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浙江省杭州市萧山区文渊实验初级中学2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试卷
1．以下图标是“慈溪文旅”的部分宣传图，其中图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
【分析】根据轴对称图形的概念，判断每个选项中的图形是否能找到一条直线，使其沿这条直线折叠后直线两旁的部分能够互相重合.
2．下列各图中，正确画出边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：根据三角形高线的定义“从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段”可知只有D选项符合边上的高；
故选D．
【分析】
三角形的一边上的高线指过这条边所对的顶点向这条边所作的垂线段．
3．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为(　　)
A．16 B．18 C．20 D．16或20
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8-4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长=8+8+4=20．
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解
4．已知，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵3a＞﹣6b，∴
故A不符合题意；
∵3a＞﹣6b，
∴a＞﹣2b，
∴a+1＞﹣2b+1，
故B不符合题意；
∵3a＞﹣6b，
∴a＞﹣2b，
得不到
故C符合题意；
∵3a＞﹣6b，
∴a＞﹣2b，
∴
故D不符合题意；
故选：C．
【分析】首先对原不等式进行变形，给不等式两边同时除以3，可得到a＞-2b；再给这个不等式的两边同时加1，能够推出a+1＞-2b+1。已知-2b+1＞-2b-1，根据不等式的同向传递性，即可得到题目所需的结论。
5．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（　　）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等、两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等逐项分析即可求解.
6．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC＝100°，则∠EAG的度数是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝100°，∴∠C＋∠B＝180° 100°＝80°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理∠GAC＝∠C，
∴∠EAB＋∠GAC＝∠C＋∠B＝80°，
∴∠EAG＝100° 80°＝20°，
故选：B．
【分析】本题主要涉及线段垂直平分线的性质和三角形内角和的性质，首先根据线段的垂直平分线的性质得到相等的角，再结合三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数.
7．如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；……；与的平分线交于点，要使的度数为整数，则的最大值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
∴∠A1+∠A1BC=（∠A+∠ABC）=∠A+∠A1BC，
∴∠A1=∠A=×64°=32°；
∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，
而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠A1，
∴∠A1=∠A，
同理可得∠A1=2∠A2，
∴∠A2=∠A，
∴∠A=2n∠An，
∴∠An=()n∠A=，
∵∠An的度数为整数，
∵n=6．
故选C.
【分析】这道题的关键在于利用角平分线性质和三角形外角的性质，找到角度之间的递推关系，通过计算前几项，我们可以发现每次迭代都会是角度减半，从而总结出的通用公式.
8．已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个顶角等于(　　)
A．或 B． C． D．或
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，为等腰三角形腰上的高，并且，取边中点E，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴顶角，
当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图，
为等腰三角形腰上的高，并且，
同理可得，
∴顶角，
故选：D．
【分析】
由于锐角三角形的三条高都在三角形内部，而钝角三角形的两条高都在三角形外部，因此应分类讨论，再利用直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半即可．
9．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：
①，②，③，④.
其中说法正确的是(　　)
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】可设大正方形边长为a，小正方形边长为b，所以据题意可得a2=49，b2=4；
根据直角三角形勾股定理得a2=x2+y2，所以x2+y2=49，式①正确；
因为是四个全等三角形，所以有x=y+2，所以x-y=2，式②正确；
根据三角形面积公式可得 ，而大正方形的面积等于四个三角形面积加上小正方形的面积，所以，化简得2xy+4=49，式③正确；
因为x2+y2=49，2xy+4=49，
所以
所以，因而式④不正确．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理可得出x2+y2=49，即①正确；再根据四个直角三角形全等，可得出②正确；再根据大正方形的面积等于四个三角形面积加上小正方形的面积，可得出，即可得出③正确；再根据完全平方公式，可得出，即可得出④不正确，即可得出答案。
10．如图，在中，，为斜边的中点，在内绕点转动，分别交边，于点，（点不与点，重合），下列说法正确的是（　　）
①；②；③
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：①∵，∴△是等腰直角三角形
∴∠
∵点D是AB的中点，
∴，∠
∵∠
∴∠
∴∠
在△和△中
∴△
∴
∴△是等腰直角三角形
∴∠，故①正确；
②∵∠
∴∠
∴∠
在△与△中
∴△
∴
∵
∴，故②正确；
③∵△是等腰直角三角形，
∴
∵当时，最短，
∴
∴
即，故③错误；
∴综上，正确的是①②，
故选：A．
【分析】①首先结合已知条件可证得为等腰直角三角形，再通过ASA判定定理即可证明△，由此得到对应边ED=FD，即可判定①正确；
②先通过SAS判定定理证明△，可得对应边，再结合勾股定理推理论证，即可判定②正确；
③当时，取得最小值，结合△是等腰直角三角形的性质，可得不等式，整理后进行代换推导，即可判定③错误。
11．请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理　 　．
【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】根据等角对等边知，“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形
【分析】将原命题改写成如果那么的形式，用如果领起的部分是题设，用那么领起的部分是结论，将原命题的题设和结论交换位置，即可得到原命题的逆命题。
12．如图，在中，是它的角平分线，，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，于点，如图，
是的平分线，
故答案为：．
【分析】
由于角平分线上的点到角两边距离相等，即可过点E分别作两边AB、AC的垂线段DE、DF，则DE＝DF，即.
