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浙江省台州市黄岩区北城街道2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题
1．以下新能源汽车标志是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各组线段中能围成三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．14，8，6 C．1，1，3 D．2，3，6
3．如图，过的顶点A，作边上的高，以下作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列不等式是一元一次不等式的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列命题中，假命题是（　　）
A．面积相等的两个三角形全等
B．等腰三角形的两底角相等
C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
D．直角三角形的两个锐角互余
6．点D、E分别在线段AB、AC上，CD与BE相交于点O，已知AE＝AD，添加以下哪一个条件不能判定△ABE≌△ACD（　　）
A．∠B＝∠C B．∠BEA＝∠CDA
C．BE＝CD D．AB＝AC
7．如图，平分且于点，，，的周长为32，则的长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．16
8．已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，的面积为，平分，，则的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为30，．则的值是（　　）
A． B． C．7 D．
11．写出命题“两直线平行，对顶角相等”的逆命题　 　．
12．将一副三角板按如图位置摆放，若，则的度数是　 　．
13．如图，，平分交于D，，，则点D到的距离为　 　．
14．若，且，则的取值范围是　 　．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E分别在AB，BC上，连结 CD，DE，若BC= BD，AC=1，∠CDE=45°， 则BE的长为　 　．
16．如图，是的角平分线，，，，，分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论：①；②；③的最小值是；④若平分，则的面积为9．其中正确的是　 　．
17．解下列不等式．
（1）
（2）
18．为了更好的运送快递，要在街道上修建菜鸟驿站．（请根据条件要求尺规作图，保留作图痕迹）
（1）如图①若菜鸟驿站向小区送快递，则菜鸟驿站应建在什么地方，才能使它到小区的距离相等？
（2）如图②若菜鸟驿站向小区送快递，则菜鸟驿站应建在什么地方，才能使它到小区的距离之和最短？
19．已知：如图，点B、D、C、E在同一条直线上，，，，求证：．
20．定义一种新运算，例如：．
（1）计算：；
（2）请根据上述定义解不等式．
21．如图，在中，是边上的高，平分，若，，求和的度数．
22．如图，四边形为长方形，长，宽，点是的中点，点在上运动，连接．
（1）若是以为斜边的直角三角形时，求的长；
（2）若是等腰三角形时，求的长；
23．定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．
（1）概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）；
（2）问题探究：如图2，和是共边直角三角形，E、F分别是、的中点，连接，求证：．
（3）拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分．
24．如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒．
（1）如图①当P运动在边上时， ________；当P运动在边上时， ________（用含t的代数式表示）
（2）如图①当t为多少时，的面积等于；
（3）如图②，点在边上，点在边上，，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义，可知ABC不符合题意，D符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项进行判断即可.
2．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，能围成三角形，故本选项符合题意；
B、，不能围成三角形，故本选项不符合题意；
C、，不能围成三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能围成三角形，故本选项不符合题意．
故选：A
【分析】
三角形的三边关系，即：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
3．【答案】C
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A.不是三角形的高，错误；
B.不是边上的高，错误；
C.是边上的高，符合题意；
D.不是三角形的高，错误；
故选：C．
【分析】
高的定义，即：过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高．
4．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：A、，不含未知数，故此选项不符合题意；
B、，含两个未知数和，且的最高次数为2，故此选项不符合题意；
C、，只含一个未知数，且的次数为1，故此选项符合题意；
D、，含两个未知数和，故此选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
一元一次不等式的定义，即：只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式．
5．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定；真命题与假命题；全等三角形的概念；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，为假命题；
BCD、说法均正确，为真命题；
故答案为：A.
