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2026-2027学年四川省成都市武侯区西川实验学校九年级（上）学情自测数学试卷（9月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是（　　）
A. x2-2x=0 B. x2-3y=0 C. D. x3+2x+3=0
2.如图，AB∥CD∥EF，若，BD=3，则DF的长度为（　　）
A. 3
B. 2
C.
D. 1
3.已知m,n,p,q是成比例线段，其中m=2cm,p=5cm,q=10cm,则n的值为（　　）
A. 4cm B. C. 5cm D.
4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，3），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2：1的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（　　）
A. （2，4）
B. （6，8）
C. （4，2）
D. （6，6）
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=3，AB=9，则线段AD长为（　　）
A. 2 B. C. 3 D.
6.如图，把一块长为45cm,宽为25cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为x cm,则可列方程为（　　）
A. （45-2x）（25-x）=625 B. （45-x）（25-x）=625
C. （45-x）（25-2x）=625 D. （45-2x）（25-2x）=625
7.如图，已知∠1=∠2，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A.
B.
C. ∠B=∠ADE
D. ∠C=∠E
8.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=8，OH=3，则菱形ABCD的面积为（　　）
A. 48 B. 72 C. 96 D. 108
二、填空题：本题共10小题，共35分。
9.若，则= .
10.关于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有实数根，则k的取值范围是 .
11.如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在AB外选一点C，连接AC和BC，延长AC到D，延长BC到E，，连接DE，使DE∥AB.若小吴测得DE的长为400米，则AB= 米.
12.如图，在 ABCD中，点E是AD边上一点，AE：ED=1：2，连接AC、BE交于点F．若S△AEF=1，则S四边形CDEF= ．
13.如图，在△ABC中，BC=3，AC=4，∠C=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长为 .
14.已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2-3=0的两个实数根.若，则m= .
15.“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观.若正方形“黄金格”的边长为10cm,四个黄金分割点组成的正方形的边长为 .
16.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为 ．
17.在平面直角坐标系xOy中，定义：直线y=kx+b的伴随点为（k,b）.例如直线y=3x的伴随点为（3，0）.特别的，直线y=b的伴随点为（0，b）.如图，平面上的三条直线l1：y=2x,l2：y=4，l3：y=kx（k＜-1）两两相交且不交于同一点.三个交点分别为A，B，C，且l1，l2，l3各自的伴随点分别为A'，B'，C'，若△ABC与△A'B'C'相似，则k的值为 .
18.如图，△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=5，AC=12，F为DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值为 .
三、解答题：本题共8小题，共83分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解方程：
（1）4（x+2）2=9；
（2）2x2-5x+1=0.
20.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（0，4）.
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出△ABC缩小后的图形△A2B2C2.
（3）填空：直接写出点C2的坐标是______；△ABC与△A2B2C2的周长比是______；△ABC与△A2B2C2的面积比是______.
21.(本小题8分)
《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的DEF）.小南利用“矩”可测量大树AB的高度.如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为EF=0.2m,DE=0.3m,小南的眼睛到地面的距离DM为1.6m,测得AM=21m,求树高AB.
22.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，E点在AD边上，连接BE，CE，且∠BEC=90°.
（1）求证：△ABE∽△DEC；
（2）F为BE延长线上一点，满足，连接CF交AD于点G.若AB=2，AE=1，求矩形ABCD面积和GD的长.
23.(本小题12分)
如图，在菱形ABCD中，点E为AB边上一动点，点G为DE边上一点，AG的延长线交BC于点F，且∠ABC=∠EGF．
(1) 如图1，求证：AE2=EG ED
(2) 如图2，若∠ABC=60°，，求的值
(3) 如图3，已知30°＜∠ABC＜90°，连接EF，EF平分∠AFB，若，求的值．（请用含n的代数式表示）
24.(本小题10分)
某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元.每天可销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销.
