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2025年四川省成都市中考真题数学试题
1．如果某天中午的气温是5℃，傍晚比中午下降了7℃，那么傍晚的气温是（　　）
A．2℃ B．-2℃ C．-5℃ D．-7℃
2．下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表：
人数
元宇宙 16
脑机接口 a
人形机器人 14
根据图表信息，表中a的值为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．15
6．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．下列命题中，假命题是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直
D．平行四边形的对角线相等
8．小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（　　）
A．小明家到体育馆的距离为
B．小明在体育馆锻炼的时间为
C．小明家到书店的距离为
D．小明从书店到家步行的时间为
9．若，则的值为　 　．
10．任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为　 　．
11．正六边形的边长为1，则对角线的长为　 　．
12．某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而　 　（填“增大”或“减小”）．
13．如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为　 　．
14．（1）计算：．
（2）解不等式组：
15．某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表：
　 物品完好度 服务态度 物流时长
平台A 92 m 90
平台B 95 n 88
（1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是________；
（2）求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好；
（3）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？
16．在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，）
17．如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求半圆O的半径及的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为．
（1）求k的值；
（2）直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式；
（3）P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标．
19．多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是　 　（填一个即可）．
20．从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为　 　．
21．如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为　 　．
22．如图，在中，，点D在边上，，，，则的值为　 　；点E在的延长线上，连接，若，则的长为　 　．
23．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为　 　；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为　 　．
24．2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．
（1）求每个A种挂件的价格；
（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．
25．如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点．
【特例感知】
（1）如图1，当时，点在延长线上，求证：；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若，，求的长；
【拓展延伸】
（3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示）
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围；
（3）过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：5-7=-2℃，
故答案为：B.
【分析】利用有理数的减法解答即可.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意；
B、三棱柱的主视图是矩形（中间有一条竖线 ），俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同主视图是长方形，俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意；
C、球的主视图和俯视图都是圆，主视图和俯视图相同，故该选项符合题意；
D、四棱锥的主视图是三角形，俯视图是带对角线的四边形，主视图和俯视图不相同．
故答案为：C．
【分析】根据圆柱、三棱柱、球、四棱锥的三视图结合题意对选项逐一判断即可求解。
3．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．与不是同类项，不能合并，所以，该选项错误，不符合题意；
B．根据幂的乘方法则，该选项错误，不符合题意；
C．根据完全平方公式，该选项错误，不符合题意；
D．根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，，该选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、单项式乘法的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：，
∵，，
∴点在第二象限；
故答案为：B．
【分析】本题直接分析P点的横坐标与纵坐标，横坐标为-2＜0，纵坐标为，即P点的横坐标为负、纵坐标为正，对应的象限是第二象限，从而得出答案。
5．【答案】B
【知识点】统计表；扇形统计图
【解析】【解答】解：.
故答案为：B．
【分析】根据统计图表提供的信息，用对元宇宙感兴趣得人数除以其所占百分比可求出本次调查的总人数，进而根据对元宇宙、脑机接口和人形机器人感兴趣的人数之和等于本次调查的总人数可求出对脑机接口感兴趣得人数a的值.
6．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】 解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得：
；
故选A．
【分析】
这道题需要结合题目给出的实际情境列出对应的二元一次方程组，提取题目里的两个核心等量关系即可：第一，良田和劣田的总亩数一共是1顷，也就是100亩；第二，购买这两块田总共花费10000钱，根据这两个等量关系就可以列出对应的方程组。
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A： 矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意；
B： 菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；；
C： 正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意；
D： 平行四边形的对角线平分，原说法是假命题，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的性质逐项判断解答即可.
8．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误；
小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误；
小明家到书店的距离为；故选项C正确；
小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误；
故选C．
【分析】
理解横纵坐标的实际意义（横轴为时间，纵轴为离家距离）及图象中每一段所代表的运动状态（上升代表距离，水平代表停留，下降代表靠近）即可.