【分析】全等三角形是形状和大小都相同的三角形，面积相等不一定全等.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A．由AE＝AD、∠A＝∠A、∠B＝∠C可依据“AAS”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；B．由AE＝AD、∠A＝∠A、∠BEA＝∠CDA可依据“ASA”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；
C．由BE＝CD、AE＝AD、∠A＝∠A不能判定△ABE≌△ACD，此选项符合题意；
D．由AE＝AD、∠A＝∠A、AB＝AC可依据“SAS”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】判定两个三角形全等时，必须满足三个对应元素相等，且其中一定有一组对应边相等。要证明△ABE和△ACD全等，题目已经给出AE=AD，同时两个三角形还有公共角∠A对应相等，因此只需要再添加一个条件就可以判定全等：可以再添加一组对应角相等，或者添加对应边AC=AB。
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】∵平分且于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，的周长，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
先由角平分线的概念可得，再由垂直的概念可得，又CE是公共边相等，则可利用ASA证明，则BC＝DC，再利用等角对等边可得BD＝AD，则的周长可转化为AC与BC的和，再利用已知得DC＝BC即可．
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：设，
由折叠得：，，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】
设，再由折叠的性质可得，，再利用三角形外角的性质结合等边对等角可得，最后再利用三角形内角和定理求出即可．
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；翻折全等-公共边模型；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：延长交于，如图，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故选：C．
【分析】
由于等腰三角形三线合一，则可延长交于，先由角平分线的概念结合等角的余角相等可得，再由等角对等边可得，则PA＝PQ，再由中线等分三角形面积可得，，即．
10．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示，与交于点M，
正方形的面积为30，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
∴，
，
此图是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，
，
∴，，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】
本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后会利用勾股定理和三角形全等的性质解题．先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设，则，由于正方形的面积为30，则，根据勾股定理得：，整体代入可得结论．
11．【答案】如果对顶角相等，那么两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：原命题的条件是“两直线平行”，结论是“对顶角相等”，
交换条件和结论，得到逆命题“如果对顶角相等，那么两直线平行”．
故答案为：如果对顶角相等，那么两直线平行．
【分析】
由于一个命题由题设和结合两部分组成，则交换题设和结论可得原命题的逆命题．
12．【答案】
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，
．
．
故答案为：．
【分析】
由于已知，，则由平角的定义可求得的度数，再利用三角形的内角和即可．
13．【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作于E，如图所示：
∵BC=7cm，BD=4cm，
∴CD=BC-BD=3cm，∵∠C=90°，
∴CD⊥AC，
∵平分 ，CD⊥AC，，
∴DE=CD=3cm，
故答案为：3.
【分析】过D作于E，根据角平分线的性质得出，即可得出答案．
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵若x＜y且，
∴a-1＜0，解得a＜1．
故答案为：a＜1．
【分析】根据不等式的性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，求解即可．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝BD=1
∴AB=，∠A＝∠B＝45°．
∵∠CDB＝∠A＋∠ACD＝∠CDE＋∠BDE，∠CDE＝45°，
∴∠ACD＝∠BDE，
∴△CAD△DBE，
∴BE=AD=AB-BD=．
故答案是：
【分析】先利用勾股定理求出AB=，然后利用AAS得到△CAD△DBE，即可得到BE=AD解题即可．
