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广东深圳市多校联考2025-2026学年八年级下学期7月期末质量检测数学试卷
1．如图所示的几何体是一个圆锥，下面有关它的三视图的结论中，正确的是(　　)
A．主视图是中心对称图形
B．左视图是中心对称图形
C．俯视图既是中心对称图形又是轴对称图形
D．主视图既是中心对称图形又是轴对称图形
2．△DEF是由△ABC平移得到的，点A(-1，-4)的对应点为D(1，-1)，点B(1，1)的对应点E、点C(-1，4)的对应点F.则E、F的坐标分别为(　　)
A．(2，2)，(3，4) B．(3，4)，(1，7)
C．(-2，2)，(1，7) D．(3，4)，(2，-2)
3．不等式2x>6的解集在数轴上表示为(　　)
A． B．
C． D．
4．下列从左到右的变形是因式分解的是 (　　)
A． B．
C． D．
5．已知正整数a、b、c、d满足a①a=1，b=4，c=6，d=9是该四元方程的一组解；
②连续的四个奇数一定是该四元方程的解；
③若a④若a+b+c+d=2024，则该四元方程有504组解。
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知a为整数，且 为正整数，则所有符合条件的a的值的和是(　　)
A．0 B．12 C．4 D．8
7．下列多项式中，可以提取公因式的是（　　）
A．ab+cd B．mn+m2 C．x2-y2 D．x2+2xy+y2
8．如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，第1次操作：取AC的中点O，将O1B绕点O分别逆时针旋转120°和180°得到线段O1C1和O1A1；第2次操作：取A1C1的中点O2，将O2O1绕点O2分别逆时针旋转120°和180°，得到线段O2C2和O2A2；…；按照这样的操作规律，第999次操作后，得到线段O999C999和O99A99，若用点C在点A的正南方向表示初始位置，则点C999在点A999的(　　)
A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向
9．已知不等式的解集是，则不等式的解集是　 　．
10．分解因式： 　 　。
11．如图，在正方形ABCD中，点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，连接BD交AE于点G，FH平分∠BFG交BD于点H。则下列结论中：
①AF=DE；
④当AB=a时，，正确的序号是　 　。
12．如图1，在△ABC中，BC=ncm，∠BAC=45°。动点P从点A出发，沿边AC以1cm/s的速度向终点C匀速运动.当点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B始终在边AC同侧.设点P的运动时间为t(单位：S)，正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为S(单位：cm2)、S与t的关系如图2所示。m=　 　。
13．如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，M为BC的中点，将边AB绕点A逆时针旋转，点B落在B'处，连接MB'，BB'，若∠BB'M=90°，MB'=5，则BC=　 　。
14．请阅读求绝对值不等式|x|<3和|x|>3的解的过程。
对于绝对值不等式|x|<3，从图①的数轴上看：大于-3而小于3的数的绝对值小于3，所以|x|<3的解为-3对于绝对值不等式|x|>3，从图②的数轴上看：小于-3或大于3的数的绝对值大于3，所以|x|>3的解为x<-3或x>3。
（1）求绝对值不等式|x-3|>2的解；
（2）已知绝对值不等式|2x-1|（3）已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足|x+y|≤2，其中m是负整数，求m的值。
15．定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，则称这个分式为“优美分式”
如； 则 都是“优美分式”。
（1）请你判断下列式子是否为“优美分式”？(在题后相应的括号中，是“优美分式”打“√”，不是“优美分式”打“×”)；
(　　)
(　　)
(　　)
(　　)
（2）若“优美分式”
，其中A为整式，B为常数。
①求整式A；
②若A=B，求 的值。
（3）若“优美分式”与(其中 a，b为常数)，当两者拆分后的分式分子为相等常数时，求的取值范围。
16．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程。以下是我们研究函数 图象、性质与应用的部分过程，请按要求完成以下各小题。
（1）请把下表补充完成，并根据表中数据在平面直角坐标系中描点，连线，画出该函数图象.
x … -4 -3.5 -3 -2.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 3 3.5 4 …
y ·· -1 1 0 - -1 1 　
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数及其性质的说法是否正确，正确的请在答题卡上对应的括号内打“√”，错误的请在答题卡上对应的括号内打“×”。
①该函数的自变量的取值范围是 x≠±2；(　　)
②该函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；(　　)
③在自变量的取值范围内，y随 x的增大而减小；(　　)
（3）已知函数 的图像如图所示，结合函数图象，请直接写出方程的解；(结果保留1位小数，误差不超过0.2)
17．已知m、n都是实数，且 求m+n的值。
18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D为边AC的中点。点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CB向终点B运动。以CP为边作正方形CPMN，点N在射线CA上。设点P的运动时间为t秒(t>0)。
（1）用含t的代数式表示线段DN的长；
（2）连接CM，则∠MCA=　 　度；当点D与点M的距离最短时，线段DN的长为　 　；
（3）连接PD，当PD将正方形CPMN的面积分为3：5两部分时，求t的值；
（4）作点C关于直线DM的对称点C'，当点C'、点M到△ABC的某一条直角边所在直线距离相等时，直接写出t的值。
19．已知，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，OA=a，点B(b，b)，且a、b满足。
（1）则a=　 　；b=　 　；
（2）如图1，在x轴上是否存在点C，使三角形ABC的面积等于三角形ABO面积的一半？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，将线段AB向左平移m个单位(m>0)，得到线段A'B'，其中点 A，点B的对应点分别为点A'，点B'。若点N(-1，n)在射线A'B'上，连接ON，BN得到三角形BON，若三角形BON的面积大于三角形ABO面积的并且小于三角形ABO面积，则m的取值范围是　 　。
20．等腰直角三角形是我们学习几何的基本图形，在学完平移，旋转，轴对称三种几何变换后，数学活动课上老师想利用图1中的等腰直角三角形为背景展开有关图形的平移，旋转，轴对称的探究活动.如图1，已知△ABC和△ADE是共顶点的两个等腰直角三角形，AB=AC=2，∠BAC=∠DAE=90°。老师首先给了如下一道题，请你完成⑴的详细解题过程。
（1）如图2，在图1的条件基础上，分别连接BD，CE，将△ABC绕点A旋转至点B在线段CE上时。
①求证：BD=CE；
②求线段CE的长
（2）数学活动小组的同学解答完对上述问题后，又对这个图形进行了观察和测量，并发现了新的问题，该活动小组小聪，小明，小慧三名同学分别提出下面的问题，请你在小聪，小明，小慧三名同学所提出的问题中选择一道题进行解答，并直接写出答案。
①小聪提出的问题：如图3，在图1的条件基础上，分别连接BE，CD。点F是线段CD的中点，连接AF，将△ABC绕点A在平面内自由旋转，则AF的最大值是　 　。
②小明提出的问题：如图4，在图1的条件基础上，将△ABC绕点A旋转至AB∥DE，且点C在线段AB上方时，△ABC位置不变。连接BD，BE，将△BED沿射线ED方向平移，得到△MPN，连接CM，CN，则CM+CN的最小值是　 　。
③小慧提出的问题：如图5，在图1的条件基础上，将△ABC绕点A在平面内自由旋转，当以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，CE=　 　。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；简单几何体的三视图；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：主视图是轴对称图形，错误，不符合题意；
B：左视图是轴对称图形，错误，不符合题意；
C：俯视图既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，符合题意；
D：主视图既轴对称图形，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根基几何体的三视图，结合轴对称，中心对称图形的定义即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A(-1，-4)的对应点为D(1，-1)
∴平移规律为：向右平移2个单位，向上平移3个单位
∴点B(1，1)的对应点E的坐标为(1+2，1+3)，即(3，4)
点C(-1，4)的对应点F的坐标为(-1+2，4+3)，即(1，7)
故答案为：B
【分析】根据点的平移即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：2x>6，解得：x>3
∴将解集在数轴上表示为：
故答案为：D
【分析】解不等式，再将解集在数轴上表示出来即可.