13．如图，在中，，是的角平分线，过点作的垂线，交的延长线于点，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵过点作的垂线，交的延长线于点，
∴，，
∵，
∴，
即，
又是的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由等角的余角相等可得，再由角平分线的概念可得，再利用直角三角形的两个锐角互余即可.
14．如图，在中，，，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若，则　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接BE，
的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
，
中，，D是AB的中点，
，
又，
，
设，则，
，
中，，
即，
解得，
，
故答案为．
【分析】本题主要利用直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理来求解AE的长度.
15．如图，已知射线，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，作，垂足为，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】 解：如图所示，连接，
，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
【分析】这道题考查等边三角形的性质与判定，可先根据题目给出的作图过程推出三边相等，即，根据三边相等的三角形是等边三角形，可得是等边三角形，最后结合等边三角形的性质，就能计算得出最终结果了。
16．如图1，已知直线的同侧有两个点、，在直线上找一点，使点到、两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题．
（1）如图2，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为　 　．
（2）如图3，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为　 　．
【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；将军饮马模型-两线两点（两动两定）
【解析】【解答】解：（1）作于点，交与点，过点作于点，则的最小值为，
平分，，
在中，
由勾股定理得
所以的最小值为．
故答案为：．
（2）作点关于的对称点，作点关于的对称点， 连接分别交、于点，连接，则的最小值为的长
由对称可得垂直平分，垂直平分，
在中由勾股定理得
所以的最小值为
故答案为：．
【分析】
（1）在AC上截取AH＝AN，连接MH，则由轴对称可得MH＝MN，即BM+MN转化为BM+BH，则由两点之间线段最短知BM+MNBH，又因为垂线段最短，即当BHAC时BM+MN有最小值，最小值为垂线段BH的长，再利用直角三角形中30度角的性质结合勾股定理即可；
（2）作点关于的对称点，作点关于的对称点， 连接分别交、于点，连接，则由两点之间线段最短得的最小值为的长，再根据对称的性质结合勾股定理求出长即可．
17．如图，已知点是线段上的两点，且，，，求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】
三角形全等的判定与性质，即先利用线段的和差关系可得，再利用判定即可．
18．如图，已知，、分别平分和，点在上，请你探究线段与线段、之间的数量关系．
（1）用等式表示线段与线段、之间的数量关系：______；
（2）请你对第（1）问中的数量关系进行证明．
【答案】（1）
（2）证明：∵
∴
∵、分别平分和
∴
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
（1）
解：，
故答案为：．
【分析】
（1）直观感受并猜想；
（2）根据角平分线、平行线的性质可得，，再由等角对等边得，再利用线段的和差关系并等量代换即可．
（1）解：，
故答案为：．
（2）证明：∵
∴
∵、分别平分和
∴
∴，
∴，
∴
19．如图，，M，N分别是，的中点．
（1）猜想与的位置关系？并证明你的猜想．
（2）直接写出、、三者之间的数量关系：_______
【答案】（1）解：与的位置关系是垂直且平分，
证明∶连接，
，，M为中点，
，，
，
为中点，
，，
即与的位置关系是垂直且平分；
（2）．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】 解：（2），
，
，，
，
即．
【分析】
这道题主要考察了等腰三角形性质、直角三角形斜边中线性质与勾股定理，是一道比较典型的几何题目，解题的核心关键是推出，主要检验我们运用已知几何定理进行推理证明的能力。
（1）证明结论时，我们先连接和，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可以得到，同时，因此就能得到；最后在等腰三角形中，利用等腰三角形三线合一的性质，就可以证得题目要求的结论。
（2）推导关系式时，结合勾股定理，以及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，就可以推得出关系式。
（1）解：与的位置关系是垂直且平分，
证明∶连接，
，，M为中点，
，，
，
为中点，
，，
即与的位置关系是垂直且平分；
（2）解：，
，
，，
，
即．
20．定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”.如图1在中，若，则是“和谐三角形”.
