资源简介

广东省深圳市龙华区创新实验学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试题
1．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程。本题结合一元二次方程的定义先得出，然后计算即可。
2．在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．8
【答案】C
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【解答】解：由题意可知，多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，
摸到白球的概率为，
袋子里白球的个数估计是个，
故答案为：C．
【分析】本题根据概率的定义并结合条件可知，摸到白球的概率为0.6，再利用概率公式列式计算数量即可．
3．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．它是由长度相等的两脚和交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若量得的长度，便可知的长度．本题依据的主要数学原理是（ ）
A．三边成比例的两个三角形相似
B．两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等
C．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
D．平行线分线段成比例
【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
∴，，
∴若量得的长度，便可知的长度．
故答案为：C
【分析】本题先结合条件“”，得出比例关系式，再根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”直接得出，接着根据相似三角形对应边成比例得出，继而量得的长度，便可知的长度．因此 本题依据的主要数学原理是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
4．方程经过配方后，其结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】首先把常数项移到方程的右边，进而再在方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案。
5．现有下列说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形．②矩形的对角线互相垂直且互相平分．③对角线相等的四边形是矩形．④对角线相等的菱形是正方形．⑤邻边相等的矩形是正方形．⑥三个角都是直角的四边形是矩形．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】多边形的对角线；菱形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：①对角线互相垂直的平行四边形有可能是菱形、梯形，原说法错误；
②矩形的对角线不一定垂直但平分，故原说法错误；
③对角线相等的平行四边形有可能是矩形、等腰梯形，原说法错误；
④对角线相等的菱形是正方形，说法正确；
⑤邻边相等的矩形是正方形，说法正确；
⑥三个角都是直角的四边形是矩形，说法正确，
其中说法正确的有④⑤⑥，共3个，
故答案为：C．
【分析】本题结合正方形、矩形的判定，可以直接判断出④⑤⑥，然后结合多边形对角线的特点，注意考虑梯形这个特殊图形即可判断①②③。
6．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，当与相似时，长为（　　）
A．4 B．1 C．1或4 D．2
【答案】C
【知识点】线段的中点；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵点是边的中点，，
∴，
根据题意得当时，
∴，
∴，
解得．
当时，
∴，
∴，
解得．
故答案为：C．
【分析】根据中点的定义可得很粗，然后根据相似三角形的性质，可进行分类讨论：当时，．当时，．即可得出答案。
7．全球十大恐怖病毒之一——汉坦病毒，有非同寻常的多样性，可以通过各种动物传染给人，传染速度较快，人类感染后会出现高热、出血、肾脏损伤等症状．某地有1头猪得了汉坦病毒，经过两轮传染后共有144头猪得了这种病毒，每轮传染中平均1头猪传染了几头猪？设每轮传染中平均1头猪传染了x头猪，可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均1头猪传染了头猪，
根据题意可得：，
故答案为：C．
【分析】本题先假设每轮传染中平均1头猪传染了头猪，起初有1头猪得了汉坦病毒，则第一轮之后有（1+x）头猪感染了这种病毒，第二轮则会在第一轮的基础上传染x（1+x）头猪，此时一共有（1+x）+x（1+x）头猪感染，而“ 经过两轮传染后共有144头猪得了这种病毒 ”，此时即可列出一元二次方程．
8．如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（　　）
A．22 B．20 C．18 D．16
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点P作PG⊥MN于点G，作PH⊥BC于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=15，AD=BC=24，∠A=∠ABC=∠D=90°.
由折叠得：AB=BN=15，AM=NM，∠A=∠ABN=∠BNM=90°，
∴四边形是正方形，
∴.
由折叠得：，
∴，
在中，，
∴.
∵∠EFC=90°，
∴∠MFE+∠CFN=90°，
又∵∠MFE+∠MEF=90°，
∴∠CFN=∠MEF.
