资源简介

浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷
1．如果，那么下列比例式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列二次函数中，对称轴是直线的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知的半径为4，点到圆心的距离为3.5，则点在（　　）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
4．有8张红心、m张黑桃扑克牌，背面朝上放在桌子上，从中任意摸出一张，若摸到红心的可能性比摸到黑桃的可能性大，则m的值不可能是（　　）
A．10 B．5 C．3 D．1
5．将抛物线进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是（　　）
A．向上平移4个单位长度 B．向下平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度 D．向右平移4个单位长度
6．四边形内接于，则满足条件（　　）
A． B． C． D．
7．从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，若，，则为（　　）
A．4 B．6 C．16 D．18
9．已知，线段，点为平面上一点，若，则线段的最大值是（　　）
A．8 B． C．16 D．
10．已知，是常数，函数，，若，则（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
11．已知点在二次函数的图象上，则a的值为　 　．
12．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为　 　．
13．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是　 　．
14．如图，在中，点在弦上，连接，．若，，，则线段的长为　 　．
15．下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线　 　（填题序号即可）．
16．如图，在△中，点是边上一点，将△沿翻折得到△，与交于点，设，．
（1）当，，时，的长是　 　；
（2）当，与的面积之比是，则　 　．
17．已知二次函数．
（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值；
（2）当时，求y的取值范围．
18．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上．
（1）用直尺作出的外接圆圆心；
（2）若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长．
19．2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，求恰好抽到是B（滑板）的概率；
（2）体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，并求体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率．
20．要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是．
（1）求喷出的水流最高处距离地面多少米？
（2）若喷水池的半径为4m，请判断喷出的水流会不会落在池外，并说明理由．
21．在中，，以为直径作，交于点D，交直线于点E，连结．（点A与点E不重合）
江江：根据题意，我画出了如图1的情况；
南南：江江，你的思考不够全面，我认为还有其他的情况，若为钝角，我发现圆与直线的交点在线段的延长线上；
江江：哦…我明白了！
（1）在图1中求证：点D是边的中点；
（2）记的度数为．求出的度数（用表示）．
22．如图，在中，，点，分别在边，上，．
（1）求证：；
（2）若，，求；
（3）若，，求的长．
23．已知二次函数．
（1）若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标；
（2）求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点；
（3）若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围．
24．在中，是的直径，弦与交于点E，且点D是弧的中点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的半径；
（3）若，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】∵，
∴或．
故答案为：C．
【分析】利用比例的性质求解即可。
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、的对称轴是直线 ，不符合题意；
B、的对称轴是直线 ，不符合题意；
C、 的对称轴是直线 ，不符合题意；
D、的对称轴是直线，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据y=ax2+bx+c的对称轴x=，逐一判断即可求得.
3．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】 解：的半径为4，点到圆心的距离为3.5，
，
点在圆内．
故选C．
【分析】这道题核心考察点和圆位置关系的判断规则，结合的半径长度，以及点P到圆心O的距离的大小关系，来判断点P和圆的位置关系。
4．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】 解：摸到红心的可能性比摸到黑桃的可能性大，
，
故不可能为10，
故选：A．
【分析】本题考查利用概率公式计算概率，根据题目条件，摸到红心的概率大于摸到黑桃的概率，由此可推导出，进而得到最终结果，熟练掌握概率公式是解答本题的关键。
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 的顶点为．选项A：向上平移4个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上；
选项B：向下平移3个单位，新顶点坐标为，在x轴上；
选项C：向左平移3个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上；
选项D：向右平移4个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上．
∴ 只有选项B使顶点在坐标轴上，故这个平移的过程可能是向下平移3个单位．
故选：B．
【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，题目要求平移之后抛物线的顶点落在坐标轴上，也就是平移后的顶点在x轴上，或者在y轴上。先求出原抛物线的顶点坐标是，再依次求出每个选项平移后得到的新顶点坐标，再判断新顶点是否符合落在坐标轴上的要求可得出结果。
6．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
故选：C ．
【分析】
由于圆内接四边形的对角互补，则．
7．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：，∵，，
∴当时，有最大值，最大值为45，
∴小球运动中的最大高度是．
故选：C．
【分析】本题是二次函数的实际应用类题目，解题核心思路是先将二次函数的一般式配方转化为顶点式，再结合二次函数的图象与性质，即可求解得到题目要求的结果。
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】本题以三角形中的平行线及面积比为背景，考查了相似三角形的判定与性质、等高三角形面积比等于底边比的应用。由等高三角形面积比得 AD：BD，进而得 AD：AB，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，求出。
9．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；圆的相关概念；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，当AC经过圆心O时.
