资源简介

2025年四川省达州市中考真题数学试题
1． 如果收入100元记作元，那么支出40元应记作（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：支出40元记作-40元.
故答案为：C.
【分析】 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.
2．下图是大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形的主视图是：
故答案为：B.
【分析】主视图就是从几何体的正面看得到的平面图形，该小正方体组合的主视图，由两行两列，各列从左至右小正方形的个数依次为1，2；各行小正方形个数从上至下依次为1，2，据此逐一判断得出答案.
3． “悟空”号全海深是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器，具备在米深海自主作业的能力，数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 11000=1.1×104.
故答案为：B.
【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
4．如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，根据题意可得，
∴，
∵，
∴；
故答案为：A．
【分析】由二直线平行，内错角相等得出∠1=∠AFO，∠2=∠BFO，然后根据角的构成及整体代入计算可得答案.
5．下列各式运算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】 解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及合并同类项的相关计算法则，根据对应运算法则，分别算出每个选项的结果，就可以选出正确选项。
6． 小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：），关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．众数是5 B．中位数是6 C．平均数是6 D．极差是3
【答案】A
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；极差
【解析】【解答】解： 将数据按照从小到大排列为：3，4，5，5，6，7，
众数是5，中位数是：，平均数是：=5，极差是：7-3=4.
故答案为：A.
【分析】 根据众数、中位数、平均数及极差的定义，结合数据进行分析即可.
7．《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每头牛值x金，每只羊值y金，
可列方程组为：；
故答案为：D.
【分析】设每头牛值x金，每只羊值y金，根据单价乘以数量等于总价及“牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金”列出方程组即可.
8． 下列说法正确的是（　　）
A．两点之间线段最短
B．平行四边形是轴对称图形
C．若有意义，则x的取值范围是全体实数
D．三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；两点之间线段最短；轴对称图形；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解： A、两点之间线段最短，故A符合题意；
B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；
C、若二次根式有意义，则x-1≥0，即x≥1；
D、三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分.
故答案为：A.
【分析】根据概念的定义、性质进行逐一判断.
9．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（　　）
A．21 B．14 C．13 D．9
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∴的周长，
故选：C．
【分析】
依据线段垂直平分线的性质可知，利用这个等量关系，结合三角形的周长公式计算得到最终结果.
10．如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于点，点，当时，
∴抛物线的对称轴是直线，，，
故结论③④正确；
∴，即，，
故结论②正确；
∴，
故结论①正确；
综上，说法正确的有4个；
故选：D.
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
11．因式分解：m2+2m= 　 　
【答案】m（m+ 2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：提取公因式m得 m（m+ 2），
故答案为： m（m+ 2）.
【分析】运用提公因式因式分解即可求解.
12． 已知关于的方程的一个根是，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：把x=1代入，
得m=2.
故答案为：2.
【分析】将x=1代入计算即可.
13．如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是　 　．
【答案】4π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长=圆锥底面圆的周长；
故答案为：4π．
【分析】由圆锥侧面展开扇形的弧长=圆锥底面圆的周长计算即可．
14． 化简：　 　．
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】原式=.
故填：
【分析】对分母当中的y-x进行提取负号，从而化成同分母加减.

15．定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：过点作轴，
∵为斜边为1的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的，
∴，
同理：，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即：；
故答案为：．
【分析】本题是坐标旋转类的规律探究问题，先过点作轴，结合直角三角形斜边上中线的性质，可得，因此可以确定初始点。
接下来按照题目的旋转规则，依次计算得到每次变换后点的坐标：
，
，
，
整理上述坐标后，可以总结出规律：
，
，
，
由此可以推出，当下标为奇数时，点坐标的通式为。
最后对应题目要求的下标，由于，将其代入通式即可求得点的坐标。
16．（1）计算：；
（2）解不等式：并把解集表示在数轴上．
【答案】解：（1）解：
；
（2），
，
，
，
，
解得：，
∴原不等式的解为：，
数轴表示为：

【知识点】零指数幂；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据0指数幂法则“a0=1(a≠0)”、有理数乘法法则及绝对值性质分别计算后再计算有理数加减法运算即可得出答案；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤求出解集，再根据数轴上表示不等式解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式的解集在数轴上表示出来即可.