9．【答案】4
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：4.
【分析】先得到，然后代入计算解答即可.
10．【答案】3
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：3．
【分析】
按照程序框图给出的运算规则列出一元一次方程，再求解方程就能得到结果。
11．【答案】2
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为点O，连接OB、OC、OA、OD，
∵OA=OB=OC=OD，
∴△AOB、△BOC、△COD都是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的边长为1，
∴OA=AB=1，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD =180°，
∴点O在AD上，
∴AD=2OA=2，
故答案为： 2.
【分析】作正六边形ABCDEF的外接圆⊙O， 连接OB、OC、OA、OD， ， 则OA=OB=OC=OD，， 所以△AOB、△BOC、△COD都是等边三角形， 则OA=AB=1， 由∠AOB+∠BOC+∠COD =180°， 证明点O在AD上， 则AD=2OA=2， 于是得到问题的答案.进而求出即可.
12．【答案】减小
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵36>0，
∴ 电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而减小，
故答案为：减小.
【分析】根据反比例函数的增减性解答即可.
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，，设与相交于O，
根据作图过程，得，，
∴垂直平分，则，，
∵在中，，，，
∴，
由得
，
∴，
故答案为：．
【分析】
这道题主要考查线段垂直平分线的判定与性质，以及勾股定理的应用，能够根据题目给出的作图步骤推得垂直平分，是正确求解本题的核心。具体解题思路为：先连接、，设与交于点O；根据作图过程，结合线段垂直平分线的判定与性质可以得到，且；之后借助勾股定理计算出，再利用三角形面积公式求出，进而得到最终结果。
14．【答案】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以原不等式组的解集为
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）分别根据负整数指数幂法则“”、二次根式的性质“”、特殊角的三角函数"、绝对值的性质“负数的绝对值等于其相反数”分别进行计算，再计算二次根式的乘法，最后计算实数加减法运算即可；
（2）根据解不等式的步骤，分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
15．【答案】（1）10分
（2）解：∵，，
且，
∴平台A的服务态度更好；
（3）解：平台A的得分分，
平台B的得分分，
∵，
∴该公司会选择平台B．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；极差
【解析】【解答】（1）解：分，
即七位员工对平台A的服务态度评分的极差是10分；
故答案为：10；
【分析】（1）极差就是一组数据的最大值与最小值的差，据此根据题干提供的信息求解即可；
（2）根据算术平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，分别求出m、n的值，再比大小即可；
（3）求出各项得分与各自权重占比乘积的和即可得出两个平台的最终得分，再比较大小即可得出结论.
（1）解：分，
即七位员工对平台A的服务态度评分的极差是10分；
故答案为：10
（2）解：，
，
∵，
∴平台A的服务态度更好；
（3）解：平台A的得分分，
平台B的得分分，
∵，
∴该公司会选择平台B．
16．【答案】解：由题意，得：，米，
在中，米；
在中，米；
答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意，易得，根据两直线平行，内错角相等，米，分别解，先求出米；再求出米．
17．【答案】（1）解：连接，则：，∴，
∵过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：设半圆O的半径为，则，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：半圆O的半径为2；
∴，
连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∴到的距离相等，都等于的长，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）连接，因为CD是圆O的切线，根据切线的性质可得；OA和OC都是圆O的半径，由同圆半径相等结合等边对等角，可得；根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等可得，且直径所对的圆周角为直角，即，由此结合同角的余角相等，可推出，最后通过等量代换即可得到，完成证明。
（2）连接，设半圆O的半径为，在Rt△中利用勾股定理计算，即可求出半径r的值，进一步得到直径的长；结合切线的性质与直径所对圆周角为直角，可证得OC∥BE，由此得到，在Rt△中利用三角函数，即可分别求出和的长度；再结合角平分线的性质，以及同高的两个三角形面积比等于对应底边的比，可推出比例关系，将已知数据代入，即可计算得到最终结果。
（1）解：连接，则：，
∴，
∵过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）设半圆O的半径为，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：半圆O的半径为2；
∴，
连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∴到的距离相等，都等于的长，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】（1）解：∵直线与x轴的交点为，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴点，