AC是直径，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】
由于直径是最大的弦，则AC为直径时AC最大，此时由圆周角定理知，再由直角三角形中30度角的性质可得AC等于AB的2倍即8．
10．【答案】C
【知识点】整式的混合运算；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：，，
∴，
∵，
∴，
∴函数随着的增大而增大，
∴当时，，
∵，
∴当时，，即，
故选：C．
【分析】
由题意知，，由于已知，则当时，即．
11．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将的代入，得，
故答案为：．
【分析】把点的坐标代入二次函数解析式即可.
12．【答案】240
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴点落在黑色阴影的概率为，
∴黑色阴影的面积占整个面积的，
∴黑色阴影的面积为，
故答案为：240
【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，用400乘以0.6，即可求出阴影部分面积。
13．【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，
根据题意得，，
解得：，
∴蜡烛火焰的高度为．
故答案为：．
【分析】这道题是相似三角形性质的实际应用问题，解题的核心是理解小孔成像的原理，能依据原理找到对应的相似三角形。
结合小孔成像的特点，再利用相似三角形的性质完成求解。
14．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点作于点，先求出，根据垂径定理得出，从而得，然后利用勾股定理得出，进而利用勾股定理得到.
15．【答案】③
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：对于抛物线①：
令，得，
解得，，
故交点坐标为和，距离为；
对于抛物线②：
令，得，
解得，，
故交点坐标为和，距离为；
对于抛物线③：
令，得，
解得，，
故交点坐标为和，距离为；
因为，
所以两交点之间的距离最短的是抛物线③．
故答案为：③．
【分析】
对于抛物线 ① ，由抛物线上点的坐标特征可得其与x轴的两个交点坐标分别为和，则两交点之间的距离为；
对于抛物线 ② ，化抛物线一般式为交点式，再同上可得两交点之间的距离为；
对于抛物线③ ，由抛物线上点的坐标特征可得其与x轴的两个交点坐标分别为和，则两交点之间的距离为，最后再对结果的大小进行比较即可．
16．【答案】5；
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：（1）当，，时，如图，
得，，，
设，则，
由题意，得，
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得：，
故，
故答案为：5；
（2）当，与的面积之比是时，
，
，
又，，
，
由题意，知，
，
，
与的面积之比是，
与的相似比为，
，
，，
，，，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】
（1）先由折叠知BE＝AE＝8，DE＝AD，则可设AD＝a，则DE=a、DF＝8-a，由于，可在中应用勾股定理即可得关于a的方程并求解即可；
（2）由等边对等角结合等角的补角相等可得，再由翻折全等知，则可利用AA证明，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，此时再利用相似结合线段的和差关系可依次得AD＝2y、AB＝4y、BD＝2（x-2y）、BF＝3y，再由已知BD＝BF可得关于x、y的一元二次方程并化简即可．
17．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：∵．
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，函数有最小值2，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵在的范围中，
∴y得最小值为2；
∵，
∴时，函数取得最大值，且为，
故函数值的取值范围是．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）直接化二次函数的顶点式为一般式即可；
（2）由二次函数的二次项系数为正，且对称轴为直线，则在指定的自变量的取值范围内抛物线有最小值2，又因为抛物线上的点距离对称轴越远对应的函数值越大，则当时函数取得最大值6，故函数值的取值范围是．
（1）∵，
∴，
∴．
（2）∵．
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，函数有最小值2，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵在的范围中，
∴y得最小值为2；
∵，
∴时，函数取得最大值，且为，
故函数值的取值范围是．
18．【答案】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：连接．
．
故外接圆半径的长为．
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】
（1）由于三角形外接圆的圆心是三条边的垂直平分线的交点，故利用尺规作图分别作线段，的垂直平分线，两直线的交点即为所求作；
（2）连接，再观察，网格图直接利用勾股定理求解即可．
（1）略
（2）解：连接．
．
故外接圆半径的长为．
19．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中符合条件的结果数有2种，
