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广东省深圳市桃源居中澳实验学校　2025-2026学年上学期七年级数学12月月考试题
1．下边的立体图形是由哪个平面图形绕轴旋转一周得到的（　　）
A． B． C． D．
2．2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站正式开讲，青少年踊跃参与．中国航天员面向全国青少年进行太空科普授课．某时段观看的人数是7000万人．数7000万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．是单项式 B．的系数是5
C．单项式的次数是4 D．是五次四项式
4．如图，点A位于点O的方向是（　　）
A．西北方向 B．北偏西 C．北偏东 D．南偏西
5．某商品的标价为300元，打8折后销售仍获利40元，该商品的进价为（　　）
A．220元 B．200元 C．180元 D．160元
6．下列调查方式合适的是（　　）
A．为了解枣庄市初中学生吃早餐的情况，抽取几所城区学校的初中学生
B．为了解全校学生元且假期做数学实践作业的时间，小英同学在网上向10位好友做了调查
C．为了解“神舟十四号”载人飞船发射前零部件的状况，检测人员采用了普查的方式
D．为了解一个家庭8位成员的睡眠时间，采用抽样调查的方式
7．如图，，C为的中点，点D在线段上，且，则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
9．比较大小： 　 　 ．
10．若代数式与是同类项，则的值是　 　．
11．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为　 　．
12．如图是一组有规律的图案，它们由若干个大小相同的正方形组成，第1个图案中有4个正方形，第2个图案中有7个正方形，第3个图案中有10个正方形…按此规律，第n个图案中有　 　个正方形．（用含n的代数式表示）
13．如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则x与y之间的数量关系为 　 　．
14．计算
（1）
（2）
15．解方程：
（1）；
（2）
16．化简，再求值：，其中．
17．某地区教育部门为了解初中数学课堂中学生参与情况，并按“主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目”四个项目进行评价．检测小组随机抽查部分学校若干名学生，并将抽查学生的课堂参与情况绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（均不完整）．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽查的样本容量是_____；
（2）在扇形统计图中，“主动质疑”对应的圆心角为_____；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）如果该地区初中学生共有名，那么在课堂中能“独立思考”的学生约有多少人？
18．已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）．
（1）若M，N分别是的中点，求的长度；
（2）若，，求的长；
（3）在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度．
19．要锻造一个直径为12cm，高为8cm的圆柱形毛坯，应截取直径为8cm的圆钢多少cm？（不计锻造时的损耗）
20．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线．
（1）若，为的分位线，且，则 ．
（2）如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）．
①已知，，则 ．
②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
（3）如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：A中，直角梯形绕轴旋转一周得到圆台，故A符合题意；
B中，半圆绕轴旋转一周得到球，故B不符合题意；
C中，长方形绕轴旋转一周得到圆柱，故C不符合题意；
D中，直角三角形绕轴旋转一周得到圆锥，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】本题考查了点、线、面、体的相关知识，根据点动成线，线动成面，面动成体，据此逐项分享判断，即可得到答案．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵7000万，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法。科学记数法的标准形式为，其中，n为整数。解题时先将7000万转化为普通数字70000000，再确定a的值为7，然后数出原数变为7时小数点向左移动的位数，以此确定n的数值，最终对应正确选项。
3．【答案】C
【知识点】单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：A、不是单项式，是多项式，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、的系数是，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、单项式的次数是4，原说法正确，故此选项符合题意；
D、是六次四项式，原说法错误，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用单项式的定义、单项式的系数的定义（单项式中的数字因数叫作它的系数）、单项式的次数的定义（单项式中所有字母的指数的和叫作它的次数）和多项式的定义（有多个单项式的和组成的整式叫作多项式）逐项分析判断即可.
4．【答案】B
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：由图可知：点A位于点O的方向是北偏西；
故选B．
【分析】本题考查方向角的识别与规范表示。方向角通常以正北或正南方向为基准，结合偏转角度描述物体相对于观测点的方位。观察图形可知，线段OA与正北方向的夹角为65°，且偏向正西一侧，按照方向角"北偏西多少度"的规范表述方式，即可得出对应结论。
5．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设商品的进价为x元，售价为每件 元，
由题意得： ，
解得： ，
答：商品进价为200元.
故答案为：B.