把点代入得：；
（2）解：如图，连接，
由（1）得：反比例函数的解析式为，
∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点，
∴点C的坐标为，
∴，
设点D的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴点D的坐标为，
设直线的函数表达式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的函数表达式为；
（3）解：设点E的坐标为，设直线的解析式为，
把点，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为，
∴，
∴，
∵的面积为2，
∴，
解得：或，
∴点E的坐标为或．
【知识点】解分式方程；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）把点B的坐标代入y=-x+b可算出b的值，从而可求出一次函数的解析式，进而将点A(a，2)代入所求的一次函数解析式算出a的值，从而得到点A的坐标，最后将所求的点A的坐标代入反比例函数可算出k的值；
（2）连接AD，根据反比例函数与正比例函数的中心对称性求出点C的坐标为，根据平面内两点间的距离公式可得AC2=20，由点的坐标与图形性质可设点D的坐标为，进而再根据两点间的距离公式表示出AD2及CD2，再由勾股定理建立方程求出m的值，从而得到点D的坐标，最后利用待定系数法求出直线AD的解析式；
（3）根据点的坐标与图形性质，设点E的坐标为，利用待定系数法求出直线AE的解析式，进而根据x轴上点的坐标特点，可用含t的式子表示点P的坐标，最后再由三角形的面积公式结合△BEP的面积为2建立方程，求解得出t的值，从而可得点E的坐标.
（1）解：∵直线与x轴的交点为，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴点，
把点代入得：；
（2）解：如图，连接，
由（1）得：反比例函数的解析式为，
∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点，
∴点C的坐标为，
∴，
设点D的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴点D的坐标为，
设直线的函数表达式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的函数表达式为；
（3）解：设点E的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为，
∴，
∴，
∵的面积为2，
∴，
解得：或，
∴点E的坐标为或．
19．【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：，
故答案为：4x.
【分析】根据完全平方公式的特征解答即可.
20．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
当a=-1，b=1时，，方程有解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=1，b=-1时，，方程无解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=2，b=-1时，，方程无解；
当a=2，b=1时，，方程无解；
故方程有实数根的概率为
故答案为：.
【分析】列举所有a和b的值的情况，得到方程有实数根的结果数，然后利用概率公式计算解题.
21．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，交于点，则：，
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
【分析】连接，交于点，则：，根据菱形判定定理可得四边形为菱形，则，，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据割补法，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
22．【答案】4；
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：作，垂足分别为，则四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴设，，则：，，
∴，
∴，
∴在中，，由勾股定理，得：，
∴（负值舍去），
∴，，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得：（舍去）或；
故答案为：4，．
【分析】作AH⊥BC，DG⊥BC，DF⊥AH，垂足分别为H、G、F，由三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形DFHG为矩形，由矩形对边相等且平行得到DG=FH，DF=HG，DF∥HG，DG∥AH；易得△BDG为等腰直角三角形，得到BG=DG，由等腰三角形三线合一得到BH=HC，由等边对等角得∠ABC=∠ACB，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△ADF∽△ACH，由相似三角形对应边成比例得到，设，，则由线段和差得DG=8x，CG=2x，由勾股定理得出BD=x，在Rt△CDG中，由正切的定义求出tan∠ACB，由勾股定理建立方程求出x的值，进而求出BD的值；由角的构成正、三角形外角性质及等量代换可求出∠CDE=∠CBD，从而由有两组角相等的三角形相似得出△DEC∽△BED，由相似三角形对应边成比例建立方程求出CE即可.
23．【答案】；
【知识点】分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【解答】解：解：设，
∴，
∴a>，
当a=4时，b=44，
∴，
设，
∴，
∴，
当m=时，，
∴，
故答案为：，.
