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广东省深圳市南山区前海学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2-2y＝0 B．2-x2＝0 C．2x＝1 D．+x＝2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、该方程中含有两个未知数，则其不为一元二次方程，则不符合题意；
B、该方程中只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，则其为一元二次方程，则符合题意；
C、该方程中只含有一个未知数，但未知数的最高次数为1，则其不为一元二次方程，则不符合题意；
D、该方程改写成：该方程中只含有一个未知数，但未知数的最高次数为1，则其不为一元二次方程，则不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的定义： 一元二次方程的一般形式是，据此逐项分析即可.
2．已知是方程的两个实数根，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系，得
．
故选：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.
3．如图，的对角线，相交于点，下列哪个条件能够使得是矩形（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵在平行四边形的基础上，需要加一个角为或对角线相等，才可以证明出矩形，
∴，，均不能判定出为矩形，故A，B，C错误；
∵是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平形四边形为矩形；
故选：B．
【分析】
根据矩形的判定方法： 三个角是直角的四边形；对角线相等的平行四边形是矩形对每个选项逐一验证判断即可得出结果.
4．不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，列表如下：
　 红 黄
红 （红，红） （红，黄）
黄 （黄，红） （黄，黄）
共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种，
∴两次摸出的都是红球的概率为，
故答案为：C.
【分析】先根据题意列出表格，再分别根据表格求出等可能结果的总数与符合条件的数量，然后利用概率公式求解.
5．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点为的黄金分割点，
∴，即，
解得：，.
故答案为：C．
【分析】本题结合条件和黄金分割，列式得出，然后计算求解即可．
6．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．四边都相等的四边形是矩形
C．菱形的对角线垂直且相等
D．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A. 相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形底角），故选项A是假命题；
B. 四边都相等的四边形是菱形，不一定是矩形（除非有直角），故选项B是假命题；
C. 菱形的对角线互相垂直但不一定相等（仅正方形相等），故选项C是假命题；
D. 相似三角形的对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，故选项D是真命题．
故答案为：D．
【分析】根据对顶角、矩形、菱形、相似三角形的性质逐一判断每个选项即可。
7．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：是关于的一元二次方程，
，
又有实数根，
，
解得：，
的取值范围为且．
【分析】根据一元二次方程的概念求出，再根据一元二次方程的根的判别式求出，最后求解即可.
8．如图，菱形的边长为3，，过点D作，交的延长线于点E，连接分别交、于点G、F，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是边长为3的菱形，
∴，
∴，
∵，交的延长线于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
首先利用菱形的性质，可以得到，由此可以推导出，且。接下来借助勾股定理计算出的长度，再依次求出的长度，之后证明，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，即可得到最终答案.
9．若是一元二次方程的一个根，则　 　.
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：是一元二次方程的一个根，
，
解得，
故答案为：2．
【分析】
利用方程的解的定义，把代入原方程，就可以得到一个只含未知数的一元一次方程，求解这个方程就能得到结果。
10．已知，则　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设x=3k，y=5k，
∴
故答案为：.
【分析】由比例性质，设x=3k，y=5k，然后代入待求式子分子合并同类项后，再约分化简即可.
11．如图，若，，则长为　 　．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
根据平行线分线段成比例的性质，可以得到比例关系，再结合已知条件将DE=12-EF代入比例式，即可得到方程，求解该方程就能得到最终结果.
12．七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组同学用一张正方形纸板依据图1，经过折叠、剪切，制作了如图2所示的七巧板，再拼成如图3所示的作品，最后在作品上随机钉一枚图钉，将其固定在桌面上，则图钉的钉尖恰好落在①区域的概率是　 　．
【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；几何概率
【解析】【解答】解：∵①的面积即四边形的面积，是的面积的一半，即为正方形面积的，
故答案为：．
【分析】
题目要求的图形就是四边形，计算出这个四边形的面积，再求出它和正方形面积的比值，就能得到答案.
13．如图，正方形的边长为6，点E是的中点，与交于点P，F是上一点，连接分别交，于点M、N，且，连接，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的性质-对应边；直角三角形的两锐角互余；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是边长为6的正方形，点E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵于点N，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
作交于点Q，则，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
首先证明，由此推出比例关系可得，接下来证明，根据全等三角形的性质得到，再利用勾股定理算出即的长度，之后通过面积法求出的长度，再进一步计算得到和的长度。过点作，交于点，可证得，且，再根据相似三角形对应边成比例，求出和的长度，得到的长度后，最后利用勾股定理即可求出最终结果.
14．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
∴或，
∴；
（2）解：
，
∴或，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程求解即可；
（2）先把方程左边去括号，整理得，再利用因式分解法解方程求解即可.