（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是______命题（填“真”或“假”）.
（2）若中，，，，，且，若是“和谐三角形”，求.
（3）如图2，在等边三角形的边，上各取一点，，且，，相交于点，是的高，若是“和谐三角形”，且.
①求证：.
②连结，若，那么线段，，能否组成一个“和谐三角形”？若能，请给出证明：若不能，请说明理由.
【答案】（1）真；
解：（2）∵，，，，
∴.
①若，则.（舍去）
②若，则，
∴，得.
由勾股定理得
∴.
③若，则，
∴，得.
由勾股定理得
∴
∵
∴（舍去）
综上可知，是“和谐三角形”时.
解：（3）①∵在等边三角形中，
∴，.
又∵是的高，是“和谐三角形”，
∴.
∴.
∴.
又∵.
∴.
∴.
∴.
②
∵，
∴.
∴
∴.
由，知，
设，，则.
∴
，
∴，
∴，
∴线段，，能组成一个和谐三角形.
【知识点】等边三角形的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）设等边三角形三边分别为a，b，c
∵三角形为等边三角形
∴a=b=c
∵
∴等边三角形是“和谐三角形”
故答案为“真”
【分析】
（1）利用“和谐三角形”的定义验证即可；
（2）若是“和谐三角形”，分，，三种情况，已知，，第一种情况不符合题意，对另外两种情况讨论即可；
（3）①在等边三角形ABC中，可得，又因为所以，得到即可；
②由及AB=AC，可得因此AG=BF.再结合AD=CE，可得BE=CD，设FG=EG=则BG=，通过计算即可.
1 / 1浙江省杭州市萧山区文渊实验初级中学2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试卷
1．以下图标是“慈溪文旅”的部分宣传图，其中图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各图中，正确画出边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
3．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为(　　)
A．16 B．18 C．20 D．16或20
4．已知，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（　　）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
6．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC＝100°，则∠EAG的度数是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
7．如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；……；与的平分线交于点，要使的度数为整数，则的最大值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个顶角等于(　　)
A．或 B． C． D．或
9．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：
①，②，③，④.
其中说法正确的是(　　)
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
10．如图，在中，，为斜边的中点，在内绕点转动，分别交边，于点，（点不与点，重合），下列说法正确的是（　　）
①；②；③
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
11．请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理　 　．
12．如图，在中，是它的角平分线，，，则　 　．
13．如图，在中，，是的角平分线，过点作的垂线，交的延长线于点，若，则的度数为　 　．
14．如图，在中，，，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若，则　 　．
15．如图，已知射线，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，作，垂足为，则的度数是　 　．
16．如图1，已知直线的同侧有两个点、，在直线上找一点，使点到、两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题．
（1）如图2，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为　 　．
（2）如图3，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为　 　．
17．如图，已知点是线段上的两点，且，，，求证：．
18．如图，已知，、分别平分和，点在上，请你探究线段与线段、之间的数量关系．
（1）用等式表示线段与线段、之间的数量关系：______；
（2）请你对第（1）问中的数量关系进行证明．
19．如图，，M，N分别是，的中点．
（1）猜想与的位置关系？并证明你的猜想．
（2）直接写出、、三者之间的数量关系：_______
20．定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”.如图1在中，若，则是“和谐三角形”.
（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是______命题（填“真”或“假”）.
（2）若中，，，，，且，若是“和谐三角形”，求.
（3）如图2，在等边三角形的边，上各取一点，，且，，相交于点，是的高，若是“和谐三角形”，且.
①求证：.
②连结，若，那么线段，，能否组成一个“和谐三角形”？若能，请给出证明：若不能，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
【分析】根据轴对称图形的概念，判断每个选项中的图形是否能找到一条直线，使其沿这条直线折叠后直线两旁的部分能够互相重合.
