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浙江省宁波市慈溪实验中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
1．美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：∵，∴旋转角是的整数倍，
∴这个角的度数可以是，
故选：C
【分析】该图形是对称图形，用除以6进行计算，就能得到正确答案。
2．下列诗句所描述的事件属于不可能事件的是（　　）
A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．汗滴禾下土 D．手可摘星辰
【答案】D
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A.“黄河入海流”是必然事件，因此选项A不符合题意；
B.“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项B不符合题意；
C.“汗滴禾下土”是随机能事件，因此选项C不符合题意；
D.“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然[
不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件；
随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件.
3．如图是一个由6个相同的小立方块组成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】 解：从正面看，看到他图形分为上下两层，共4列，从左数，下面一层每一列都有一个小正方形，上面一层第三列有一个小正方形，即看到的图形如下：
，
故选：D．
【分析】本题考查的是由小正方体搭成的组合几何体的三视图知识，主视图指的是从几何体的正前方观察得到的视图，根据这个定义确定观察得到的图形，就能得出正确答案。
4．已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：l=．
故答案为：D．
【分析】根据弧长公式“ （n为扇形圆心角度数，r为扇形半径）”进行计算即可求解．
5．如图，是直径，点，在半圆上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接，
是直径，
，
，
，
四边形是圆的内接四边形，
，
，
故答案为：C．
【分析】
连接，由直径所对的圆周角是直角可求得的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得的度数即可解答．
6．下列说法中，正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，错误，不符合题意；
C、平分弦的直径垂直于弦，错误，此弦不是直径，不符合题意；
D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】（1）如果三点在同一直线上，则线段的垂直平分线没有交点，所以不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
（2）在圆中，弦所对的圆周角有两个，这两个圆周角的和为180°，所以在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补；
（3）由垂径定理可知，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；
（4）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等.
7．如图，在中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
当时，，
当时，，
当时，．
故选：．
【分析】
相似三角形的判定：
1、两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
2、有两组角对应相等的两个三角形相似；
3、三边对应成比例的两个三角形相似．
8．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列说法正确的是（　　）
A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B．小球从飞出到落地要用4s
C．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
D．小球的飞行高度可以达到25m
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】 解：的两根，，即时所用的时间，
小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A错误；
，
对称轴为直线，最大值为20，故D错误；
时，，此时小球继续下降，故C错误；
当时，，，
，
小球从飞出到落地要用4s，故B正确．
故选：B．
【分析】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题关键在于能够结合实际场景理解二次函数的性质，将二者结合起来分析问题。在这个实际问题中，令高度的函数表达式中，求解得到的两个根，分别对应小球抛出时和落地时的时间，两个根的差就是小球整个飞行过程的总时长；这个二次函数开口向下，因此顶点的纵坐标就是小球能到达的最大高度；当小球高度达到15m时，它仍会继续下降。
9．二次函数过点，且，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴，
∴点离抛物线的对称轴距离大于点离抛物线的对称轴距离，
∵，
∴点离抛物线的对称轴距离最远，点离抛物线的对称轴最近，
∴．
故选：B．
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．根据抛物线的解析式可得开口方向和对称轴，再结合抛物线的增减性可得正确选项．
10．顶角等于的等腰三角形也叫黄金三角形，黄金三角形的底边与腰长的比等于黄金比．如图①，在中，，动点P从点A出发，沿拆线匀速运动至点C，若点P的运动速度为，设点P的运动时间为长度为与t函数图象如图②所示，当恰好平分时，点P运动的路程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；动点问题的函数图象；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作的平分线交于点P，
由题意中的函数图象得：，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴点P运动的路程是．
故选：B．
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，同时涉及等腰三角形的判定相关内容。作的平分线，让这条角平分线与相交于点P，第一步先推导证明可以得到，之后再证明，最后利用相似三角形的性质，可完成这道题的求解。
11．在中，．若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；求正弦值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
设，则：，
∴；
故答案为：．
【分析】
解直角三角形，由于，则可设，则，由勾肌定理可得，则．
12．某圆锥底面圆的半径为，母线为，则该圆锥的侧面积等于　 　．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：依题意知母线长 ，底面半径 ，
则由圆锥的侧面积公式得： .