∴体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴小明从中随机抽取一张，恰好抽到是B（滑板）的概率是．
【分析】
（1）直接利用简单事件概率公式计算即可；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴小明从中随机抽取一张，恰好抽到是B（滑板）的概率是．
（2）略
20．【答案】（1）解：，且，
当时，y取最大值，最大值为4，
喷出的水流最高处距离地面4米；
（2）解：喷出的水流不会落在池外；理由如下：
当时，，
解得或（不合题意，舍去），
，
喷出的水流不会落在池外．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，只要掌握抛物线顶点、抛物线与x轴交点对应的实际含义，就可顺利解答本题。
（1）求出抛物线的顶点坐标，即可得到足球飞行的最大高度；
（2）令，解出该方程的根，即可得到足球飞出的最大水平距离。
（1）解：，且，
当时，y取最大值，最大值为4，
喷出的水流最高处距离地面4米；
（2）喷出的水流不会落在池外；理由如下：
当时，，
解得或（不合题意，舍去），
，
喷出的水流不会落在池外．
21．【答案】（1）证明：连接，如图1所示：
是的直径，
，
即，
，
，
即点是边的中点；
（2）解：当是锐角三角形时，点在边上，如图1所示：
是的直径，
，
，
，
；
当是钝角三角形时，点在的延长线上，如图2所示：
是的直径，
，
，
，
；
综上所述：的度数是或．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理的推论；分类讨论
【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质与三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点即可完成解答。
（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，可得，再结合等腰三角形的性质，就可以推导出要证明的结论；
（2）本题需要分两种情况讨论：当是锐角三角形时，点在边上，由可以推出，再结合等腰三角形底角相等的性质，就可以算出的度数；当是钝角三角形时，点落在的延长线上，同样根据可得，再结合的性质，即可得到此时的度数。整合两种情况的结果，就能得到最终答案。
（1）证明：连接，如图1所示：
是的直径，
，
即，
，
，
即点是边的中点；
（2）解：当是锐角三角形时，点在边上，如图1所示：
是的直径，
，
，
，
；
当是钝角三角形时，点在的延长线上，如图2所示：
是的直径，
，
，
，
；
综上所述：的度数是或．
22．【答案】（1）证明：，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）先由等边对等角可得，又已知，则利用AA可证明结论成立；
（2）由于等腰三角形三线合一，可先过点A作BC的垂线段AM构造直角三角形，则BM等于BC的一半，再解直角三角形可得，再由相似的性质可得，再利用三角形外角的性质及角的和差可得；
（3）先利用（2）的结论可利用AA证明，再利用相似比即可．
（1）略
（2）解：如图，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
．
23．【答案】（1）解：二次函数图象经过，
，
，
抛物线为，
，
顶点坐标为．
（2）证明：△，
二次函数图象与轴总有两个公共点．
（3）解：∵点，都在二次函数图象上，对称轴为直线，
，，．
，
，
抛物线过，
，即，
，
，
解得，即，
抛物线开口向上，
当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．
，
，
即，则有或，
解得：或，
综上所述：．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）由抛物线上点的坐标特征可得关于m的方程并求解即可得m=1，再化抛物线的一般式为顶点式即可得顶点坐标；
（2）对于二次函数，若则抛物线必然与x轴相交，则由题意可得关于m的整式，再配方并利用偶次方的非负性即可证明；
（3）由于抛物线的二次项系数为正，则抛物线上的点到对称轴的距离越远则对应的函数值越大，此时再由二次函数的对称性可得其对称轴为直线，再利用抛物线上点的坐标特征、二次函数的性质结合已知可得关于n的不等式组并求解即可．
（1）解：二次函数图象经过，
，
，
抛物线为，
，
顶点坐标为．
（2）略
（3）解：∵点，都在二次函数图象上，
对称轴为直线，
，，．
，
，
抛物线过，
，即，
，
，
解得，即，
抛物线开口向上，
当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．
，
，
即，则有或，
解得：或，
综上所述：．
24．【答案】（1）证明：∵点D是弧的中点，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：如图，过点O作于点M，连接．
∵是的直径，点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴在中，，
即⊙O的半径为2；
（3）解：如图，过点D作于点F，，交的延长线于点G．
∵为直径，
∴，
∵平分，，，
∴，，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴四边形为正方形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；旋转全等模型；圆与三角形的综合
【解析】【分析】
（1）由于可证，则由圆心角、弧、弦的关系即可证明平分；