2．【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：根据三角形高线的定义“从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段”可知只有D选项符合边上的高；
故选D．
【分析】
三角形的一边上的高线指过这条边所对的顶点向这条边所作的垂线段．
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8-4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长=8+8+4=20．
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解
4．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵3a＞﹣6b，∴
故A不符合题意；
∵3a＞﹣6b，
∴a＞﹣2b，
∴a+1＞﹣2b+1，
故B不符合题意；
∵3a＞﹣6b，
∴a＞﹣2b，
得不到
故C符合题意；
∵3a＞﹣6b，
∴a＞﹣2b，
∴
故D不符合题意；
故选：C．
【分析】首先对原不等式进行变形，给不等式两边同时除以3，可得到a＞-2b；再给这个不等式的两边同时加1，能够推出a+1＞-2b+1。已知-2b+1＞-2b-1，根据不等式的同向传递性，即可得到题目所需的结论。
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等、两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等逐项分析即可求解.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝100°，∴∠C＋∠B＝180° 100°＝80°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理∠GAC＝∠C，
∴∠EAB＋∠GAC＝∠C＋∠B＝80°，
∴∠EAG＝100° 80°＝20°，
故选：B．
【分析】本题主要涉及线段垂直平分线的性质和三角形内角和的性质，首先根据线段的垂直平分线的性质得到相等的角，再结合三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
∴∠A1+∠A1BC=（∠A+∠ABC）=∠A+∠A1BC，
∴∠A1=∠A=×64°=32°；
∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，
而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠A1，
∴∠A1=∠A，
同理可得∠A1=2∠A2，
∴∠A2=∠A，
∴∠A=2n∠An，
∴∠An=()n∠A=，
∵∠An的度数为整数，
∵n=6．
故选C.
【分析】这道题的关键在于利用角平分线性质和三角形外角的性质，找到角度之间的递推关系，通过计算前几项，我们可以发现每次迭代都会是角度减半，从而总结出的通用公式.
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，为等腰三角形腰上的高，并且，取边中点E，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴顶角，
当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图，
为等腰三角形腰上的高，并且，
同理可得，
∴顶角，
故选：D．
【分析】
由于锐角三角形的三条高都在三角形内部，而钝角三角形的两条高都在三角形外部，因此应分类讨论，再利用直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半即可．
9．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】可设大正方形边长为a，小正方形边长为b，所以据题意可得a2=49，b2=4；
根据直角三角形勾股定理得a2=x2+y2，所以x2+y2=49，式①正确；
因为是四个全等三角形，所以有x=y+2，所以x-y=2，式②正确；
根据三角形面积公式可得 ，而大正方形的面积等于四个三角形面积加上小正方形的面积，所以，化简得2xy+4=49，式③正确；
因为x2+y2=49，2xy+4=49，
所以
所以，因而式④不正确．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理可得出x2+y2=49，即①正确；再根据四个直角三角形全等，可得出②正确；再根据大正方形的面积等于四个三角形面积加上小正方形的面积，可得出，即可得出③正确；再根据完全平方公式，可得出，即可得出④不正确，即可得出答案。
10．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：①∵，∴△是等腰直角三角形
∴∠
∵点D是AB的中点，
∴，∠
∵∠
∴∠
∴∠
在△和△中
∴△
∴
∴△是等腰直角三角形
∴∠，故①正确；
②∵∠
∴∠
∴∠
在△与△中
∴△
∴
∵
∴，故②正确；
③∵△是等腰直角三角形，
∴
∵当时，最短，
∴
∴
即，故③错误；
∴综上，正确的是①②，
故选：A．
【分析】①首先结合已知条件可证得为等腰直角三角形，再通过ASA判定定理即可证明△，由此得到对应边ED=FD，即可判定①正确；
②先通过SAS判定定理证明△，可得对应边，再结合勾股定理推理论证，即可判定②正确；
③当时，取得最小值，结合△是等腰直角三角形的性质，可得不等式，整理后进行代换推导，即可判定③错误。
11．【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】根据等角对等边知，“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形
【分析】将原命题改写成如果那么的形式，用如果领起的部分是题设，用那么领起的部分是结论，将原命题的题设和结论交换位置，即可得到原命题的逆命题。
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，于点，如图，
是的平分线，
故答案为：．
【分析】
由于角平分线上的点到角两边距离相等，即可过点E分别作两边AB、AC的垂线段DE、DF，则DE＝DF，即.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵过点作的垂线，交的延长线于点，
∴，，
∵，
∴，
即，
又是的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由等角的余角相等可得，再由角平分线的概念可得，再利用直角三角形的两个锐角互余即可.