【分析】
圆锥侧面积＝底面周长与母线长的乘积.
13．已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移　 　，才能使l与相切？
【答案】2或
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据题意得，或，
把直线l向上平移或才能使l与相切；
故答案为：2或
【分析】
直线与圆的位置关系，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则当d>r时直线与圆相离，当d＝r时直线与圆相切，当d14．如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接并延长交的延长线于点F．连接，过点A作交于点G，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】先证，再根据相似三角形的性质列出比例式计算可推出结论．
15．苏州古典园林以其古、秀、精、雅，多而享有“江南园林甲天下之美，如图是一苏州园林中的窗饰特写，四个水平放置正方形木框的边长都为20cm，顶点A，B，C是圆形窗上的点，则这个圆形窗的半径为　 　cm．
【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】 解：如图，
连接，作，的垂直平分线，交点为点，连接，，
，，，，
设，则，
，
，
，
解得，
，
故答案为：．
【分析】
本题考查三角形外心的作法，以及垂径定理在实际问题中的应用。解题步骤如下：首先连接，接着分别作出弦和弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是这段圆弧所在圆的圆心，之后连接半径和。
结合垂径定理与题目给出的条件，可以推得，，。
设，那么，根据同圆的半径相等，可得，借助勾股定理建立方程即可解得，将所得结果代入，进一步计算就可以得到最终结果。
16．已知抛物线与直线只有一个公共点，且过点，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为M，N，则四边形的周长为 　 　．
【答案】44
【知识点】矩形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题意，∵抛物线经过点和点，
∴抛物线的对称轴为直线，即，
又抛物线与直线只有一个公共点，
∴抛物线的顶点在直线上．
∴，
即
又
∴四边形的周长为是：
故答案为：44．
【分析】
由于已知A、B两点的横坐标不同但纵坐标相同，则由抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线且A、B两点关于对称轴对称，则AB＝6；再由抛物线与直线只有一个公共点可知该抛物线顶点的纵坐标是，即可得，再利用抛物线上点的坐标特征即代入点A的坐标到抛物线解析式可得n=16，即AM＝16，再由抛物线的对称性可得BN＝16，即四边形AMNB是矩形，则其周长等于2（AB+AN）即44．
17．已知线段满足，且．
（1）求的值；
（2）若线段是线段的比例中项，求的值；
【答案】（1）解：∵，
∴设，，，
∵，
∴，解得：，
∴，，
（2）解：∵线段是线段的比例中项，
∴，
∴，
∵，，
∴（负值已舍去）
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】（）已知，我们可以设，，，之后把所设的参数代入要求的等式计算，就可以得到结果；
（）先根据比例中项的定义列出等式，再计算求解就可以得到答案.