16．【答案】①②④
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：①，是的角平分线，
，，
垂直平分，
，
，
，
，故①正确；
②，
，，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
③根据解析①可知，，
当最小时，最小，
过点作于点，如图所示：
当点在与交点上时，，此时最小，且最小值为，
平分，
，
，
，
，
即的最小值是，故③错误；
④过点作于点，如图所示：
平分，，
，
，
，
，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④，
故答案为：①②④
【分析】
①由于等腰三角形三线合一，即垂直平分，则，再由三角形三边关系可得；
②由角平分线的概念结合平行线的性质可得，则由等角对等边可得ED＝DB，则；
③由①知，，再由垂线段最短知当AQ垂直BC时AQ有最小值，再由等面积法求出AQ的最小值为；
④由于角平分线上的点到角两边距离相等，则过点作于点可得，则由翻折对称可得三角形APN与APD全等即面积相等，则，又，即．
17．【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）先移项、合并同类项，再把系数化为1即可；
（2）先去括号，再移项、合并同类项 ，最后再把系数化为1即可 ．
（1）解：
．
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：连接，作的垂直平分线，交于点D，如图所示：
（2）解：作A的对称点，连接交于点E，如图所示：
【知识点】轴对称的性质；尺规作图-垂直平分线；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；线段垂直平分线的应用
【解析】【分析】
（1）由于线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，故连接，再作的垂直平分线交于点D，则点D即为所求作；
（2）由将军馀马模型知，先作A的对称点，再连接交于点E，则，即点E为所求作．
（1）解：连接，作的垂直平分线，交于点D，如图所示：
（2）解：作A的对称点，连接交于点E，如图所示：
19．【答案】证明：，
，
即，
在与中，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】先由已知结合线段的和差关系可得，再由，，可利用AAS证明，则．
20．【答案】（1）解：，
（2）解：，
由题意得，，
去括号得，，
移项后合并同类项得，，
解得，．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次不等式
【解析】【分析】
（1）直接利用新定义进行有理数的加减乘除混合运算即可；
（2）先按照新定义将不等式左边展开可得关于x的一元一次不等式并求解即可．
（1）解：，
（2）解：，
由题意得，，
去括号得，，
移项后合并同类项得，，
解得，．
21．【答案】解：∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】根据垂直定义得到，然后根据直角三角形两锐角互余可求出∠ACB的度数；根据角平分线的定义得到∠BCE的度数，最后根据三角形的外角性质可求出∠AEC的度数.
22．【答案】（1）解四边形为长方形，长，宽，点是的中点，
，
当是以为斜边的直角三角形时，则，
四边形是长方形，
，
．
（2）解：当时，；
当时，如图，过于，
则，四边形是长方形，
；
当时，如图，过作于，则四边形是长方形，
，
，
，
或
综上所述，若是等腰三角形时，的长为3或2或或8．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；等腰三角形的概念；等腰三角形的性质-三线合一；分类讨论
【解析】【分析】
（）直接利用勾股定理列式计算即可；
（）由于等腰三角形的两腰不确定，故应分类讨论，即当AP＝AE＝5时，可由矩形的性质结合勾股定理直接求得DP的长；当PA＝PE时，由等腰三角形三线合一可过点P作AE的垂线段PM，则AM等于AE的一半等于，再由矩形的性质判定与性质可得DP＝AM＝；当EP＝EA时，可过点P作AB的垂线段PM，此时再分两种情形，即当M在线段AE上时，先由矩形的判定与性质可得PM＝AD＝4，再利用勾股定理求得EM，则由线段的和差关系可得DP＝AM＝AE－EM；而当点M在线段BE上时，同理则DP＝AM＝AE+EM．
（1）解四边形为长方形，长，宽，点是的中点，
，
当是以为斜边的直角三角形时，则，
四边形是长方形，
，
．
（2）解：当时，；
当时，如图，过于，
则，四边形是长方形，
；
当时，如图，过作于，则四边形是长方形，
，
，
，
或
综上所述，若是等腰三角形时，的长为3或2或或8．
23．【答案】（1）解：如图1，即为所求；
（2）证明：如图2，连接，
∵点是中点，和是共边直角三角形，
∴，
∴，
∵点是中点，
∴；
（3）证明：如图3，延长、交于点，
，
，
∵，
∴，
，
，
，，
∴垂直平分，
，
平分．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）按要求画图即可；
（2）连接，根据直角三角形斜边上的中线性质得到，再根据等腰三角形“三线合一”性质得证结论；
（3）延长、交于点，根据等腰三角形“等边对等角”性质得，从而求出，进而根据等腰三角形的判定得，然后推出垂直平分，得，最后由等腰三角形“三线合一”性质得证结论.