【分析】根据新定义运算法则可设，整理得到，即可得到a>，然后令a=4求解即可；类比上面解答过程计算解题.
24．【答案】（1）解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元．
根据题意，得，
解得，经检验是原方程的解，且符合题意，
答：每个A种挂件的价格为25元；
（2）解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，
由（1）得每个B种挂件的价格为（元），
根据题意，得，
解得，
由于y为正整数，
故该游客最多购买11个A种挂件．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A种挂件的价格为x元，根据“ 每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个 ”列分式方程解答即可；
（2）设该游客购买y个A种挂件，根据题意列不等式求出y的最大整数解即可.
25．【答案】解：（1）由折叠的性质得：，∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长交于点，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴
∵，即
∴
∴即
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
又∵折叠，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴即
∴
∵
∴
∴
∴
解得：
∴
又∵
∴
∴
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】本题以平行四边形中的折叠及全等三角形为背景，综合考查了折叠的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用。
(1) 利用折叠性质及平行四边形对边平行推出角相等，通过AAS证明△EFP≌△ECQ。
(2) 利用全等及平行线性质，通过相似三角形对应边成比例求出相关线段长。
(3) 延长AD、EQ交于M，构造全等和相似，利用已知比例关系表示线段，推导出CG与DG的比值。
26．【答案】（1）解：∵抛物线过点，且对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：当时，则：，
∴当，，当时，，
∴，
∵，
∴顶点坐标在直线上移动，
∵与线段有公共点，
∴联立，整理，得：，
∴当，即：时，
此时抛物线为，与直线的交点是，在线段上，满足题意，
将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点，
∴当过点时，，
解得：或，
∴当时，抛物线与线段有公共点；
（3）结论：存在；
解：∵，
∴当时，，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点在抛物线的对称轴上，
∵过点，且与直线垂直，
∴，设直线的解析式为：，
在直线上取点，在上取点，使，作轴，轴，如图，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：，即：，
联立，整理，得：，
∴，，
∵为的中点，
∴，
联立，
同理可得：，
假设存在点，使得总是平分，如图，作，
∵平分，
∴
∴，
∴，
设，则：，
解得：
∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定-AAS；二次函数-角度的存在性问题；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】（1）将(-1，3)代入y=ax2+bx可得关于字母a、b的方程a-b=3，再根据对称轴直线公式列出方程，联立两方程求解得出a、b的值，从而即可求出抛物线的解析式；
（2）将x=0与y=-1分别代入y=x-1算出对应函数值，可求出D、E的坐标；易得抛物线的顶点坐标在直线y=-1上移动，根据抛物线与线段DE有公共点，联立抛物线y=(x-h)2-1与直线y=x-1整理得到x2-(2h+1)x+h2=0，由△=0可得h=-时，抛物线为，与直线的交点是，在线段上，满足题意； 将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点， 求出两个临界值即可得出结果；
（3）先求出点坐标，进而求出直线PQ的解析式，联立抛物线与直线AB，根据根与系数的关系结合中点坐标公式求出M点坐标，同理求出N点坐标，作，根据平分，得到，设，根据正切的定义，列出比例式进行求解即可．
（1）解：∵抛物线过点，且对称轴为直线，
∴，解得：，
∴；
（2）当时，则：，
∴当，，当时，，
∴，
∵，
∴顶点坐标在直线上移动，
∵与线段有公共点，
∴联立，整理，得：，
∴当，即：时，
此时抛物线为，与直线的交点是，在线段上，满足题意，
将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点，
∴当过点时，，
解得：或，
∴当时，抛物线与线段有公共点；
（3）结论：存在；
解：∵，
∴当时，，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点在抛物线的对称轴上，
∵过点，且与直线垂直，
∴，设直线的解析式为：，
在直线上取点，在上取点，使，作轴，轴，如图，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：，即：，
联立，整理，得：，
∴，，
∵为的中点，
∴，
联立，
同理可得：，
假设存在点，使得总是平分，如图，作，
∵平分，
∴
∴，
∴，
设，则：，
解得：
∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分．
1 / 12025年四川省成都市中考真题数学试题
1．如果某天中午的气温是5℃，傍晚比中午下降了7℃，那么傍晚的气温是（　　）
A．2℃ B．-2℃ C．-5℃ D．-7℃
【答案】B
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：5-7=-2℃，
故答案为：B.
