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南充高中高 2024 级第二次诊断考试（南充一诊模拟考试）
数 学 试 题
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 复数 在复平面内对应的点所在象限是（　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知 ，，则 是 的（　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 下列函数中，既是偶函数又在区间 单调递增的是（　）
A. B.
C. D.
4. 已知双曲线 的离心率为 2，则双曲线 的渐近线方程为（　）
A. B. C. D.
5. 已知函数 ，， 的零点分别是 ，则 的大小顺序是（　）
A. B. C. D.
6. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练 个单位的数据量所需要的时间 ，其中 为常数．在此条件下，训练 个单位的数据量所需要的时间是训练 个单位的数据量所需要的时间的（　）
A. 倍 B. 2 倍 C. 3 倍 D. 4 倍
7. 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，若 ，，，则 边上的高为（　）
A. B. C. D. 2
8. 若函数 有两个零点，则 的取值范围是（　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分、部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。请把正确答案的选项填涂在答题卡相应的位置上。
9. 若 ，则下列结论正确的有（　）
A.
B.
C. 数据 的第 30 百分位数是 5
D. 若 ，随机变量 ，且 ，则
10. 设函数 ， 的零点为 ，极值点为 ，则（　）
A. B.
C. D. 是 的极小值点
11. 已知点 是抛物线 的焦点，、 是经过点 的弦且 ，直线 的斜率为 ，且 ， 两点在 轴上方，则（　）
A. 抛物线 的焦点到准线的距离为 2
B.
C. 为一个定值
D. 若 ，则直线 的斜率为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知平面向量 均为单位向量，若 ，则
13. 已知幂函数 在 上单调递减，若正数 ， 满足 ，则 的最小值为
14. 已知正三棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为 ，且 ，则该正三棱锥体积的取值范围是
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）如图，在正方体 中，，， 分别为 ，， 的中点.
(1) 若在线段 上存在一点 ，使 平面 ，试确定点 的位置并证明;
(2) 求平面 与平面 夹角的正切值.
16.（15 分）2026 年 9 月 19 日南充市城市足球联赛（简称“充超”）火热开赛，赛场外同步开展特色好物展销活动，某特色产品商统计了其中 5 场比赛的观赛人数与产品单日销售额. 设 为单场观赛人数（单位：百人）， 为特色产品单日销售额（单位：百元），得到了如下数据：
6 7 8 9 10
3 5 6 7 9
(1) 由数据可知 与 具有线性相关关系，求 关于 的线性回归方程，并预测单场观赛人数为 13 百人时特色产品单日销售额;
(2) 若观赛人数不低于 8 百人的场次称为“热门场次”，从这 5 场比赛中随机选出 2 场，记其中热门场次的数为 ，求 的分布列和数学期望.
参考公式：
17.（15 分）设等差数列 的公差为 ，点 在函数 的图象上（）
(1) 证明：数列 是等比数列;
(2) 若 ，函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为 ，求数列 的前 项和
18.（17 分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的上顶点为 ，左焦点为 ，焦距为 ， 的面积为 6，点 为椭圆上一点，圆 的面积为 .
(1) 求椭圆 C 的离心率;
(2) 过原点 作圆 的两条切线 ， 分别交椭圆于 ，.
(i) 若直线 ， 的斜率都存在，分别记为 ，求 的值;
(ii) 求 的最大值.
19.（17 分）已知函数 ，，
(1) 求函数 的最值;
(2) 讨论函数 在 上极值点的个数;
(3) 设函数 ，若 在定义域内有三个不同的极值点 ，，，且满足
，求实数 的取值范围.
南充高中高 2024 级第二次诊断考试（南充一诊模拟考试）
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
A B C A D C C A
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分、部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9 10 11
AB AD ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 1 13. 4 14.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 【解析】（1）点 在 的中点位置. 1 分
证明：取 中点，设为点 ，连接
∵ 为 的中点，∴ 且
又 为 中点，∴ 且
∴ 且 4 分
所以，四边形 为平行四边形，得
平面 ， 平面
∴ 平面 6 分
（2）以 D 为坐标原点，，， 所在直线分别为 ，， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系,
设 ，则 ，，，，
∴ ，
设平面 的一个法向量为
则 且 ，得 9 分
在正方体中， 平面
∴ 可以作为平面 的一个法向量 10 分
则 ， ∴ ，
得平面 与平面 夹角的正切值为 . 13 分
16. 【解析】（1）由数据可得，，， 2 分
则 ， 3 分
， 4 分
所以 ，， 6 分
因此， 关于 的线性回归方程为：， 7 分
当 时，（百元），
因此，预测单场观赛人数为 13 百人时特色产品单日销售额约为 13 百元. 8 分
（2）由题意可知，“热门场次”共有 3 场，即 的可能取值为 0，1，2，
，，， 12 分
故 的分布列为
0 1 2
. 15 分
17. 【解析】（1）证明：由已知，
当 时，（非零常数） 3 分
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列. 5 分
（2）对 求导。得 ，
∴ 在 处的切线为 ， 7 分
令 得 ，所以 ∴
由 是等差数列，，∴ ，得
所以 10 分
其前 项和： ①
两边同乘以 2 得： ② 12 分
①－②得：
整理，化简得 15 分
18. 【解析】（1）依题意得 ，
∴ ，∴ .离心率 . 4 分
（2）（i）依题意得圆 ，椭圆 ， 5 分
点 为椭圆上一点，∴ ，
直线 ，与圆 相切，∴ ， 7 分
平方整理，得 为方程 的两根，
∴ 10 分
（ii）设 ，由（i）知 ，所以 ， 12 分
，∴ ，
整理得 ，
， 15 分
由基本不等式 ，
得 ，当且仅当 时等号成立.
∴ 的最大值为 18. 17 分
19. 【解析】（1）函数 的定义域为 ，.
令 ，即 ，解得 .
当 时，， 单调递减;
当 时，， 单调递增; 3 分
因此 在 处取得极小值（也是最小值），此时 .
无最大值.
所以函数 的最小值为 ，无最大值. 4 分
（2）由题意知，即讨论 在 上变号零点个数
对 ，求导可得 .
讨论 在 上的解的个数，即 在 上的解的个数.
令 （），则 ，
当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减，
所以 在 处取得最大值，此时 . 6 分
且当 时，； 时，.
当 时， 在 上无解，此时 在 上无极值点;
当 时， 在 上有 2 个解，此时 在 上有 2 个极值点;
当 时， 在 上有 1 个解，
但 在 和 上均大于零，故此时 在 上无极值点;
当 时， 在 上无解，此时 在 上无极值点;
综上，当 或 时， 无极值点;
当 时， 有 2 个极值点. 9 分
（3），其定义域为 ，
则 ，（）.
令 ，解得 或 . 10 分
设 （），则 ，
当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减，
所以 在 处取得最大值，此时 ，
且当 时，；当 时，.
因此 的大致图象如图所示，
因为 在定义域内有三个不同的极值点 ，，，且 为 的一个根，
所以 与 有两个不同的交点（且不等于 1），所以 ， 12 分
即 在 上有两个不同的正根（且不等于 1）.
不妨设 ，则 ，
所以 ，即 ，，也即 ，，
所以
. 14 分
令 （），则
因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 在 上单调递增.
因为 16 分
因此当 时，，
即当 时， 恒成立，
所以实数 的取值范围是 . 17 分

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