4．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A：，不是因式分解，不符合题意；
B：，不是因式分解，不符合题意；
C：，是因式分解，符合题意；
D：，不是因式分解，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；高次方程
【解析】【解答】解：当a=1，b=4，c=6，d=9时
方程左边=3x1+3x4+3x6+3×9=60
方程右边=92-62+42-12=60
方程左右两边相等，故a=1，b=4，c=6，d=9是该四元方程的一组解；故①正确
当a=1，b=3，c=5，d=7时，
方程左边=3x1+3x3+3x5+3×7=48
方程右边=72-52+32-12=32
方程左右两边不相等，故a=1，b=3，c=5，d=7不是该四元方程的一组解，即四个连续的奇数不一定是该四元方程的一组解；故②错误
∵3a+3b+3c+3d=d2-c2+b2-a2
∴a2-b2+3a+3b=d2-c2-3c-3d
∴(a-b)(a+b)+3(a+b)=(d-c)(c+d)-3(c+d)
∴(a+b)(a-b+3)=(d-c-3)(c+d)
∵正整数a、b、C、d满足a∴a+b∴a-b+3≤2，d-c-3≥-2
又∵(a+b)(a-b+3)=(d-c-3)(c+d)
∴当a-6+3=0，d-c-3=0，即b=a+3，d=c+3时
(a+b)(a-b+3)=(d-c-3)(c+d)=0恒成立，满足题意
∵a∴当a=1，b=4时，c=5，d=8或c=6，d=9或c=7，d=10或c=8，d=11，共4组解
当a=2，b=5时，c=6，d=9或c=7，d=10或c=8，d=11，共3组解
当a=3，b=6时，c=7，d=10或c=8，d=11，共2组解
当a=4，b=7时，c=8，d=11，共1组解
此时共有4+3+2+1=10组解；
又∵当a=3，b=4，c=5，d=9时，此时(a+b)(a-b+3)=7x2=14，(d-c-3)(c+d)=1x14=14
方程左边等于右边，故a=3，b=4，c=5，d=9也是方程的一组解，故③错误
由③可知：当b=a+3，d=c+3时
∵a+b+c+d=2024
∴a+a+3+c+c+3=2024
∴a+c=1009，
∵a，c是正整数，且b=a+3∴当a=1时，c=1008
当a=2时，c=1007
......
当a=502时，c=507
总共有502组解
∵a=3，b=4，c=5，d=9不满足已知条件，故④错误
故答案为：A
【分析】将a，b，c，d值代入方程可得判断①；当a=1，b=3，c=5，d=7时，代入方程可判断②；根据方程化简计算可判断③，④.
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的值；分式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
=
设(k为正整数)
∴(a-3)2>0且k>0
∴2a-7>0，解得：a>3.5
∵a为整数
∴a≥4
令a-3=x，则x≥1，且x为整数，a=x+3
原式=
当x=1时，，是正整数
此时a-3=1，即a=4
当x≥2时，x2-(2x-1)=x2-2x+1=(x-1)2≥0
∴x2>2x-1
∴，此时k不是正整数
∴唯一符合条件的整数a的值是4
∴所有符合条件的a的值的和是4
故答案为：C
【分析】根据分式的混合运算，结合平方差，完全平方公式化简可得原式=，设(k为正整数)，由题意可得(a-3)2>0且k>0，则2a-7>0，解得：a>3.5，根据a为整数可得a≥4，令a-3=x，则x≥1，且x为整数，a=x+3，则原式=，当x=1时，，是正整数，此时a-3=1，即a=4，当x≥2时，x2-(2x-1)=(x-1)2≥0，则x2>2x-1，则，此时k不是正整数，即唯一符合条件的整数a的值是4，所有符合条件的a的值的和是4.
7．【答案】B
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】A．ab+cd，没有公因式，故此选项不符合题意；
B．mn+m2=m（n+m），故此选项符合题意；
C．x2﹣y2，没有公因式，故此选项不符合题意；
D．x2+2xy+y2，没有公因式，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】理解公因式的定义：即多项式各项都含有的相同因式。然后对各选项进行因式提取。
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】解：将O1B绕点O分别逆时针旋转120°和180°得到线段O1C1和O1A1
则O1C1=O1A，∠C1O1A1=180°-120°=60°
∴△C1O1A1为等边三角形
同理可得△CnOnAn皆为等边三角形
∵O1B绕点O1逆时针旋转120°
∴∠BO1C1=120°
∵△C1O1A1为等边三角形，AC的中点为O2
∴∠C1O1O2=30°
∴∠BO1O2=120°+30°=150°
同理∠O1O2O3=∠O2O3O4=...=∠OnOn+1On+2=150°
∴∠AO1O2=∠AO2O3=...=∠AOnOn+1=180°-150°=30°
∵360°÷30°=12
∴每转到12次后O12nO12n+1与BO1方向重合
∵999÷12=83...3
∴第999次操作后，O999A999在第84个循环中的第3个位置，恰与O3O4方向相同，点C999相对点A999的方向与点C3相对点A3的方向相同
∵30°×3=90°
∴O3O4⊥O1A1
∵△C3O3A3为等边三角形
∴C3A3⊥O3O4
∴此时点C3在点A3的正西方向
∴点C999在点A999的正西方向
故答案为：C
【分析】根据旋转性质可得O1C1=O1A，∠C1O1A1=180°-120°=60°，根据等边三角形判定定理可得△C1O1A1为等边三角形，同理可得△CnOnAn皆为等边三角形，根据旋转性质可得∠BO1C1=120°，根据等边三角形性质可得∠C1O1O2=30°，根据角之间的关系可得∠BO1O2=150°，同理∠O1O2O3=∠O2O3O4=...=∠OnOn+1On+2=150°，根据角之间的关系可得∠AO1O2=∠AO2O3=...=∠AOnOn+1=30°，由题意可得每转到12次后O12nO12n+1与BO1方向重合，则第999次操作后，O999A999在第84个循环中的第3个位置，恰与O3O4方向相同，点C999相对点A999的方向与点C3相对点A3的方向相同，再根据等边三角形性质即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：解不等式x+1＜2a，得x＜2a-1．∵不等式x+1＜2a的解集是x＜5，
∴2a-1=5．
∴a=3．
∴3x＞6．
解得x＞2．
故答案是：x＞2．
【分析】先解不等式得到x＜2a-1，在根据不等式的解集列出方程，从而即可求解。
10．【答案】(x-a+4)(x-a-4)
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：
故答案为：(x-a+4)(x-a-4)
【分析】根据完全平方公式，平方差公式进行因式分解即可求出答案.
