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浙江省宁波市奉化区奉港中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷
1．“认识交通标志，遵守交通规则”，下列交通标志中，是轴对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
2．下列各组线段中，首尾相接不能组成三角形的是（　　）
A．12cm，8cm，5cm B．12cm，8cm，6cm
C．12cm，5cm，6cm D．8cm，5cm，6cm
3．能说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（　　）
A．， B．， C．， D．，
4．若 则下列式子中错误的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．若不等式组无解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，与全等．已知与是对应角，则对其余对应边或对应角判断错误的是（ ）
A．对应边：与 B．对应边：与
C．对应角：与 D．对应角：与
8．如图，在中，，为的中点，于点，若，，则为（　　）．
A． B． C． D．
9．如图，中，，分别以为边在AB的同侧作正三角形，图中四块阴影部分的面积分别为，，，，则（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，，线段的两个端点D，E分别在边和边所在的直线上滑动，且，若点P，Q分别是的中点，则下列有关说法正确的是（　　）
A．有最大值为 B．有最大值为
C．有最小值为 D．有最小值为
11．若，且，则a的取值范围是　 　．
12．已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是　 　.
13．如图是边长均为1的小正方形网格，A，B，C，D均在格点上，则　 　°．
14．已知直角三角形的两边长分别为3、4.则第三边长为　 　.
15．如图，在中，，高交于点H．若，则　 　．
16．如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，连接，若，，则　 　，若延长线段交于点，则　 　．
17．（1）解不等式，并把解集表示在数轴上；
（2）解不等式组，并写出满足该不等式的负整数解．
18．图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图．
（1）在图1中作出一个等腰，点C在格点上．
（2）在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上．
（3）在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上．
19．陈同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：．
（2）求两堵木墙之间的距离．
20．2024年，人工智能技术将迎来新的突破，智能驾驶、智能家居、智能医疗等领域的创新将改变人们的生活方式，并带来巨大的便利，某连锁酒店计划向机器人公司购买A型号和B型号送餐机器人共台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的倍．
（1）该连锁酒店最多购买几台A型号机器人？
（2）机器人公司报价A型号机器人7万元/台，B型号机器人9万元/台，要使总费用不超过万元，则有哪几种购买方案？
21．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，．
（1）填空： _________； _________；
（2）若，求x的取值范围．
（3）若关于x的不等式恰有两个正整数解，求m的取值范围．
22．一个三角形被一条中线分割成两个三角形，如果分成的这两个三角形中至少有一个为等腰三角形，则称这个三角形为奇妙三角形，这条中线为奇妙线．
（1）如图1，在中，已知，，，为一条奇妙线，则的周长为 ．
（2）如图2，已知，于点D，，，求证：为奇妙三角形．
（3）已知为奇妙三角形，且为奇妙线，，，求的长．
23．如图，已知在中，是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接．
（1）当秒时，求的面积；
（2）若平分，求t的值；
（3）过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故选B．
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
∴长为12cm， 8cm， 5cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 8cm， 6cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 5cm， 6cm的三条线段不能组成三角形，符合题意；
∴长为8cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形， 不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可.
