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广东省深圳市红岭中学2025-2026学年上学期九年级数学11月月考试卷
1．已知点在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将代入得：，
解得：，
函数解析式为，将各点代入得：
A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、，故D选项错误；
故选：C．
【分析】利用待定系数法，地道道反比例函数解析式，再将各个选项的点逐个代入检验是否满足反比例函数的表达式即可.
2．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
当或时，有反比例函数图象在一次函数图象上方，
即当时，的取值范围是或，
故选：C．
【分析】利用不等式对应的就是反比例函数的图像在正比例函数图像上方部分，对应的自变量的范围，结合图像的对称性数形结合就能得出结果.
3．用配方法解方程时，通过配方后可得的形式，则k的值为（　　）
A． B．4 C．13 D．17
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
∴
故选：B．
【分析】本题考查一元二次方程的配方法变形，核心是完全平方公式的应用。配方法的关键是将方程左边构造成完全平方式，首先把常数项移到方程右侧，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边化为 的标准形式，对比变形后的式子即可确定k的取值。
4．已知平行四边形，下列结论不正确的是（　　）
A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形
C．当平分时，它是菱形 D．当时，它是菱形
【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、当时，它是矩形，故此选项说法正确，不符合题意；
B、当时，它是菱形，故此选项说法不正确，符合题意；
C、当平分时，它是菱形，故此选项说法正确，不符合题意；
D、当时，它是菱形，故此选项说法正确，不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据不同特殊平行四边形的判定定理，逐一判断每个选项：对于选项A，依据“对角线相等的平行四边形是矩形”进行判断；对于选项B，依据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行判断；对于选项C，依据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”进行判断；对于选项D，依据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行判断.
5．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵一次函数与y轴交点坐标为，二次函数与y轴交点坐标为，
∴选项A、C的直线和抛物线与y轴交点坐标是同一点，不合题意，
选项B、D直线和抛物线与y轴交点坐标都是关于x轴对称，
但选项B观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意；
选项D观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意；
故选：D
【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象识别，需结合系数的符号一致性逐一排除选项。一次函数 与y轴的交点坐标为 ，二次函数 与y轴的交点坐标为 ，因此两个函数与y轴的交点关于x轴对称，据此可排除交点重合的选项；再分别根据直线的倾斜方向判断a的符号、根据抛物线的开口方向判断a的符号，若两个函数对应的a符号一致，则该选项的图象可能成立。
6．如图，是的直径， 弦于点E， 若，则的半径长是（　　）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接，设的半径长为，则，
∵是的直径， 弦，
∴，
由勾股定理得，，即，
解得，，
故选：A．
【分析】本题考查圆的垂径定理与勾股定理的综合应用。连接半径OC后，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此可得到CE的长度为CD的一半；设圆的半径为r，可表示出OE的长度为 ，在 中，三条边满足勾股定理，代入各边的长度列出方程，求解即可得到半径r的值。
7．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，，
∴．
故选：B
【分析】本题考查圆内接四边形的性质与邻补角的性质。根据圆内接四边形的对角互补，可得 与 的和为 ；而 与 是邻补角，二者的和也为 ；根据同角的补角相等，即可推出 与 的度数相等。
8．北碚区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站AB，其设计图如图所示，BF，ED与地面平行，CD的坡度为，EF的坡角为，小王想利用所学知识测量基站顶部A到地面的距离，若，米，米，小王在山脚C点处测得基站底部B的仰角为，在F点处测得基站顶部A的仰角为，则基站顶部A到地面的距离为（　　）（精确到米，参考数据：，，，）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，分别过D、B作DM、BO垂直于地面于M、O两点，过F作FN垂直于直线ED于点F，
设DM=x，则有：
由勾股定理可得：
，
解之得：x=12，
∴DM=12，MC=9，
∵EF的坡角为45°，
∴FN=NE=3，
∴BO=FN+DM=3+12=15，
OC=BO÷tan37°≈15÷0.75=20，
∵BF=ED ，
∴BF=（OC-MC-NE）÷2=4，
∴AB=BF×tan60°≈4×1.73=6.92，
∴AO=AB+BO=6.92+15=21.92≈21.9（米），
故选B．
【分析】本题考查解直角三角形在实际测量问题中的应用，涉及坡度、坡角与仰角的概念。通过作垂线构造多个直角三角形，先根据CD的坡度定义得到竖直高度与水平宽度的比，结合CD的长度，利用勾股定理求出CD对应的竖直高度与水平距离；再根据EF的坡角与长度，求出EF对应的竖直上升高度与水平距离；结合 的条件，可求出基站底部B对应的水平距离，再利用C点的仰角求出B点的竖直高度，最后根据F点的仰角求出基站AB的高度，与B点竖直高度相加得到A到地面的总高度。