∵∠EMF=∠FNC=90°，
∴△MEF∽△NFC。
∴，即，
解得：ME=4.
∴EF=ED=5.
∵∠CFP=90°，即，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵四边形PHNG是矩形，△PBN是等腰直角三角形，
∴BH=PH=GN=12－3m，HN=PG=4m，
∴BN=12－3m+4m=15，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据折叠可得是正方形，，可求出三角形的三边为9，12，15，证明△MEF∽△NFC，可计算出MF，ME和EF的长；过点P作PG⊥MN于点G，作PH⊥BC于点H，证明，三边比为，设，标出出PG，PF，BH和HN的长，通过BN=BH+NH=15，可得关于m的方程，求解得m的值，即可求的长．
9．上海与南京的实际距离约320千米，在比例尺为的地图上，两地的图上距离约　 　厘米．
【答案】8
【知识点】比例尺；比例尺应用题
【解析】【解答】解：设图上距离为x厘米，则
，
解得．
∴上海与南京的图上距离约8厘米．
故答案为：8．
【分析】比例尺图上距离：实际距离。本题结合比例式的定义即可列出比例方程，求解x即可得出两地的图上距离．
10．已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是　 　．
【答案】0.4
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵数据：，，，，，其中无理数有：，π，
∴无理数出现的频率是：．
故答案为：0.4．
【分析】
根据无理数的定义：无限不循环小数，可判断无理数有，π；再根据总数有5个，考察对象只有2个，结合频率的求法即可得出答案．
11．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为　 　．
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵α，β是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
所以
．
故答案为：7．
【分析】首先根据一元二次方程的根以及根与系数的关系可得出，进而把代数式进行变形，得出，然后再整体代入求代数式的值即可。
12．如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为　 　cm．
【答案】
【知识点】等式的基本性质；平行线的判定；相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，，
，
，
，，
，
即，
，
，，
，
解得．
故答案为：．
【分析】结合“垂直于同一条直线的直线互相平行”得出，然后利用平行证明，，对应边成比例得出，，等式的性质进行两式相加并变形可得，最后把，代入，求出CD即可．
13．如图，的边上有一点E，是的中线，的延长线与射线交于点D，且，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点F作，交于点G，
∵是的中线 ，
∴点F是的中点，即BF=FA，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵△FBG和△DGF等高，假设高为h，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】做平行辅助线后，根据三角形中线定义以及平行线分线段成比例定理，得，进而根据条件“”得；再利用平行得出，根据相似三角形的性质得，进而得，结合三角形的面积以及△FBG和△DGF等高，得出，继而得出，再根据相似三角形的判定与性质得，进而得，此时计算比较即可得出答案。
14．解方程
（1）；（配方法）
（2）
【答案】（1）解：∴，
则，
∴，
解得
（2）解：
，
则，
即
则或，
解得．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）本题可以通过配方法对原方程变形，整理后得到，开平方可得，进一步计算即可得到原方程的解；
（2）本题先对原方程整理，再通过因式分解将原方程变形为，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得或，分别解两个一次方程即可得到原方程的解．
（1）解：
∴，
则，
∴，
解得
（2），
则，
即
则或，
解得．
15．在争创全国文明典范城市活动中，某校举行了创文明城市知识竞赛，全校1800名学生都参加了此次大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机从参赛学生中抽取了200名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩x/分
频数 10 30 40 m 50
频率 n
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）______；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）某班恰有2名男生和1名女生的初赛成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加复赛，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）
（2）解： ∵样本总数为200，且各组频数之和等于样本总数，
∴．
补全频数分布直方图：在“”区间对应的柱形，高度调整为与频数70对应；
（3）解：设2名男生分别为男1、男2，1名女生为女，列表如下：
男1 男2 女
男1
(男1，男2) (男1，女)
男2 (男2，男1)
(男2，女)
女 (女，男1) (女，男2)
由表格可知，从3人中随机抽2人，共有6种等可能结果(考虑顺序)，其中“1名男生和1名女生”的结果有4种．
∴抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率．
答：抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率为．
【知识点】频数（率）分布表；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：∵样本总数为200，的频数为40．
∴．
故答案为：（1）；
【分析】（1）根据频率与频数的关系“频率频数样本总数”，用的频数40除以样本总数200，即可求出n；
（2）先通过样本总数200减去其他组的频数，即可求出的频数m=70，再根据m的值补全直方图中对应区间的柱形；
（3）用列表法列出从3人中抽2人的所有可能情况为6种，然后结合表中信息得出“1男1女”的情况数一共有4种，最后根据概率公式列式计算并化简即可。
（1）解：由题意知，样本总数为200，的频数为40．
根据“频率频数样本总数”，得．
故答案为：；
（2）解：先求的频数m．
∵样本总数为200，且各组频数之和等于样本总数，
∴．
补全频数分布直方图：在“”区间对应的柱形，高度调整为与频数70对应；
（3）解：设2名男生分别为男1、男2，1名女生为女，列表如下：
男1 男2 女
男1
(男1，男2) (男1，女)
男2 (男2，男1)
(男2，女)
女 (女，男1) (女，男2)
由表格可知，从3人中随机抽2人，共有6种等可能结果(考虑顺序)，其中“1名男生和1名女生”的结果有4种．
∴抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率．