14．【答案】
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接BE，
的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
，
中，，D是AB的中点，
，
又，
，
设，则，
，
中，，
即，
解得，
，
故答案为．
【分析】本题主要利用直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理来求解AE的长度.
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】 解：如图所示，连接，
，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
【分析】这道题考查等边三角形的性质与判定，可先根据题目给出的作图过程推出三边相等，即，根据三边相等的三角形是等边三角形，可得是等边三角形，最后结合等边三角形的性质，就能计算得出最终结果了。
16．【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；将军饮马模型-两线两点（两动两定）
【解析】【解答】解：（1）作于点，交与点，过点作于点，则的最小值为，
平分，，
在中，
由勾股定理得
所以的最小值为．
故答案为：．
（2）作点关于的对称点，作点关于的对称点， 连接分别交、于点，连接，则的最小值为的长
由对称可得垂直平分，垂直平分，
在中由勾股定理得
所以的最小值为
故答案为：．
【分析】
（1）在AC上截取AH＝AN，连接MH，则由轴对称可得MH＝MN，即BM+MN转化为BM+BH，则由两点之间线段最短知BM+MNBH，又因为垂线段最短，即当BHAC时BM+MN有最小值，最小值为垂线段BH的长，再利用直角三角形中30度角的性质结合勾股定理即可；
（2）作点关于的对称点，作点关于的对称点， 连接分别交、于点，连接，则由两点之间线段最短得的最小值为的长，再根据对称的性质结合勾股定理求出长即可．
17．【答案】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】
三角形全等的判定与性质，即先利用线段的和差关系可得，再利用判定即可．
18．【答案】（1）
（2）证明：∵
∴
∵、分别平分和
∴
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
（1）
解：，
故答案为：．
【分析】
（1）直观感受并猜想；
（2）根据角平分线、平行线的性质可得，，再由等角对等边得，再利用线段的和差关系并等量代换即可．
（1）解：，
故答案为：．
（2）证明：∵
∴
∵、分别平分和
∴
∴，
∴，
∴
19．【答案】（1）解：与的位置关系是垂直且平分，
证明∶连接，
，，M为中点，
，，
，
为中点，
，，
即与的位置关系是垂直且平分；
（2）．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】 解：（2），
，
，，
，
即．
【分析】
这道题主要考察了等腰三角形性质、直角三角形斜边中线性质与勾股定理，是一道比较典型的几何题目，解题的核心关键是推出，主要检验我们运用已知几何定理进行推理证明的能力。
（1）证明结论时，我们先连接和，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可以得到，同时，因此就能得到；最后在等腰三角形中，利用等腰三角形三线合一的性质，就可以证得题目要求的结论。
（2）推导关系式时，结合勾股定理，以及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，就可以推得出关系式。
（1）解：与的位置关系是垂直且平分，
证明∶连接，
，，M为中点，
，，
，
为中点，
，，
即与的位置关系是垂直且平分；
（2）解：，
，
，，
，
即．
20．【答案】（1）真；
解：（2）∵，，，，
∴.
①若，则.（舍去）
②若，则，
∴，得.
由勾股定理得
∴.
③若，则，
∴，得.
由勾股定理得
∴
∵
∴（舍去）
综上可知，是“和谐三角形”时.
解：（3）①∵在等边三角形中，
∴，.
又∵是的高，是“和谐三角形”，
∴.
∴.
∴.
又∵.
∴.
∴.
∴.
②
∵，
∴.
∴
∴.
由，知，
设，，则.
∴
，
∴，
∴，
∴线段，，能组成一个和谐三角形.
【知识点】等边三角形的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）设等边三角形三边分别为a，b，c
∵三角形为等边三角形
∴a=b=c
∵
∴等边三角形是“和谐三角形”
故答案为“真”
【分析】
（1）利用“和谐三角形”的定义验证即可；
（2）若是“和谐三角形”，分，，三种情况，已知，，第一种情况不符合题意，对另外两种情况讨论即可；
（3）①在等边三角形ABC中，可得，又因为所以，得到即可；
②由及AB=AC，可得因此AG=BF.再结合AD=CE，可得BE=CD，设FG=EG=则BG=，通过计算即可.
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