【分析】利用有理数的减法解答即可.
2．下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意；
B、三棱柱的主视图是矩形（中间有一条竖线 ），俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同主视图是长方形，俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意；
C、球的主视图和俯视图都是圆，主视图和俯视图相同，故该选项符合题意；
D、四棱锥的主视图是三角形，俯视图是带对角线的四边形，主视图和俯视图不相同．
故答案为：C．
【分析】根据圆柱、三棱柱、球、四棱锥的三视图结合题意对选项逐一判断即可求解。
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．与不是同类项，不能合并，所以，该选项错误，不符合题意；
B．根据幂的乘方法则，该选项错误，不符合题意；
C．根据完全平方公式，该选项错误，不符合题意；
D．根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，，该选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、单项式乘法的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
4．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：，
∵，，
∴点在第二象限；
故答案为：B．
【分析】本题直接分析P点的横坐标与纵坐标，横坐标为-2＜0，纵坐标为，即P点的横坐标为负、纵坐标为正，对应的象限是第二象限，从而得出答案。
5．在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表：
人数
元宇宙 16
脑机接口 a
人形机器人 14
根据图表信息，表中a的值为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．15
【答案】B
【知识点】统计表；扇形统计图
【解析】【解答】解：.
故答案为：B．
【分析】根据统计图表提供的信息，用对元宇宙感兴趣得人数除以其所占百分比可求出本次调查的总人数，进而根据对元宇宙、脑机接口和人形机器人感兴趣的人数之和等于本次调查的总人数可求出对脑机接口感兴趣得人数a的值.
6．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】 解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得：
；
故选A．
【分析】
这道题需要结合题目给出的实际情境列出对应的二元一次方程组，提取题目里的两个核心等量关系即可：第一，良田和劣田的总亩数一共是1顷，也就是100亩；第二，购买这两块田总共花费10000钱，根据这两个等量关系就可以列出对应的方程组。
7．下列命题中，假命题是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直
D．平行四边形的对角线相等
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A： 矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意；
B： 菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；；
C： 正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意；
D： 平行四边形的对角线平分，原说法是假命题，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的性质逐项判断解答即可.
8．小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（　　）
A．小明家到体育馆的距离为
B．小明在体育馆锻炼的时间为
C．小明家到书店的距离为
D．小明从书店到家步行的时间为
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误；
小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误；
小明家到书店的距离为；故选项C正确；
小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误；
故选C．
【分析】
理解横纵坐标的实际意义（横轴为时间，纵轴为离家距离）及图象中每一段所代表的运动状态（上升代表距离，水平代表停留，下降代表靠近）即可.
9．若，则的值为　 　．
【答案】4
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：4.
【分析】先得到，然后代入计算解答即可.
10．任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为　 　．
【答案】3
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：3．
【分析】
按照程序框图给出的运算规则列出一元一次方程，再求解方程就能得到结果。
11．正六边形的边长为1，则对角线的长为　 　．
【答案】2
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为点O，连接OB、OC、OA、OD，
∵OA=OB=OC=OD，
∴△AOB、△BOC、△COD都是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的边长为1，
∴OA=AB=1，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD =180°，
∴点O在AD上，
∴AD=2OA=2，
故答案为： 2.
【分析】作正六边形ABCDEF的外接圆⊙O， 连接OB、OC、OA、OD， ， 则OA=OB=OC=OD，， 所以△AOB、△BOC、△COD都是等边三角形， 则OA=AB=1， 由∠AOB+∠BOC+∠COD =180°， 证明点O在AD上， 则AD=2OA=2， 于是得到问题的答案.进而求出即可.