答：抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率为．
16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为；
（2）请写出点A的对应点的坐标　 　；
（3）若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标．
【答案】（1）解：根据题意，似比为，，
故位似点的坐标为，画图如下：
，
则即为所求．
（2）
（3）或或
【知识点】平行四边形的判定；平移的性质；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】（2）解：根据(1)得，
故答案为：．
（3）解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，求解如下：
∵，
当点O平移得到点B时，即实现了向右平移1个单位，再向下平移2个单位的平移变换，
∴向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
当点B平移得到点O时，即实现了向左平移1个单位，再向上平移2个单位的平移变换，
∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
当点A平移得到点B时，即实现了向左平移1个单位，再向下平移3个单位的平移变换，
∴向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
当点B平移得到点A时，即实现了向右平移1个单位，再向上平移3个单位的平移变换，
∴向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
【分析】（1）根据位似图形性质作图即可.
（2）根据点的位置关系求出点的坐标即可求出答案.
（3）根据平行四边形性质，结合点的平移即可求出答案.
（1）解：根据题意，似比为，，
故位似点的坐标为，画图如下：
，
则即为所求．
（2）解：根据(1)得，
故答案为：．
（3）解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，求解如下：
∵，
当点O平移得到点B时，即实现了向右平移1个单位，再向下平移2个单位的平移变换，
∴向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
当点B平移得到点O时，即实现了向左平移1个单位，再向上平移2个单位的平移变换，
∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
当点A平移得到点B时，即实现了向左平移1个单位，再向下平移3个单位的平移变换，
∴向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
当点B平移得到点A时，即实现了向右平移1个单位，再向上平移3个单位的平移变换，
∴向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
17．如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点O，连接，，过点C作，交延长线于点F，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴互相平分，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）解：∵在中，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴在中，，
由（1）已证：四边形为菱形，
∴四边形的面积为．
【知识点】二次根式的性质与化简；直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）首先由EF是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，得到；再结合平行线的性质可推出，结合对顶角相等可证，由全等三角形对应边相等得到，由此可推出四边形的对角线互相平分，即四边形BECF是平行四边形，再结合邻边相等（BE=CE），即可判定四边形BECF是菱形；
（2）先根据BC的长度和O是BC中点，计算得出；再由∠A=∠A，∠EOB=∠A=90°，可证得△BOE∽△BAC，利用相似三角形对应边成比例求出OE的长度，最后根据菱形四条边相等、对角线互相平分的性质计算出菱形的周长即可．
（1）证明：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴互相平分，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）解：∵在中，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴在中，，
由（1）已证：四边形为菱形，
∴四边形的面积为．
18．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．
（1）在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ；
（2）请你在图中画出小亮站在处的影子；
（3）当小亮离开灯杆的距离时，身高（AB）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少m？
【答案】（1）变短
（2）解：如图所示，即为所求；
；
（3）解：如图，
先设，则当时，，
∴，即，
∴米；
当米时，设小亮的影长是y米，
∴=，
∴，
∴．
即小亮的影长是．
【知识点】相似三角形的实际应用；中心投影；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；
故答案为：变短；
【分析】（1）因为光沿直线传播，当小亮从B点沿着方向向O点行走时，他距离点光源越来越近，因此他在地面上的影子长度会逐渐变短，故此处变化情况为变短。
（2）作图方法：连接并延长，与直线相交于点E，线段就是小亮在AB位置时，在地面上的影子。
（3）由相似三角形的性质可得：△EAB∽△EPO，因此对应边成比例：，进一步即可得出小亮的影长是．
（1）解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；
故答案为：变短；
（2）解：如图所示，即为所求；
；
（3）解：如图，
先设，则当时，，
∴，即，
∴米；
当米时，设小亮的影长是y米，
∴=，
∴，
∴．
即小亮的影长是．
19．根据以下素材，探索完成任务．
背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送．
素材1 某影院正月初一的票房收入为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元．
素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长宽分别为．
素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现；当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元．
问题解决
任务1 （1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率．