3．【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A．当，时，，而，条件不成立，故A不符合题意；
B．当，，，且，能说明，且成立，不是反例，故B不符合题意；
C．当，，，而，能够说明，但不成立，故C符合题意；
D．，，，而，条件不成立，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据举反例要求符合命题条件，但不符合命题结论即可．
4．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、在不等式x＞y的两边同时减去3，不等式仍成立，即x－3>y－3，故本选项不符合题意；
B、在不等式x＞y的两边同时加上3，不等式仍成立，即x+3＞y+3，故本选项不符合题意；
C、在不等式x＞y的两边同时乘-3，不等号方向发生改变，即-3x＜-3y，故本选项符合题意；
D、在不等式x＞y的两边同时除以3，不等式仍成立，即 ，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据不等式的基本性质进行逐一判断即可．
5．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、设，则 ，可得是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，则 ，可得是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、因为，所以，因为，则，可得是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、设 ，则 ，解得： ，所以 ，即不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】
A、使用勾股定理的逆定理判定三角形的形状时，注意必须用较小的两个边的平方和与最大边的平方比较；
B、把等号左边的平方差展开恰好得到符合勾股定理；
C、利用三角形的内角和定理即可得出；
D、利用三角形的内角和定理进行计算可发现三个内角都是锐角．
6．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：根据题意得，如图所示，
∴时，原不等式无解，
∴当时，，
∴，
故答案为 ：B ．
【分析】利用不等式组的解集无解，可得到关于m的不等式，即可求出m的取值范围.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵与全等，
∴与是对应角，与是对应角，与是对应边，与是对应边，
与不是和的内角，故不是全等三角形的对应角，
故选：D．
【分析】
全等三角形的对应角相等、对应边相等，书写时应把对应顶点写在对应位置上，可快速找出对应角的对应边．
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵为的中点，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴为．
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质得到的长，再根据勾股定理得到的长解题．
9．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点G，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
同理，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
过点E作于点G，利用等边三角形的性质和勾股定理可知，，，从而可得出，得到，即可求解．
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，
在中，，
∴，
∵，点Q、P分别是的中点，
∴，，
∵在中，两边之差小于第三边，QPCP-CQ
∴当C、Q、P在同一直线上时，取最小值，
∴的最小值为：，
故选：D．
【分析】连接，根据勾股定理得到，根据直角三角形的斜边上的中线的性质得到，，在中，两边之差小于第三边，QPCP-CQ，当C、Q、P在同一直线上时，取最小值，于是得到结论．
11．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
∴，
故填：．
【分析】根据不等式的基本性质：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，得出，解不等式求出a的取值范围，即可得出答案.
12．【答案】6
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： 由题意知
（1）假设3为底边的长度。等腰三角形的两腰相等，设腰的长度为x。
∴2x + 3 = 15，解得x = 6。
∴三边长度为6、6、3，
6+6=12＞3，因此可以构成等腰三角形。
（2）假设3为腰的长度。设底边的长度为y，
∴3 + 3 + y = 15，解得y = 9
∴三边长度为3、3、9，
∵3+3=6＜9，
∴不满足三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边），因此不能构成三角形。
综上所述，等腰三角形的腰长为6。
故答案为：6.
【分析】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的三边关系。已知等腰三角形的周长和其中一边的长度，但未明确该边是底边还是腰，因此需要分情况讨论。同时，还需要考虑是否能构成三角形，即满足三角形的三边关系。
13．【答案】90
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，取格点，连接，，，，由网格可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
如图，可分别取格点E、F，则可利用SAS证明，即可得，再利用直角三角形两锐角互余即可．
14．【答案】5或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为： ；
②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为： ；
∴第三边的长为： 或5.
【分析】根据题意分两种情况讨论：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边；②长为3、4的边都是直角边时： 根据勾股定理即可求出第三边长 .