（1）解：∵，
∴设，，，
∵，
∴，解得：，
∴，，；
（2）解：∵线段是线段的比例中项，
∴，
∴，
∵，，
∴（负值已舍去）．
18．如图，三个顶点坐标分别为、、．
（1）如图，三个顶点坐标分别为、、，是通过位似变换得到的，请写出位似中心______；和位似比为______；
（2）请在平面直角坐标系中画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的．
【答案】（1）点；．
（2）解：画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的．
位似中心点，与位似比为，绘图如图（连接，，．取其中点为，，，连接得到）
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】
（1）
解：作图连接，，交与点，
故位似中心为点．
和位似
位似比为对应边长之比，即和位似比．
由勾股定理得∶，．
故位似比．
故答案为：点，．
【分析】
（1）由于位似中心是各对应点所在直线的交点，则连接CC1、BB1、AA1，三条线段恰好经过原点，即位似中心为原点，再利用两点距离公式分别求出BC、B1C1的长，则位似比为；
（2）由于位似变换有两种，即同向位似和逆向位似，因为和 是逆向位似，则和 是同向位似，由于位似比是1：2，则分别取OA、OB、OC中点A2、B2、C2，再顺次连接A2B2C2，再利用三角形中位线定理即可证明与位似．
（1）解：作图连接，，交与点，
故位似中心为点．
和位似
位似比为对应边长之比，即和位似比．
由勾股定理得∶，．
故位似比．
故答案为：点，．
（2）解：画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的．
位似中心点，与位似比为，绘图如图（连接，，．取其中点为，，，连接得到）
19．下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率
（1）在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率；
（2）图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率；
（3）图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率．
【答案】（1）解：由折线统计图可知，经过大量重复试验，频率在上下波动，逐渐稳定在，∴；
（2）解：；
（3）解：设西游记为A，红楼梦为B，水浒传为C，三国演义为D，根据题意可列表如下：
甲 乙 A B C D
A AA AB AC AD
B BA BB BC BD
C CA CB CC CD
D DA DB DC DD
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两名同学选中同一名著的结果有4种，
∴．
【知识点】几何概率；用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率
【解析】【分析】本题主要考查利用频率估计概率、几何概型的计算，以及运用列表法或树状图法计算概率，熟练掌握不同类型概率的求解方法，是解决这道题的关键。
（1）结合题目给出的折线统计图，依据频率估计概率的思想，就可以得出对应结果；
（2）计算该问的概率时，只需要用丁区域的圆心角度数除以整个圆周的度数360度即可得到结果；
（3）先结合题目给出的条件，利用列表或者画树状图的方法，写出所有等可能发生的结果，再从中找出两名同学恰好选中同一种名著的结果数，最后将对应数值代入概率公式计算，就能得到要求的概率。
（1）解：由折线统计图可知，经过大量重复试验，频率在上下波动，逐渐稳定在，
∴；
（2）解：；
（3）解：设西游记为A，红楼梦为B，水浒传为C，三国演义为D，
根据题意可列表如下：
甲 乙 A B C D
A AA AB AC AD
B BA BB BC BD
C CA CB CC CD
D DA DB DC DD
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两名同学选中同一名著的结果有4种，
∴．
20．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量与地面垂直的两栋楼与的高度之差，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图，无人机悬停在，两楼之间上方的点O处，此时测出到楼顶部点A处的俯角为，，测出到楼顶部点C处的俯角为，已知两栋楼之间的距离（点A，B，C，D，O在同一平面内）．
（1）求点O到楼的距离的长；
（2）求两栋楼与的高度之差.（结果精确到）
（参考数据：，，，）
【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
答：点O到楼的距离的长为；
（2）解：过C作于H，则四边形是矩形，∴，
在中，∵，
∴，
在中，，
∴两栋楼与的高度之差为．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题主要考查利用解直角三角形解决仰角俯角的实际应用问题，同时涉及等腰三角形的相关判定知识，具体解题思路整理如下：
（1）结合直角三角形的相关性质，能够计算得到；
（2）过点C作，与OE交于点H，根据矩形的性质可以推导出，之后再通过解直角三角形，就能得到最终的结论。
21．如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点， 且F为弧 的中点， 连接．
（1）求证： 是的切线；
（2）若，，求的半径的长．
【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵与相切于点B，
∴ ，
∵F为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，则，在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的半径为．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）如图，连接OB、OD，由切线的定义可得，再由圆心角、弧、弦的关系可得，由于OB＝OD，则利用SAS可证明，即即可；
（2）设的半径为r，则OB＝OC＝r、OA＝8-r，再在中应用勾股定理即可．
（1）证明：如图所示，连接，
∵与相切于点B，
∴ ，
∵F为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的半径为．
22．如图，已知、分别是四边形对边、上的点，，直线分别交和的延长线于点、．
（1）当时，求的值；
（2）联结交于点，且，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴.
（2）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，即；
∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由可证，利用相似三角形面积比与相似比的关系求解.