9．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是 　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；求正切值；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接，，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴A、C、D共线，
∵，，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查网格背景下锐角三角函数的求解，涉及勾股定理及其逆定理、三点共线的判定。连接辅助线BD、CD，利用格点边长计算对应角的正切值，可推出 与 相等，结合平角的定义可证明A、C、D三点共线；再通过勾股定理计算 各边的长度，由勾股定理的逆定理判定 为直角三角形，得到 ，最后在 中根据正切的定义，计算对边与邻边的比值即可得到 的值。
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，点在一个反比例函数的图象上，若，且菱形的面积为12，则该反比例函数的表达式为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：延长交轴于点D，过B点作于E点，
∵是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
又∵图象在第二象限，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
故答案为：．
【分析】
延长交轴于点D，过点B作于点E，可以推出，再结合关系式计算得到|k|的大小，最后结合反比例函数图象所在象限确定k的值即可.
11．如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：菱形的边长为6，，
，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用。首先根据菱形的边长与内角的度数，在 中利用30°角所对直角边为斜边一半的性质，求出CE、DE的长度，进而得到BE的总长度；再由 ，根据两角对应相等可判定 ，由相似三角形对应边成比例求出AF与AE的比例关系；同理由 ，判定 ，求出AG与AE的比例关系；最后用AG的长度减去AF的长度，即可得到FG的长度。
12．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比例．如图，点为的黄金分割点，即．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点为的黄金分割点，且AB＞BC，
∴，
∵，
，
，
故答案为：．
【分析】本题根据黄金分割点的定义，可以列出比例式，即，然后将AC=20cm代入计算即可。
13．如图，的直径和弦相交于点E，已知　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】过点O作于点F，连接．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】
作，连接，先求出圆的半径，进而得到线段的长度，再依据直角三角形的性质求出的长度，之后通过勾股定理计算出的长度，最后结合垂径定理得到最终结果.
14．如图，在四边形中，，，，求的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆的相关概念；圆内接四边形的性质；四点共圆模型
【解析】【解答】解：在四边形中，，，
∴，
∴四点共圆，设圆心为O，过点O作交于点E，连接、如图：
∵圆周角，
∴圆心角，
∴为顶角的等腰三角形，
∴为锐角的直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，由勾股定理可得方程，解得，
为圆内的弦，而圆内长度最大的弦为直径，故．
故答案为：．
【分析】本题考查四点共圆的判定与圆内弦长的最值性质。由 与 的度数和为 ，根据对角互补的四边形内接于圆，可判定A、B、C、D四点共圆；圆内最长的弦为直径，因此当CD为圆的直径时长度最大。根据圆周角与圆心角的关系， 对应的圆心角 为 ，结合AC的长度，在等腰 中利用垂径定理与勾股定理求出圆的半径，半径的2倍即为CD的最大值。
15．（1）解方程：．
（2）计算：．
【答案】解：（1），去括号得，，
化为一般式得，，
因式分解得，，
∴或，
解得，；
（2）
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；因式分解法解一元二次方程；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）本题考查一元二次方程的求解，采用因式分解法。先将方程左边的多项式展开，通过移项整理为一元二次方程的一般形式，再对二次三项式进行因式分解，转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的解；
（2）本题考查实数的混合运算，涉及乘方、负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值以及绝对值的化简。分别根据对应运算法则计算每一项的值，其中负整数指数幂转化为正整数指数幂的倒数，非零数的零次幂为1，绝对值部分先计算内部的三角函数值，判断正负后去掉绝对值符号，再按照运算顺序合并计算即可。
16．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸人树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点住同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点到点的过程中上升的高度；
（2）求大树的高度（结果保留根号）．
【答案】（1）过D作于H，如图所示：
在中，
∵斜坡的坡比为，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为4米．
（2）延长交于点G，设米，由题意得，，∴，
∵斜坡的坡比为，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
在中，
∴，
解得：，
故大树的高度为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）过点D作，垂足为H，求解直角三角形，就可以得到的长度；
（2）延长，交于点G，分别求解直角三角形和，算出和的长度，进而得到的长度，再推导得到，最后在直角三角形中，结合正切的定义计算出的长度即可.