11．【答案】②③④
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=90°
∴∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°，∠DAE+∠AED=90°
∴∠BAF=∠AED
∵BF⊥AE
∴∠AFB=90°=∠ADE
∴△ABF∽△EAD
∴
∵E是DC的中点
∴
∴
∴，即，①错误
∵，AD=AB
∴AB2=BFAE，②正确
∵AB∥CD
∴△ABG∽△EDG
∴
∴AG=2EG
∴
∴
∵△ABF，△BFG是分别以AF，FG为底，高相同的三角形
∴，③正确
过点H作HM⊥BF于点M，HN⊥AG于点N
∵FH平分∠BFG
∴HM=HN
∵
∴
∵的底分别为BH，HG，高相等
∴
在△ABD中，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴，④正确
【分析】根据正方形性质可得AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=90°，根据角之间的关系可得∠BAF=∠AED，再根据相似三角形判定定理可得△ABF∽△EAD，则，根据线段中点可得，根据勾股定理可得AE，根据边之间的关系可判断①，②，根据相似三角形判定定理可得△ABG∽△EDG，则，根据边之间的关系可得FG，再根据三角形面积可判断③；过点H作HM⊥BF于点M，HN⊥AG于点N，根据角平分线性质可得HM=HN，再根据三角形面积可得，再根据边之间关系，结合勾股定理可判断④.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：过点B作BF⊥AC于点F
∵∠BAC=45°
∴△ABF是等腰直角三角形
∴BF=AF
在Rt△ABF中，AB2=AF2+BF2，即
解得：AF=3
∴BF=3
∴当t=3时，点P和点F重合，点D和点B重合，
此时，即m=
故答案为：
【分析】过点B作BF⊥AC于点F，根据等腰直角三角形判定定理可得△ABF是等腰直角三角形，则BF=AF，根据勾股定理建立方程，解方程可得AF，则BF=3，当t=3时，点P和点F重合，点D和点B重合，再根据三角形面积即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点A作AQ⊥BB'于点Q，∠BB'M=90°
∴∠AQB=∠BB'M=90°
∴∠B'BM+∠BMB'=90°
由旋转可得，AB=AB'，BQ=B'Q
∵BC=2AB，M为BC的中点
∴AB=BM=MC
∵四边形ABCD为矩形
∴∠ABQ+∠B'BM=90°
∴∠ABQ=∠BMB'
∴△ABQ≌△BMB'(AAS)
∵MB'=5
∴BQ=B'M=5=B'Q，即BB'=10
∴
∴
故答案为：
【分析】过点A作AQ⊥BB'于点Q，∠BB'M=90°，根据角之间的关系可得∠B'BM+∠BMB'=90°，根据旋转性质可得AB=AB'，BQ=B'Q，根据线段中点可得AB=BM=MC。再根据矩形性质可得∠ABQ+∠B'BM=90°，则∠ABQ=∠BMB'，根据全等三角形判定定理可得△ABQ≌△BMB'(AAS)，则BQ=B'M=5=B'Q，即BB'=10，再根据勾股定理即可求出答案.
14．【答案】（1）解：根据绝对值的定义得 x-3>2或 x-3<-2，
解得 x>5或 x<1
（2）解：因为|2x-1|所以-a<2x-1解得
因为解集为 b所以
解得
则 a-2b=5+4=9
（3）解：两个方程相加，得3x+3y=-3m-3，
所以 x+y=-m-1，
因为|x+y|≤2，
所以-2≤x+y≤2，
所以-2≤-m-1≤2，
解得-3≤m≤1
又m是负整数，
所以m=-3 或m=-2或m=-1
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数；解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据题意，去绝对值，再解不等式即可求出答案.
（2）去绝对值，解不等式可得，再根据题意建立方程组，解方程组可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
（3）两个方程相加，得3x+3y=-3m-3，则x+y=-m-1，去绝对值可得-2≤-m-1≤2，再解方程即可求出答案.
15．【答案】（1）√；×；√；√
（2）解：①由题意，
且“优美分式” 其中 A为整式，B为常数，
∴整式.
②∵A=B，
∴结合①可得，B=5， 则
=25-15+9
=19
（3）解：∵“优美分式” 与 (其中 a， b为常数) ，当两者拆分后的分式分子为相等常数，
∴可设 (n≠0)，
∵n≠0
且
【知识点】分式的约分；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）①，是优美分式
②是整式，不是优美分式
③，是优美分式
④，是优美分式
故答案为：√；×；√；√
【分析】（1）根据优美分式的定义，结合分式的约分逐项进行判断即可求出答案.
（2）①根据分式的性质化简等号左边，再根据优美分式的定义即可求出答案.
②由①可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）根据分式的性质化简，由题意可得，则，化简代数式，再整体代入计算即可求出答案.
16．【答案】（1）解：如图

（2）√；√；×
（3）x=0.2、x=-2.2，x=2.7
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（3）解：∵当x=0.2时， 当x=0.3时，
的一个解为x=0.2；
同理可得 的另外两个解为x=-2.2，x=2.7；
综上， 的解为x=0.2、x=-2.2，x=2.7
【分析】（1）根据描点法作出函数图象即可.
（2）根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
（3）根据函数图象信息进行判断即可求出答案.
17．【答案】解：
可得1m+n-1=0或(
当m+n-1=0时， m+n=1；
当 时，m-n=0，m+1=0，n+1=0，
∴m=n=-1， m+n=-2，
综上，m+n的值为1或-2
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】移项，对等号左边进行因式分解，结合有理数的乘法即可求出答案.
18．【答案】（1）解： ∵AC=6， 点D为边AC的中点.
∴AD=CD=3，
由题可得： 当0（2）45；
（3）解： ①如图： 当0即
∵PM∥ND，
∴∠PMO=∠OND，∠MPO=∠NDO
∴△PMO∽△DNO
即
解得：
②如图： 当3解得： t=4.
综上可知， 或t=4
（4）解：①如图：当0∵正方形PCMN，
∴△CNM是等腰直角三角形，即∠MCN=45°，
∵作点C关于直线DM的对称点C'，
∴△CMD≌△C'MD，
∴∠C'=45°，CD=DC'，
解得：
②如图： 当0∵作点C关于直线DM 的对称点C'，
∴△CMD≌△C' MD，
∴MC=MC'、∠C'=45°，
∵正方形PCMN，
∴△CNM是等腰直角三角形， 即∠PMC=45°，
∴∠PMC=∠C'=45°，
即
∵CD∥PC"，
∴四边形 MCDC'是平行四边形，
解得：
③当3∵正方形PCNM，
∴△CNM是等腰直角三角形， 即∠MCN=45°，
∵作点C关于直线DM的对称点C'，
∴△CMD≌△CMN，
∴DC'=CD=3，
解得：
综上，当点C'、点M 到△ABC的某一条直角边所在直线距离相等时，t的值为 或 或
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：（2）连接MC，MD
∵四边形CPMN为正方形
∴
当0∴
当，即时，MD有最小值
当3在Rt△MND中，DN=t-3，MN=T
∴
当，即时，即点N和点D重合时，MD有最小值
综上所述，当点D与点M的距离最短时，线段DN的长为
故答案为：45；
【分析】（1）根据线段中点可得AD=CD=3，再根据题意分类讨论，结合边之间的关系即可求出答案.