（2）由于可求得弦CD＝4，则由垂径定理可过点O作CD的垂线段OM，再连接，则，，再利用AA可证明，再由相似比可依次得OE、OD的长；
（3）如图，过点D作BC的垂线段DF于点F，作AC的垂线段CG，先由圆周角定理结合直角三角形两锐角互余可证明和为等腰直角三角形，则可证明四边形为正方形，再利用旋转全等模型可证明，则，再解直角三角形可得DG的长，最后由割补法可得．
（1）略
（2）解：如图，过点O作于点M，连接．
∵是的直径，点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴在中，，
即⊙O的半径为2；
（3）解：如图，过点D作于点F，，交的延长线于点G．
∵为直径，
∴，
∵平分，，，
∴，，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴四边形为正方形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
1 / 1浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷
1．如果，那么下列比例式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】∵，
∴或．
故答案为：C．
【分析】利用比例的性质求解即可。
2．下列二次函数中，对称轴是直线的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、的对称轴是直线 ，不符合题意；
B、的对称轴是直线 ，不符合题意；
C、 的对称轴是直线 ，不符合题意；
D、的对称轴是直线，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据y=ax2+bx+c的对称轴x=，逐一判断即可求得.
3．已知的半径为4，点到圆心的距离为3.5，则点在（　　）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】 解：的半径为4，点到圆心的距离为3.5，
，
点在圆内．
故选C．
【分析】这道题核心考察点和圆位置关系的判断规则，结合的半径长度，以及点P到圆心O的距离的大小关系，来判断点P和圆的位置关系。
4．有8张红心、m张黑桃扑克牌，背面朝上放在桌子上，从中任意摸出一张，若摸到红心的可能性比摸到黑桃的可能性大，则m的值不可能是（　　）
A．10 B．5 C．3 D．1
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】 解：摸到红心的可能性比摸到黑桃的可能性大，
，
故不可能为10，
故选：A．
【分析】本题考查利用概率公式计算概率，根据题目条件，摸到红心的概率大于摸到黑桃的概率，由此可推导出，进而得到最终结果，熟练掌握概率公式是解答本题的关键。
5．将抛物线进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是（　　）
A．向上平移4个单位长度 B．向下平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度 D．向右平移4个单位长度
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 的顶点为．选项A：向上平移4个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上；
选项B：向下平移3个单位，新顶点坐标为，在x轴上；
选项C：向左平移3个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上；
选项D：向右平移4个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上．
∴ 只有选项B使顶点在坐标轴上，故这个平移的过程可能是向下平移3个单位．
故选：B．
【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，题目要求平移之后抛物线的顶点落在坐标轴上，也就是平移后的顶点在x轴上，或者在y轴上。先求出原抛物线的顶点坐标是，再依次求出每个选项平移后得到的新顶点坐标，再判断新顶点是否符合落在坐标轴上的要求可得出结果。
6．四边形内接于，则满足条件（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
故选：C ．
【分析】
由于圆内接四边形的对角互补，则．
7．从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：，∵，，
∴当时，有最大值，最大值为45，
∴小球运动中的最大高度是．
故选：C．
【分析】本题是二次函数的实际应用类题目，解题核心思路是先将二次函数的一般式配方转化为顶点式，再结合二次函数的图象与性质，即可求解得到题目要求的结果。
8．如图，在中，，若，，则为（　　）
A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】本题以三角形中的平行线及面积比为背景，考查了相似三角形的判定与性质、等高三角形面积比等于底边比的应用。由等高三角形面积比得 AD：BD，进而得 AD：AB，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，求出。
9．已知，线段，点为平面上一点，若，则线段的最大值是（　　）
A．8 B． C．16 D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；圆的相关概念；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，当AC经过圆心O时.