任务2 （2）根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长．
任务3 （3）根据素材3，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价．
【答案】解：任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；
任务2：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为；
任务3：设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∴，
答：下调后每个手办的售价为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务3：设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
20．四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏．
【探究发现】
（1）如图1，小明将沿翻折得到 点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ；
【类比探究】
（2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点 点 B的对应点为点 将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明；
【拓展延伸】
（3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9，
①如图3，若线段 恰好经过点D，求的长，
② 如图4， 连接， 直接写出 的最小值．
【答案】（1）；
（2）猜想：；
证明：过点A作，如图，
由翻折的性质得，
∴；
由（1）可知，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，即，；
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
∵，
即可得线段之间的数量关系为；
（3）解：①如图，由于线段 恰好经过点D，故设上点H的对应点为点D，连接，
由翻折知，；
∵，
∴；
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∴；
∵四边形为正方形，其边长为9，
∴，
∴，
∴，；
设，则；
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴；
②的最小值为
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）由折叠知，，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
在与中，
，
∴，
∴，
故答案为：（1）；
②如图，过点A作交于点K；
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∴；
过点K在直线下方作，且，
则；
∵，
∴，
∴，
∴，当且仅当三点依次共线时，取得最小值；
过H作，交延长线于点H，
则四边形是矩形，
∴，
∴
由（1）中同理，，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
即的最小值为．
【分析】（1）由翻折的性质得出，此时结合“直角三角形锐角互余”以及正方形的性质，列出角度关系综合推出，接着利用ASA证明，最后全等三角形对应边相等即可得出；
（2）作平行线后，由翻折的性质推出，则由（1）的全等三角形证明结果，对应边相等得出；结合正方形的性质以及“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得出是平行四边形，平行四边形的性质从而得出；列式，逐步替换并进行计算即可得线段之间的数量关系；
（3）①结合折叠的性质以及平行线的判定，可以先得出是平行四边形，从而进一步计算得出，；在中，利用勾股定理建立方程，求解x即可得出AG的长度；
②做辅助线后，“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得出是平行四边形，则有；做垂直辅助线后，利用SAS证明，从而得出，则，此时分析得出，当且仅当H、E、F三点依次共线时取得最小值；过H作，则四边形是矩形，结合矩形的性质计算出；与（1）中同理，，全等三角形的性质计算得出；最后在中，由勾股定理列式计算出，即可求的最小值．
1 / 1广东省深圳市龙华区创新实验学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试题
1．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．8
3．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．它是由长度相等的两脚和交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若量得的长度，便可知的长度．本题依据的主要数学原理是（ ）
A．三边成比例的两个三角形相似
B．两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等
C．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
D．平行线分线段成比例
4．方程经过配方后，其结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．现有下列说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形．②矩形的对角线互相垂直且互相平分．③对角线相等的四边形是矩形．④对角线相等的菱形是正方形．⑤邻边相等的矩形是正方形．⑥三个角都是直角的四边形是矩形．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，当与相似时，长为（　　）
A．4 B．1 C．1或4 D．2
7．全球十大恐怖病毒之一——汉坦病毒，有非同寻常的多样性，可以通过各种动物传染给人，传染速度较快，人类感染后会出现高热、出血、肾脏损伤等症状．某地有1头猪得了汉坦病毒，经过两轮传染后共有144头猪得了这种病毒，每轮传染中平均1头猪传染了几头猪？设每轮传染中平均1头猪传染了x头猪，可列方程（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（　　）
A．22 B．20 C．18 D．16
9．上海与南京的实际距离约320千米，在比例尺为的地图上，两地的图上距离约　 　厘米．
10．已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是　 　．
11．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为　 　．
12．如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为　 　cm．
13．如图，的边上有一点E，是的中线，的延长线与射线交于点D，且，则的值为　 　．
14．解方程
（1）；（配方法）
（2）