（2）连接MC，MD，根据正方形性质可得，当0（3）分情况讨论：① 当0（4）分情况讨论：①当019．【答案】（1）6；2
（2）解：由（1）得A(0，6)，B(2，2)，
∴
设C(c，0)，
如图，当C点在左侧时，
即6-2c=3，
解得
当C在右侧C'的位置时，
即2c-6=3，
解得
综上所述， 当 C ( ， 0) 或 ( ， 0) 时， 三角形 ABC的面积等于三角形 ABO面积的一半；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
解得：
故答案为：6；2
（3）∵B(2，2)
∴直线OB的表达式为y=x
设直线AB的表达式为y=kx+t
∴，解得：
∴直线AB的表达式为y=-2x+6
由平移性质可得可得直线A'B'的表达式为y=-2(x+m)+6=-2x+6-2m
∵N(-1，n)在射线A'B'上
∴N(-1，8-2m)
过点N作MN∥y轴交直线OB于点M，则M(-1，-1)
∴MN=|8-2m-(-1)|=|9-2m|
∴
∵三角形BON的面积大于三角形ABO面积的并且小于三角形ABO面积
∴3<|9-2m|<6
解得：或
故答案为：或
【分析】（1）根据二次根式，偶次方的非负性建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）根据三角形面积可得，设C(c，0)，分情况讨论：当C点在左侧时，当C在右侧C'的位置时，根据割补法，结合三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（3）由题意可得直线OB的表达式为y=x，设直线AB的表达式为y=kx+t，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得直线AB的表达式为y=-2x+6，由平移性质可得可得直线A'B'的表达式为y=-2x+6-2m，将点N坐标代入解析式可得N(-1，8-2m)，过点N作MN∥y轴交直线OB于点M，则M(-1，-1)，根据两点间距离可得MN，再根据三角形面积建立不等式，解不等式即可求出答案.
20．【答案】（1）解： ①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
即∠CAE=∠BAD，
又∵AB=AC=2，
∴△CAE≌△BAD，
∴BD=CE；
②如图，过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB=AC=2， ∠BAC=∠DAE=90°，
（2）；；2或
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平移的性质；旋转的性质；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：（2）①取AD中点G，连接FG
∵点F是线段CD的中点，AB=AC=2
∴
∵△ADE固定，△ABC绕点A在平面内自由旋转
∴点G固定，点F在运动
∴点F的运动轨迹为以G为圆心，FG=1为半径的圆上运动，由圆外一顶点到圆上一点的最大距离可知
当A，G，F依次共线时AF最大，此时点F为如图F'，AF最大值为AF'
∵G为AD中点，
∴，即AF最大值为
故答案为：
②∵AB∥DE，△ABC和△ADE是共顶点的两个等腰直角三角形
∴∠BAE=∠AED=∠ABC=45°
∴BC∥AE，
∴四边形BEAC是平行四边形
∴BE∥AC
∴∠ABE=∠BAC=90°
∴∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE=45°
∴AB=BE=2，∠BED=∠AEB+∠AED=90°
将△BED沿射线ED方向平移，得到△MPN
∴MF=BE=2，∠MFN=∠BED=90°，
由C为定点，MN沿ED方向平移，作直线l∥ED，作点M关于直线l的对称点M'，连接M'C，M'N
∴MC+NC=M'C+NC≥M'N
当M'，C，N依次贡献时，M'C+NC的最小值为M'N，此时设直线l交M'M于点K，由对称性可得KM=KM'，∠CKM=90°
∵l∥ED，AB∥ED
∴l∥AB
∴∠AMK=180°-∠CKM=90°
∵∠BAC=90°
∴四边形ACKM是长方形，KM=KM'=AC=2
∵∠MPN=90°，AB∥DE
∴∠AMP=90°
∴∠AMP+∠AMK=180°
∴点K，M，P共线
∴M'P=M'K+MK+MP=6
∴
即CM+CN的最小值是
故答案为：
③，当AD和BC为边时，只需BC∥AD，则以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形
当BC在AD左侧时，四边形ACBD是平行四边形，如图
∴AC∥BD
∴∠ABD=∠BAC=90°，BD=AC=AB=2
∴△ABD是等腰直角三角形
∴∠ADB=45°
∵∠ADE=45°
∴点B在DE上，，
∴AB=BE=BD=2=AC
∵AC∥BD
∴四边形ABEC是平行四边形
∴CE=AB=2
当BC在AD右侧时，四边形ABCD是平行四边形
∴CD=AB=2，∠ADC=∠B=45°
∴∠EDC=∠ADE+∠ADC=90°
∴
当AD和BC为对角线时，四边形ACDB是平行四边形
∴AB=CD，AC=BD，AB∥CD
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴AC=CD，∠ACD=90°
∴∠ADC=45°
∵ADE=45°
∴点C在DE上
∴CE=AC=CD=2
综上所述，CE=2或
故答案为：2或
【分析】（1）①根据角之间的关系可得∠CAE=∠BAD，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
②过点A作AM⊥BC于点M，根据勾股定理可得BC，再根据边之间的关系可得AM，再根据勾股定理及边之间的关系即可求出答案.
（2）①取AD中点G，连接FG，根据线段中点可得，由旋转可得点G固定，点F在运动，则点F的运动轨迹为以G为圆心，FG=1为半径的圆上运动，由圆外一顶点到圆上一点的最大距离可知当A，G，F依次共线时AF最大，此时点F为如图F'，AF最大值为AF'，再根据边之间的关系即可求出答案.
②根据等腰直角三角形性质可得∠BAE=∠AED=∠ABC=45°，根据平行四边形判定定理可得四边形BEAC是平行四边形，则BE∥AC，根据三角形内角和定理可得∠AEB，MF=BE=2，∠MFN=∠BED=90°，根据平移性质可得，当M'，C，N依次贡献时，M'C+NC的最小值为M'N，此时设直线l交M'M于点K，由对称性可得KM=KM'，∠CKM=90°，根据直线平行性质可得∠AMK=180°-∠CKM=90°，根据长方形判定定理即可得四边形ACKM是长方形，KM=KM'=AC=2，根据角之间的关系可得∠AMP+∠AMK=180°，则点K，M，P共线，根据边之间的关系可得M'P，再根据勾股定理即可求出答案.
③，当AD和BC为边时，只需BC∥AD，则以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：当BC在AD左侧时，四边形ACBD是平行四边形，根据平行四边形性质可得AC∥BD，则∠ABD=∠BAC=90°，BD=AC=AB=2，根据等腰直角三角形判定定理可得△ABD是等腰直角三角形，则∠ADB=45°，点B在DE上，，，再根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案；当BC在AD右侧时，四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形性质可得CD=AB=2，∠ADC=∠B=45°，根据角之间的关系可得∠EDC，再根据勾股定理即可求出答案；当AD和BC为对角线时，四边形ACDB是平行四边形，根据平行四边形性质可得AB=CD，AC=BD，AB∥CD，根据等腰直角三角形性质可得∠ADC=45°，则点C在DE上，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东深圳市多校联考2025-2026学年八年级下学期7月期末质量检测数学试卷
1．如图所示的几何体是一个圆锥，下面有关它的三视图的结论中，正确的是(　　)
A．主视图是中心对称图形
B．左视图是中心对称图形
C．俯视图既是中心对称图形又是轴对称图形
D．主视图既是中心对称图形又是轴对称图形
【答案】C
【知识点】轴对称图形；简单几何体的三视图；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：主视图是轴对称图形，错误，不符合题意；
B：左视图是轴对称图形，错误，不符合题意；
C：俯视图既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，符合题意；
D：主视图既轴对称图形，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根基几何体的三视图，结合轴对称，中心对称图形的定义即可求出答案.