（1）解：如图所示即为所求作的三角形，
（2）证明：如图，连接，
∵E点是中点
∴分别是和斜边上的中线
∴，
∴
∴是等腰三角形
∵F点是中点
∴；
（3）证明：分别延长、交于点，如图所示：
，
，
，，
，
，
，又，
，
平分．
24．【答案】（1）；
（2）解：当点P在上时，如图所示：
，
解得：；
当点P在上时，如图所示：
，
解得：；
综上分析可知：当或时，的面积等于；
（3）解：设点的运动速度为，∵点在边上，点在边上，
∴
∴，
①当点在上，点在上，时，
，
∴
解得；
②当点在上，点在上，时，
，
∴，
解得；
③当点在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为
∴，
解得：；
④当点在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为
∴，
解得：；
∴点的运动速度为或或或．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；三角形-动点问题；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】 解：当P运动在边上时，；当P运动在边上时，．
故答案为：2t；2t-12.
【分析】
（1）已知点P运动速度为2单位长度每秒，根据路程=速度×时间可得：当点P在AB上运动时，AP = 2t；当点P运动到BC上时，BP = 2t - 12。
（2）需根据点P的位置分两种情况讨论：
①当点P在AB上运动时，可画出对应图形，此时以某边为底结合高，根据三角形面积公式列方程求解；
②当点P在BC上运动时，画出对应图形，同样结合三角形面积公式列方程，即可解得对应结果。
（3）结合题意，本题需要分四种不同情况讨论：根据全等三角形的对应边相等，可得到点P、Q的运动路程，由于点P、Q运动时间一致，先根据点P的路程求出运动时间，再根据速度公式速度=路程时间，即可求出Q的速度。
（1）解：当P运动在边上时，；当P运动在边上时，．
（2）解：当点P在上时，如图所示：
，
解得：；
当点P在上时，如图所示：
，
解得：；
综上分析可知：当或时，的面积等于；
（3）解：设点的运动速度为，
∵点在边上，点在边上，
∴
∴，
①当点在上，点在上，时，
，
∴
解得；
②当点在上，点在上，时，
，
∴，
解得；
③当点在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为
∴，
解得：；
④当点在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为
∴，
解得：；
∴点的运动速度为或或或．
1 / 1浙江省台州市黄岩区北城街道2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题
1．以下新能源汽车标志是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义，可知ABC不符合题意，D符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项进行判断即可.
2．下列各组线段中能围成三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．14，8，6 C．1，1，3 D．2，3，6
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，能围成三角形，故本选项符合题意；
B、，不能围成三角形，故本选项不符合题意；
C、，不能围成三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能围成三角形，故本选项不符合题意．
故选：A
【分析】
三角形的三边关系，即：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
3．如图，过的顶点A，作边上的高，以下作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A.不是三角形的高，错误；
B.不是边上的高，错误；
C.是边上的高，符合题意；
D.不是三角形的高，错误；
故选：C．
【分析】
高的定义，即：过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高．
4．下列不等式是一元一次不等式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：A、，不含未知数，故此选项不符合题意；
B、，含两个未知数和，且的最高次数为2，故此选项不符合题意；
C、，只含一个未知数，且的次数为1，故此选项符合题意；
D、，含两个未知数和，故此选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
一元一次不等式的定义，即：只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式．
5．下列命题中，假命题是（　　）
A．面积相等的两个三角形全等
B．等腰三角形的两底角相等
C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
D．直角三角形的两个锐角互余
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定；真命题与假命题；全等三角形的概念；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，为假命题；
BCD、说法均正确，为真命题；
故答案为：A.
【分析】全等三角形是形状和大小都相同的三角形，面积相等不一定全等.