12．某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而　 　（填“增大”或“减小”）．
【答案】减小
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵36>0，
∴ 电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而减小，
故答案为：减小.
【分析】根据反比例函数的增减性解答即可.
13．如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，，设与相交于O，
根据作图过程，得，，
∴垂直平分，则，，
∵在中，，，，
∴，
由得
，
∴，
故答案为：．
【分析】
这道题主要考查线段垂直平分线的判定与性质，以及勾股定理的应用，能够根据题目给出的作图步骤推得垂直平分，是正确求解本题的核心。具体解题思路为：先连接、，设与交于点O；根据作图过程，结合线段垂直平分线的判定与性质可以得到，且；之后借助勾股定理计算出，再利用三角形面积公式求出，进而得到最终结果。
14．（1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以原不等式组的解集为
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）分别根据负整数指数幂法则“”、二次根式的性质“”、特殊角的三角函数"、绝对值的性质“负数的绝对值等于其相反数”分别进行计算，再计算二次根式的乘法，最后计算实数加减法运算即可；
（2）根据解不等式的步骤，分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
15．某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表：
　 物品完好度 服务态度 物流时长
平台A 92 m 90
平台B 95 n 88
（1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是________；
（2）求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好；
（3）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？
【答案】（1）10分
（2）解：∵，，
且，
∴平台A的服务态度更好；
（3）解：平台A的得分分，
平台B的得分分，
∵，
∴该公司会选择平台B．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；极差
【解析】【解答】（1）解：分，
即七位员工对平台A的服务态度评分的极差是10分；
故答案为：10；
【分析】（1）极差就是一组数据的最大值与最小值的差，据此根据题干提供的信息求解即可；
（2）根据算术平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，分别求出m、n的值，再比大小即可；
（3）求出各项得分与各自权重占比乘积的和即可得出两个平台的最终得分，再比较大小即可得出结论.
（1）解：分，
即七位员工对平台A的服务态度评分的极差是10分；
故答案为：10
（2）解：，
，
∵，
∴平台A的服务态度更好；
（3）解：平台A的得分分，
平台B的得分分，
∵，
∴该公司会选择平台B．
16．在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，）
【答案】解：由题意，得：，米，
在中，米；
在中，米；
答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意，易得，根据两直线平行，内错角相等，米，分别解，先求出米；再求出米．
17．如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求半圆O的半径及的长．
【答案】（1）解：连接，则：，∴，
∵过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：设半圆O的半径为，则，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：半圆O的半径为2；
∴，
连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∴到的距离相等，都等于的长，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）连接，因为CD是圆O的切线，根据切线的性质可得；OA和OC都是圆O的半径，由同圆半径相等结合等边对等角，可得；根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等可得，且直径所对的圆周角为直角，即，由此结合同角的余角相等，可推出，最后通过等量代换即可得到，完成证明。
（2）连接，设半圆O的半径为，在Rt△中利用勾股定理计算，即可求出半径r的值，进一步得到直径的长；结合切线的性质与直径所对圆周角为直角，可证得OC∥BE，由此得到，在Rt△中利用三角函数，即可分别求出和的长度；再结合角平分线的性质，以及同高的两个三角形面积比等于对应底边的比，可推出比例关系，将已知数据代入，即可计算得到最终结果。
（1）解：连接，则：，
∴，
∵过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）设半圆O的半径为，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：半圆O的半径为2；
∴，
连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∴到的距离相等，都等于的长，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为．
（1）求k的值；
（2）直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式；
（3）P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标．
【答案】（1）解：∵直线与x轴的交点为，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴点，
把点代入得：；
（2）解：如图，连接，
由（1）得：反比例函数的解析式为，
∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点，
∴点C的坐标为，
∴，
设点D的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴点D的坐标为，
设直线的函数表达式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的函数表达式为；
（3）解：设点E的坐标为，设直线的解析式为，
把点，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为，
∴，
∴，
∵的面积为2，
∴，
解得：或，
∴点E的坐标为或．
【知识点】解分式方程；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）把点B的坐标代入y=-x+b可算出b的值，从而可求出一次函数的解析式，进而将点A(a，2)代入所求的一次函数解析式算出a的值，从而得到点A的坐标，最后将所求的点A的坐标代入反比例函数可算出k的值；
（2）连接AD，根据反比例函数与正比例函数的中心对称性求出点C的坐标为，根据平面内两点间的距离公式可得AC2=20，由点的坐标与图形性质可设点D的坐标为，进而再根据两点间的距离公式表示出AD2及CD2，再由勾股定理建立方程求出m的值，从而得到点D的坐标，最后利用待定系数法求出直线AD的解析式；
（3）根据点的坐标与图形性质，设点E的坐标为，利用待定系数法求出直线AE的解析式，进而根据x轴上点的坐标特点，可用含t的式子表示点P的坐标，最后再由三角形的面积公式结合△BEP的面积为2建立方程，求解得出t的值，从而可得点E的坐标.