【分析】设商品进价为x元，则售价为每件 元，由利润=售价-进价建立方程求出其解即可.
6．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A．为为了解枣庄市初中学生吃早餐的情况，抽取几所城区学校的初中学生，抽样片面，故此选项不合题意；
B．为了解全校学生国庆节假期做实践作业的时间，小莹同学在网上向10位好友做了调查，抽样片面，故此选项不合题意；
C．为了解“神舟十四号”载人飞船发射前零部件的状况，检测人员采用了普查的方式，符合题意；
D．为了解一个家庭8位成员的睡眠时间，采用全面调查的方式才行，故此选项不合题意．
故选：C．
【分析】
，结合两种调查方式的特点，即全面调查能够收集到全面、广泛、可靠的数据，但存在调查花费成本高、耗费时间长的不足；抽样调查则成本更低、耗时更少，经济性更好，结合这一特点进行判断即可解题.
7．【答案】B
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，C为的中点，
∴，
∵点D在线段上，且，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查线段中点的性质与线段和差的计算。先根据线段中点的定义，由C是AB中点，得到AC和BC的长度都等于AB长度的一半；再结合AD与CB的比例关系，代入CB的长度算出AD的长度；最后利用DB=AB-AD的线段和差关系，代入数值计算出DB的长度。
8．【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题知，
因为每3人乘一车，最终剩余2辆车，
所以总人数可表示为：．
因为每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，
所以总人数可表示为：，
则可建立方程：．
故选：B．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
9．【答案】＞
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】∵=，=，
∴，
∴-＞-.
故答案为：＞．
【分析】先将两分数通分，化成分母相同的分数，再根据同分母分数比较大小原则得出其大小关系；两边同时乘以一个负号，不等式要变号，由此即可得出答案.
10．【答案】
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵与是同类项，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查同类项的定义与代数式求值。同类项要求所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等。根据这一定义，对字母a的指数列等式，对字母b的指数列等式，分别解出m和n的值，再将其代入中，计算出最终结果。
11．【答案】
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：是关于x的一元一次方程，
且，
．
故答案为：．
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：第1个图案有4个正方形，即，
第2个图案有7个正方形，即，
第3个图案有10个正方形，即，
……
第个图案有个正方形，
故答案为：．
【分析】
通过观察图形可以发现，从第二个图形开始，每一个图形都比它前一个图形多出3个小正方形，根据这个变化特点就可以推导出对应图形的规律.
13．【答案】或
【知识点】角的运算；垂线的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：设运动的时间为秒，
∵于点，
∴，
∴，
∴.
当与成一条直线时，则，
∴.
(秒)，(秒)，
∴秒时停止运动.
当时，，
∴，
∴；
当时，，，
∴.
综上所述，与之间的数量关系为或，
故答案为：或．
【分析】本题考查动态几何中的角度关系探究，涉及角的和差计算与运动阶段分类讨论。首先由OE垂直AB以及已知的∠COE、∠DOE的度数，算出∠AOC的度数，再分别计算两条射线各自运动到终点的时间，确定运动的总时长。然后分两个阶段讨论：第一阶段是OM未越过OC之前，用运动时间t分别表示出∠MOC和∠NOE的度数，消去变量t得到x与y的关系式；第二阶段是OM越过OC之后到运动停止，同样用t表示两个角的度数，消去t得到另一种情况下的关系式。
14．【答案】解：（1）
（2）
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）本题考查有理数的混合运算，可利用乘法分配律简化计算。将-48分别与括号内的每一项相乘，再把所得的积相加，计算过程中注意负号与各项相乘后的符号变化；
（2）本题考查有理数的混合运算，按照运算顺序逐步计算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的，先算小括号，再算中括号。计算时注意负数的奇次幂为负，以及乘除同级运算从左到右的顺序。
15．【答案】（1）解：
去括号，得 ，
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得 ；
（2）解：，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得
，
系数化为1，得 ．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（2）先去分母（两边同时乘以12，右边的2也要乘以12，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可.