6．点D、E分别在线段AB、AC上，CD与BE相交于点O，已知AE＝AD，添加以下哪一个条件不能判定△ABE≌△ACD（　　）
A．∠B＝∠C B．∠BEA＝∠CDA
C．BE＝CD D．AB＝AC
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A．由AE＝AD、∠A＝∠A、∠B＝∠C可依据“AAS”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；B．由AE＝AD、∠A＝∠A、∠BEA＝∠CDA可依据“ASA”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；
C．由BE＝CD、AE＝AD、∠A＝∠A不能判定△ABE≌△ACD，此选项符合题意；
D．由AE＝AD、∠A＝∠A、AB＝AC可依据“SAS”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】判定两个三角形全等时，必须满足三个对应元素相等，且其中一定有一组对应边相等。要证明△ABE和△ACD全等，题目已经给出AE=AD，同时两个三角形还有公共角∠A对应相等，因此只需要再添加一个条件就可以判定全等：可以再添加一组对应角相等，或者添加对应边AC=AB。
7．如图，平分且于点，，，的周长为32，则的长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】∵平分且于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，的周长，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
先由角平分线的概念可得，再由垂直的概念可得，又CE是公共边相等，则可利用ASA证明，则BC＝DC，再利用等角对等边可得BD＝AD，则的周长可转化为AC与BC的和，再利用已知得DC＝BC即可．
8．已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：设，
由折叠得：，，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】
设，再由折叠的性质可得，，再利用三角形外角的性质结合等边对等角可得，最后再利用三角形内角和定理求出即可．
9．如图，的面积为，平分，，则的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；翻折全等-公共边模型；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：延长交于，如图，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故选：C．
【分析】
由于等腰三角形三线合一，则可延长交于，先由角平分线的概念结合等角的余角相等可得，再由等角对等边可得，则PA＝PQ，再由中线等分三角形面积可得，，即．
10．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为30，．则的值是（　　）
A． B． C．7 D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示，与交于点M，
正方形的面积为30，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
∴，
，
此图是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，
，
∴，，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】
本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后会利用勾股定理和三角形全等的性质解题．先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设，则，由于正方形的面积为30，则，根据勾股定理得：，整体代入可得结论．
11．写出命题“两直线平行，对顶角相等”的逆命题　 　．
【答案】如果对顶角相等，那么两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：原命题的条件是“两直线平行”，结论是“对顶角相等”，
交换条件和结论，得到逆命题“如果对顶角相等，那么两直线平行”．
故答案为：如果对顶角相等，那么两直线平行．
【分析】
由于一个命题由题设和结合两部分组成，则交换题设和结论可得原命题的逆命题．
12．将一副三角板按如图位置摆放，若，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，
．
．
故答案为：．
【分析】
由于已知，，则由平角的定义可求得的度数，再利用三角形的内角和即可．
13．如图，，平分交于D，，，则点D到的距离为　 　．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作于E，如图所示：
∵BC=7cm，BD=4cm，
∴CD=BC-BD=3cm，∵∠C=90°，
∴CD⊥AC，
∵平分 ，CD⊥AC，，