AC是直径，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】
由于直径是最大的弦，则AC为直径时AC最大，此时由圆周角定理知，再由直角三角形中30度角的性质可得AC等于AB的2倍即8．
10．已知，是常数，函数，，若，则（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【知识点】整式的混合运算；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：，，
∴，
∵，
∴，
∴函数随着的增大而增大，
∴当时，，
∵，
∴当时，，即，
故选：C．
【分析】
由题意知，，由于已知，则当时，即．
11．已知点在二次函数的图象上，则a的值为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将的代入，得，
故答案为：．
【分析】把点的坐标代入二次函数解析式即可.
12．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为　 　．
【答案】240
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴点落在黑色阴影的概率为，
∴黑色阴影的面积占整个面积的，
∴黑色阴影的面积为，
故答案为：240
【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，用400乘以0.6，即可求出阴影部分面积。
13．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，
根据题意得，，
解得：，
∴蜡烛火焰的高度为．
故答案为：．
【分析】这道题是相似三角形性质的实际应用问题，解题的核心是理解小孔成像的原理，能依据原理找到对应的相似三角形。
结合小孔成像的特点，再利用相似三角形的性质完成求解。
14．如图，在中，点在弦上，连接，．若，，，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点作于点，先求出，根据垂径定理得出，从而得，然后利用勾股定理得出，进而利用勾股定理得到.
15．下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线　 　（填题序号即可）．
【答案】③
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：对于抛物线①：
令，得，
解得，，
故交点坐标为和，距离为；
对于抛物线②：
令，得，
解得，，
故交点坐标为和，距离为；
对于抛物线③：
令，得，
解得，，
故交点坐标为和，距离为；
因为，
所以两交点之间的距离最短的是抛物线③．
故答案为：③．
【分析】
对于抛物线 ① ，由抛物线上点的坐标特征可得其与x轴的两个交点坐标分别为和，则两交点之间的距离为；
对于抛物线 ② ，化抛物线一般式为交点式，再同上可得两交点之间的距离为；
对于抛物线③ ，由抛物线上点的坐标特征可得其与x轴的两个交点坐标分别为和，则两交点之间的距离为，最后再对结果的大小进行比较即可．
16．如图，在△中，点是边上一点，将△沿翻折得到△，与交于点，设，．
（1）当，，时，的长是　 　；
（2）当，与的面积之比是，则　 　．
【答案】5；
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：（1）当，，时，如图，
得，，，
设，则，
由题意，得，
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得：，
故，
故答案为：5；
（2）当，与的面积之比是时，
，
，
又，，
，
由题意，知，
，
，
与的面积之比是，
与的相似比为，
，
，，
，，，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】
（1）先由折叠知BE＝AE＝8，DE＝AD，则可设AD＝a，则DE=a、DF＝8-a，由于，可在中应用勾股定理即可得关于a的方程并求解即可；
（2）由等边对等角结合等角的补角相等可得，再由翻折全等知，则可利用AA证明，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，此时再利用相似结合线段的和差关系可依次得AD＝2y、AB＝4y、BD＝2（x-2y）、BF＝3y，再由已知BD＝BF可得关于x、y的一元二次方程并化简即可．
17．已知二次函数．
（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值；
（2）当时，求y的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：∵．
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，函数有最小值2，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵在的范围中，
∴y得最小值为2；
∵，
∴时，函数取得最大值，且为，