17．项目调研
项目主题 阳光学校学生研学需求情况调查
调查人员 数学兴趣小组
调查方法 抽样调查
调研内容 阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学，5个研学基地分别为：A．张爱萍故居；B．王维舟纪念馆；C．万源保卫战纪念馆；D．广子村农业示范园；E．开江白宝塔． 数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地）
统计数据
请阅读上述材料，解决下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整，意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是　 　；
（2）若该校共有2000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数；
（3）甲同学从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率．
【答案】（1）90°
（2）解：（人）
答：估计全校参加A研学基地的学生人数为人；
（3）解：列表如下：
甲
乙
共有种等可能结果，其中两位同学选择相同研学基地的结果数有种，
∴两位同学选择相同研学基地的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：总人数为（人）参加研学基地人数为（人）
∴参加研学基地人数为：（人）
补全统计图如图，
意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是
故答案为：．
【分析】（1）首先用E类别的人数除以它在扇形统计图中所占的百分比，可得本次调查一共抽取的总人数；接下来用D类别的占比乘以总人数，就能算出D类别的人数，再用总人数减去A、B、C、D、E以外所有类别的人数，就能得到A类别的人数，得到两个类别的人数后就可以补全条形统计图；最后计算B研学基地对应扇形的圆心角，只需要用B类别的占比乘以就能得到结果。
（2）利用样本估计总体的思想求解即可：用总人数2000乘以样本中选择A研学基地的人数占样本总人数的比例，就能估算出该校报名意向选择A基地的总人数。
（3）用列表法求解概率即可：先列表写出从四个基地中随机选两个的所有等可能情况，再找出满足条件的情况数，最后结合概率公式计算即可得到所求概率。
（1）解：总人数为（人）
参加研学基地人数为（人）
∴参加研学基地人数为：（人）
补全统计图如图，
意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是
故答案为：．
（2）解：（人）
答：估计全校参加A研学基地的学生人数为人；
（3）列表如下：
甲 乙
共有种等可能结果，其中两位同学选择相同研学基地的结果数有种，
∴两位同学选择相同研学基地的概率为．
18．开启作角平分线的智慧之窗
问题：作的平分线
作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线；
讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______；
对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________；
对丙同学的作法陷入了沉思．
任务：
（1）请你将上述讨论得出的依据补充完整；
（2）完成对丙同学作法的验证．
已知，求证：平分．
【答案】（1）解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是；
对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等
证明如下：根据作图可得，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴平分；
故答案为：；全等三角形的对应角相等．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据作角平分线的方法可得OA=BO，AP=BP，OP=OP，从而利用“SSS”可证△AOP≌△BOP，由全等三角形的对应角相等得出∠AOP=∠BOP，从而对甲同学和工人师傅的作法依据得出结论；对于乙同学作法，由作法得OA=OB，∠APO=∠BPO=90°，从而结合公共边OP=OP，利用“HL”判断出Rt△AOP≌Rt△BOP，由全等三角形的对应角相等得出∠AOP=∠BOP，从而对乙同学的作法依据得出结论；
（2）根据作法知∠AED=∠AOB，由同位角相等，两直线平行得出ED∥OB，进而根据二直线平行，内错角相等得出∠EPO=∠BOP，由作法知OE=EP，由等边对等角得∠AOP=∠OPE，等量代换可得∠AOP=∠BOP，即可得证．
（1）解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是
对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等
证明如下：根据作图可得，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴平分；
故答案为：；全等三角形的对应角相等．
（2）略
19．如图，直线与双曲线交于点，点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）点P在x轴上，，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵双曲线经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
将点B(-4，a)代入反比例函数解析式得，
∴点B(-4，-1)，
∵直线经过点，点，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：∵点P在x轴上，，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入双曲线可算出m的值，从而得到双曲线的解析式，然后再将点将点B(-4，a)代入所求反比例函数解析式可求出a=-1，从而得到点B的坐标，进而将点A、B得坐标分别代入y=kx+b可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解即可得出k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）根据建立方程求解得出OP的长，进而结合x轴上点的坐标特点即可得到点P的坐标.