15．【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵是高，，∴，
∴，
∴；
∵是三角形的高，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
你，
∴，
故答案为：2．
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，以及全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解答本题的核心关键。题目给出条件：CE是ABC的高，且BAC=45°，根据这个条件可以推导出AE=CE=7，进一步计算就能得到BE=5；接下来可以证明AEH≌CEB，再根据全等三角形对应边相等的性质，得到EH=BE=5，将已知长度代入就可求出CH的长度。
16．【答案】8；
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
分别以，为边作等边和等边，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
设，则，
，
，
整理得：，
，
，
，
，
故答案为：8，．
【分析】
（1）先由勾股定理可得BC的长，再利用手拉手全等模型可得即可得ED=BC；
（2）先利用HL证明，再利用全等的性质结合等边三角形的性质可得，再利用直角三角形中30度的性质结合勾股求出BF，最后再利用线段的和千差关系即可．
17．【答案】解：（1）移项，得，
合并同类项，得，
将解集表示在数轴上如下：
（2）
解①，得，
解②，得，
则不等式组的解集为，
所以负整数解为．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式组的特殊解；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】
（1）解不等式的一般步骤是，去括号，再移项、并合并同类项，最后再把系数化为1，再将解集表示在数轴上即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集，再找出符合条件的负整数解即可．
18．【答案】（1）解：如图1中，即为所求；
（2）解：如图2中，即为所求；
（3）解：如图3中，即为所求．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）由等腰三角形的两腰相等可取点C并分别连接BC、AC即可；
（2）同勾股定理可得，则可取点D，同理可得，再利用一线三垂直全等模型可得，即即为所求；
（3）如图，可取格点E，则可构造一线三垂直全等模型即可证明即可．
（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）；
（2）如图2中，即为所求；理由如下：
∵，，
∴，
即是直角三角形，且，
∴．
（3）如图3中，即为所求（答案不唯一）．
19．【答案】（1）证明：由题意得：，
，
，
，
在和中，
（2）解：由（1）知，
，，
又根据题意由图可得：，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据题意可得，，，，根据等角的余角相等可得，结合已知，用角角边可证；
（2）由全等三角形的对应边相等可求解．
（1）解：由题意得：，
，
，
，
在和中，
（2）解：由（1）知，
，，
又根据题意由图可得：，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
20．【答案】（1）解：设购买台型号机器人，则购买台型号机器人，
则，
解得x≤25，
答：最多购买台型号机器人；
（2）解：设购买台型号机器人，则购买台型号机器人，
则，
∴，
，又是整数，
∴或，
当A型号为台时、B型号为台；当A型号为台时、B型号为台，
答：共有2种方案，A型号台、B型号台；A型号台、B型号台．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设该垃圾处理厂购买台A型号机器人，则购买台型号机器人，根据“B型号机器人不少于A型号机器人的倍”列出不等式，求出最大整数解即可；
（2）根据单价乘以数量等于总价，由购买x台A型机器人的费用+购买(40-x)台B型机器人的费用不超过313万元列出不等式，结合（1）中不等式的解和为整数，即可得出共有两种方案．
21．【答案】（1）4，4
（2）解：，
不等式可转化为：，
；
（3）解：，
不等式可转化为：，
，
∵关于x的不等式恰有两个正整数解，
∴，
解得：．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解得】解：（1），
，，
故答案为：4，4；
【分析】（1）根据新定义计算即可；
（2）先计算，然后将不等式可转化为，解此不等式可得的取值范围；
（3）先计算，因此可将不等式可转化为，由此可解得，再根据恰有两个正整数解，得到，解不等式组即可．
（1）解：，
，，
故答案为：4，4；
（2）解：，