（1）过D作于H，如图所示：
在中，
∵斜坡的坡比为，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为4米．
（2）延长交于点G，设米，由题意得，，
∴，
∵斜坡的坡比为，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
在中，
∴，
解得：，
故大树的高度为米．
17．如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形．
（1）在图中找出点的位置，并写出点的坐标．
（2）以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为．
【答案】（1）解：连接A与、B与、C与，这三条线段的交点即为位似中心P，
点P的坐标为
；
（2）如图所示，即为所求．
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【分析】
（1）根据位似图形的性质：位似图形所有对应点的连线会相交于位似中心，因此只需连接和的各组对应点（点A与、点B与、点C与），连线的交点就是要求的位似中心P，最后再确定点P的坐标即可；
（2）依次连接，结合网格的结构特征，分别找到线段的中点，标记为，最后顺次连接，得到的就是所要作的三角形.
（1）略
（2）略
18．如图，已知，以为直径的交于点，点为弧的中点，连接交于点．且．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为4，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵
∴．
∵为弧中点，
∴，
∴，
∴．
∵为直径，
∴是的切线．
(2)解：∵的半为4，
∴．
∵，，
∴，，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴．
设，，
由勾股定理得：，
解得(负数舍去)，
∴．
【知识点】勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）本题考查圆的切线判定，涉及圆周角定理、等腰三角形性质与等量代换。连接AE，由直径所对的圆周角为直角，可得 ，因此 与 互余；由 ，根据等腰三角形等边对等角的性质可得 ，结合对顶角相等，通过等量代换可得 与 互余；再由E为弧AD中点，根据等弧所对的圆周角相等，可得 ，进而推出 为直角，结合AC是直径即可证明BC是⊙O的切线；
（2）本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理及锐角三角函数的综合应用。先由圆的半径得到直径AC的长度，在 中结合 的值与勾股定理，求出BC、AB的长度，进而得到AF的长度；通过两角对应相等证明 ，得到EA与EC的比例关系，设EA为x，EC为2x，在 中利用勾股定理列方程求解，即可得到CE的长度。
19．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线表示的二次函数解析式；
（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方处．
【答案】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线为，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数解析式为：.
（2）不能，
理由：当时，，
球不能射进球门．
（3）1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】（3）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为：，
把点代入得：，
解得（舍去）或，
当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点正上方处．
故答案为：1．
【分析】 (1) 由题意算出抛物线顶点坐标，设顶点式二次函数解析式；再把 A 点坐标代入解析式求出系数a，得到抛物线的二次函数解析式.
(2) 由所求解析式，代入x=0算出对应y值，将计算结果和球门高度 2.44m 比较，判断球能否进球门.
(3) 由抛物线形状、最高点不变，设平移后的顶点式解析式，代入(0，2.25)求出顶点横坐标，对比原来顶点横坐标，算出向后移动的距离.