（2）由推出线段比例关系，结合平行线性质证，再根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
故答案为：；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，即；
∵，
∴四边形是平行四边形．
23．已知二次函数．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含的代数式表示）．
（2）点在该二次函数图象上，其中．
①当时，求的取值范围．
②请探究的最大值与最小值之差是否会随着的变化而变化．若不变，请求出这个差；若变化，请用含的代数式表示这个差．
【答案】（1）解：，
该二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：①当时，则二次函数，．
，
抛物线开口向上，时有最小值，
当时，，
的取值范围是；
②不变，理由如下：
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
点在该二次函数图象上，其中．
的最小值为，最大值为时的值，
即的最大值为，
的最大值与最小值之差，
的最大值与最小值之差不会随着的变化而变化，的最大值与最小值之差为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质、最值求解，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的相关性质是解答本题的核心关键。
（1）将题目给出的二次函数解析式整理为顶点式，就可以直接得到该二次函数图象的顶点坐标；
（2）①当时，可先确定此时二次函数的解析式为，再结合自变量的取值范围，根据二次函数的增减性就能推导出函数值的取值范围为；
②根据题意可以得到，的最小值为，且的最大值会在处取得；将代入二次函数解析式计算，可得的最大值为，因此最终可以得到的最大值与最小值的差为。
（1）解：，
该二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：①当时，则二次函数，．
，
抛物线开口向上，时有最小值，
当时，，
的取值范围是；
②不变，理由如下：
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
点在该二次函数图象上，其中．
的最小值为，最大值为时的值，
即的最大值为，
的最大值与最小值之差，
的最大值与最小值之差不会随着的变化而变化，的最大值与最小值之差为．
24．如图1，已知点M在x轴上，与x轴交于A、D两点，与y轴正半轴交于B点，C是上一点，且，，．
（1）求圆心M的坐标；
（2）求四边形的面积；
（3）如图2，过点C作弦交于点E，当时，请直接写出的长．
【答案】（1）解：如图，连接，设半径为r，
∵，，
∴，
∴
∵在中，，
∴，
，
∴圆心M的坐标为；
（2）解：连接交于点N，
∵，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵M、N分别是和中点，
∴，
∵为的直径
∴，
∴，
∴，
答：四边形的面积为32．
（3）
【知识点】圆周角定理；几何图形的面积计算-割补法；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：
（3）连接AF、DF，再过点D作CF的垂线段DT.
∵
∴
又， ，且
∴
∴，
是直径
，
∴．
【分析】
（1）连接，设半径为r，则由题意知，再在中应用勾股定理求出r即可；
（2）如图，分别连接AC交BM于点N，则由垂径定理的推论可得BM垂直平分AC，再由等面积法可得AN＝OB＝4，再利用勾股可得MN＝3、BN＝2，再由三角形中位线定理可得CD等于MN的2倍即6，再由圆周角定理可得，即可求得，，最后再利用割补法即等于与的和即可；
（3）连接AF、DF，再过点D作CF的垂线段DT，先利用等边对等角、圆周角定理并结合三角形外角的性质可得，即DF＝AF、且是等腰直角三角形，再利用AA可证明，由相似比可得AD，则解直角三角形可依次得DF、CT、DT的长，再利用勾股可得FT的长，最后再利用线段和差关系即可．
（1）连接，设半径为r，
∵，，
∴，
∴
∵在中，，
∴，
，
∴圆心M的坐标为；
（2）连接交于点N，
∵，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵M、N分别是和中点，
∴，
∵为的直径
∴，
∴，
∴，
答：四边形的面积为32．
（3）连接，
∵，
∴，
又， ，且，
∴，
∴，则是等腰直角三角形，，
作于点T，则，，
∴．
1 / 1浙江省宁波市慈溪实验中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
1．美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（　　）
A． B． C． D．
2．下列诗句所描述的事件属于不可能事件的是（　　）
A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．汗滴禾下土 D．手可摘星辰
3．如图是一个由6个相同的小立方块组成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为（　　）．
A． B． C． D．
5．如图，是直径，点，在半圆上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．下列说法中，正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等