（1）去括号，得 ，
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得 ；
（2），
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得
，
系数化为1，得 ．
16．【答案】解：
；
又已知
∵，，
∴，
∴，，
∴原式．
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】本题考查整式的化简求值以及非负数的性质。先根据去括号法则去掉整式中的小括号和中括号，去括号时注意括号前的负号会改变括号内各项的符号；再找出同类项并合并，将整式化为最简形式。然后根据绝对值和完全平方的非负性，两个非负数相加和为0则各自都为0，分别列方程求出x和y的值；最后将x、y的值代入化简后的整式，计算出最终结果。
17．【答案】（1）
（2）
（3）“讲解题目”的人数是： (人)．
（4） (人)， 答：在课堂中能“独立思考”的学生约有人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：本次调查的样本容量为 (人)；
故答案为：
（2）“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数是：；
故答案为：
【分析】
（1）本次调查的总样本容量，可通过专注听讲的人数除以它在调查中所占的百分比计算得到；
（2）“主动质疑”所在扇形的圆心角度数，可通过乘“主动质疑”在样本中的占比求得；
（3）先计算出“讲解题目”的人数，再根据计算结果补全条形统计图即可；
（4）用该地区初中学生的总人数，乘样本中“独立思考”的学生所占的比例，即可估计出该地区“独立思考”的学生人数.
（1）解：本次调查的样本容量为 (人)；
故答案为：
（2）“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数是：；
故答案为：
（3）“讲解题目”的人数是： (人)．
（4） (人)，
答：在课堂中能“独立思考”的学生约有人．
18．【答案】（1）解： ∵M，N分别是的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴；
（2）解： ∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3）解： ∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
当点G在线段上时，；
当点G在线段的延长线上时，．
综上可知，的长度为或．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；线段n等分点模型
【解析】【分析】
（1）根据中点的定义可知，，再利用线段和的关系，即可计算出MN的长度；
（2）根据三等分点的性质可得，，由此可以推导出，，再结合就能求出MN的长度；
（3）解题时先算出线段的长度，再根据点G的位置分两种情况讨论：分别是点G落在线段上，以及点G落在线段的延长线上，分别计算两种情况下对应的结果.
（1）∵M，N分别是的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
当点G在线段上时，；
当点G在线段的延长线上时，．
综上可知，的长度为或．
19．【答案】解：设截取直径为8cm的圆钢，
则根据体积相等得方程：，
解得，
故应截取直径为8cm的圆钢18cm．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查一元一次方程在几何体积问题中的应用，核心是抓住锻造前后体积不变的等量关系。设应截取圆钢的长度为x cm，分别根据圆柱的体积公式，表示出截取的圆钢体积和锻造后圆柱形毛坯的体积；根据锻造前后体积相等列出方程，解方程即可求出圆钢的长度。
20．【答案】（1）
（2）①；
②不变；
，分别为与的分位线，（，），
，，
；
若，的度数不会改变；
（3）或
【知识点】角的运算；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：，为的分位线，且；
，，
，
；
故答案为：；
（2）解：①，分别为与的分位线，（，）
，，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：根据题意作图，如图所示，
已知射线、分别为与的分位线，
设，，
，，
点、、在同一条直线上
，
，
，
；
根据题意作图，如图所示；
已知射线、分别为与的分位线，
设，
则，，
∵点、、在同一条直线上，
，
，
解得；
∴；
的度数为或．
【分析】
（1）结合题目给出的条件，可以得到关系式：，同时，联立两个式子即可算出∠AOP的度数；
（2）①根据题目新定义可以得到：，，再结合已知条件，可以分别算出，，进而求出∠POQ的度数；②∠POQ的度数是定值，不会发生变化。根据新定义推导可得，，将两个式子相加整理后就可以得到固定的结果；
（3）由于OM、ON的位置不固定，因此本题需要分两种情况分别讨论计算：第一种情况，设，可得，又因为，将关系代入后可解得，之后即可进一步算出的度数；第二种情况，设，可得，同样根据，将关系代入后可解得，之后即可进一步算出的度数．
（1）解：，为的分位线，且；
，，
，
；
故答案为：；
（2）解：①，分别为与的分位线，（，）
，，
，
，
，，
，
，
；
②不变；
，分别为与的分位线，（，），
，，
；
若，的度数不会改变；
（3）解：根据题意作图，如图所示，
已知射线、分别为与的分位线，
设，，
，，
点、、在同一条直线上
，
，
，
；
根据题意作图，如图所示；
已知射线、分别为与的分位线，
设，
则，，
∵点、、在同一条直线上，
，
，
解得；
∴；
的度数为或．
1 / 1广东省深圳市桃源居中澳实验学校　2025-2026学年上学期七年级数学12月月考试题