∴DE=CD=3cm，
故答案为：3.
【分析】过D作于E，根据角平分线的性质得出，即可得出答案．
14．若，且，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵若x＜y且，
∴a-1＜0，解得a＜1．
故答案为：a＜1．
【分析】根据不等式的性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，求解即可．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E分别在AB，BC上，连结 CD，DE，若BC= BD，AC=1，∠CDE=45°， 则BE的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝BD=1
∴AB=，∠A＝∠B＝45°．
∵∠CDB＝∠A＋∠ACD＝∠CDE＋∠BDE，∠CDE＝45°，
∴∠ACD＝∠BDE，
∴△CAD△DBE，
∴BE=AD=AB-BD=．
故答案是：
【分析】先利用勾股定理求出AB=，然后利用AAS得到△CAD△DBE，即可得到BE=AD解题即可．
16．如图，是的角平分线，，，，，分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论：①；②；③的最小值是；④若平分，则的面积为9．其中正确的是　 　．
【答案】①②④
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：①，是的角平分线，
，，
垂直平分，
，
，
，
，故①正确；
②，
，，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
③根据解析①可知，，
当最小时，最小，
过点作于点，如图所示：
当点在与交点上时，，此时最小，且最小值为，
平分，
，
，
，
，
即的最小值是，故③错误；
④过点作于点，如图所示：
平分，，
，
，
，
，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④，
故答案为：①②④
【分析】
①由于等腰三角形三线合一，即垂直平分，则，再由三角形三边关系可得；
②由角平分线的概念结合平行线的性质可得，则由等角对等边可得ED＝DB，则；
③由①知，，再由垂线段最短知当AQ垂直BC时AQ有最小值，再由等面积法求出AQ的最小值为；
④由于角平分线上的点到角两边距离相等，则过点作于点可得，则由翻折对称可得三角形APN与APD全等即面积相等，则，又，即．
17．解下列不等式．
（1）
（2）
【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）先移项、合并同类项，再把系数化为1即可；
（2）先去括号，再移项、合并同类项 ，最后再把系数化为1即可 ．
（1）解：
．
（2）解：
．
18．为了更好的运送快递，要在街道上修建菜鸟驿站．（请根据条件要求尺规作图，保留作图痕迹）
（1）如图①若菜鸟驿站向小区送快递，则菜鸟驿站应建在什么地方，才能使它到小区的距离相等？
（2）如图②若菜鸟驿站向小区送快递，则菜鸟驿站应建在什么地方，才能使它到小区的距离之和最短？
【答案】（1）解：连接，作的垂直平分线，交于点D，如图所示：
（2）解：作A的对称点，连接交于点E，如图所示：
【知识点】轴对称的性质；尺规作图-垂直平分线；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；线段垂直平分线的应用
【解析】【分析】
（1）由于线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，故连接，再作的垂直平分线交于点D，则点D即为所求作；
（2）由将军馀马模型知，先作A的对称点，再连接交于点E，则，即点E为所求作．
（1）解：连接，作的垂直平分线，交于点D，如图所示：
（2）解：作A的对称点，连接交于点E，如图所示：
19．已知：如图，点B、D、C、E在同一条直线上，，，，求证：．
【答案】证明：，
，
即，
在与中，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】先由已知结合线段的和差关系可得，再由，，可利用AAS证明，则．
20．定义一种新运算，例如：．
（1）计算：；
（2）请根据上述定义解不等式．
【答案】（1）解：，
（2）解：，
由题意得，，
去括号得，，
移项后合并同类项得，，
解得，．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次不等式
【解析】【分析】
（1）直接利用新定义进行有理数的加减乘除混合运算即可；
（2）先按照新定义将不等式左边展开可得关于x的一元一次不等式并求解即可．
（1）解：，
（2）解：，
由题意得，，
去括号得，，
移项后合并同类项得，，
解得，．
21．如图，在中，是边上的高，平分，若，，求和的度数．
【答案】解：∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】根据垂直定义得到，然后根据直角三角形两锐角互余可求出∠ACB的度数；根据角平分线的定义得到∠BCE的度数，最后根据三角形的外角性质可求出∠AEC的度数.
