－x＋1＞2x＋m在[－1，1]上恒成立，
∴x2－3x＋1＞m在[－1，1]上恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋1＝－，
则g(x)＝x2－3x＋1在[－1，1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－1，
∴m＜－1，
∴实数m的取值范围为(－∞，－1)．
19．(本小题满分17分)已知函数y＝有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0，)上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
(1)已知f(x)＝，x∈[2，4]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－a，若对任意的x1∈[2，4]，总存在x2∈[0，1]使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
解：(1)f(x)＝＝x－1＋－8，
设m＝x－1，∵x∈[2，4]，∴m∈[1，3]，
由y＝m＋－8，m∈[1，3]可得，
当1≤m<2，即2≤x<3时，f(x)单调递减，
∴函数f(x)的单调递减区间为[2，3)；
当2≤m≤3，即3≤x≤4时，f(x)单调递增，
∴函数f(x)的单调递增区间为[3，4]，
由f(2)＝－3，f(3)＝－4，f(4)＝－，得f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)g(x)＝－x－a为减函数，
故当x∈[0，1]时，g(x)∈[－1－a，－a]，
由题知f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
∴
解得a＝3.
9

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