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次降价的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件.若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价多少元？
25.(本小题10分)
如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求的值．
（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．
26.(本小题15分)
如图1，等边△ABC中，D为的AB边上的一点，且，E、F分别为AC、BC上的两个动点，始终保持∠EDF=120°．
(1) 若n=1，求证：①DE=DF，②
(2) ①如图2，若n=2，试探究AE、BF、AB之间的数量关系，请写出证明过程；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出AE，BF，AB之间的数量关系的一般结论（用含有n的代数式直接写出，不用证明）
(3) 如图3，M为EF边上的中点，AB=4，连接DM，当点E、F分别在线段AC、BC上运动时，当n=3时，直接写出线段DM扫过的图形的面积
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】
10.【答案】k≤2且k≠0
11.【答案】800
12.【答案】11
13.【答案】
14.【答案】2
15.【答案】（10-20）cm
16.【答案】2
17.【答案】-3-或-2
18.【答案】6
19.【答案】（1） （2）
20.【答案】（1）作图：
（2）作图：
（0，-2）;2：1;4：1
21.【答案】解：根据题意可得：∠DEF=∠BCD=90°，∠EDF=∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
∵EF=0.2m,DE=0.3m,AM=CD=21m,
∴，
∴BC=14m,
∴AB=AC+BC=1.6+14=15.6（m），
答：树高AB为15.6m.
22.【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵∠BEC=90°，
∴∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠DEC，
∴△ABE∽△DEC （2）矩形ABCD的面积为10，GD的长为
23.【答案】【小题1】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAG=∠AFB，
∵∠ABC=∠EGF，∠EGF=∠AGD，
∴∠ABC=∠AGD，
∴180°-∠AFB-∠ABC=180°-∠DAG-∠AGD，即∠EAG=∠ADE，
∵∠AEG=∠AED，
∴△AEG∽△DEA，
∴，
∴AE2=EG ED
【小题2】解：如图2，过点E 作EH⊥AF于H，
∵，
∴设EG=4k,DG=15k,则DE=19k,其中k＞0，
∵∠EGH=∠ABC=60°，
∴∠GEH=90°-∠EGH=30°，
∴，
在直角三角形EGH中，由勾股定理得：，
由（1）得：AE2=EG DE=4k×19k=76k2，
解得：（负值已舍去），
在直角三角形AEH中，由勾股定理得：AH2+EH2=AE2，即，
解得：AG=6k（负值已舍去），
由（1）得：△AEG∽△DEA，
∴，即，
解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∵∠ABC=∠EGF=∠AGD，∠BAF=∠ADE，
∴△ABF∽△DGA，
∴，即，
解得：，
∴，
∴
【小题3】解：如图3，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥AF于N，
∵EF平分∠AFB，
∴∠BFE=∠AFE，EM=EN，
∴，
设BF=a,AF=na,
∵∠ABF=∠EGF，∠BFE=∠AFE，EF=EF，
∴△BFE≌△GFE（AAS），
∴FG=BF=a,EG=BE，
∴AG=AF-FG=na-a=（n-1）a,
由（1）知：△AEG∽△DEA，
∴，即，
∴AD=n（n-1）a,
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AD=n（n-1）a,
∴CF=BC-BF=n（n-1）a-a=（n2-n-1）a,
∴

24.【答案】解：（1）设每次降价的百分率为x,
依题意得：40（1-x）2=32.4．
解方程得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意舍去）．
答：每次降价的百分率为10%；
（2）设每件应降价y元，
依题意得：（40-30-y）（48+8y）=504
理得y2-4y+3=0．
解方程得：y1=1，y2=3．
要尽快减少库存，所以取y=3．
答：每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价3元．
25.【答案】解：（1）x2-7x+12=0，
（x-3）（x-4）=0，