2．△DEF是由△ABC平移得到的，点A(-1，-4)的对应点为D(1，-1)，点B(1，1)的对应点E、点C(-1，4)的对应点F.则E、F的坐标分别为(　　)
A．(2，2)，(3，4) B．(3，4)，(1，7)
C．(-2，2)，(1，7) D．(3，4)，(2，-2)
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A(-1，-4)的对应点为D(1，-1)
∴平移规律为：向右平移2个单位，向上平移3个单位
∴点B(1，1)的对应点E的坐标为(1+2，1+3)，即(3，4)
点C(-1，4)的对应点F的坐标为(-1+2，4+3)，即(1，7)
故答案为：B
【分析】根据点的平移即可求出答案.
3．不等式2x>6的解集在数轴上表示为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：2x>6，解得：x>3
∴将解集在数轴上表示为：
故答案为：D
【分析】解不等式，再将解集在数轴上表示出来即可.
4．下列从左到右的变形是因式分解的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A：，不是因式分解，不符合题意；
B：，不是因式分解，不符合题意；
C：，是因式分解，符合题意；
D：，不是因式分解，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．已知正整数a、b、c、d满足a①a=1，b=4，c=6，d=9是该四元方程的一组解；
②连续的四个奇数一定是该四元方程的解；
③若a④若a+b+c+d=2024，则该四元方程有504组解。
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；高次方程
【解析】【解答】解：当a=1，b=4，c=6，d=9时
方程左边=3x1+3x4+3x6+3×9=60
方程右边=92-62+42-12=60
方程左右两边相等，故a=1，b=4，c=6，d=9是该四元方程的一组解；故①正确
当a=1，b=3，c=5，d=7时，
方程左边=3x1+3x3+3x5+3×7=48
方程右边=72-52+32-12=32
方程左右两边不相等，故a=1，b=3，c=5，d=7不是该四元方程的一组解，即四个连续的奇数不一定是该四元方程的一组解；故②错误
∵3a+3b+3c+3d=d2-c2+b2-a2
∴a2-b2+3a+3b=d2-c2-3c-3d
∴(a-b)(a+b)+3(a+b)=(d-c)(c+d)-3(c+d)
∴(a+b)(a-b+3)=(d-c-3)(c+d)
∵正整数a、b、C、d满足a∴a+b∴a-b+3≤2，d-c-3≥-2
又∵(a+b)(a-b+3)=(d-c-3)(c+d)
∴当a-6+3=0，d-c-3=0，即b=a+3，d=c+3时
(a+b)(a-b+3)=(d-c-3)(c+d)=0恒成立，满足题意
∵a∴当a=1，b=4时，c=5，d=8或c=6，d=9或c=7，d=10或c=8，d=11，共4组解
当a=2，b=5时，c=6，d=9或c=7，d=10或c=8，d=11，共3组解
当a=3，b=6时，c=7，d=10或c=8，d=11，共2组解
当a=4，b=7时，c=8，d=11，共1组解
此时共有4+3+2+1=10组解；
又∵当a=3，b=4，c=5，d=9时，此时(a+b)(a-b+3)=7x2=14，(d-c-3)(c+d)=1x14=14
方程左边等于右边，故a=3，b=4，c=5，d=9也是方程的一组解，故③错误
由③可知：当b=a+3，d=c+3时
∵a+b+c+d=2024
∴a+a+3+c+c+3=2024
∴a+c=1009，
∵a，c是正整数，且b=a+3∴当a=1时，c=1008
当a=2时，c=1007
......
当a=502时，c=507
总共有502组解
∵a=3，b=4，c=5，d=9不满足已知条件，故④错误
故答案为：A
【分析】将a，b，c，d值代入方程可得判断①；当a=1，b=3，c=5，d=7时，代入方程可判断②；根据方程化简计算可判断③，④.
6．已知a为整数，且 为正整数，则所有符合条件的a的值的和是(　　)
A．0 B．12 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的值；分式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
=
设(k为正整数)
∴(a-3)2>0且k>0
∴2a-7>0，解得：a>3.5
∵a为整数
∴a≥4
令a-3=x，则x≥1，且x为整数，a=x+3
原式=
当x=1时，，是正整数
此时a-3=1，即a=4
当x≥2时，x2-(2x-1)=x2-2x+1=(x-1)2≥0
∴x2>2x-1
∴，此时k不是正整数
∴唯一符合条件的整数a的值是4
∴所有符合条件的a的值的和是4
故答案为：C
【分析】根据分式的混合运算，结合平方差，完全平方公式化简可得原式=，设(k为正整数)，由题意可得(a-3)2>0且k>0，则2a-7>0，解得：a>3.5，根据a为整数可得a≥4，令a-3=x，则x≥1，且x为整数，a=x+3，则原式=，当x=1时，，是正整数，此时a-3=1，即a=4，当x≥2时，x2-(2x-1)=(x-1)2≥0，则x2>2x-1，则，此时k不是正整数，即唯一符合条件的整数a的值是4，所有符合条件的a的值的和是4.
7．下列多项式中，可以提取公因式的是（　　）
A．ab+cd B．mn+m2 C．x2-y2 D．x2+2xy+y2
【答案】B
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】A．ab+cd，没有公因式，故此选项不符合题意；
B．mn+m2=m（n+m），故此选项符合题意；
C．x2﹣y2，没有公因式，故此选项不符合题意；
D．x2+2xy+y2，没有公因式，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】理解公因式的定义：即多项式各项都含有的相同因式。然后对各选项进行因式提取。
8．如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，第1次操作：取AC的中点O，将O1B绕点O分别逆时针旋转120°和180°得到线段O1C1和O1A1；第2次操作：取A1C1的中点O2，将O2O1绕点O2分别逆时针旋转120°和180°，得到线段O2C2和O2A2；…；按照这样的操作规律，第999次操作后，得到线段O999C999和O99A99，若用点C在点A的正南方向表示初始位置，则点C999在点A999的(　　)
A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】解：将O1B绕点O分别逆时针旋转120°和180°得到线段O1C1和O1A1
则O1C1=O1A，∠C1O1A1=180°-120°=60°
∴△C1O1A1为等边三角形
同理可得△CnOnAn皆为等边三角形
∵O1B绕点O1逆时针旋转120°
∴∠BO1C1=120°
∵△C1O1A1为等边三角形，AC的中点为O2
∴∠C1O1O2=30°
∴∠BO1O2=120°+30°=150°
同理∠O1O2O3=∠O2O3O4=...=∠OnOn+1On+2=150°
∴∠AO1O2=∠AO2O3=...=∠AOnOn+1=180°-150°=30°
∵360°÷30°=12
∴每转到12次后O12nO12n+1与BO1方向重合
∵999÷12=83...3
∴第999次操作后，O999A999在第84个循环中的第3个位置，恰与O3O4方向相同，点C999相对点A999的方向与点C3相对点A3的方向相同
∵30°×3=90°
∴O3O4⊥O1A1
∵△C3O3A3为等边三角形
∴C3A3⊥O3O4
∴此时点C3在点A3的正西方向
∴点C999在点A999的正西方向
故答案为：C
【分析】根据旋转性质可得O1C1=O1A，∠C1O1A1=180°-120°=60°，根据等边三角形判定定理可得△C1O1A1为等边三角形，同理可得△CnOnAn皆为等边三角形，根据旋转性质可得∠BO1C1=120°，根据等边三角形性质可得∠C1O1O2=30°，根据角之间的关系可得∠BO1O2=150°，同理∠O1O2O3=∠O2O3O4=...=∠OnOn+1On+2=150°，根据角之间的关系可得∠AO1O2=∠AO2O3=...=∠AOnOn+1=30°，由题意可得每转到12次后O12nO12n+1与BO1方向重合，则第999次操作后，O999A999在第84个循环中的第3个位置，恰与O3O4方向相同，点C999相对点A999的方向与点C3相对点A3的方向相同，再根据等边三角形性质即可求出答案.