不等式可转化为：，
；
（3）解：，
不等式可转化为：，
，
∵关于x的不等式恰有两个正整数解，
∴，
解得：．
22．【答案】（1）13，14
（2）证明：如图，取的中点E，连接，
，
，
，
，
∴是的垂直平分线，
，
为奇妙三角形．
（3）解：由题可分为以下几种情况讨论：①为等腰三角形时，若，如图，
D是中点，
，
②当为等腰三角形时，若，如图，
是等腰三角形，，
设，
为奇妙三角形，且为奇妙线，
，
作交于E，
，
，
，
在直角和直角中，
，
，
，
解得，
∴；
③当为等腰三角形时，若，如图，
且D是中点，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
④为等腰三角形时，若同③，
⑤其他情况，不存在
综上所述，的值为，6，．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；直角三角形的判定
【解析】【解答】
（1）解：为一条奇妙线， D是中点且，
，
和至少有一个是等腰三角形，
当，是等腰三角形，但，不符合题意舍去；
当，是等腰三角形，符合题意，的周长为；
当，和都是等腰三角形，符合题意，的周长为，
综上所述：的周长可能为13，14，
故答案为：13，14；
【分析】
（1）由于AD平分BC，即BD＝BC＝5，由于AB与BD不相等，则由奇妙线的概念知AD＝AB或AD＝BD＝CD，再利用周长的计算公式计算即可；
（2）取的中点E，连接，则线段中点的概念结合线段的和差关系可得，又，再利用线段的垂直平分线的判定与性质即可得AE＝AB；
（3）由于无法确定哪个三角形是等腰三角形，故应分类讨论，即：
①当时为等腰三角形，则；
②当时为等腰三角形，此时可交于点，由等腰三角形三线合一可得BE等于DE等于BC的四分之一，则由勾股定理可得关于BC的一元二次方程并求解即可；
③当时为等腰三角形，则是直角三角形且，再直接应用勾股定理即可；
④当时为等腰三角形，结果同③；
由于，故BC的值只可能为，6，．
（1）解：为一条奇妙线， D是中点且，
，
和至少有一个是等腰三角形，
当，是等腰三角形，但，不符合题意舍去；
当，是等腰三角形，符合题意，的周长为；
当，和都是等腰三角形，符合题意，的周长为，
综上所述：的周长可能为13，14，
故答案为：13，14；
（2）证明：如图：
取的中点E，连接，
，
，
，
，
∴是的垂直平分线，
，
为奇妙三角形．
（3）解：由题可分为以下几种情况讨论：
①为等腰三角形时，若，如图，
D是中点，
，
②当为等腰三角形时，若，如图，
是等腰三角形，，
设，
为奇妙三角形，且为奇妙线，
，
作交于E，
，
，
，
在直角和直角中，
，
，
，
解得，
∴；
③当为等腰三角形时，若，如图，
且D是中点，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
④为等腰三角形时，若同③，
⑤其他情况，不存在
综上所述，的值为，6，．
23．【答案】（1）解：由题意可得，，
∵，
∴，
∴，
∴当秒时，求的面积为；
（2）解：当线段恰好平分时，作于，如图，
∵线段平分，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得PC=4.8，
∴，
解得t=5.1；
（3）解：点在线段上时，过点作于，连接，如图，
则，
∴，
∵CD=3，AC=8，
∴AD=AC-CD=5，
当DE=CD=3时，
在Rt△ADE中，；
∵BP=2t，BC=15，
∴PC=BC-BP=15-2t，
∵，DE=CD，
∴Rt△CDP≌Rt△EDP（HL），
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得t=4.5；
点在线段的延长线上时，过点作于，如图，
同得Rt△CDP≌Rt△EDP（HL），
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得t=10.5；
综上所述，在点的运动过程中，当的值为4.5或10.5时，能使．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（）根据路程、速度、时间三者关系求出，再利用三角形的面积计算公式解答即可求解；
（）作于，利用AAS判断出△ACP≌△AMP，由全等三角形的对应边相等得PC=PM，AC=AM=8，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB，进而算出BM，在Rt△BPM中，利用勾股定理建立方程求出PC，最后利用BP=2t建立方程，求得的值即可；
（）点在线段上时，过点作于，连接，如图，首先由勾股定理算出AE=4，则PC=15-2t，然后利用HL判断出Rt△CDP≌Rt△EDP，得PE=PC=15-2t，则AP=19-2t，在Rt△APC中，利用勾股定理建立方程求出t的值；点在线段的延长线上时，过点作于，如图，同①得Rt△CDP≌Rt△EDP，得PE=PC=15-2t，则AP=2t-11，在Rt△APC中，利用勾股定理建立方程求出t的值，综上，可得答案.