20．在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．
【定义】至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）操作判断用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号）
（2）【性质探究】根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．
①写出图2中相等的角，并说明理由；
②若，，，求的长（用含，，的式子表示）．
（3）【拓展应用】如图3，在中，，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形．
①请利用尺规，作出符合要求的邻等对补四边形；
②当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．
【答案】（1）②④
（2）①，理由如下：
如图，延长至点E，使，连接，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②如图，过A作于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：①如图1，，，；
如图2，，；
如图3，，．
②或
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—边角关系；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图②和图④中存在对角互补且邻边相等，故图②和图④中四边形是邻等对补四边形．
故答案为：②④；
（3）②分三种情况：
情况1：如图4，当，时，
，
则，不符合题意．
情况2：如图5，当，时，连接，过N作于H．
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴．
情况3：如图6，当，时，连接，过N作于H．
∵，，
∴，
∴，
设，
则，
解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴．
综上，的长为：或．
【分析】（1）本题考查新定义四边形的概念理解与判断。根据"邻等对补四边形"的定义，逐一判断四个四边形是否同时满足"至少有一组邻边相等"与"对角互补"两个条件，同时满足的即为符合定义的四边形；
（2）①本题考查全等三角形的判定与性质，以及角的等量代换。延长CB至点E，使 ，连接AE，由邻等对补四边形对角互补，结合邻补角的性质可得 ，结合 、，由SAS可证明 ，得到 且 ；再由等腰三角形等边对等角得 ，等量代换即可得到相等的角；
②本题考查等腰三角形性质与解直角三角形的应用。过A作 于F，由等腰三角形三线合一的性质可得CF为EC长度的一半，结合 可求出CF的表达式；由①的结论可知 ，在 中根据余弦的定义，即可用CF与 表示出AC的长度；
（3）①本题考查尺规作图与新定义四边形的构造。结合邻等对补四边形的定义，分三种情况构造满足条件的图形：第一种 且 ，第二种 且 ，第三种 且 ，分别利用尺规确定M、N点的位置，顺次连接即可；
②本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合计算。分两种符合"仅有一组邻边相等"的情况讨论：当 时，先由两角对应相等证明 ，由相似三角形对应边成比例求出MN、NC的长度，再证明 ，求出NH、HC的长度，进而得到BH的长度，最后在 中由勾股定理求出BN的长度；当 时，同理先通过相似三角形求出对应线段的长度，再结合勾股定理计算出BN的长度。
（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图②和图④中存在对角互补且邻边相等，故图②和图④中四边形是邻等对补四边形．
故答案为：②④；
（2）①略
②如图，过A作于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：①如图1，，，；
如图2，，；
如图3，，．
②分三种情况：
情况1：如图4，当，时，
，
则，不符合题意．
情况2：如图5，当，时，连接，过N作于H．
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴．
情况3：如图6，当，时，连接，过N作于H．
∵，，
∴，
∴，
设，
则，
解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴．
综上，的长为：或．
1 / 1广东省深圳市红岭中学2025-2026学年上学期九年级数学11月月考试卷
1．已知点在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
3．用配方法解方程时，通过配方后可得的形式，则k的值为（　　）
A． B．4 C．13 D．17
4．已知平行四边形，下列结论不正确的是（　　）
A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形
C．当平分时，它是菱形 D．当时，它是菱形
5．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，是的直径， 弦于点E， 若，则的半径长是（　　）
A． B．3 C．4 D．5
7．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．北碚区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站AB，其设计图如图所示，BF，ED与地面平行，CD的坡度为，EF的坡角为，小王想利用所学知识测量基站顶部A到地面的距离，若，米，米，小王在山脚C点处测得基站底部B的仰角为，在F点处测得基站顶部A的仰角为，则基站顶部A到地面的距离为（　　）（精确到米，参考数据：，，，）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是 　 　．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，点在一个反比例函数的图象上，若，且菱形的面积为12，则该反比例函数的表达式为　 　．
11．如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为　 　．
12．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比例．如图，点为的黄金分割点，即．若，则的长为　 　．
13．如图，的直径和弦相交于点E，已知　 　．
14．如图，在四边形中，，，，求的最大值为　 　．
15．（1）解方程：．
（2）计算：．
16．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸人树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点住同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点到点的过程中上升的高度；
（2）求大树的高度（结果保留根号）．
17．如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形．
（1）在图中找出点的位置，并写出点的坐标．
（2）以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为．
18．如图，已知，以为直径的交于点，点为弧的中点，连接交于点．且．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为4，，求的长．
19．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线表示的二次函数解析式；
（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方处．
20．在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．
【定义】至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）操作判断用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号）
（2）【性质探究】根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．
①写出图2中相等的角，并说明理由；
②若，，，求的长（用含，，的式子表示）．
（3）【拓展应用】如图3，在中，，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形．
①请利用尺规，作出符合要求的邻等对补四边形；
②当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将代入得：，
解得：，
函数解析式为，将各点代入得：
A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、，故D选项错误；
故选：C．
【分析】利用待定系数法，地道道反比例函数解析式，再将各个选项的点逐个代入检验是否满足反比例函数的表达式即可.