1．下边的立体图形是由哪个平面图形绕轴旋转一周得到的（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：A中，直角梯形绕轴旋转一周得到圆台，故A符合题意；
B中，半圆绕轴旋转一周得到球，故B不符合题意；
C中，长方形绕轴旋转一周得到圆柱，故C不符合题意；
D中，直角三角形绕轴旋转一周得到圆锥，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】本题考查了点、线、面、体的相关知识，根据点动成线，线动成面，面动成体，据此逐项分享判断，即可得到答案．
2．2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站正式开讲，青少年踊跃参与．中国航天员面向全国青少年进行太空科普授课．某时段观看的人数是7000万人．数7000万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵7000万，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法。科学记数法的标准形式为，其中，n为整数。解题时先将7000万转化为普通数字70000000，再确定a的值为7，然后数出原数变为7时小数点向左移动的位数，以此确定n的数值，最终对应正确选项。
3．下列说法正确的是（　　）
A．是单项式 B．的系数是5
C．单项式的次数是4 D．是五次四项式
【答案】C
【知识点】单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：A、不是单项式，是多项式，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、的系数是，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、单项式的次数是4，原说法正确，故此选项符合题意；
D、是六次四项式，原说法错误，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用单项式的定义、单项式的系数的定义（单项式中的数字因数叫作它的系数）、单项式的次数的定义（单项式中所有字母的指数的和叫作它的次数）和多项式的定义（有多个单项式的和组成的整式叫作多项式）逐项分析判断即可.
4．如图，点A位于点O的方向是（　　）
A．西北方向 B．北偏西 C．北偏东 D．南偏西
【答案】B
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：由图可知：点A位于点O的方向是北偏西；
故选B．
【分析】本题考查方向角的识别与规范表示。方向角通常以正北或正南方向为基准，结合偏转角度描述物体相对于观测点的方位。观察图形可知，线段OA与正北方向的夹角为65°，且偏向正西一侧，按照方向角"北偏西多少度"的规范表述方式，即可得出对应结论。
5．某商品的标价为300元，打8折后销售仍获利40元，该商品的进价为（　　）
A．220元 B．200元 C．180元 D．160元
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设商品的进价为x元，售价为每件 元，
由题意得： ，
解得： ，
答：商品进价为200元.
故答案为：B.
【分析】设商品进价为x元，则售价为每件 元，由利润=售价-进价建立方程求出其解即可.
6．下列调查方式合适的是（　　）
A．为了解枣庄市初中学生吃早餐的情况，抽取几所城区学校的初中学生
B．为了解全校学生元且假期做数学实践作业的时间，小英同学在网上向10位好友做了调查
C．为了解“神舟十四号”载人飞船发射前零部件的状况，检测人员采用了普查的方式
D．为了解一个家庭8位成员的睡眠时间，采用抽样调查的方式
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A．为为了解枣庄市初中学生吃早餐的情况，抽取几所城区学校的初中学生，抽样片面，故此选项不合题意；
B．为了解全校学生国庆节假期做实践作业的时间，小莹同学在网上向10位好友做了调查，抽样片面，故此选项不合题意；
C．为了解“神舟十四号”载人飞船发射前零部件的状况，检测人员采用了普查的方式，符合题意；
D．为了解一个家庭8位成员的睡眠时间，采用全面调查的方式才行，故此选项不合题意．
故选：C．
【分析】
，结合两种调查方式的特点，即全面调查能够收集到全面、广泛、可靠的数据，但存在调查花费成本高、耗费时间长的不足；抽样调查则成本更低、耗时更少，经济性更好，结合这一特点进行判断即可解题.
7．如图，，C为的中点，点D在线段上，且，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，C为的中点，
∴，
∵点D在线段上，且，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查线段中点的性质与线段和差的计算。先根据线段中点的定义，由C是AB中点，得到AC和BC的长度都等于AB长度的一半；再结合AD与CB的比例关系，代入CB的长度算出AD的长度；最后利用DB=AB-AD的线段和差关系，代入数值计算出DB的长度。
8．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题知，
因为每3人乘一车，最终剩余2辆车，
所以总人数可表示为：．
因为每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，
所以总人数可表示为：，
则可建立方程：．
故选：B．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
9．比较大小： 　 　 ．
【答案】＞
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】∵=，=，
∴，
∴-＞-.