（1）解：由题意可得，，
∵，，
∴，
∴，
∴当秒时，求的面积为；
（2）解：当线段恰好平分时，作于，如图，
∵线段平分，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
解得；
（3）解：点在线段上时，过点作于，连接，如图，
则，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得；
点在线段的延长线上时，过点作于，如图，
同得，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得；
综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使．
1 / 1浙江省宁波市奉化区奉港中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷
1．“认识交通标志，遵守交通规则”，下列交通标志中，是轴对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故选B．
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．下列各组线段中，首尾相接不能组成三角形的是（　　）
A．12cm，8cm，5cm B．12cm，8cm，6cm
C．12cm，5cm，6cm D．8cm，5cm，6cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
∴长为12cm， 8cm， 5cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 8cm， 6cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 5cm， 6cm的三条线段不能组成三角形，符合题意；
∴长为8cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形， 不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可.
3．能说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A．当，时，，而，条件不成立，故A不符合题意；
B．当，，，且，能说明，且成立，不是反例，故B不符合题意；
C．当，，，而，能够说明，但不成立，故C符合题意；
D．，，，而，条件不成立，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据举反例要求符合命题条件，但不符合命题结论即可．
4．若 则下列式子中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、在不等式x＞y的两边同时减去3，不等式仍成立，即x－3>y－3，故本选项不符合题意；
B、在不等式x＞y的两边同时加上3，不等式仍成立，即x+3＞y+3，故本选项不符合题意；
C、在不等式x＞y的两边同时乘-3，不等号方向发生改变，即-3x＜-3y，故本选项符合题意；
D、在不等式x＞y的两边同时除以3，不等式仍成立，即 ，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据不等式的基本性质进行逐一判断即可．
5．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、设，则 ，可得是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，则 ，可得是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、因为，所以，因为，则，可得是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、设 ，则 ，解得： ，所以 ，即不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】
A、使用勾股定理的逆定理判定三角形的形状时，注意必须用较小的两个边的平方和与最大边的平方比较；
B、把等号左边的平方差展开恰好得到符合勾股定理；
C、利用三角形的内角和定理即可得出；
D、利用三角形的内角和定理进行计算可发现三个内角都是锐角．
6．若不等式组无解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：根据题意得，如图所示，
∴时，原不等式无解，
∴当时，，
∴，
故答案为 ：B ．
【分析】利用不等式组的解集无解，可得到关于m的不等式，即可求出m的取值范围.
7．如图，与全等．已知与是对应角，则对其余对应边或对应角判断错误的是（ ）
A．对应边：与 B．对应边：与
C．对应角：与 D．对应角：与
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵与全等，
∴与是对应角，与是对应角，与是对应边，与是对应边，
与不是和的内角，故不是全等三角形的对应角，
故选：D．
【分析】
全等三角形的对应角相等、对应边相等，书写时应把对应顶点写在对应位置上，可快速找出对应角的对应边．
8．如图，在中，，为的中点，于点，若，，则为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵为的中点，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴为．
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质得到的长，再根据勾股定理得到的长解题．
9．如图，中，，分别以为边在AB的同侧作正三角形，图中四块阴影部分的面积分别为，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点G，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
同理，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
过点E作于点G，利用等边三角形的性质和勾股定理可知，，，从而可得出，得到，即可求解．
10．如图，在中，，，，线段的两个端点D，E分别在边和边所在的直线上滑动，且，若点P，Q分别是的中点，则下列有关说法正确的是（　　）
A．有最大值为 B．有最大值为
C．有最小值为 D．有最小值为
【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，
在中，，
∴，
∵，点Q、P分别是的中点，
∴，，
∵在中，两边之差小于第三边，QPCP-CQ
∴当C、Q、P在同一直线上时，取最小值，
∴的最小值为：，
故选：D．
【分析】连接，根据勾股定理得到，根据直角三角形的斜边上的中线的性质得到，，在中，两边之差小于第三边，QPCP-CQ，当C、Q、P在同一直线上时，取最小值，于是得到结论．
11．若，且，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
∴，
故填：．
【分析】根据不等式的基本性质：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，得出，解不等式求出a的取值范围，即可得出答案.