2．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
当或时，有反比例函数图象在一次函数图象上方，
即当时，的取值范围是或，
故选：C．
【分析】利用不等式对应的就是反比例函数的图像在正比例函数图像上方部分，对应的自变量的范围，结合图像的对称性数形结合就能得出结果.
3．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
∴
故选：B．
【分析】本题考查一元二次方程的配方法变形，核心是完全平方公式的应用。配方法的关键是将方程左边构造成完全平方式，首先把常数项移到方程右侧，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边化为 的标准形式，对比变形后的式子即可确定k的取值。
4．【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、当时，它是矩形，故此选项说法正确，不符合题意；
B、当时，它是菱形，故此选项说法不正确，符合题意；
C、当平分时，它是菱形，故此选项说法正确，不符合题意；
D、当时，它是菱形，故此选项说法正确，不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据不同特殊平行四边形的判定定理，逐一判断每个选项：对于选项A，依据“对角线相等的平行四边形是矩形”进行判断；对于选项B，依据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行判断；对于选项C，依据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”进行判断；对于选项D，依据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行判断.
5．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵一次函数与y轴交点坐标为，二次函数与y轴交点坐标为，
∴选项A、C的直线和抛物线与y轴交点坐标是同一点，不合题意，
选项B、D直线和抛物线与y轴交点坐标都是关于x轴对称，
但选项B观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意；
选项D观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意；
故选：D
【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象识别，需结合系数的符号一致性逐一排除选项。一次函数 与y轴的交点坐标为 ，二次函数 与y轴的交点坐标为 ，因此两个函数与y轴的交点关于x轴对称，据此可排除交点重合的选项；再分别根据直线的倾斜方向判断a的符号、根据抛物线的开口方向判断a的符号，若两个函数对应的a符号一致，则该选项的图象可能成立。
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接，设的半径长为，则，
∵是的直径， 弦，
∴，
由勾股定理得，，即，
解得，，
故选：A．
【分析】本题考查圆的垂径定理与勾股定理的综合应用。连接半径OC后，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此可得到CE的长度为CD的一半；设圆的半径为r，可表示出OE的长度为 ，在 中，三条边满足勾股定理，代入各边的长度列出方程，求解即可得到半径r的值。
7．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，，
∴．
故选：B
【分析】本题考查圆内接四边形的性质与邻补角的性质。根据圆内接四边形的对角互补，可得 与 的和为 ；而 与 是邻补角，二者的和也为 ；根据同角的补角相等，即可推出 与 的度数相等。
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，分别过D、B作DM、BO垂直于地面于M、O两点，过F作FN垂直于直线ED于点F，
设DM=x，则有：
由勾股定理可得：
，
解之得：x=12，
∴DM=12，MC=9，
∵EF的坡角为45°，
∴FN=NE=3，
∴BO=FN+DM=3+12=15，
OC=BO÷tan37°≈15÷0.75=20，
∵BF=ED ，
∴BF=（OC-MC-NE）÷2=4，
∴AB=BF×tan60°≈4×1.73=6.92，
∴AO=AB+BO=6.92+15=21.92≈21.9（米），
故选B．
【分析】本题考查解直角三角形在实际测量问题中的应用，涉及坡度、坡角与仰角的概念。通过作垂线构造多个直角三角形，先根据CD的坡度定义得到竖直高度与水平宽度的比，结合CD的长度，利用勾股定理求出CD对应的竖直高度与水平距离；再根据EF的坡角与长度，求出EF对应的竖直上升高度与水平距离；结合 的条件，可求出基站底部B对应的水平距离，再利用C点的仰角求出B点的竖直高度，最后根据F点的仰角求出基站AB的高度，与B点竖直高度相加得到A到地面的总高度。
9．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；求正切值；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接，，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴A、C、D共线，
∵，，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查网格背景下锐角三角函数的求解，涉及勾股定理及其逆定理、三点共线的判定。连接辅助线BD、CD，利用格点边长计算对应角的正切值，可推出 与 相等，结合平角的定义可证明A、C、D三点共线；再通过勾股定理计算 各边的长度，由勾股定理的逆定理判定 为直角三角形，得到 ，最后在 中根据正切的定义，计算对边与邻边的比值即可得到 的值。
10．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：延长交轴于点D，过B点作于E点，
∵是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
又∵图象在第二象限，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
故答案为：．
【分析】
延长交轴于点D，过点B作于点E，可以推出，再结合关系式计算得到|k|的大小，最后结合反比例函数图象所在象限确定k的值即可.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：菱形的边长为6，，
，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用。首先根据菱形的边长与内角的度数，在 中利用30°角所对直角边为斜边一半的性质，求出CE、DE的长度，进而得到BE的总长度；再由 ，根据两角对应相等可判定 ，由相似三角形对应边成比例求出AF与AE的比例关系；同理由 ，判定 ，求出AG与AE的比例关系；最后用AG的长度减去AF的长度，即可得到FG的长度。
12．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点为的黄金分割点，且AB＞BC，
∴，
∵，
，
，
故答案为：．
【分析】本题根据黄金分割点的定义，可以列出比例式，即，然后将AC=20cm代入计算即可。
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】过点O作于点F，连接．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】
作，连接，先求出圆的半径，进而得到线段的长度，再依据直角三角形的性质求出的长度，之后通过勾股定理计算出的长度，最后结合垂径定理得到最终结果.