15．在争创全国文明典范城市活动中，某校举行了创文明城市知识竞赛，全校1800名学生都参加了此次大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机从参赛学生中抽取了200名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩x/分
频数 10 30 40 m 50
频率 n
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）______；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）某班恰有2名男生和1名女生的初赛成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加复赛，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率．
16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为；
（2）请写出点A的对应点的坐标　 　；
（3）若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标．
17．如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点O，连接，，过点C作，交延长线于点F，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
18．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．
（1）在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ；
（2）请你在图中画出小亮站在处的影子；
（3）当小亮离开灯杆的距离时，身高（AB）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少m？
19．根据以下素材，探索完成任务．
背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送．
素材1 某影院正月初一的票房收入为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元．
素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长宽分别为．
素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现；当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元．
问题解决
任务1 （1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率．
任务2 （2）根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长．
任务3 （3）根据素材3，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价．
20．四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏．
【探究发现】
（1）如图1，小明将沿翻折得到 点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ；
【类比探究】
（2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点 点 B的对应点为点 将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明；
【拓展延伸】
（3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9，
①如图3，若线段 恰好经过点D，求的长，
② 如图4， 连接， 直接写出 的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程。本题结合一元二次方程的定义先得出，然后计算即可。
2．【答案】C
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【解答】解：由题意可知，多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，
摸到白球的概率为，
袋子里白球的个数估计是个，
故答案为：C．
【分析】本题根据概率的定义并结合条件可知，摸到白球的概率为0.6，再利用概率公式列式计算数量即可．
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
∴，，
∴若量得的长度，便可知的长度．
故答案为：C
【分析】本题先结合条件“”，得出比例关系式，再根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”直接得出，接着根据相似三角形对应边成比例得出，继而量得的长度，便可知的长度．因此 本题依据的主要数学原理是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
4．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】首先把常数项移到方程的右边，进而再在方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】多边形的对角线；菱形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：①对角线互相垂直的平行四边形有可能是菱形、梯形，原说法错误；
②矩形的对角线不一定垂直但平分，故原说法错误；
③对角线相等的平行四边形有可能是矩形、等腰梯形，原说法错误；
④对角线相等的菱形是正方形，说法正确；
⑤邻边相等的矩形是正方形，说法正确；
⑥三个角都是直角的四边形是矩形，说法正确，
其中说法正确的有④⑤⑥，共3个，
故答案为：C．
【分析】本题结合正方形、矩形的判定，可以直接判断出④⑤⑥，然后结合多边形对角线的特点，注意考虑梯形这个特殊图形即可判断①②③。
6．【答案】C
【知识点】线段的中点；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵点是边的中点，，
∴，
根据题意得当时，
∴，
∴，
解得．
当时，
∴，
∴，
解得．
故答案为：C．
【分析】根据中点的定义可得很粗，然后根据相似三角形的性质，可进行分类讨论：当时，．当时，．即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均1头猪传染了头猪，
根据题意可得：，
故答案为：C．
【分析】本题先假设每轮传染中平均1头猪传染了头猪，起初有1头猪得了汉坦病毒，则第一轮之后有（1+x）头猪感染了这种病毒，第二轮则会在第一轮的基础上传染x（1+x）头猪，此时一共有（1+x）+x（1+x）头猪感染，而“ 经过两轮传染后共有144头猪得了这种病毒 ”，此时即可列出一元二次方程．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点P作PG⊥MN于点G，作PH⊥BC于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=15，AD=BC=24，∠A=∠ABC=∠D=90°.