12．已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是　 　.
【答案】6
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： 由题意知
（1）假设3为底边的长度。等腰三角形的两腰相等，设腰的长度为x。
∴2x + 3 = 15，解得x = 6。
∴三边长度为6、6、3，
6+6=12＞3，因此可以构成等腰三角形。
（2）假设3为腰的长度。设底边的长度为y，
∴3 + 3 + y = 15，解得y = 9
∴三边长度为3、3、9，
∵3+3=6＜9，
∴不满足三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边），因此不能构成三角形。
综上所述，等腰三角形的腰长为6。
故答案为：6.
【分析】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的三边关系。已知等腰三角形的周长和其中一边的长度，但未明确该边是底边还是腰，因此需要分情况讨论。同时，还需要考虑是否能构成三角形，即满足三角形的三边关系。
13．如图是边长均为1的小正方形网格，A，B，C，D均在格点上，则　 　°．
【答案】90
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，取格点，连接，，，，由网格可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
如图，可分别取格点E、F，则可利用SAS证明，即可得，再利用直角三角形两锐角互余即可．
14．已知直角三角形的两边长分别为3、4.则第三边长为　 　.
【答案】5或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为： ；
②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为： ；
∴第三边的长为： 或5.
【分析】根据题意分两种情况讨论：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边；②长为3、4的边都是直角边时： 根据勾股定理即可求出第三边长 .
15．如图，在中，，高交于点H．若，则　 　．
【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵是高，，∴，
∴，
∴；
∵是三角形的高，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
你，
∴，
故答案为：2．
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，以及全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解答本题的核心关键。题目给出条件：CE是ABC的高，且BAC=45°，根据这个条件可以推导出AE=CE=7，进一步计算就能得到BE=5；接下来可以证明AEH≌CEB，再根据全等三角形对应边相等的性质，得到EH=BE=5，将已知长度代入就可求出CH的长度。
16．如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，连接，若，，则　 　，若延长线段交于点，则　 　．
【答案】8；
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
分别以，为边作等边和等边，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
设，则，
，
，
整理得：，
，
，
，
，
故答案为：8，．
【分析】
（1）先由勾股定理可得BC的长，再利用手拉手全等模型可得即可得ED=BC；
（2）先利用HL证明，再利用全等的性质结合等边三角形的性质可得，再利用直角三角形中30度的性质结合勾股求出BF，最后再利用线段的和千差关系即可．
17．（1）解不等式，并把解集表示在数轴上；
（2）解不等式组，并写出满足该不等式的负整数解．
【答案】解：（1）移项，得，
合并同类项，得，
将解集表示在数轴上如下：
（2）
解①，得，
解②，得，
则不等式组的解集为，
所以负整数解为．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式组的特殊解；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】
（1）解不等式的一般步骤是，去括号，再移项、并合并同类项，最后再把系数化为1，再将解集表示在数轴上即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集，再找出符合条件的负整数解即可．
18．图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图．
（1）在图1中作出一个等腰，点C在格点上．
（2）在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上．
（3）在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上．