故答案为：＞．
【分析】先将两分数通分，化成分母相同的分数，再根据同分母分数比较大小原则得出其大小关系；两边同时乘以一个负号，不等式要变号，由此即可得出答案.
10．若代数式与是同类项，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵与是同类项，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查同类项的定义与代数式求值。同类项要求所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等。根据这一定义，对字母a的指数列等式，对字母b的指数列等式，分别解出m和n的值，再将其代入中，计算出最终结果。
11．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：是关于x的一元一次方程，
且，
．
故答案为：．
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案.
12．如图是一组有规律的图案，它们由若干个大小相同的正方形组成，第1个图案中有4个正方形，第2个图案中有7个正方形，第3个图案中有10个正方形…按此规律，第n个图案中有　 　个正方形．（用含n的代数式表示）
【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：第1个图案有4个正方形，即，
第2个图案有7个正方形，即，
第3个图案有10个正方形，即，
……
第个图案有个正方形，
故答案为：．
【分析】
通过观察图形可以发现，从第二个图形开始，每一个图形都比它前一个图形多出3个小正方形，根据这个变化特点就可以推导出对应图形的规律.
13．如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则x与y之间的数量关系为 　 　．
【答案】或
【知识点】角的运算；垂线的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：设运动的时间为秒，
∵于点，
∴，
∴，
∴.
当与成一条直线时，则，
∴.
(秒)，(秒)，
∴秒时停止运动.
当时，，
∴，
∴；
当时，，，
∴.
综上所述，与之间的数量关系为或，
故答案为：或．
【分析】本题考查动态几何中的角度关系探究，涉及角的和差计算与运动阶段分类讨论。首先由OE垂直AB以及已知的∠COE、∠DOE的度数，算出∠AOC的度数，再分别计算两条射线各自运动到终点的时间，确定运动的总时长。然后分两个阶段讨论：第一阶段是OM未越过OC之前，用运动时间t分别表示出∠MOC和∠NOE的度数，消去变量t得到x与y的关系式；第二阶段是OM越过OC之后到运动停止，同样用t表示两个角的度数，消去t得到另一种情况下的关系式。
14．计算
（1）
（2）
【答案】解：（1）
（2）
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）本题考查有理数的混合运算，可利用乘法分配律简化计算。将-48分别与括号内的每一项相乘，再把所得的积相加，计算过程中注意负号与各项相乘后的符号变化；
（2）本题考查有理数的混合运算，按照运算顺序逐步计算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的，先算小括号，再算中括号。计算时注意负数的奇次幂为负，以及乘除同级运算从左到右的顺序。
15．解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
去括号，得 ，
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得 ；
（2）解：，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得
，
系数化为1，得 ．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（2）先去分母（两边同时乘以12，右边的2也要乘以12，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可.
（1）去括号，得 ，
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得 ；
（2），
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得
，
系数化为1，得 ．
16．化简，再求值：，其中．
【答案】解：
；
又已知
∵，，
∴，
∴，，
∴原式．
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】本题考查整式的化简求值以及非负数的性质。先根据去括号法则去掉整式中的小括号和中括号，去括号时注意括号前的负号会改变括号内各项的符号；再找出同类项并合并，将整式化为最简形式。然后根据绝对值和完全平方的非负性，两个非负数相加和为0则各自都为0，分别列方程求出x和y的值；最后将x、y的值代入化简后的整式，计算出最终结果。
17．某地区教育部门为了解初中数学课堂中学生参与情况，并按“主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目”四个项目进行评价．检测小组随机抽查部分学校若干名学生，并将抽查学生的课堂参与情况绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（均不完整）．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽查的样本容量是_____；
（2）在扇形统计图中，“主动质疑”对应的圆心角为_____；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）如果该地区初中学生共有名，那么在课堂中能“独立思考”的学生约有多少人？
【答案】（1）
（2）
（3）“讲解题目”的人数是： (人)．
（4） (人)， 答：在课堂中能“独立思考”的学生约有人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：本次调查的样本容量为 (人)；
故答案为：
（2）“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数是：；
故答案为：
【分析】
（1）本次调查的总样本容量，可通过专注听讲的人数除以它在调查中所占的百分比计算得到；
（2）“主动质疑”所在扇形的圆心角度数，可通过乘“主动质疑”在样本中的占比求得；
（3）先计算出“讲解题目”的人数，再根据计算结果补全条形统计图即可；
（4）用该地区初中学生的总人数，乘样本中“独立思考”的学生所占的比例，即可估计出该地区“独立思考”的学生人数.