由折叠得：AB=BN=15，AM=NM，∠A=∠ABN=∠BNM=90°，
∴四边形是正方形，
∴.
由折叠得：，
∴，
在中，，
∴.
∵∠EFC=90°，
∴∠MFE+∠CFN=90°，
又∵∠MFE+∠MEF=90°，
∴∠CFN=∠MEF.
∵∠EMF=∠FNC=90°，
∴△MEF∽△NFC。
∴，即，
解得：ME=4.
∴EF=ED=5.
∵∠CFP=90°，即，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵四边形PHNG是矩形，△PBN是等腰直角三角形，
∴BH=PH=GN=12－3m，HN=PG=4m，
∴BN=12－3m+4m=15，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据折叠可得是正方形，，可求出三角形的三边为9，12，15，证明△MEF∽△NFC，可计算出MF，ME和EF的长；过点P作PG⊥MN于点G，作PH⊥BC于点H，证明，三边比为，设，标出出PG，PF，BH和HN的长，通过BN=BH+NH=15，可得关于m的方程，求解得m的值，即可求的长．
9．【答案】8
【知识点】比例尺；比例尺应用题
【解析】【解答】解：设图上距离为x厘米，则
，
解得．
∴上海与南京的图上距离约8厘米．
故答案为：8．
【分析】比例尺图上距离：实际距离。本题结合比例式的定义即可列出比例方程，求解x即可得出两地的图上距离．
10．【答案】0.4
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵数据：，，，，，其中无理数有：，π，
∴无理数出现的频率是：．
故答案为：0.4．
【分析】
根据无理数的定义：无限不循环小数，可判断无理数有，π；再根据总数有5个，考察对象只有2个，结合频率的求法即可得出答案．
11．【答案】7
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵α，β是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
所以
．
故答案为：7．
【分析】首先根据一元二次方程的根以及根与系数的关系可得出，进而把代数式进行变形，得出，然后再整体代入求代数式的值即可。
12．【答案】
【知识点】等式的基本性质；平行线的判定；相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，，
，
，
，，
，
即，
，
，，
，
解得．
故答案为：．
【分析】结合“垂直于同一条直线的直线互相平行”得出，然后利用平行证明，，对应边成比例得出，，等式的性质进行两式相加并变形可得，最后把，代入，求出CD即可．
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点F作，交于点G，
∵是的中线 ，
∴点F是的中点，即BF=FA，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵△FBG和△DGF等高，假设高为h，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】做平行辅助线后，根据三角形中线定义以及平行线分线段成比例定理，得，进而根据条件“”得；再利用平行得出，根据相似三角形的性质得，进而得，结合三角形的面积以及△FBG和△DGF等高，得出，继而得出，再根据相似三角形的判定与性质得，进而得，此时计算比较即可得出答案。
14．【答案】（1）解：∴，
则，
∴，
解得
（2）解：
，
则，
即
则或，
解得．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）本题可以通过配方法对原方程变形，整理后得到，开平方可得，进一步计算即可得到原方程的解；
（2）本题先对原方程整理，再通过因式分解将原方程变形为，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得或，分别解两个一次方程即可得到原方程的解．