（1）解：∵双曲线经过点，，
∴，
∴，
∴，反比例函数解析式为：，
∵直线经过点，点，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：∵点P在x轴上，，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为或．
20．为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的处，工作人员所乘小船在处测得无人机的仰角为，当工作人员沿正前方向划行米到达处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值）
【答案】解：如图，过点作于点，
依题意
设，
在中，
∴，
∵
∴，
在中，
∴
解得：
答：无人机离湖面的高度为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点作于点，依题意，设，解直角三角形可得BD，根据边之间的关系可得AD，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案.
21．归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙：
（1）尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质
①____________________________________________________________________________；
②____________________________________________________________________________；
③____________________________________________________________________________．
（2）实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，，点D是的中点，，，试帮他判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）①
②
③
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，点D是的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；直角三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；归纳与类比
【解析】【解答】解：（1）直角三角形的3条性质：
①；
②；
③；
故答案为：①；②；③；
【分析】（1）开放性命题，答案不唯一，直角三角形的性质，如勾股定理，直角三角形两锐角互余，斜边大于直角边等；
（2）四边形ADBE是菱形，理由如下：先由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ADBE为平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论.
（1）略
（2）略
22．为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
（2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
（3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据题意可得：，
整理可得：，
解得：，
由于要让利于游客，舍去，
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.
（3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则
，
∵，
∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元，
答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】这道题是一元二次方程和二次函数在实际销售问题中的应用，解题的核心是正确理解题意，根据题目中的数量关系正确列出方程和函数表达式。
（1）降价之后，原本每天可以卖出60件，销量会随着售价降低而增加，因此只需要用原本的日均销量，加上降价后增加的销量，就可以得到降价后的日均销售量；
（2）设这款巴小虎吉祥物降价$x$元，根据“销售总利润等于每件商品的利润乘以销售量”的关系，就可以列出关于$x$的一元二次方程，解出方程就能得到对应的结果；
（3）设这款巴小虎吉祥物降价$x$元，同样根据“销售总利润等于每件商品的利润乘以销售量”的关系，列出总利润关于$x$的二次函数解析式，再结合二次函数的图象性质，就可以求出最大利润，以及获得最大利润时对应的降价金额。
（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件；
故答案为：；
（2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
根据题意可得：，
整理可得：，
解得：，
由于要让利于游客，舍去，
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.