22．如图，四边形为长方形，长，宽，点是的中点，点在上运动，连接．
（1）若是以为斜边的直角三角形时，求的长；
（2）若是等腰三角形时，求的长；
【答案】（1）解四边形为长方形，长，宽，点是的中点，
，
当是以为斜边的直角三角形时，则，
四边形是长方形，
，
．
（2）解：当时，；
当时，如图，过于，
则，四边形是长方形，
；
当时，如图，过作于，则四边形是长方形，
，
，
，
或
综上所述，若是等腰三角形时，的长为3或2或或8．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；等腰三角形的概念；等腰三角形的性质-三线合一；分类讨论
【解析】【分析】
（）直接利用勾股定理列式计算即可；
（）由于等腰三角形的两腰不确定，故应分类讨论，即当AP＝AE＝5时，可由矩形的性质结合勾股定理直接求得DP的长；当PA＝PE时，由等腰三角形三线合一可过点P作AE的垂线段PM，则AM等于AE的一半等于，再由矩形的性质判定与性质可得DP＝AM＝；当EP＝EA时，可过点P作AB的垂线段PM，此时再分两种情形，即当M在线段AE上时，先由矩形的判定与性质可得PM＝AD＝4，再利用勾股定理求得EM，则由线段的和差关系可得DP＝AM＝AE－EM；而当点M在线段BE上时，同理则DP＝AM＝AE+EM．
（1）解四边形为长方形，长，宽，点是的中点，
，
当是以为斜边的直角三角形时，则，
四边形是长方形，
，
．
（2）解：当时，；
当时，如图，过于，
则，四边形是长方形，
；
当时，如图，过作于，则四边形是长方形，
，
，
，
或
综上所述，若是等腰三角形时，的长为3或2或或8．
23．定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．
（1）概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）；
（2）问题探究：如图2，和是共边直角三角形，E、F分别是、的中点，连接，求证：．
（3）拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分．
【答案】（1）解：如图1，即为所求；
（2）证明：如图2，连接，
∵点是中点，和是共边直角三角形，
∴，
∴，
∵点是中点，
∴；
（3）证明：如图3，延长、交于点，
，
，
∵，
∴，
，
，
，，
∴垂直平分，
，
平分．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）按要求画图即可；
（2）连接，根据直角三角形斜边上的中线性质得到，再根据等腰三角形“三线合一”性质得证结论；
（3）延长、交于点，根据等腰三角形“等边对等角”性质得，从而求出，进而根据等腰三角形的判定得，然后推出垂直平分，得，最后由等腰三角形“三线合一”性质得证结论.
（1）解：如图所示即为所求作的三角形，
（2）证明：如图，连接，
∵E点是中点
∴分别是和斜边上的中线
∴，
∴
∴是等腰三角形
∵F点是中点
∴；
（3）证明：分别延长、交于点，如图所示：
，
，
，，
，
，
，又，
，
平分．
24．如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒．
（1）如图①当P运动在边上时， ________；当P运动在边上时， ________（用含t的代数式表示）
（2）如图①当t为多少时，的面积等于；
（3）如图②，点在边上，点在边上，，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度．
【答案】（1）；
（2）解：当点P在上时，如图所示：
，
解得：；
当点P在上时，如图所示：
，
解得：；
综上分析可知：当或时，的面积等于；
（3）解：设点的运动速度为，∵点在边上，点在边上，
∴
∴，
①当点在上，点在上，时，
，
∴
解得；
②当点在上，点在上，时，
，
∴，
解得；
③当点在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为
∴，
解得：；
④当点在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为
∴，
解得：；
∴点的运动速度为或或或．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；三角形-动点问题；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】 解：当P运动在边上时，；当P运动在边上时，．
故答案为：2t；2t-12.
【分析】
（1）已知点P运动速度为2单位长度每秒，根据路程=速度×时间可得：当点P在AB上运动时，AP = 2t；当点P运动到BC上时，BP = 2t - 12。
（2）需根据点P的位置分两种情况讨论：
①当点P在AB上运动时，可画出对应图形，此时以某边为底结合高，根据三角形面积公式列方程求解；
②当点P在BC上运动时，画出对应图形，同样结合三角形面积公式列方程，即可解得对应结果。
（3）结合题意，本题需要分四种不同情况讨论：根据全等三角形的对应边相等，可得到点P、Q的运动路程，由于点P、Q运动时间一致，先根据点P的路程求出运动时间，再根据速度公式速度=路程时间，即可求出Q的速度。
（1）解：当P运动在边上时，；当P运动在边上时，．
（2）解：当点P在上时，如图所示：
，
解得：；
当点P在上时，如图所示：
，
解得：；
综上分析可知：当或时，的面积等于；
（3）解：设点的运动速度为，
∵点在边上，点在边上，
∴
∴，
①当点在上，点在上，时，
，
∴
解得；
②当点在上，点在上，时，
，
∴，
解得；
③当点在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为
∴，
解得：；
④当点在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为
∴，
解得：；
∴点的运动速度为或或或．
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