（1）解：∵直线与x轴的交点为，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴点，
把点代入得：；
（2）解：如图，连接，
由（1）得：反比例函数的解析式为，
∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点，
∴点C的坐标为，
∴，
设点D的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴点D的坐标为，
设直线的函数表达式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的函数表达式为；
（3）解：设点E的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为，
∴，
∴，
∵的面积为2，
∴，
解得：或，
∴点E的坐标为或．
19．多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是　 　（填一个即可）．
【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：，
故答案为：4x.
【分析】根据完全平方公式的特征解答即可.
20．从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
当a=-1，b=1时，，方程有解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=1，b=-1时，，方程无解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=2，b=-1时，，方程无解；
当a=2，b=1时，，方程无解；
故方程有实数根的概率为
故答案为：.
【分析】列举所有a和b的值的情况，得到方程有实数根的结果数，然后利用概率公式计算解题.
21．如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，交于点，则：，
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
【分析】连接，交于点，则：，根据菱形判定定理可得四边形为菱形，则，，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据割补法，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
22．如图，在中，，点D在边上，，，，则的值为　 　；点E在的延长线上，连接，若，则的长为　 　．
【答案】4；
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：作，垂足分别为，则四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴设，，则：，，
∴，
∴，
∴在中，，由勾股定理，得：，
∴（负值舍去），
∴，，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得：（舍去）或；
故答案为：4，．
【分析】作AH⊥BC，DG⊥BC，DF⊥AH，垂足分别为H、G、F，由三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形DFHG为矩形，由矩形对边相等且平行得到DG=FH，DF=HG，DF∥HG，DG∥AH；易得△BDG为等腰直角三角形，得到BG=DG，由等腰三角形三线合一得到BH=HC，由等边对等角得∠ABC=∠ACB，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△ADF∽△ACH，由相似三角形对应边成比例得到，设，，则由线段和差得DG=8x，CG=2x，由勾股定理得出BD=x，在Rt△CDG中，由正切的定义求出tan∠ACB，由勾股定理建立方程求出x的值，进而求出BD的值；由角的构成正、三角形外角性质及等量代换可求出∠CDE=∠CBD，从而由有两组角相等的三角形相似得出△DEC∽△BED，由相似三角形对应边成比例建立方程求出CE即可.
23．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为　 　；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为　 　．
【答案】；
【知识点】分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【解答】解：解：设，
∴，
∴a>，
当a=4时，b=44，
∴，
设，
∴，
∴，
当m=时，，
∴，
故答案为：，.
【分析】根据新定义运算法则可设，整理得到，即可得到a>，然后令a=4求解即可；类比上面解答过程计算解题.