（3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
则
，
∵，
∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元，
答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元．
23．如图，在中，是弦，是的切线，，点，，分别是线段，，上的动点，连接，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，试求与半径的数量关系．
【答案】（1）解：是的切线，
理由如下：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，连接，过点作于点，则，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴在中，，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；切线的性质；切线的判定；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OA、OB，由等边对等角得，，由圆的切线垂直经过切点的半径可得，进而根据角的构成及等式性质可推出，从而即可根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABP是等边三角形，由等边三角形性质得AB=PA=PB，∠PAB=∠PBA=60°，由平角定义、三角形内角和定理可推出∠ADC=∠BCE，从而根据有两组角相等的两个三角形相似得出△ADC∽△BCE，由相似三角形对应边成比例求出，进而得出；过点作于点，由垂径定理得，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出，即可得证．
（1）略
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，连接，过点作于点，则，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴在中，，，
∴，
∴，
∴．
24．如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F．
①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值；
②连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积．
【答案】（1）解：把B的坐标，C的坐标代入抛物线的解析式，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）解：①令，
解得：，
∴，
∵B，C，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴当时，是等腰直角三角形，且，
∴，
∴的外接圆直径是，
则其外接圆的半径，
∵，
∴，即，
解得：，
∴；
②∵，
∴抛物线的对称轴是直线，顶点M的坐标是，
∴直线与x轴的交点T的坐标是，
作轴于点P，则在直角三角形中，，
∴，
∴当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合，
当点F在的内角的平分线上即时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴E、T重合，
∵B，C，
∴直线的解析式是，
当时，，
∴点P的坐标是，
∴，
∴；
当点F在的内角的平分线上时，如图，作于点K，
则，
设，则，
∵，且，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
由于，
∴点F不可能在的内角的平分线上；
当点重合于点O时，此时平分即点F在的平分线上，符合题意，则，
∴；
综上：的面积为2或3或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；等腰直角三角形；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将点B、C的坐标分别代入y=-x2+bx+c可得关于字母b、c的二元一次方程组，求解即可得出b、c的值，从而即可得到抛物线的解析式；
（2）①根据x轴上点的坐标特点，令（1）所求抛物线解析式中y=0算出对应自变量x的值，可求出点A的坐标，进而可判断△OBC是等腰直角三角形，由二直线平行，同位角相等推出∠FEA=∠CBO=45°，则△AEF是等腰直角三角形，然后可求出△AEF的外接圆直径是AE=2，可得其外接圆的半径R=1，再利用等积法求出r，即可求解；
②先将（1）所求抛物线解析式配成顶点式，求得抛物线的顶点M的坐标和对称轴与x轴的交点T的坐标，作轴于点P，由∠PBQ的正弦函数求得，继而可得，于是可得当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合，然后分点F在不同内角平分线上共三种情况，外加当点重合于点O时，此时点F在的平分线上这种特殊情况，讨论求解即可．
（1）解：把B的坐标，C的坐标代入抛物线的解析式。
得，解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）解：①令，
解得：，
∴，
∵B，C，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴当时，是等腰直角三角形，且，
∴，
∴的外接圆直径是，
则其外接圆的半径，
∵，
∴，即，
解得：，
∴；
②∵，
∴抛物线的对称轴是直线，顶点M的坐标是，
∴直线与x轴的交点T的坐标是，
作轴于点P，则在直角三角形中，，
∴，
∴当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合，
当点F在的内角的平分线上即时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴E、T重合，
∵B，C，
∴直线的解析式是，
当时，，
∴点P的坐标是，
∴，
∴；
当点F在的内角的平分线上时，如图，作于点K，
则，
设，则，
∵，且，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
由于，
∴点F不可能在的内角的平分线上；
当点重合于点O时，此时平分即点F在的平分线上，符合题意，则，
∴；
综上：的面积为2或3或．
25．综合与实践
问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．
探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________．
实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值．
拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值．
【答案】探究发现：，；
实践应用：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，则，
∴，
在中，．
∵将线段绕点逆时针旋转得，
∴
∴是等边三角形，
∴，则，
∴由探究发现可得：．
拓展延伸：如图，延长交于点，过点作于点，连接，
设，
∵是半圆的直径，
∴，
∵，
在中，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴由探究发现可得：，
∵，
∴，
∵，
∴
．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：探究发现：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：，，；．
【分析】探究发现：由题意可得，结合三角形面积即可求出答案.
实践应用：过点分别作的垂线，垂足分别为，根据等边三角形判定定理可得，则，，根据勾股定理可得CM，根据边之间的关系可得BG，MG，再根据勾股定理可得CG，根据旋转性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
拓展延伸：延长交于点，过点作于点，连接，设，根据圆周角定理的推论可得，根据勾股定理建立方程，解方程可得x=4，再根据等弧所对的圆周角相等可得，则，根据勾股定理可得BC，则，再根据三角形面积即可求出答案.