（1）解：
∴或，
∴；
（2）解：
，
∴或，
∴．
15．目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了_____人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_____；
（2）该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_____类（填A、B、C或D）；
（3）将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，用树状图或列表求抽取到的两张卡片内容相同的概率．
【答案】（1）400，
（2）D
（3）解：画出树状图如下：
；
由树状图可得，共有16种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有4种，
抽取到的两张卡片内容一致的概率为；
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；众数；圆心角的概念
【解析】【解答】（1）解：此次共调查了人，
∴扇形统计图中C类对应的圆心角度数为；
（2）解：D类的人数为（人），
∵，
∴D类的人数最多，即众数为D类；
故答案为：（1）400，；（2）D．
【分析】（1）结合图中信息可知，B类有120人，占30%，因此用B类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，然后用乘以C类所占的比例即可得出圆心角度数；
（2）结合柱状图和（1）中求出的总调查人数，即可求出D类的人数，再根据众数的定义求解即可；
（3）画树状图即可得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，用概率公式求解即可．
（1）解：此次共调查了人，
∴扇形统计图中C类对应的圆心角度数为；
故答案为：400，；
（2）解：D类的人数为（人），
∵，
∴D类的人数最多，即众数为D类，故选：D；
（3）解：画出树状图如下：
；
由树状图可得，共有16种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有4种，
抽取到的两张卡片内容一致的概率为；
故答案为：．
16．如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：．
（1）作出关于x轴对称的图形；
（2）以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是；
（3）若是线段上一点，则点M的对应点的坐标为 ．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】（3）解：∵原点O为位似中心，位似比为，
∴点的对应点的坐标为，
故答案为：．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图求解即可；
（2）根据原点O为位似中心，位似比为，作图求解即可；
（3）根据原点O为位似中心，位似比为，求点的坐标即可.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：∵原点O为位似中心，位似比为，
∴点的对应点的坐标为，
故答案为：．
17．如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，
∵是的斜边上的中线，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：过点作于点，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，则（负值舍去），
∵四边形是菱形，
∴，则，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
（1）首先根据题目给出的条件，可以推出四边形是平行四边形，再结合直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线长度等于斜边的一半，可得到，最后根据菱形的判定定理即可完成证明求解；
（2） 过点作于点 F，可推得是等腰直角三角形，利用勾股定理计算可得。因为四边形是菱形，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得，进而推出，最后代入梯形面积公式计算即可得到结果.
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵是的斜边上的中线，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：过点作于点，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，则（负值舍去），
∵四边形是菱形，
∴，则，
∴．
18．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？
【答案】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当商品降价5元时，超市获利4250元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设二、三这两个月的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，求解即可；
（2）设商品降价元，表示出销售量和每件利润，根据题意可得，列出一元二次方程，求解即可．
（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当商品降价5元时，超市获利4250元．
19．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）将斜边相等的两块三角板按如图1放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，B、D位于的两侧，其中，连接，若，则的长为 ，的长为 ，四边形 邻等对补四边形（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，在邻等对补四边形中，，若，求的值；
（3）如图3，在中，，分别在边上取点M、N，使四边形是邻等对补四边形，请直接写出的长．
【答案】（1）2，，是
（2）解：延长至点E，使，连接，过A作于F，如图2，
∵四边形是邻等对补四边，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴；
（3）或或
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是邻等对补四边形．
故答案为：2，，是；
（3）解：∵，
∴，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∴，
当时，如图3.1，连接，过N作于H，
∴，
在中，，
在中，，
，
解得，
∵，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3.2，连接，
∵，
∴，
∴，
过点N作交于G，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，；
当时，连接，过N作于H，如图3.3，
∵，
∴，即，
即，解得：，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3.4，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上，的长为或或．
【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再根据含30°角直角三角形的性质求出的长，最后作答求解即可；
（2）利用SAS证明，再利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可；
（3）分三种情况讨论：，和，并结合图形作答求解即可.
（1）解：在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是邻等对补四边形．
故答案为：2，，是；
（2）解：延长至点E，使，连接，过A作于F，如图2，
∵四边形是邻等对补四边，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∴，
当时，如图3.1，连接，过N作于H，
∴，
在中，，
在中，，
，
解得，
∵，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3.2，连接，
∵，
∴，
∴，
过点N作交于G，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，；
当时，连接，过N作于H，如图3.3，
∵，
∴，即，
即，解得：，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3.4，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上，的长为或或．
1 / 1广东省深圳市南山区前海学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2-2y＝0 B．2-x2＝0 C．2x＝1 D．+x＝2
2．已知是方程的两个实数根，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．3
3．如图，的对角线，相交于点，下列哪个条件能够使得是矩形（　　）
A． B． C． D．
4．不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为（　　）
A． B． C． D．
6．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．四边都相等的四边形是矩形
C．菱形的对角线垂直且相等
D．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
7．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　）
A．且 B．
C．且 D．
8．如图，菱形的边长为3，，过点D作，交的延长线于点E，连接分别交、于点G、F，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．若是一元二次方程的一个根，则　 　.