14．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆的相关概念；圆内接四边形的性质；四点共圆模型
【解析】【解答】解：在四边形中，，，
∴，
∴四点共圆，设圆心为O，过点O作交于点E，连接、如图：
∵圆周角，
∴圆心角，
∴为顶角的等腰三角形，
∴为锐角的直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，由勾股定理可得方程，解得，
为圆内的弦，而圆内长度最大的弦为直径，故．
故答案为：．
【分析】本题考查四点共圆的判定与圆内弦长的最值性质。由 与 的度数和为 ，根据对角互补的四边形内接于圆，可判定A、B、C、D四点共圆；圆内最长的弦为直径，因此当CD为圆的直径时长度最大。根据圆周角与圆心角的关系， 对应的圆心角 为 ，结合AC的长度，在等腰 中利用垂径定理与勾股定理求出圆的半径，半径的2倍即为CD的最大值。
15．【答案】解：（1），去括号得，，
化为一般式得，，
因式分解得，，
∴或，
解得，；
（2）
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；因式分解法解一元二次方程；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）本题考查一元二次方程的求解，采用因式分解法。先将方程左边的多项式展开，通过移项整理为一元二次方程的一般形式，再对二次三项式进行因式分解，转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的解；
（2）本题考查实数的混合运算，涉及乘方、负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值以及绝对值的化简。分别根据对应运算法则计算每一项的值，其中负整数指数幂转化为正整数指数幂的倒数，非零数的零次幂为1，绝对值部分先计算内部的三角函数值，判断正负后去掉绝对值符号，再按照运算顺序合并计算即可。
16．【答案】（1）过D作于H，如图所示：
在中，
∵斜坡的坡比为，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为4米．
（2）延长交于点G，设米，由题意得，，∴，
∵斜坡的坡比为，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
在中，
∴，
解得：，
故大树的高度为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）过点D作，垂足为H，求解直角三角形，就可以得到的长度；
（2）延长，交于点G，分别求解直角三角形和，算出和的长度，进而得到的长度，再推导得到，最后在直角三角形中，结合正切的定义计算出的长度即可.
（1）过D作于H，如图所示：
在中，
∵斜坡的坡比为，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为4米．
（2）延长交于点G，设米，由题意得，，
∴，
∵斜坡的坡比为，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
在中，
∴，
解得：，
故大树的高度为米．
17．【答案】（1）解：连接A与、B与、C与，这三条线段的交点即为位似中心P，
点P的坐标为
；
（2）如图所示，即为所求．
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【分析】
（1）根据位似图形的性质：位似图形所有对应点的连线会相交于位似中心，因此只需连接和的各组对应点（点A与、点B与、点C与），连线的交点就是要求的位似中心P，最后再确定点P的坐标即可；
（2）依次连接，结合网格的结构特征，分别找到线段的中点，标记为，最后顺次连接，得到的就是所要作的三角形.