1 / 12025年四川省达州市中考真题数学试题
1． 如果收入100元记作元，那么支出40元应记作（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．下图是大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
3． “悟空”号全海深是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器，具备在米深海自主作业的能力，数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．下列各式运算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
6． 小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：），关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．众数是5 B．中位数是6 C．平均数是6 D．极差是3
7．《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8． 下列说法正确的是（　　）
A．两点之间线段最短
B．平行四边形是轴对称图形
C．若有意义，则x的取值范围是全体实数
D．三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分
9．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（　　）
A．21 B．14 C．13 D．9
10．如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．因式分解：m2+2m= 　 　
12． 已知关于的方程的一个根是，则的值为　 　．
13．如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是　 　．
14． 化简：　 　．
15．定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是　 　．
16．（1）计算：；
（2）解不等式：并把解集表示在数轴上．
17．项目调研
项目主题 阳光学校学生研学需求情况调查
调查人员 数学兴趣小组
调查方法 抽样调查
调研内容 阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学，5个研学基地分别为：A．张爱萍故居；B．王维舟纪念馆；C．万源保卫战纪念馆；D．广子村农业示范园；E．开江白宝塔． 数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地）
统计数据
请阅读上述材料，解决下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整，意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是　 　；
（2）若该校共有2000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数；
（3）甲同学从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率．
18．开启作角平分线的智慧之窗
问题：作的平分线
作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线；
讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______；
对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________；
对丙同学的作法陷入了沉思．
任务：
（1）请你将上述讨论得出的依据补充完整；
（2）完成对丙同学作法的验证．
已知，求证：平分．
19．如图，直线与双曲线交于点，点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）点P在x轴上，，求点P的坐标．
20．为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的处，工作人员所乘小船在处测得无人机的仰角为，当工作人员沿正前方向划行米到达处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值）
21．归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙：
（1）尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质
①____________________________________________________________________________；
②____________________________________________________________________________；
③____________________________________________________________________________．
（2）实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，，点D是的中点，，，试帮他判断四边形的形状，并证明你的结论．
22．为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
（2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
（3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
23．如图，在中，是弦，是的切线，，点，，分别是线段，，上的动点，连接，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，试求与半径的数量关系．
24．如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F．
①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值；
②连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积．
25．综合与实践
问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．
探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________．
实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值．
拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：支出40元记作-40元.
故答案为：C.
【分析】 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形的主视图是：
故答案为：B.
【分析】主视图就是从几何体的正面看得到的平面图形，该小正方体组合的主视图，由两行两列，各列从左至右小正方形的个数依次为1，2；各行小正方形个数从上至下依次为1，2，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 11000=1.1×104.
故答案为：B.
【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
4．【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，根据题意可得，
∴，
∵，
∴；
故答案为：A．
【分析】由二直线平行，内错角相等得出∠1=∠AFO，∠2=∠BFO，然后根据角的构成及整体代入计算可得答案.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】 解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及合并同类项的相关计算法则，根据对应运算法则，分别算出每个选项的结果，就可以选出正确选项。
6．【答案】A
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；极差
【解析】【解答】解： 将数据按照从小到大排列为：3，4，5，5，6，7，
众数是5，中位数是：，平均数是：=5，极差是：7-3=4.
故答案为：A.
【分析】 根据众数、中位数、平均数及极差的定义，结合数据进行分析即可.
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每头牛值x金，每只羊值y金，
可列方程组为：；
故答案为：D.
【分析】设每头牛值x金，每只羊值y金，根据单价乘以数量等于总价及“牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金”列出方程组即可.
8．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；两点之间线段最短；轴对称图形；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解： A、两点之间线段最短，故A符合题意；
B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；
C、若二次根式有意义，则x-1≥0，即x≥1；
D、三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分.
故答案为：A.
【分析】根据概念的定义、性质进行逐一判断.
9．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∴的周长，
故选：C．
【分析】
依据线段垂直平分线的性质可知，利用这个等量关系，结合三角形的周长公式计算得到最终结果.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于点，点，当时，
∴抛物线的对称轴是直线，，，
故结论③④正确；
∴，即，，
故结论②正确；
∴，
故结论①正确；
综上，说法正确的有4个；
故选：D.