（1）解：本次调查的样本容量为 (人)；
故答案为：
（2）“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数是：；
故答案为：
（3）“讲解题目”的人数是： (人)．
（4） (人)，
答：在课堂中能“独立思考”的学生约有人．
18．已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）．
（1）若M，N分别是的中点，求的长度；
（2）若，，求的长；
（3）在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度．
【答案】（1）解： ∵M，N分别是的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴；
（2）解： ∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3）解： ∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
当点G在线段上时，；
当点G在线段的延长线上时，．
综上可知，的长度为或．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；线段n等分点模型
【解析】【分析】
（1）根据中点的定义可知，，再利用线段和的关系，即可计算出MN的长度；
（2）根据三等分点的性质可得，，由此可以推导出，，再结合就能求出MN的长度；
（3）解题时先算出线段的长度，再根据点G的位置分两种情况讨论：分别是点G落在线段上，以及点G落在线段的延长线上，分别计算两种情况下对应的结果.
（1）∵M，N分别是的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
当点G在线段上时，；
当点G在线段的延长线上时，．
综上可知，的长度为或．
19．要锻造一个直径为12cm，高为8cm的圆柱形毛坯，应截取直径为8cm的圆钢多少cm？（不计锻造时的损耗）
【答案】解：设截取直径为8cm的圆钢，
则根据体积相等得方程：，
解得，
故应截取直径为8cm的圆钢18cm．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查一元一次方程在几何体积问题中的应用，核心是抓住锻造前后体积不变的等量关系。设应截取圆钢的长度为x cm，分别根据圆柱的体积公式，表示出截取的圆钢体积和锻造后圆柱形毛坯的体积；根据锻造前后体积相等列出方程，解方程即可求出圆钢的长度。
20．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线．
（1）若，为的分位线，且，则 ．
（2）如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）．
①已知，，则 ．
②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
（3）如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数．
【答案】（1）
（2）①；
②不变；
，分别为与的分位线，（，），
，，
；
若，的度数不会改变；
（3）或
【知识点】角的运算；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：，为的分位线，且；
，，
，
；
故答案为：；
（2）解：①，分别为与的分位线，（，）
，，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：根据题意作图，如图所示，
已知射线、分别为与的分位线，
设，，
，，
点、、在同一条直线上
，
，
，
；
根据题意作图，如图所示；
已知射线、分别为与的分位线，
设，
则，，
∵点、、在同一条直线上，
，
，
解得；
∴；
的度数为或．
【分析】
（1）结合题目给出的条件，可以得到关系式：，同时，联立两个式子即可算出∠AOP的度数；
（2）①根据题目新定义可以得到：，，再结合已知条件，可以分别算出，，进而求出∠POQ的度数；②∠POQ的度数是定值，不会发生变化。根据新定义推导可得，，将两个式子相加整理后就可以得到固定的结果；
（3）由于OM、ON的位置不固定，因此本题需要分两种情况分别讨论计算：第一种情况，设，可得，又因为，将关系代入后可解得，之后即可进一步算出的度数；第二种情况，设，可得，同样根据，将关系代入后可解得，之后即可进一步算出的度数．
（1）解：，为的分位线，且；
，，
，
；
故答案为：；
（2）解：①，分别为与的分位线，（，）
，，
，
，
，，
，
，
；
②不变；
，分别为与的分位线，（，），
，，
；
若，的度数不会改变；
（3）解：根据题意作图，如图所示，
已知射线、分别为与的分位线，
设，，
，，
点、、在同一条直线上
，
，
，
；
根据题意作图，如图所示；
已知射线、分别为与的分位线，
设，
则，，
∵点、、在同一条直线上，
，
，
解得；
∴；
的度数为或．
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