9．已知不等式的解集是，则不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：解不等式x+1＜2a，得x＜2a-1．∵不等式x+1＜2a的解集是x＜5，
∴2a-1=5．
∴a=3．
∴3x＞6．
解得x＞2．
故答案是：x＞2．
【分析】先解不等式得到x＜2a-1，在根据不等式的解集列出方程，从而即可求解。
10．分解因式： 　 　。
【答案】(x-a+4)(x-a-4)
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：
故答案为：(x-a+4)(x-a-4)
【分析】根据完全平方公式，平方差公式进行因式分解即可求出答案.
11．如图，在正方形ABCD中，点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，连接BD交AE于点G，FH平分∠BFG交BD于点H。则下列结论中：
①AF=DE；
④当AB=a时，，正确的序号是　 　。
【答案】②③④
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=90°
∴∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°，∠DAE+∠AED=90°
∴∠BAF=∠AED
∵BF⊥AE
∴∠AFB=90°=∠ADE
∴△ABF∽△EAD
∴
∵E是DC的中点
∴
∴
∴，即，①错误
∵，AD=AB
∴AB2=BFAE，②正确
∵AB∥CD
∴△ABG∽△EDG
∴
∴AG=2EG
∴
∴
∵△ABF，△BFG是分别以AF，FG为底，高相同的三角形
∴，③正确
过点H作HM⊥BF于点M，HN⊥AG于点N
∵FH平分∠BFG
∴HM=HN
∵
∴
∵的底分别为BH，HG，高相等
∴
在△ABD中，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴，④正确
【分析】根据正方形性质可得AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=90°，根据角之间的关系可得∠BAF=∠AED，再根据相似三角形判定定理可得△ABF∽△EAD，则，根据线段中点可得，根据勾股定理可得AE，根据边之间的关系可判断①，②，根据相似三角形判定定理可得△ABG∽△EDG，则，根据边之间的关系可得FG，再根据三角形面积可判断③；过点H作HM⊥BF于点M，HN⊥AG于点N，根据角平分线性质可得HM=HN，再根据三角形面积可得，再根据边之间关系，结合勾股定理可判断④.
12．如图1，在△ABC中，BC=ncm，∠BAC=45°。动点P从点A出发，沿边AC以1cm/s的速度向终点C匀速运动.当点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B始终在边AC同侧.设点P的运动时间为t(单位：S)，正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为S(单位：cm2)、S与t的关系如图2所示。m=　 　。
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：过点B作BF⊥AC于点F
∵∠BAC=45°
∴△ABF是等腰直角三角形
∴BF=AF
在Rt△ABF中，AB2=AF2+BF2，即
解得：AF=3
∴BF=3
∴当t=3时，点P和点F重合，点D和点B重合，
此时，即m=
故答案为：
【分析】过点B作BF⊥AC于点F，根据等腰直角三角形判定定理可得△ABF是等腰直角三角形，则BF=AF，根据勾股定理建立方程，解方程可得AF，则BF=3，当t=3时，点P和点F重合，点D和点B重合，再根据三角形面积即可求出答案.
13．如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，M为BC的中点，将边AB绕点A逆时针旋转，点B落在B'处，连接MB'，BB'，若∠BB'M=90°，MB'=5，则BC=　 　。
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点A作AQ⊥BB'于点Q，∠BB'M=90°
∴∠AQB=∠BB'M=90°
∴∠B'BM+∠BMB'=90°
由旋转可得，AB=AB'，BQ=B'Q
∵BC=2AB，M为BC的中点
∴AB=BM=MC
∵四边形ABCD为矩形
∴∠ABQ+∠B'BM=90°
∴∠ABQ=∠BMB'
∴△ABQ≌△BMB'(AAS)
∵MB'=5
∴BQ=B'M=5=B'Q，即BB'=10
∴
∴
故答案为：
【分析】过点A作AQ⊥BB'于点Q，∠BB'M=90°，根据角之间的关系可得∠B'BM+∠BMB'=90°，根据旋转性质可得AB=AB'，BQ=B'Q，根据线段中点可得AB=BM=MC。再根据矩形性质可得∠ABQ+∠B'BM=90°，则∠ABQ=∠BMB'，根据全等三角形判定定理可得△ABQ≌△BMB'(AAS)，则BQ=B'M=5=B'Q，即BB'=10，再根据勾股定理即可求出答案.
14．请阅读求绝对值不等式|x|<3和|x|>3的解的过程。
对于绝对值不等式|x|<3，从图①的数轴上看：大于-3而小于3的数的绝对值小于3，所以|x|<3的解为-3对于绝对值不等式|x|>3，从图②的数轴上看：小于-3或大于3的数的绝对值大于3，所以|x|>3的解为x<-3或x>3。
（1）求绝对值不等式|x-3|>2的解；
（2）已知绝对值不等式|2x-1|（3）已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足|x+y|≤2，其中m是负整数，求m的值。
【答案】（1）解：根据绝对值的定义得 x-3>2或 x-3<-2，
解得 x>5或 x<1
（2）解：因为|2x-1|所以-a<2x-1解得
因为解集为 b所以
解得
则 a-2b=5+4=9
（3）解：两个方程相加，得3x+3y=-3m-3，
所以 x+y=-m-1，
因为|x+y|≤2，
所以-2≤x+y≤2，
所以-2≤-m-1≤2，
解得-3≤m≤1
又m是负整数，
所以m=-3 或m=-2或m=-1
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数；解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据题意，去绝对值，再解不等式即可求出答案.
（2）去绝对值，解不等式可得，再根据题意建立方程组，解方程组可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
（3）两个方程相加，得3x+3y=-3m-3，则x+y=-m-1，去绝对值可得-2≤-m-1≤2，再解方程即可求出答案.