7．如图，在中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断的是 （ ）
A． B． C． D．
8．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列说法正确的是（　　）
A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B．小球从飞出到落地要用4s
C．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
D．小球的飞行高度可以达到25m
9．二次函数过点，且，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
10．顶角等于的等腰三角形也叫黄金三角形，黄金三角形的底边与腰长的比等于黄金比．如图①，在中，，动点P从点A出发，沿拆线匀速运动至点C，若点P的运动速度为，设点P的运动时间为长度为与t函数图象如图②所示，当恰好平分时，点P运动的路程是（　　）
A． B． C． D．
11．在中，．若，则的值是　 　．
12．某圆锥底面圆的半径为，母线为，则该圆锥的侧面积等于　 　．
13．已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移　 　，才能使l与相切？
14．如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接并延长交的延长线于点F．连接，过点A作交于点G，若，则的长为　 　．
15．苏州古典园林以其古、秀、精、雅，多而享有“江南园林甲天下之美，如图是一苏州园林中的窗饰特写，四个水平放置正方形木框的边长都为20cm，顶点A，B，C是圆形窗上的点，则这个圆形窗的半径为　 　cm．
16．已知抛物线与直线只有一个公共点，且过点，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为M，N，则四边形的周长为 　 　．
17．已知线段满足，且．
（1）求的值；
（2）若线段是线段的比例中项，求的值；
18．如图，三个顶点坐标分别为、、．
（1）如图，三个顶点坐标分别为、、，是通过位似变换得到的，请写出位似中心______；和位似比为______；
（2）请在平面直角坐标系中画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的．
19．下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率
（1）在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率；
（2）图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率；
（3）图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率．
20．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量与地面垂直的两栋楼与的高度之差，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图，无人机悬停在，两楼之间上方的点O处，此时测出到楼顶部点A处的俯角为，，测出到楼顶部点C处的俯角为，已知两栋楼之间的距离（点A，B，C，D，O在同一平面内）．
（1）求点O到楼的距离的长；
（2）求两栋楼与的高度之差.（结果精确到）
（参考数据：，，，）
21．如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点， 且F为弧 的中点， 连接．
（1）求证： 是的切线；
（2）若，，求的半径的长．
22．如图，已知、分别是四边形对边、上的点，，直线分别交和的延长线于点、．
（1）当时，求的值；
（2）联结交于点，且，求证：四边形是平行四边形．
23．已知二次函数．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含的代数式表示）．
（2）点在该二次函数图象上，其中．
①当时，求的取值范围．
②请探究的最大值与最小值之差是否会随着的变化而变化．若不变，请求出这个差；若变化，请用含的代数式表示这个差．
24．如图1，已知点M在x轴上，与x轴交于A、D两点，与y轴正半轴交于B点，C是上一点，且，，．
（1）求圆心M的坐标；
（2）求四边形的面积；
（3）如图2，过点C作弦交于点E，当时，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：∵，∴旋转角是的整数倍，
∴这个角的度数可以是，
故选：C
【分析】该图形是对称图形，用除以6进行计算，就能得到正确答案。
2．【答案】D
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A.“黄河入海流”是必然事件，因此选项A不符合题意；
B.“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项B不符合题意；
C.“汗滴禾下土”是随机能事件，因此选项C不符合题意；
D.“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然[
不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件；
随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件.