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】m（m+ 2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：提取公因式m得 m（m+ 2），
故答案为： m（m+ 2）.
【分析】运用提公因式因式分解即可求解.
12．【答案】2
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：把x=1代入，
得m=2.
故答案为：2.
【分析】将x=1代入计算即可.
13．【答案】4π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长=圆锥底面圆的周长；
故答案为：4π．
【分析】由圆锥侧面展开扇形的弧长=圆锥底面圆的周长计算即可．
14．【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】原式=.
故填：
【分析】对分母当中的y-x进行提取负号，从而化成同分母加减.

15．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：过点作轴，
∵为斜边为1的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的，
∴，
同理：，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即：；
故答案为：．
【分析】本题是坐标旋转类的规律探究问题，先过点作轴，结合直角三角形斜边上中线的性质，可得，因此可以确定初始点。
接下来按照题目的旋转规则，依次计算得到每次变换后点的坐标：
，
，
，
整理上述坐标后，可以总结出规律：
，
，
，
由此可以推出，当下标为奇数时，点坐标的通式为。
最后对应题目要求的下标，由于，将其代入通式即可求得点的坐标。
16．【答案】解：（1）解：
；
（2），
，
，
，
，
解得：，
∴原不等式的解为：，
数轴表示为：

【知识点】零指数幂；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据0指数幂法则“a0=1(a≠0)”、有理数乘法法则及绝对值性质分别计算后再计算有理数加减法运算即可得出答案；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤求出解集，再根据数轴上表示不等式解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式的解集在数轴上表示出来即可.
17．【答案】（1）90°
（2）解：（人）
答：估计全校参加A研学基地的学生人数为人；
（3）解：列表如下：
甲
乙
共有种等可能结果，其中两位同学选择相同研学基地的结果数有种，
∴两位同学选择相同研学基地的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：总人数为（人）参加研学基地人数为（人）
∴参加研学基地人数为：（人）
补全统计图如图，
意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是
故答案为：．
【分析】（1）首先用E类别的人数除以它在扇形统计图中所占的百分比，可得本次调查一共抽取的总人数；接下来用D类别的占比乘以总人数，就能算出D类别的人数，再用总人数减去A、B、C、D、E以外所有类别的人数，就能得到A类别的人数，得到两个类别的人数后就可以补全条形统计图；最后计算B研学基地对应扇形的圆心角，只需要用B类别的占比乘以就能得到结果。
（2）利用样本估计总体的思想求解即可：用总人数2000乘以样本中选择A研学基地的人数占样本总人数的比例，就能估算出该校报名意向选择A基地的总人数。
（3）用列表法求解概率即可：先列表写出从四个基地中随机选两个的所有等可能情况，再找出满足条件的情况数，最后结合概率公式计算即可得到所求概率。
（1）解：总人数为（人）
参加研学基地人数为（人）
∴参加研学基地人数为：（人）
补全统计图如图，
意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是
故答案为：．
（2）解：（人）
答：估计全校参加A研学基地的学生人数为人；
（3）列表如下：
甲 乙
共有种等可能结果，其中两位同学选择相同研学基地的结果数有种，
∴两位同学选择相同研学基地的概率为．
18．【答案】（1）解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是；
对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等
证明如下：根据作图可得，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴平分；
故答案为：；全等三角形的对应角相等．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据作角平分线的方法可得OA=BO，AP=BP，OP=OP，从而利用“SSS”可证△AOP≌△BOP，由全等三角形的对应角相等得出∠AOP=∠BOP，从而对甲同学和工人师傅的作法依据得出结论；对于乙同学作法，由作法得OA=OB，∠APO=∠BPO=90°，从而结合公共边OP=OP，利用“HL”判断出Rt△AOP≌Rt△BOP，由全等三角形的对应角相等得出∠AOP=∠BOP，从而对乙同学的作法依据得出结论；
（2）根据作法知∠AED=∠AOB，由同位角相等，两直线平行得出ED∥OB，进而根据二直线平行，内错角相等得出∠EPO=∠BOP，由作法知OE=EP，由等边对等角得∠AOP=∠OPE，等量代换可得∠AOP=∠BOP，即可得证．
（1）解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是
对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等
证明如下：根据作图可得，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴平分；
故答案为：；全等三角形的对应角相等．
（2）略
19．【答案】（1）解：∵双曲线经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
将点B(-4，a)代入反比例函数解析式得，
∴点B(-4，-1)，
∵直线经过点，点，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：∵点P在x轴上，，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入双曲线可算出m的值，从而得到双曲线的解析式，然后再将点将点B(-4，a)代入所求反比例函数解析式可求出a=-1，从而得到点B的坐标，进而将点A、B得坐标分别代入y=kx+b可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解即可得出k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）根据建立方程求解得出OP的长，进而结合x轴上点的坐标特点即可得到点P的坐标.