15．定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，则称这个分式为“优美分式”
如； 则 都是“优美分式”。
（1）请你判断下列式子是否为“优美分式”？(在题后相应的括号中，是“优美分式”打“√”，不是“优美分式”打“×”)；
(　　)
(　　)
(　　)
(　　)
（2）若“优美分式”
，其中A为整式，B为常数。
①求整式A；
②若A=B，求 的值。
（3）若“优美分式”与(其中 a，b为常数)，当两者拆分后的分式分子为相等常数时，求的取值范围。
【答案】（1）√；×；√；√
（2）解：①由题意，
且“优美分式” 其中 A为整式，B为常数，
∴整式.
②∵A=B，
∴结合①可得，B=5， 则
=25-15+9
=19
（3）解：∵“优美分式” 与 (其中 a， b为常数) ，当两者拆分后的分式分子为相等常数，
∴可设 (n≠0)，
∵n≠0
且
【知识点】分式的约分；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）①，是优美分式
②是整式，不是优美分式
③，是优美分式
④，是优美分式
故答案为：√；×；√；√
【分析】（1）根据优美分式的定义，结合分式的约分逐项进行判断即可求出答案.
（2）①根据分式的性质化简等号左边，再根据优美分式的定义即可求出答案.
②由①可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）根据分式的性质化简，由题意可得，则，化简代数式，再整体代入计算即可求出答案.
16．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程。以下是我们研究函数 图象、性质与应用的部分过程，请按要求完成以下各小题。
（1）请把下表补充完成，并根据表中数据在平面直角坐标系中描点，连线，画出该函数图象.
x … -4 -3.5 -3 -2.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 3 3.5 4 …
y ·· -1 1 0 - -1 1 　
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数及其性质的说法是否正确，正确的请在答题卡上对应的括号内打“√”，错误的请在答题卡上对应的括号内打“×”。
①该函数的自变量的取值范围是 x≠±2；(　　)
②该函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；(　　)
③在自变量的取值范围内，y随 x的增大而减小；(　　)
（3）已知函数 的图像如图所示，结合函数图象，请直接写出方程的解；(结果保留1位小数，误差不超过0.2)
【答案】（1）解：如图

（2）√；√；×
（3）x=0.2、x=-2.2，x=2.7
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（3）解：∵当x=0.2时， 当x=0.3时，
的一个解为x=0.2；
同理可得 的另外两个解为x=-2.2，x=2.7；
综上， 的解为x=0.2、x=-2.2，x=2.7
【分析】（1）根据描点法作出函数图象即可.
（2）根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
（3）根据函数图象信息进行判断即可求出答案.
17．已知m、n都是实数，且 求m+n的值。
【答案】解：
可得1m+n-1=0或(
当m+n-1=0时， m+n=1；
当 时，m-n=0，m+1=0，n+1=0，
∴m=n=-1， m+n=-2，
综上，m+n的值为1或-2
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】移项，对等号左边进行因式分解，结合有理数的乘法即可求出答案.
18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D为边AC的中点。点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CB向终点B运动。以CP为边作正方形CPMN，点N在射线CA上。设点P的运动时间为t秒(t>0)。
（1）用含t的代数式表示线段DN的长；
（2）连接CM，则∠MCA=　 　度；当点D与点M的距离最短时，线段DN的长为　 　；
（3）连接PD，当PD将正方形CPMN的面积分为3：5两部分时，求t的值；
（4）作点C关于直线DM的对称点C'，当点C'、点M到△ABC的某一条直角边所在直线距离相等时，直接写出t的值。
【答案】（1）解： ∵AC=6， 点D为边AC的中点.
∴AD=CD=3，
由题可得： 当0（2）45；
（3）解： ①如图： 当0即
∵PM∥ND，
∴∠PMO=∠OND，∠MPO=∠NDO
∴△PMO∽△DNO
即
解得：
②如图： 当3解得： t=4.
综上可知， 或t=4
（4）解：①如图：当0∵正方形PCMN，
∴△CNM是等腰直角三角形，即∠MCN=45°，
∵作点C关于直线DM的对称点C'，
∴△CMD≌△C'MD，
∴∠C'=45°，CD=DC'，
解得：
②如图： 当0∵作点C关于直线DM 的对称点C'，
∴△CMD≌△C' MD，
∴MC=MC'、∠C'=45°，
∵正方形PCMN，
∴△CNM是等腰直角三角形， 即∠PMC=45°，
∴∠PMC=∠C'=45°，
即
∵CD∥PC"，
∴四边形 MCDC'是平行四边形，
解得：
③当3∵正方形PCNM，
∴△CNM是等腰直角三角形， 即∠MCN=45°，
∵作点C关于直线DM的对称点C'，
∴△CMD≌△CMN，
∴DC'=CD=3，
解得：
综上，当点C'、点M 到△ABC的某一条直角边所在直线距离相等时，t的值为 或 或
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：（2）连接MC，MD
∵四边形CPMN为正方形
∴
当0∴
当，即时，MD有最小值
当3在Rt△MND中，DN=t-3，MN=T
∴
当，即时，即点N和点D重合时，MD有最小值
综上所述，当点D与点M的距离最短时，线段DN的长为
故答案为：45；
【分析】（1）根据线段中点可得AD=CD=3，再根据题意分类讨论，结合边之间的关系即可求出答案.
（2）连接MC，MD，根据正方形性质可得，当0（3）分情况讨论：① 当0（4）分情况讨论：①当019．已知，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，OA=a，点B(b，b)，且a、b满足。
（1）则a=　 　；b=　 　；
（2）如图1，在x轴上是否存在点C，使三角形ABC的面积等于三角形ABO面积的一半？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，将线段AB向左平移m个单位(m>0)，得到线段A'B'，其中点 A，点B的对应点分别为点A'，点B'。若点N(-1，n)在射线A'B'上，连接ON，BN得到三角形BON，若三角形BON的面积大于三角形ABO面积的并且小于三角形ABO面积，则m的取值范围是　 　。
【答案】（1）6；2
（2）解：由（1）得A(0，6)，B(2，2)，
∴
设C(c，0)，
如图，当C点在左侧时，
即6-2c=3，
解得
当C在右侧C'的位置时，
即2c-6=3，
解得
综上所述， 当 C ( ， 0) 或 ( ， 0) 时， 三角形 ABC的面积等于三角形 ABO面积的一半；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
解得：
故答案为：6；2
（3）∵B(2，2)
∴直线OB的表达式为y=x
设直线AB的表达式为y=kx+t
∴，解得：
∴直线AB的表达式为y=-2x+6
由平移性质可得可得直线A'B'的表达式为y=-2(x+m)+6=-2x+6-2m
∵N(-1，n)在射线A'B'上
∴N(-1，8-2m)
过点N作MN∥y轴交直线OB于点M，则M(-1，-1)
∴MN=|8-2m-(-1)|=|9-2m|
∴
∵三角形BON的面积大于三角形ABO面积的并且小于三角形ABO面积
∴3<|9-2m|<6
解得：或
故答案为：或
【分析】（1）根据二次根式，偶次方的非负性建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）根据三角形面积可得，设C(c，0)，分情况讨论：当C点在左侧时，当C在右侧C'的位置时，根据割补法，结合三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（3）由题意可得直线OB的表达式为y=x，设直线AB的表达式为y=kx+t，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得直线AB的表达式为y=-2x+6，由平移性质可得可得直线A'B'的表达式为y=-2x+6-2m，将点N坐标代入解析式可得N(-1，8-2m)，过点N作MN∥y轴交直线OB于点M，则M(-1，-1)，根据两点间距离可得MN，再根据三角形面积建立不等式，解不等式即可求出答案.