10．已知，则　 　．
11．如图，若，，则长为　 　．
12．七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组同学用一张正方形纸板依据图1，经过折叠、剪切，制作了如图2所示的七巧板，再拼成如图3所示的作品，最后在作品上随机钉一枚图钉，将其固定在桌面上，则图钉的钉尖恰好落在①区域的概率是　 　．
13．如图，正方形的边长为6，点E是的中点，与交于点P，F是上一点，连接分别交，于点M、N，且，连接，则的长为　 　．
14．解方程：
（1）；
（2）．
15．目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了_____人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_____；
（2）该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_____类（填A、B、C或D）；
（3）将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，用树状图或列表求抽取到的两张卡片内容相同的概率．
16．如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：．
（1）作出关于x轴对称的图形；
（2）以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是；
（3）若是线段上一点，则点M的对应点的坐标为 ．
17．如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
18．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？
19．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）将斜边相等的两块三角板按如图1放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，B、D位于的两侧，其中，连接，若，则的长为 ，的长为 ，四边形 邻等对补四边形（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，在邻等对补四边形中，，若，求的值；
（3）如图3，在中，，分别在边上取点M、N，使四边形是邻等对补四边形，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、该方程中含有两个未知数，则其不为一元二次方程，则不符合题意；
B、该方程中只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，则其为一元二次方程，则符合题意；
C、该方程中只含有一个未知数，但未知数的最高次数为1，则其不为一元二次方程，则不符合题意；
D、该方程改写成：该方程中只含有一个未知数，但未知数的最高次数为1，则其不为一元二次方程，则不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的定义： 一元二次方程的一般形式是，据此逐项分析即可.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系，得
．
故选：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵在平行四边形的基础上，需要加一个角为或对角线相等，才可以证明出矩形，
∴，，均不能判定出为矩形，故A，B，C错误；
∵是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平形四边形为矩形；
故选：B．
【分析】
根据矩形的判定方法： 三个角是直角的四边形；对角线相等的平行四边形是矩形对每个选项逐一验证判断即可得出结果.
4．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，列表如下：
　 红 黄
红 （红，红） （红，黄）
黄 （黄，红） （黄，黄）
共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种，
∴两次摸出的都是红球的概率为，
故答案为：C.
【分析】先根据题意列出表格，再分别根据表格求出等可能结果的总数与符合条件的数量，然后利用概率公式求解.
5．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点为的黄金分割点，
∴，即，
解得：，.
故答案为：C．
【分析】本题结合条件和黄金分割，列式得出，然后计算求解即可．
6．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A. 相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形底角），故选项A是假命题；
B. 四边都相等的四边形是菱形，不一定是矩形（除非有直角），故选项B是假命题；
C. 菱形的对角线互相垂直但不一定相等（仅正方形相等），故选项C是假命题；
D. 相似三角形的对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，故选项D是真命题．
故答案为：D．
【分析】根据对顶角、矩形、菱形、相似三角形的性质逐一判断每个选项即可。
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：是关于的一元二次方程，
，
又有实数根，
，
解得：，
的取值范围为且．
【分析】根据一元二次方程的概念求出，再根据一元二次方程的根的判别式求出，最后求解即可.
8．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是边长为3的菱形，
∴，
∴，
∵，交的延长线于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
首先利用菱形的性质，可以得到，由此可以推导出，且。接下来借助勾股定理计算出的长度，再依次求出的长度，之后证明，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，即可得到最终答案.
9．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：是一元二次方程的一个根，
，
解得，
故答案为：2．
【分析】
利用方程的解的定义，把代入原方程，就可以得到一个只含未知数的一元一次方程，求解这个方程就能得到结果。
10．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设x=3k，y=5k，
∴
故答案为：.
【分析】由比例性质，设x=3k，y=5k，然后代入待求式子分子合并同类项后，再约分化简即可.
11．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
根据平行线分线段成比例的性质，可以得到比例关系，再结合已知条件将DE=12-EF代入比例式，即可得到方程，求解该方程就能得到最终结果.