3．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】 解：从正面看，看到他图形分为上下两层，共4列，从左数，下面一层每一列都有一个小正方形，上面一层第三列有一个小正方形，即看到的图形如下：
，
故选：D．
【分析】本题考查的是由小正方体搭成的组合几何体的三视图知识，主视图指的是从几何体的正前方观察得到的视图，根据这个定义确定观察得到的图形，就能得出正确答案。
4．【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：l=．
故答案为：D．
【分析】根据弧长公式“ （n为扇形圆心角度数，r为扇形半径）”进行计算即可求解．
5．【答案】C
【知识点】角的运算；圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接，
是直径，
，
，
，
四边形是圆的内接四边形，
，
，
故答案为：C．
【分析】
连接，由直径所对的圆周角是直角可求得的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得的度数即可解答．
6．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，错误，不符合题意；
C、平分弦的直径垂直于弦，错误，此弦不是直径，不符合题意；
D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】（1）如果三点在同一直线上，则线段的垂直平分线没有交点，所以不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
（2）在圆中，弦所对的圆周角有两个，这两个圆周角的和为180°，所以在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补；
（3）由垂径定理可知，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；
（4）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等.
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
当时，，
当时，，
当时，．
故选：．
【分析】
相似三角形的判定：
1、两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
2、有两组角对应相等的两个三角形相似；
3、三边对应成比例的两个三角形相似．
8．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】 解：的两根，，即时所用的时间，
小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A错误；
，
对称轴为直线，最大值为20，故D错误；
时，，此时小球继续下降，故C错误；
当时，，，
，
小球从飞出到落地要用4s，故B正确．
故选：B．
【分析】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题关键在于能够结合实际场景理解二次函数的性质，将二者结合起来分析问题。在这个实际问题中，令高度的函数表达式中，求解得到的两个根，分别对应小球抛出时和落地时的时间，两个根的差就是小球整个飞行过程的总时长；这个二次函数开口向下，因此顶点的纵坐标就是小球能到达的最大高度；当小球高度达到15m时，它仍会继续下降。
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴，
∴点离抛物线的对称轴距离大于点离抛物线的对称轴距离，
∵，
∴点离抛物线的对称轴距离最远，点离抛物线的对称轴最近，
∴．
故选：B．
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．根据抛物线的解析式可得开口方向和对称轴，再结合抛物线的增减性可得正确选项．
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；动点问题的函数图象；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作的平分线交于点P，
由题意中的函数图象得：，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴点P运动的路程是．
故选：B．
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，同时涉及等腰三角形的判定相关内容。作的平分线，让这条角平分线与相交于点P，第一步先推导证明可以得到，之后再证明，最后利用相似三角形的性质，可完成这道题的求解。
11．【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；求正弦值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
设，则：，
∴；
故答案为：．
【分析】
解直角三角形，由于，则可设，则，由勾肌定理可得，则．
12．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：依题意知母线长 ，底面半径 ，
则由圆锥的侧面积公式得： .
【分析】
圆锥侧面积＝底面周长与母线长的乘积.
13．【答案】2或
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据题意得，或，
把直线l向上平移或才能使l与相切；
故答案为：2或
【分析】
直线与圆的位置关系，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则当d>r时直线与圆相离，当d＝r时直线与圆相切，当d14．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】先证，再根据相似三角形的性质列出比例式计算可推出结论．
15．【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】 解：如图，
连接，作，的垂直平分线，交点为点，连接，，
，，，，
设，则，
，
，
，
解得，
，
故答案为：．
【分析】
本题考查三角形外心的作法，以及垂径定理在实际问题中的应用。解题步骤如下：首先连接，接着分别作出弦和弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是这段圆弧所在圆的圆心，之后连接半径和。
结合垂径定理与题目给出的条件，可以推得，，。
设，那么，根据同圆的半径相等，可得，借助勾股定理建立方程即可解得，将所得结果代入，进一步计算就可以得到最终结果。
16．【答案】44
【知识点】矩形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题意，∵抛物线经过点和点，
∴抛物线的对称轴为直线，即，
又抛物线与直线只有一个公共点，
∴抛物线的顶点在直线上．
∴，
即
又
∴四边形的周长为是：
故答案为：44．
【分析】
由于已知A、B两点的横坐标不同但纵坐标相同，则由抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线且A、B两点关于对称轴对称，则AB＝6；再由抛物线与直线只有一个公共点可知该抛物线顶点的纵坐标是，即可得，再利用抛物线上点的坐标特征即代入点A的坐标到抛物线解析式可得n=16，即AM＝16，再由抛物线的对称性可得BN＝16，即四边形AMNB是矩形，则其周长等于2（AB+AN）即44．
17．【答案】（1）解：∵，
∴设，，，
∵，
∴，解得：，
∴，，
（2）解：∵线段是线段的比例中项，
∴，
∴，
∵，，
∴（负值已舍去）
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】（）已知，我们可以设，，，之后把所设的参数代入要求的等式计算，就可以得到结果；
（）先根据比例中项的定义列出等式，再计算求解就可以得到答案.