【答案】（1）解：如图1中，即为所求；
（2）解：如图2中，即为所求；
（3）解：如图3中，即为所求．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）由等腰三角形的两腰相等可取点C并分别连接BC、AC即可；
（2）同勾股定理可得，则可取点D，同理可得，再利用一线三垂直全等模型可得，即即为所求；
（3）如图，可取格点E，则可构造一线三垂直全等模型即可证明即可．
（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）；
（2）如图2中，即为所求；理由如下：
∵，，
∴，
即是直角三角形，且，
∴．
（3）如图3中，即为所求（答案不唯一）．
19．陈同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：．
（2）求两堵木墙之间的距离．
【答案】（1）证明：由题意得：，
，
，
，
在和中，
（2）解：由（1）知，
，，
又根据题意由图可得：，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据题意可得，，，，根据等角的余角相等可得，结合已知，用角角边可证；
（2）由全等三角形的对应边相等可求解．
（1）解：由题意得：，
，
，
，
在和中，
（2）解：由（1）知，
，，
又根据题意由图可得：，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
20．2024年，人工智能技术将迎来新的突破，智能驾驶、智能家居、智能医疗等领域的创新将改变人们的生活方式，并带来巨大的便利，某连锁酒店计划向机器人公司购买A型号和B型号送餐机器人共台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的倍．
（1）该连锁酒店最多购买几台A型号机器人？
（2）机器人公司报价A型号机器人7万元/台，B型号机器人9万元/台，要使总费用不超过万元，则有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设购买台型号机器人，则购买台型号机器人，
则，
解得x≤25，
答：最多购买台型号机器人；
（2）解：设购买台型号机器人，则购买台型号机器人，
则，
∴，
，又是整数，
∴或，
当A型号为台时、B型号为台；当A型号为台时、B型号为台，
答：共有2种方案，A型号台、B型号台；A型号台、B型号台．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设该垃圾处理厂购买台A型号机器人，则购买台型号机器人，根据“B型号机器人不少于A型号机器人的倍”列出不等式，求出最大整数解即可；
（2）根据单价乘以数量等于总价，由购买x台A型机器人的费用+购买(40-x)台B型机器人的费用不超过313万元列出不等式，结合（1）中不等式的解和为整数，即可得出共有两种方案．
21．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，．
（1）填空： _________； _________；
（2）若，求x的取值范围．
（3）若关于x的不等式恰有两个正整数解，求m的取值范围．
【答案】（1）4，4
（2）解：，
不等式可转化为：，
；
（3）解：，
不等式可转化为：，
，
∵关于x的不等式恰有两个正整数解，
∴，
解得：．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解得】解：（1），
，，
故答案为：4，4；
【分析】（1）根据新定义计算即可；
（2）先计算，然后将不等式可转化为，解此不等式可得的取值范围；
（3）先计算，因此可将不等式可转化为，由此可解得，再根据恰有两个正整数解，得到，解不等式组即可．
（1）解：，
，，
故答案为：4，4；
（2）解：，
不等式可转化为：，
；
（3）解：，
不等式可转化为：，
，
∵关于x的不等式恰有两个正整数解，
∴，
解得：．
22．一个三角形被一条中线分割成两个三角形，如果分成的这两个三角形中至少有一个为等腰三角形，则称这个三角形为奇妙三角形，这条中线为奇妙线．
（1）如图1，在中，已知，，，为一条奇妙线，则的周长为 ．
（2）如图2，已知，于点D，，，求证：为奇妙三角形．
（3）已知为奇妙三角形，且为奇妙线，，，求的长．
【答案】（1）13，14
（2）证明：如图，取的中点E，连接，
，
，
，
，
∴是的垂直平分线，
，
为奇妙三角形．
（3）解：由题可分为以下几种情况讨论：①为等腰三角形时，若，如图，
D是中点，
，
②当为等腰三角形时，若，如图，
是等腰三角形，，
设，
为奇妙三角形，且为奇妙线，
，
作交于E，
，
，
，
在直角和直角中，
，
，
，
解得，
∴；
③当为等腰三角形时，若，如图，
且D是中点，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
④为等腰三角形时，若同③，
⑤其他情况，不存在
综上所述，的值为，6，．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；直角三角形的判定
【解析】【解答】
（1）解：为一条奇妙线， D是中点且，