（1）解：
∴，
则，
∴，
解得
（2），
则，
即
则或，
解得．
15．【答案】（1）
（2）解： ∵样本总数为200，且各组频数之和等于样本总数，
∴．
补全频数分布直方图：在“”区间对应的柱形，高度调整为与频数70对应；
（3）解：设2名男生分别为男1、男2，1名女生为女，列表如下：
男1 男2 女
男1
(男1，男2) (男1，女)
男2 (男2，男1)
(男2，女)
女 (女，男1) (女，男2)
由表格可知，从3人中随机抽2人，共有6种等可能结果(考虑顺序)，其中“1名男生和1名女生”的结果有4种．
∴抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率．
答：抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率为．
【知识点】频数（率）分布表；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：∵样本总数为200，的频数为40．
∴．
故答案为：（1）；
【分析】（1）根据频率与频数的关系“频率频数样本总数”，用的频数40除以样本总数200，即可求出n；
（2）先通过样本总数200减去其他组的频数，即可求出的频数m=70，再根据m的值补全直方图中对应区间的柱形；
（3）用列表法列出从3人中抽2人的所有可能情况为6种，然后结合表中信息得出“1男1女”的情况数一共有4种，最后根据概率公式列式计算并化简即可。
（1）解：由题意知，样本总数为200，的频数为40．
根据“频率频数样本总数”，得．
故答案为：；
（2）解：先求的频数m．
∵样本总数为200，且各组频数之和等于样本总数，
∴．
补全频数分布直方图：在“”区间对应的柱形，高度调整为与频数70对应；
（3）解：设2名男生分别为男1、男2，1名女生为女，列表如下：
男1 男2 女
男1
(男1，男2) (男1，女)
男2 (男2，男1)
(男2，女)
女 (女，男1) (女，男2)
由表格可知，从3人中随机抽2人，共有6种等可能结果(考虑顺序)，其中“1名男生和1名女生”的结果有4种．
∴抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率．
答：抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率为．
16．【答案】（1）解：根据题意，似比为，，
故位似点的坐标为，画图如下：
，
则即为所求．
（2）
（3）或或
【知识点】平行四边形的判定；平移的性质；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】（2）解：根据(1)得，
故答案为：．
（3）解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，求解如下：
∵，
当点O平移得到点B时，即实现了向右平移1个单位，再向下平移2个单位的平移变换，
∴向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
当点B平移得到点O时，即实现了向左平移1个单位，再向上平移2个单位的平移变换，
∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
当点A平移得到点B时，即实现了向左平移1个单位，再向下平移3个单位的平移变换，
∴向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
当点B平移得到点A时，即实现了向右平移1个单位，再向上平移3个单位的平移变换，
∴向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
【分析】（1）根据位似图形性质作图即可.
（2）根据点的位置关系求出点的坐标即可求出答案.
（3）根据平行四边形性质，结合点的平移即可求出答案.