（1）解：∵双曲线经过点，，
∴，
∴，
∴，反比例函数解析式为：，
∵直线经过点，点，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：∵点P在x轴上，，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为或．
20．【答案】解：如图，过点作于点，
依题意
设，
在中，
∴，
∵
∴，
在中，
∴
解得：
答：无人机离湖面的高度为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点作于点，依题意，设，解直角三角形可得BD，根据边之间的关系可得AD，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案.
21．【答案】（1）①
②
③
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，点D是的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；直角三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；归纳与类比
【解析】【解答】解：（1）直角三角形的3条性质：
①；
②；
③；
故答案为：①；②；③；
【分析】（1）开放性命题，答案不唯一，直角三角形的性质，如勾股定理，直角三角形两锐角互余，斜边大于直角边等；
（2）四边形ADBE是菱形，理由如下：先由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ADBE为平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论.
（1）略
（2）略
22．【答案】（1）
（2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据题意可得：，
整理可得：，
解得：，
由于要让利于游客，舍去，
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.
（3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则
，
∵，
∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元，
答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】这道题是一元二次方程和二次函数在实际销售问题中的应用，解题的核心是正确理解题意，根据题目中的数量关系正确列出方程和函数表达式。
（1）降价之后，原本每天可以卖出60件，销量会随着售价降低而增加，因此只需要用原本的日均销量，加上降价后增加的销量，就可以得到降价后的日均销售量；
（2）设这款巴小虎吉祥物降价$x$元，根据“销售总利润等于每件商品的利润乘以销售量”的关系，就可以列出关于$x$的一元二次方程，解出方程就能得到对应的结果；
（3）设这款巴小虎吉祥物降价$x$元，同样根据“销售总利润等于每件商品的利润乘以销售量”的关系，列出总利润关于$x$的二次函数解析式，再结合二次函数的图象性质，就可以求出最大利润，以及获得最大利润时对应的降价金额。
（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件；
故答案为：；
（2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
根据题意可得：，
整理可得：，
解得：，
由于要让利于游客，舍去，
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.