12．【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；几何概率
【解析】【解答】解：∵①的面积即四边形的面积，是的面积的一半，即为正方形面积的，
故答案为：．
【分析】
题目要求的图形就是四边形，计算出这个四边形的面积，再求出它和正方形面积的比值，就能得到答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的性质-对应边；直角三角形的两锐角互余；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是边长为6的正方形，点E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵于点N，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
作交于点Q，则，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
首先证明，由此推出比例关系可得，接下来证明，根据全等三角形的性质得到，再利用勾股定理算出即的长度，之后通过面积法求出的长度，再进一步计算得到和的长度。过点作，交于点，可证得，且，再根据相似三角形对应边成比例，求出和的长度，得到的长度后，最后利用勾股定理即可求出最终结果.
14．【答案】（1）解：
∴或，
∴；
（2）解：
，
∴或，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程求解即可；
（2）先把方程左边去括号，整理得，再利用因式分解法解方程求解即可.
（1）解：
∴或，
∴；
（2）解：
，
∴或，
∴．
15．【答案】（1）400，
（2）D
（3）解：画出树状图如下：
；
由树状图可得，共有16种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有4种，
抽取到的两张卡片内容一致的概率为；
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；众数；圆心角的概念
【解析】【解答】（1）解：此次共调查了人，
∴扇形统计图中C类对应的圆心角度数为；
（2）解：D类的人数为（人），
∵，
∴D类的人数最多，即众数为D类；
故答案为：（1）400，；（2）D．
【分析】（1）结合图中信息可知，B类有120人，占30%，因此用B类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，然后用乘以C类所占的比例即可得出圆心角度数；
（2）结合柱状图和（1）中求出的总调查人数，即可求出D类的人数，再根据众数的定义求解即可；
（3）画树状图即可得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，用概率公式求解即可．
（1）解：此次共调查了人，
∴扇形统计图中C类对应的圆心角度数为；
故答案为：400，；
（2）解：D类的人数为（人），
∵，
∴D类的人数最多，即众数为D类，故选：D；
（3）解：画出树状图如下：
；
由树状图可得，共有16种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有4种，
抽取到的两张卡片内容一致的概率为；
故答案为：．
16．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】（3）解：∵原点O为位似中心，位似比为，
∴点的对应点的坐标为，
故答案为：．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图求解即可；
（2）根据原点O为位似中心，位似比为，作图求解即可；
（3）根据原点O为位似中心，位似比为，求点的坐标即可.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：∵原点O为位似中心，位似比为，
∴点的对应点的坐标为，
故答案为：．
17．【答案】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，
∵是的斜边上的中线，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：过点作于点，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，则（负值舍去），
∵四边形是菱形，
∴，则，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
（1）首先根据题目给出的条件，可以推出四边形是平行四边形，再结合直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线长度等于斜边的一半，可得到，最后根据菱形的判定定理即可完成证明求解；
（2） 过点作于点 F，可推得是等腰直角三角形，利用勾股定理计算可得。因为四边形是菱形，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得，进而推出，最后代入梯形面积公式计算即可得到结果.
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵是的斜边上的中线，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：过点作于点，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，则（负值舍去），
∵四边形是菱形，
∴，则，
∴．
18．【答案】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当商品降价5元时，超市获利4250元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设二、三这两个月的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，求解即可；
（2）设商品降价元，表示出销售量和每件利润，根据题意可得，列出一元二次方程，求解即可．
（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当商品降价5元时，超市获利4250元．
19．【答案】（1）2，，是
（2）解：延长至点E，使，连接，过A作于F，如图2，
∵四边形是邻等对补四边，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴；
（3）或或
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是邻等对补四边形．
故答案为：2，，是；
（3）解：∵，
∴，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∴，
当时，如图3.1，连接，过N作于H，
∴，
在中，，
在中，，
，
解得，
∵，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3.2，连接，
∵，
∴，
∴，
过点N作交于G，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，；
当时，连接，过N作于H，如图3.3，
∵，
∴，即，
即，解得：，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3.4，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上，的长为或或．
【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再根据含30°角直角三角形的性质求出的长，最后作答求解即可；
（2）利用SAS证明，再利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可；
（3）分三种情况讨论：，和，并结合图形作答求解即可.
（1）解：在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是邻等对补四边形．
故答案为：2，，是；
（2）解：延长至点E，使，连接，过A作于F，如图2，
∵四边形是邻等对补四边，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∴，
当时，如图3.1，连接，过N作于H，
∴，
在中，，
在中，，
，
解得，
∵，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3.2，连接，
∵，
∴，
∴，
过点N作交于G，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，；
当时，连接，过N作于H，如图3.3，
∵，
∴，即，
即，解得：，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3.4，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上，的长为或或．
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