（1）解：根据题意，似比为，，
故位似点的坐标为，画图如下：
，
则即为所求．
（2）解：根据(1)得，
故答案为：．
（3）解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，求解如下：
∵，
当点O平移得到点B时，即实现了向右平移1个单位，再向下平移2个单位的平移变换，
∴向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
当点B平移得到点O时，即实现了向左平移1个单位，再向上平移2个单位的平移变换，
∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
当点A平移得到点B时，即实现了向左平移1个单位，再向下平移3个单位的平移变换，
∴向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
当点B平移得到点A时，即实现了向右平移1个单位，再向上平移3个单位的平移变换，
∴向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
17．【答案】（1）证明：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴互相平分，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）解：∵在中，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴在中，，
由（1）已证：四边形为菱形，
∴四边形的面积为．
【知识点】二次根式的性质与化简；直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）首先由EF是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，得到；再结合平行线的性质可推出，结合对顶角相等可证，由全等三角形对应边相等得到，由此可推出四边形的对角线互相平分，即四边形BECF是平行四边形，再结合邻边相等（BE=CE），即可判定四边形BECF是菱形；
（2）先根据BC的长度和O是BC中点，计算得出；再由∠A=∠A，∠EOB=∠A=90°，可证得△BOE∽△BAC，利用相似三角形对应边成比例求出OE的长度，最后根据菱形四条边相等、对角线互相平分的性质计算出菱形的周长即可．
（1）证明：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴互相平分，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）解：∵在中，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴在中，，
由（1）已证：四边形为菱形，
∴四边形的面积为．
18．【答案】（1）变短
（2）解：如图所示，即为所求；
；
（3）解：如图，
先设，则当时，，
∴，即，
∴米；
当米时，设小亮的影长是y米，
∴=，
∴，
∴．
即小亮的影长是．
【知识点】相似三角形的实际应用；中心投影；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；
故答案为：变短；
【分析】（1）因为光沿直线传播，当小亮从B点沿着方向向O点行走时，他距离点光源越来越近，因此他在地面上的影子长度会逐渐变短，故此处变化情况为变短。
（2）作图方法：连接并延长，与直线相交于点E，线段就是小亮在AB位置时，在地面上的影子。
（3）由相似三角形的性质可得：△EAB∽△EPO，因此对应边成比例：，进一步即可得出小亮的影长是．
（1）解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；
故答案为：变短；
（2）解：如图所示，即为所求；
；
（3）解：如图，
先设，则当时，，
∴，即，
∴米；
当米时，设小亮的影长是y米，
∴=，
∴，
∴．
即小亮的影长是．
19．【答案】解：任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；
任务2：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为；
任务3：设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∴，
答：下调后每个手办的售价为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务3：设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）；
（2）猜想：；
证明：过点A作，如图，
由翻折的性质得，
∴；
由（1）可知，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，即，；
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
∵，
即可得线段之间的数量关系为；
（3）解：①如图，由于线段 恰好经过点D，故设上点H的对应点为点D，连接，
由翻折知，；
∵，
∴；
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∴；
∵四边形为正方形，其边长为9，
∴，
∴，
∴，；
设，则；
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴；
②的最小值为
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）由折叠知，，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
在与中，
，
∴，
∴，
故答案为：（1）；
②如图，过点A作交于点K；
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∴；
过点K在直线下方作，且，
则；
∵，
∴，
∴，
∴，当且仅当三点依次共线时，取得最小值；
过H作，交延长线于点H，
则四边形是矩形，
∴，
∴
由（1）中同理，，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
即的最小值为．
【分析】（1）由翻折的性质得出，此时结合“直角三角形锐角互余”以及正方形的性质，列出角度关系综合推出，接着利用ASA证明，最后全等三角形对应边相等即可得出；
（2）作平行线后，由翻折的性质推出，则由（1）的全等三角形证明结果，对应边相等得出；结合正方形的性质以及“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得出是平行四边形，平行四边形的性质从而得出；列式，逐步替换并进行计算即可得线段之间的数量关系；
（3）①结合折叠的性质以及平行线的判定，可以先得出是平行四边形，从而进一步计算得出，；在中，利用勾股定理建立方程，求解x即可得出AG的长度；
②做辅助线后，“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得出是平行四边形，则有；做垂直辅助线后，利用SAS证明，从而得出，则，此时分析得出，当且仅当H、E、F三点依次共线时取得最小值；过H作，则四边形是矩形，结合矩形的性质计算出；与（1）中同理，，全等三角形的性质计算得出；最后在中，由勾股定理列式计算出，即可求的最小值．
1 / 1

展开更多......

收起↑