20．等腰直角三角形是我们学习几何的基本图形，在学完平移，旋转，轴对称三种几何变换后，数学活动课上老师想利用图1中的等腰直角三角形为背景展开有关图形的平移，旋转，轴对称的探究活动.如图1，已知△ABC和△ADE是共顶点的两个等腰直角三角形，AB=AC=2，∠BAC=∠DAE=90°。老师首先给了如下一道题，请你完成⑴的详细解题过程。
（1）如图2，在图1的条件基础上，分别连接BD，CE，将△ABC绕点A旋转至点B在线段CE上时。
①求证：BD=CE；
②求线段CE的长
（2）数学活动小组的同学解答完对上述问题后，又对这个图形进行了观察和测量，并发现了新的问题，该活动小组小聪，小明，小慧三名同学分别提出下面的问题，请你在小聪，小明，小慧三名同学所提出的问题中选择一道题进行解答，并直接写出答案。
①小聪提出的问题：如图3，在图1的条件基础上，分别连接BE，CD。点F是线段CD的中点，连接AF，将△ABC绕点A在平面内自由旋转，则AF的最大值是　 　。
②小明提出的问题：如图4，在图1的条件基础上，将△ABC绕点A旋转至AB∥DE，且点C在线段AB上方时，△ABC位置不变。连接BD，BE，将△BED沿射线ED方向平移，得到△MPN，连接CM，CN，则CM+CN的最小值是　 　。
③小慧提出的问题：如图5，在图1的条件基础上，将△ABC绕点A在平面内自由旋转，当以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，CE=　 　。
【答案】（1）解： ①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
即∠CAE=∠BAD，
又∵AB=AC=2，
∴△CAE≌△BAD，
∴BD=CE；
②如图，过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB=AC=2， ∠BAC=∠DAE=90°，
（2）；；2或
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平移的性质；旋转的性质；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：（2）①取AD中点G，连接FG
∵点F是线段CD的中点，AB=AC=2
∴
∵△ADE固定，△ABC绕点A在平面内自由旋转
∴点G固定，点F在运动
∴点F的运动轨迹为以G为圆心，FG=1为半径的圆上运动，由圆外一顶点到圆上一点的最大距离可知
当A，G，F依次共线时AF最大，此时点F为如图F'，AF最大值为AF'
∵G为AD中点，
∴，即AF最大值为
故答案为：
②∵AB∥DE，△ABC和△ADE是共顶点的两个等腰直角三角形
∴∠BAE=∠AED=∠ABC=45°
∴BC∥AE，
∴四边形BEAC是平行四边形
∴BE∥AC
∴∠ABE=∠BAC=90°
∴∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE=45°
∴AB=BE=2，∠BED=∠AEB+∠AED=90°
将△BED沿射线ED方向平移，得到△MPN
∴MF=BE=2，∠MFN=∠BED=90°，
由C为定点，MN沿ED方向平移，作直线l∥ED，作点M关于直线l的对称点M'，连接M'C，M'N
∴MC+NC=M'C+NC≥M'N
当M'，C，N依次贡献时，M'C+NC的最小值为M'N，此时设直线l交M'M于点K，由对称性可得KM=KM'，∠CKM=90°
∵l∥ED，AB∥ED
∴l∥AB
∴∠AMK=180°-∠CKM=90°
∵∠BAC=90°
∴四边形ACKM是长方形，KM=KM'=AC=2
∵∠MPN=90°，AB∥DE
∴∠AMP=90°
∴∠AMP+∠AMK=180°
∴点K，M，P共线
∴M'P=M'K+MK+MP=6
∴
即CM+CN的最小值是
故答案为：
③，当AD和BC为边时，只需BC∥AD，则以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形
当BC在AD左侧时，四边形ACBD是平行四边形，如图
∴AC∥BD
∴∠ABD=∠BAC=90°，BD=AC=AB=2
∴△ABD是等腰直角三角形
∴∠ADB=45°
∵∠ADE=45°
∴点B在DE上，，
∴AB=BE=BD=2=AC
∵AC∥BD
∴四边形ABEC是平行四边形
∴CE=AB=2
当BC在AD右侧时，四边形ABCD是平行四边形
∴CD=AB=2，∠ADC=∠B=45°
∴∠EDC=∠ADE+∠ADC=90°
∴
当AD和BC为对角线时，四边形ACDB是平行四边形
∴AB=CD，AC=BD，AB∥CD
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴AC=CD，∠ACD=90°
∴∠ADC=45°
∵ADE=45°
∴点C在DE上
∴CE=AC=CD=2
综上所述，CE=2或
故答案为：2或
【分析】（1）①根据角之间的关系可得∠CAE=∠BAD，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
②过点A作AM⊥BC于点M，根据勾股定理可得BC，再根据边之间的关系可得AM，再根据勾股定理及边之间的关系即可求出答案.
（2）①取AD中点G，连接FG，根据线段中点可得，由旋转可得点G固定，点F在运动，则点F的运动轨迹为以G为圆心，FG=1为半径的圆上运动，由圆外一顶点到圆上一点的最大距离可知当A，G，F依次共线时AF最大，此时点F为如图F'，AF最大值为AF'，再根据边之间的关系即可求出答案.
②根据等腰直角三角形性质可得∠BAE=∠AED=∠ABC=45°，根据平行四边形判定定理可得四边形BEAC是平行四边形，则BE∥AC，根据三角形内角和定理可得∠AEB，MF=BE=2，∠MFN=∠BED=90°，根据平移性质可得，当M'，C，N依次贡献时，M'C+NC的最小值为M'N，此时设直线l交M'M于点K，由对称性可得KM=KM'，∠CKM=90°，根据直线平行性质可得∠AMK=180°-∠CKM=90°，根据长方形判定定理即可得四边形ACKM是长方形，KM=KM'=AC=2，根据角之间的关系可得∠AMP+∠AMK=180°，则点K，M，P共线，根据边之间的关系可得M'P，再根据勾股定理即可求出答案.
③，当AD和BC为边时，只需BC∥AD，则以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：当BC在AD左侧时，四边形ACBD是平行四边形，根据平行四边形性质可得AC∥BD，则∠ABD=∠BAC=90°，BD=AC=AB=2，根据等腰直角三角形判定定理可得△ABD是等腰直角三角形，则∠ADB=45°，点B在DE上，，，再根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案；当BC在AD右侧时，四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形性质可得CD=AB=2，∠ADC=∠B=45°，根据角之间的关系可得∠EDC，再根据勾股定理即可求出答案；当AD和BC为对角线时，四边形ACDB是平行四边形，根据平行四边形性质可得AB=CD，AC=BD，AB∥CD，根据等腰直角三角形性质可得∠ADC=45°，则点C在DE上，再根据边之间的关系即可求出答案.
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