（1）略
（2）略
18．【答案】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵
∴．
∵为弧中点，
∴，
∴，
∴．
∵为直径，
∴是的切线．
(2)解：∵的半为4，
∴．
∵，，
∴，，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴．
设，，
由勾股定理得：，
解得(负数舍去)，
∴．
【知识点】勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）本题考查圆的切线判定，涉及圆周角定理、等腰三角形性质与等量代换。连接AE，由直径所对的圆周角为直角，可得 ，因此 与 互余；由 ，根据等腰三角形等边对等角的性质可得 ，结合对顶角相等，通过等量代换可得 与 互余；再由E为弧AD中点，根据等弧所对的圆周角相等，可得 ，进而推出 为直角，结合AC是直径即可证明BC是⊙O的切线；
（2）本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理及锐角三角函数的综合应用。先由圆的半径得到直径AC的长度，在 中结合 的值与勾股定理，求出BC、AB的长度，进而得到AF的长度；通过两角对应相等证明 ，得到EA与EC的比例关系，设EA为x，EC为2x，在 中利用勾股定理列方程求解，即可得到CE的长度。
19．【答案】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线为，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数解析式为：.
（2）不能，
理由：当时，，
球不能射进球门．
（3）1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】（3）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为：，
把点代入得：，
解得（舍去）或，
当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点正上方处．
故答案为：1．
【分析】 (1) 由题意算出抛物线顶点坐标，设顶点式二次函数解析式；再把 A 点坐标代入解析式求出系数a，得到抛物线的二次函数解析式.
(2) 由所求解析式，代入x=0算出对应y值，将计算结果和球门高度 2.44m 比较，判断球能否进球门.
(3) 由抛物线形状、最高点不变，设平移后的顶点式解析式，代入(0，2.25)求出顶点横坐标，对比原来顶点横坐标，算出向后移动的距离.
20．【答案】（1）②④
（2）①，理由如下：
如图，延长至点E，使，连接，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②如图，过A作于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：①如图1，，，；
如图2，，；
如图3，，．
②或
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—边角关系；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图②和图④中存在对角互补且邻边相等，故图②和图④中四边形是邻等对补四边形．
故答案为：②④；
（3）②分三种情况：
情况1：如图4，当，时，
，
则，不符合题意．
情况2：如图5，当，时，连接，过N作于H．
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴．
情况3：如图6，当，时，连接，过N作于H．
∵，，
∴，
∴，
设，
则，
解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴．
综上，的长为：或．
【分析】（1）本题考查新定义四边形的概念理解与判断。根据"邻等对补四边形"的定义，逐一判断四个四边形是否同时满足"至少有一组邻边相等"与"对角互补"两个条件，同时满足的即为符合定义的四边形；
（2）①本题考查全等三角形的判定与性质，以及角的等量代换。延长CB至点E，使 ，连接AE，由邻等对补四边形对角互补，结合邻补角的性质可得 ，结合 、，由SAS可证明 ，得到 且 ；再由等腰三角形等边对等角得 ，等量代换即可得到相等的角；
②本题考查等腰三角形性质与解直角三角形的应用。过A作 于F，由等腰三角形三线合一的性质可得CF为EC长度的一半，结合 可求出CF的表达式；由①的结论可知 ，在 中根据余弦的定义，即可用CF与 表示出AC的长度；
（3）①本题考查尺规作图与新定义四边形的构造。结合邻等对补四边形的定义，分三种情况构造满足条件的图形：第一种 且 ，第二种 且 ，第三种 且 ，分别利用尺规确定M、N点的位置，顺次连接即可；
②本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合计算。分两种符合"仅有一组邻边相等"的情况讨论：当 时，先由两角对应相等证明 ，由相似三角形对应边成比例求出MN、NC的长度，再证明 ，求出NH、HC的长度，进而得到BH的长度，最后在 中由勾股定理求出BN的长度；当 时，同理先通过相似三角形求出对应线段的长度，再结合勾股定理计算出BN的长度。
（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图②和图④中存在对角互补且邻边相等，故图②和图④中四边形是邻等对补四边形．
故答案为：②④；
（2）①略
②如图，过A作于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：①如图1，，，；
如图2，，；
如图3，，．
②分三种情况：
情况1：如图4，当，时，
，
则，不符合题意．
情况2：如图5，当，时，连接，过N作于H．
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴．
情况3：如图6，当，时，连接，过N作于H．
∵，，
∴，
∴，
设，
则，
解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴．
综上，的长为：或．
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