，
和至少有一个是等腰三角形，
当，是等腰三角形，但，不符合题意舍去；
当，是等腰三角形，符合题意，的周长为；
当，和都是等腰三角形，符合题意，的周长为，
综上所述：的周长可能为13，14，
故答案为：13，14；
【分析】
（1）由于AD平分BC，即BD＝BC＝5，由于AB与BD不相等，则由奇妙线的概念知AD＝AB或AD＝BD＝CD，再利用周长的计算公式计算即可；
（2）取的中点E，连接，则线段中点的概念结合线段的和差关系可得，又，再利用线段的垂直平分线的判定与性质即可得AE＝AB；
（3）由于无法确定哪个三角形是等腰三角形，故应分类讨论，即：
①当时为等腰三角形，则；
②当时为等腰三角形，此时可交于点，由等腰三角形三线合一可得BE等于DE等于BC的四分之一，则由勾股定理可得关于BC的一元二次方程并求解即可；
③当时为等腰三角形，则是直角三角形且，再直接应用勾股定理即可；
④当时为等腰三角形，结果同③；
由于，故BC的值只可能为，6，．
（1）解：为一条奇妙线， D是中点且，
，
和至少有一个是等腰三角形，
当，是等腰三角形，但，不符合题意舍去；
当，是等腰三角形，符合题意，的周长为；
当，和都是等腰三角形，符合题意，的周长为，
综上所述：的周长可能为13，14，
故答案为：13，14；
（2）证明：如图：
取的中点E，连接，
，
，
，
，
∴是的垂直平分线，
，
为奇妙三角形．
（3）解：由题可分为以下几种情况讨论：
①为等腰三角形时，若，如图，
D是中点，
，
②当为等腰三角形时，若，如图，
是等腰三角形，，
设，
为奇妙三角形，且为奇妙线，
，
作交于E，
，
，
，
在直角和直角中，
，
，
，
解得，
∴；
③当为等腰三角形时，若，如图，
且D是中点，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
④为等腰三角形时，若同③，
⑤其他情况，不存在
综上所述，的值为，6，．
23．如图，已知在中，是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接．
（1）当秒时，求的面积；
（2）若平分，求t的值；
（3）过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？
【答案】（1）解：由题意可得，，
∵，
∴，
∴，
∴当秒时，求的面积为；
（2）解：当线段恰好平分时，作于，如图，
∵线段平分，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得PC=4.8，
∴，
解得t=5.1；
（3）解：点在线段上时，过点作于，连接，如图，
则，
∴，
∵CD=3，AC=8，
∴AD=AC-CD=5，
当DE=CD=3时，
在Rt△ADE中，；
∵BP=2t，BC=15，
∴PC=BC-BP=15-2t，
∵，DE=CD，
∴Rt△CDP≌Rt△EDP（HL），
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得t=4.5；
点在线段的延长线上时，过点作于，如图，
同得Rt△CDP≌Rt△EDP（HL），
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得t=10.5；
综上所述，在点的运动过程中，当的值为4.5或10.5时，能使．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（）根据路程、速度、时间三者关系求出，再利用三角形的面积计算公式解答即可求解；
（）作于，利用AAS判断出△ACP≌△AMP，由全等三角形的对应边相等得PC=PM，AC=AM=8，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB，进而算出BM，在Rt△BPM中，利用勾股定理建立方程求出PC，最后利用BP=2t建立方程，求得的值即可；
（）点在线段上时，过点作于，连接，如图，首先由勾股定理算出AE=4，则PC=15-2t，然后利用HL判断出Rt△CDP≌Rt△EDP，得PE=PC=15-2t，则AP=19-2t，在Rt△APC中，利用勾股定理建立方程求出t的值；点在线段的延长线上时，过点作于，如图，同①得Rt△CDP≌Rt△EDP，得PE=PC=15-2t，则AP=2t-11，在Rt△APC中，利用勾股定理建立方程求出t的值，综上，可得答案.
（1）解：由题意可得，，
∵，，
∴，
∴，
∴当秒时，求的面积为；
（2）解：当线段恰好平分时，作于，如图，
∵线段平分，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
解得；
（3）解：点在线段上时，过点作于，连接，如图，
则，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得；
点在线段的延长线上时，过点作于，如图，
同得，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得；
综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使．
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