∴x-3=0，x-4=0，
解得x1=3，x2=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
在△AOB中，AB===5，
∴=；
（2）根据题意，设E（x，0），则
S△AOE=×OA×x=×4x=，
解得x=，
∴E（，0）或（-，0），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点D的坐标是（6，4），
设经过D、E两点的直线的解析式为y=kx+b，
则①，
解得，
∴解析式为y=x-；
②，
解得，
解析式为：y=x+，
在△AOE与△DAO中，==，
==，
∴=，
又∵∠AOE=∠OAD=90°，
∴△AOE∽△DAO；
（3）根据计算的数据，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，
所以点F与B重合，
即F（-3，0），
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，
点F（3，8）．
③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=-x+4，直线L过（，2），且k值为（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），
L解析式为y=x+，联立直线L与直线AB求交点，
∴F（-，-），
④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN=，勾股定理得出，AN=，做A关于N的对称点即为F，AF=，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=×=，
∴F（-，）．
综上所述，满足条件的点有四个：F1（-3，0）；F2（3，8）；F3（-，-）；F4（-，）．
26.【答案】【小题1】证明：①如图所示，过点D分别作AC，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接CD
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，CA=CB
∵=1，CD⊥AB，
又∵DG⊥AC，DH⊥AB，
∴∠ADG=∠BDH=30°，DG=DH，
∴∠GDH=180°-∠ADG-∠BDH=120°，
∴∠GDH=∠EDF=120°，
∴∠GDH-∠GDF=∠EDF-∠GDF，即∠EDG=∠FDH，
在△DEG和△DFH中，
，
∴△DEG≌△DFH（AAS），
∴DE=DF；
②证明：∵△DEG≌△DFH，
∴EG=FH，
∴AE+BF=AG-GE+BH+HF=AG+BH，
∵∠ADG=∠BDH=30°，
∴AG=AD，BH=DB，AG+BH=（AD+DB）=AB，
∴AE+BF=AB
【小题2】①AE+BF=AB；
证明：如图：过BD的中点G作BC的平行线，交DF于点J，交AC于点H，
当n=2时，=即2AD=DB，
∵G是DB的中点，
∴AD=DG，AG=AB，
∵HG∥BC，
∴∠AHG=∠C=60°，∠HGA=∠B=60°，
∵A=60°，
∴△AHG是等边三角形，
∵HG∥BC，
∴△DJG∽△DBF，
∴，
根据（1）中的结论可得AE+JG=AG，
∴AE+JG=AE+FB=AG=AB=AB，
故线段AE、BF、AB之间的数量关系为：AE+BF=AB；
②解：如图
在DB上取一点G使得AD=DG，过G作BC的平行线，交DF于点J，交AC于点H，
同①，可得，，
∴AE+JG=AE+BF=AG=×AB=AB，
即线段AE、BF、AB之间数量关系为：AB+BF=AB
【小题3】解：如图，当E1与A重合时，取E1F1的中点M1，
当E，与C重合时，取E2F2的中点M2，
当E1与A重合时，∠E1DF1=120°，
则∠F1DB=60°
∴△DF1B是等边三角形，
当E2与C重合时，同理可得△ADE1是等边三角形，
∵∠EDF=∠E2DF2=120°，
DF1=DF2，DE1=DE2，
∴△E1DF1≌△E2DF2，
∴E1F1=E2F2，∠F1E1D=∠F2E2D，
∵M1、M2分别为E1F1、E2F2的中点，
∴E1M1=E2M2，
则△M1E1D≌△M2E2D，
∴∠E1DM1=∠E2DM2，
则∠E1DE2=∠M1DM2=60°，
又∵DE1=DE2，E1M1=E2M2，
∴△E1DM1≌△E2DM2，
∴DM1=DM2，
∴△DM1M2是等边三角形；
则DM扫过的图形的面积即为△DM1M2的面积，
∵AB=4，=，
∴AD=1，DB=3
以点D为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
如图所示
∴E1（-1，0），B（3，0）如图所示，过点E2作E2T⊥E1D于点T，
∴TD=DE1=，E2T=，
∵△E1E2D是等边三角形，
∴E2（-，），M2（，），
∴DM2==，
过点M1作M1L⊥DM2于点L，则DL=DM1，
∴M1L=DL=DM2，
S△DM1M2=DM2×DM2=×=，
即线段DM扫过的图形的面积为：

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