24．2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．
（1）求每个A种挂件的价格；
（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．
【答案】（1）解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元．
根据题意，得，
解得，经检验是原方程的解，且符合题意，
答：每个A种挂件的价格为25元；
（2）解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，
由（1）得每个B种挂件的价格为（元），
根据题意，得，
解得，
由于y为正整数，
故该游客最多购买11个A种挂件．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A种挂件的价格为x元，根据“ 每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个 ”列分式方程解答即可；
（2）设该游客购买y个A种挂件，根据题意列不等式求出y的最大整数解即可.
25．如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点．
【特例感知】
（1）如图1，当时，点在延长线上，求证：；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若，，求的长；
【拓展延伸】
（3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示）
【答案】解：（1）由折叠的性质得：，∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长交于点，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴
∵，即
∴
∴即
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
又∵折叠，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴即
∴
∵
∴
∴
∴
解得：
∴
又∵
∴
∴
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】本题以平行四边形中的折叠及全等三角形为背景，综合考查了折叠的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用。
(1) 利用折叠性质及平行四边形对边平行推出角相等，通过AAS证明△EFP≌△ECQ。
(2) 利用全等及平行线性质，通过相似三角形对应边成比例求出相关线段长。
(3) 延长AD、EQ交于M，构造全等和相似，利用已知比例关系表示线段，推导出CG与DG的比值。
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围；
（3）过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线过点，且对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：当时，则：，
∴当，，当时，，
∴，
∵，
∴顶点坐标在直线上移动，
∵与线段有公共点，
∴联立，整理，得：，
∴当，即：时，
此时抛物线为，与直线的交点是，在线段上，满足题意，
将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点，
∴当过点时，，
解得：或，
∴当时，抛物线与线段有公共点；
（3）结论：存在；
解：∵，
∴当时，，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点在抛物线的对称轴上，
∵过点，且与直线垂直，
∴，设直线的解析式为：，
在直线上取点，在上取点，使，作轴，轴，如图，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：，即：，
联立，整理，得：，
∴，，
∵为的中点，
∴，
联立，
同理可得：，
假设存在点，使得总是平分，如图，作，
∵平分，
∴
∴，
∴，
设，则：，
解得：
∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定-AAS；二次函数-角度的存在性问题；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】（1）将(-1，3)代入y=ax2+bx可得关于字母a、b的方程a-b=3，再根据对称轴直线公式列出方程，联立两方程求解得出a、b的值，从而即可求出抛物线的解析式；
（2）将x=0与y=-1分别代入y=x-1算出对应函数值，可求出D、E的坐标；易得抛物线的顶点坐标在直线y=-1上移动，根据抛物线与线段DE有公共点，联立抛物线y=(x-h)2-1与直线y=x-1整理得到x2-(2h+1)x+h2=0，由△=0可得h=-时，抛物线为，与直线的交点是，在线段上，满足题意； 将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点， 求出两个临界值即可得出结果；
（3）先求出点坐标，进而求出直线PQ的解析式，联立抛物线与直线AB，根据根与系数的关系结合中点坐标公式求出M点坐标，同理求出N点坐标，作，根据平分，得到，设，根据正切的定义，列出比例式进行求解即可．
（1）解：∵抛物线过点，且对称轴为直线，
∴，解得：，
∴；
（2）当时，则：，
∴当，，当时，，
∴，
∵，
∴顶点坐标在直线上移动，
∵与线段有公共点，
∴联立，整理，得：，
∴当，即：时，
此时抛物线为，与直线的交点是，在线段上，满足题意，
将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点，
∴当过点时，，
解得：或，
∴当时，抛物线与线段有公共点；
（3）结论：存在；
解：∵，
∴当时，，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点在抛物线的对称轴上，
∵过点，且与直线垂直，
∴，设直线的解析式为：，
在直线上取点，在上取点，使，作轴，轴，如图，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：，即：，
联立，整理，得：，
∴，，
∵为的中点，
∴，
联立，
同理可得：，
假设存在点，使得总是平分，如图，作，
∵平分，
∴
∴，
∴，
设，则：，
解得：
∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分．
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