（1）解：∵，
∴设，，，
∵，
∴，解得：，
∴，，；
（2）解：∵线段是线段的比例中项，
∴，
∴，
∵，，
∴（负值已舍去）．
18．【答案】（1）点；．
（2）解：画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的．
位似中心点，与位似比为，绘图如图（连接，，．取其中点为，，，连接得到）
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】
（1）
解：作图连接，，交与点，
故位似中心为点．
和位似
位似比为对应边长之比，即和位似比．
由勾股定理得∶，．
故位似比．
故答案为：点，．
【分析】
（1）由于位似中心是各对应点所在直线的交点，则连接CC1、BB1、AA1，三条线段恰好经过原点，即位似中心为原点，再利用两点距离公式分别求出BC、B1C1的长，则位似比为；
（2）由于位似变换有两种，即同向位似和逆向位似，因为和 是逆向位似，则和 是同向位似，由于位似比是1：2，则分别取OA、OB、OC中点A2、B2、C2，再顺次连接A2B2C2，再利用三角形中位线定理即可证明与位似．
（1）解：作图连接，，交与点，
故位似中心为点．
和位似
位似比为对应边长之比，即和位似比．
由勾股定理得∶，．
故位似比．
故答案为：点，．
（2）解：画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的．
位似中心点，与位似比为，绘图如图（连接，，．取其中点为，，，连接得到）
19．【答案】（1）解：由折线统计图可知，经过大量重复试验，频率在上下波动，逐渐稳定在，∴；
（2）解：；
（3）解：设西游记为A，红楼梦为B，水浒传为C，三国演义为D，根据题意可列表如下：
甲 乙 A B C D
A AA AB AC AD
B BA BB BC BD
C CA CB CC CD
D DA DB DC DD
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两名同学选中同一名著的结果有4种，
∴．
【知识点】几何概率；用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率
【解析】【分析】本题主要考查利用频率估计概率、几何概型的计算，以及运用列表法或树状图法计算概率，熟练掌握不同类型概率的求解方法，是解决这道题的关键。
（1）结合题目给出的折线统计图，依据频率估计概率的思想，就可以得出对应结果；
（2）计算该问的概率时，只需要用丁区域的圆心角度数除以整个圆周的度数360度即可得到结果；
（3）先结合题目给出的条件，利用列表或者画树状图的方法，写出所有等可能发生的结果，再从中找出两名同学恰好选中同一种名著的结果数，最后将对应数值代入概率公式计算，就能得到要求的概率。
（1）解：由折线统计图可知，经过大量重复试验，频率在上下波动，逐渐稳定在，
∴；
（2）解：；
（3）解：设西游记为A，红楼梦为B，水浒传为C，三国演义为D，
根据题意可列表如下：
甲 乙 A B C D
A AA AB AC AD
B BA BB BC BD
C CA CB CC CD
D DA DB DC DD
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两名同学选中同一名著的结果有4种，
∴．
20．【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
答：点O到楼的距离的长为；
（2）解：过C作于H，则四边形是矩形，∴，
在中，∵，
∴，
在中，，
∴两栋楼与的高度之差为．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题主要考查利用解直角三角形解决仰角俯角的实际应用问题，同时涉及等腰三角形的相关判定知识，具体解题思路整理如下：
（1）结合直角三角形的相关性质，能够计算得到；
（2）过点C作，与OE交于点H，根据矩形的性质可以推导出，之后再通过解直角三角形，就能得到最终的结论。
21．【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵与相切于点B，
∴ ，
∵F为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，则，在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的半径为．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）如图，连接OB、OD，由切线的定义可得，再由圆心角、弧、弦的关系可得，由于OB＝OD，则利用SAS可证明，即即可；
（2）设的半径为r，则OB＝OC＝r、OA＝8-r，再在中应用勾股定理即可．
（1）证明：如图所示，连接，
∵与相切于点B，
∴ ，
∵F为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的半径为．
22．【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴.