（3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
则
，
∵，
∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元，
答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元．
23．【答案】（1）解：是的切线，
理由如下：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，连接，过点作于点，则，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴在中，，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；切线的性质；切线的判定；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OA、OB，由等边对等角得，，由圆的切线垂直经过切点的半径可得，进而根据角的构成及等式性质可推出，从而即可根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABP是等边三角形，由等边三角形性质得AB=PA=PB，∠PAB=∠PBA=60°，由平角定义、三角形内角和定理可推出∠ADC=∠BCE，从而根据有两组角相等的两个三角形相似得出△ADC∽△BCE，由相似三角形对应边成比例求出，进而得出；过点作于点，由垂径定理得，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出，即可得证．
（1）略
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，连接，过点作于点，则，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴在中，，，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：把B的坐标，C的坐标代入抛物线的解析式，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）解：①令，
解得：，
∴，
∵B，C，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴当时，是等腰直角三角形，且，
∴，
∴的外接圆直径是，
则其外接圆的半径，
∵，
∴，即，
解得：，
∴；
②∵，
∴抛物线的对称轴是直线，顶点M的坐标是，
∴直线与x轴的交点T的坐标是，
作轴于点P，则在直角三角形中，，
∴，
∴当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合，
当点F在的内角的平分线上即时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴E、T重合，
∵B，C，
∴直线的解析式是，
当时，，
∴点P的坐标是，
∴，
∴；
当点F在的内角的平分线上时，如图，作于点K，
则，
设，则，
∵，且，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
由于，
∴点F不可能在的内角的平分线上；
当点重合于点O时，此时平分即点F在的平分线上，符合题意，则，
∴；
综上：的面积为2或3或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；等腰直角三角形；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将点B、C的坐标分别代入y=-x2+bx+c可得关于字母b、c的二元一次方程组，求解即可得出b、c的值，从而即可得到抛物线的解析式；
（2）①根据x轴上点的坐标特点，令（1）所求抛物线解析式中y=0算出对应自变量x的值，可求出点A的坐标，进而可判断△OBC是等腰直角三角形，由二直线平行，同位角相等推出∠FEA=∠CBO=45°，则△AEF是等腰直角三角形，然后可求出△AEF的外接圆直径是AE=2，可得其外接圆的半径R=1，再利用等积法求出r，即可求解；
②先将（1）所求抛物线解析式配成顶点式，求得抛物线的顶点M的坐标和对称轴与x轴的交点T的坐标，作轴于点P，由∠PBQ的正弦函数求得，继而可得，于是可得当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合，然后分点F在不同内角平分线上共三种情况，外加当点重合于点O时，此时点F在的平分线上这种特殊情况，讨论求解即可．
（1）解：把B的坐标，C的坐标代入抛物线的解析式。
得，解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）解：①令，
解得：，
∴，
∵B，C，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴当时，是等腰直角三角形，且，
∴，
∴的外接圆直径是，
则其外接圆的半径，
∵，
∴，即，
解得：，
∴；
②∵，
∴抛物线的对称轴是直线，顶点M的坐标是，
∴直线与x轴的交点T的坐标是，
作轴于点P，则在直角三角形中，，
∴，
∴当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合，
当点F在的内角的平分线上即时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴E、T重合，
∵B，C，
∴直线的解析式是，
当时，，
∴点P的坐标是，
∴，
∴；
当点F在的内角的平分线上时，如图，作于点K，
则，
设，则，
∵，且，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
由于，
∴点F不可能在的内角的平分线上；
当点重合于点O时，此时平分即点F在的平分线上，符合题意，则，
∴；
综上：的面积为2或3或．
25．【答案】探究发现：，；
实践应用：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，则，
∴，
在中，．
∵将线段绕点逆时针旋转得，
∴
∴是等边三角形，
∴，则，
∴由探究发现可得：．
拓展延伸：如图，延长交于点，过点作于点，连接，
设，
∵是半圆的直径，
∴，
∵，
在中，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴由探究发现可得：，
∵，
∴，
∵，
∴
．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：探究发现：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：，，；．
【分析】探究发现：由题意可得，结合三角形面积即可求出答案.
实践应用：过点分别作的垂线，垂足分别为，根据等边三角形判定定理可得，则，，根据勾股定理可得CM，根据边之间的关系可得BG，MG，再根据勾股定理可得CG，根据旋转性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
拓展延伸：延长交于点，过点作于点，连接，设，根据圆周角定理的推论可得，根据勾股定理建立方程，解方程可得x=4，再根据等弧所对的圆周角相等可得，则，根据勾股定理可得BC，则，再根据三角形面积即可求出答案.
1 / 1

展开更多......

收起↑