（2）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，即；
∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由可证，利用相似三角形面积比与相似比的关系求解.
（2）由推出线段比例关系，结合平行线性质证，再根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
故答案为：；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，即；
∵，
∴四边形是平行四边形．
23．【答案】（1）解：，
该二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：①当时，则二次函数，．
，
抛物线开口向上，时有最小值，
当时，，
的取值范围是；
②不变，理由如下：
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
点在该二次函数图象上，其中．
的最小值为，最大值为时的值，
即的最大值为，
的最大值与最小值之差，
的最大值与最小值之差不会随着的变化而变化，的最大值与最小值之差为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质、最值求解，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的相关性质是解答本题的核心关键。
（1）将题目给出的二次函数解析式整理为顶点式，就可以直接得到该二次函数图象的顶点坐标；
（2）①当时，可先确定此时二次函数的解析式为，再结合自变量的取值范围，根据二次函数的增减性就能推导出函数值的取值范围为；
②根据题意可以得到，的最小值为，且的最大值会在处取得；将代入二次函数解析式计算，可得的最大值为，因此最终可以得到的最大值与最小值的差为。
（1）解：，
该二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：①当时，则二次函数，．
，
抛物线开口向上，时有最小值，
当时，，
的取值范围是；
②不变，理由如下：
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
点在该二次函数图象上，其中．
的最小值为，最大值为时的值，
即的最大值为，
的最大值与最小值之差，
的最大值与最小值之差不会随着的变化而变化，的最大值与最小值之差为．
24．【答案】（1）解：如图，连接，设半径为r，
∵，，
∴，
∴
∵在中，，
∴，
，
∴圆心M的坐标为；
（2）解：连接交于点N，
∵，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵M、N分别是和中点，
∴，
∵为的直径
∴，
∴，
∴，
答：四边形的面积为32．
（3）
【知识点】圆周角定理；几何图形的面积计算-割补法；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：
（3）连接AF、DF，再过点D作CF的垂线段DT.
∵
∴
又， ，且
∴
∴，
是直径
，
∴．
【分析】
（1）连接，设半径为r，则由题意知，再在中应用勾股定理求出r即可；
（2）如图，分别连接AC交BM于点N，则由垂径定理的推论可得BM垂直平分AC，再由等面积法可得AN＝OB＝4，再利用勾股可得MN＝3、BN＝2，再由三角形中位线定理可得CD等于MN的2倍即6，再由圆周角定理可得，即可求得，，最后再利用割补法即等于与的和即可；
（3）连接AF、DF，再过点D作CF的垂线段DT，先利用等边对等角、圆周角定理并结合三角形外角的性质可得，即DF＝AF、且是等腰直角三角形，再利用AA可证明，由相似比可得AD，则解直角三角形可依次得DF、CT、DT的长，再利用勾股可得FT的长，最后再利用线段和差关系即可．
（1）连接，设半径为r，
∵，，
∴，
∴
∵在中，，
∴，
，
∴圆心M的坐标为；
（2）连接交于点N，
∵，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵M、N分别是和中点，
∴，
∵为的直径
∴，
∴，
∴，
答：四边形的面积为32．
（3）连接，
∵，
∴，
又， ，且，
∴，
∴，则是等腰直角三角形，，
作于点T，则，，
∴．
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