故函数值的取值范围是．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）直接化二次函数的顶点式为一般式即可；
（2）由二次函数的二次项系数为正，且对称轴为直线，则在指定的自变量的取值范围内抛物线有最小值2，又因为抛物线上的点距离对称轴越远对应的函数值越大，则当时函数取得最大值6，故函数值的取值范围是．
（1）∵，
∴，
∴．
（2）∵．
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，函数有最小值2，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵在的范围中，
∴y得最小值为2；
∵，
∴时，函数取得最大值，且为，
故函数值的取值范围是．
18．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上．
（1）用直尺作出的外接圆圆心；
（2）若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长．
【答案】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：连接．
．
故外接圆半径的长为．
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】
（1）由于三角形外接圆的圆心是三条边的垂直平分线的交点，故利用尺规作图分别作线段，的垂直平分线，两直线的交点即为所求作；
（2）连接，再观察，网格图直接利用勾股定理求解即可．
（1）略
（2）解：连接．
．
故外接圆半径的长为．
19．2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，求恰好抽到是B（滑板）的概率；
（2）体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，并求体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中符合条件的结果数有2种，
∴体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴小明从中随机抽取一张，恰好抽到是B（滑板）的概率是．
【分析】
（1）直接利用简单事件概率公式计算即可；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴小明从中随机抽取一张，恰好抽到是B（滑板）的概率是．
（2）略
20．要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是．
（1）求喷出的水流最高处距离地面多少米？
（2）若喷水池的半径为4m，请判断喷出的水流会不会落在池外，并说明理由．
【答案】（1）解：，且，
当时，y取最大值，最大值为4，
喷出的水流最高处距离地面4米；
（2）解：喷出的水流不会落在池外；理由如下：
当时，，
解得或（不合题意，舍去），
，
喷出的水流不会落在池外．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，只要掌握抛物线顶点、抛物线与x轴交点对应的实际含义，就可顺利解答本题。
（1）求出抛物线的顶点坐标，即可得到足球飞行的最大高度；
（2）令，解出该方程的根，即可得到足球飞出的最大水平距离。
（1）解：，且，
当时，y取最大值，最大值为4，
喷出的水流最高处距离地面4米；
（2）喷出的水流不会落在池外；理由如下：
当时，，
解得或（不合题意，舍去），
，
喷出的水流不会落在池外．
21．在中，，以为直径作，交于点D，交直线于点E，连结．（点A与点E不重合）
江江：根据题意，我画出了如图1的情况；
南南：江江，你的思考不够全面，我认为还有其他的情况，若为钝角，我发现圆与直线的交点在线段的延长线上；
江江：哦…我明白了！
（1）在图1中求证：点D是边的中点；
（2）记的度数为．求出的度数（用表示）．
【答案】（1）证明：连接，如图1所示：
是的直径，
，
即，
，
，
即点是边的中点；
（2）解：当是锐角三角形时，点在边上，如图1所示：
是的直径，
，
，
，
；
当是钝角三角形时，点在的延长线上，如图2所示：
是的直径，
，
，
，
；
综上所述：的度数是或．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理的推论；分类讨论
【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质与三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点即可完成解答。
（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，可得，再结合等腰三角形的性质，就可以推导出要证明的结论；
（2）本题需要分两种情况讨论：当是锐角三角形时，点在边上，由可以推出，再结合等腰三角形底角相等的性质，就可以算出的度数；当是钝角三角形时，点落在的延长线上，同样根据可得，再结合的性质，即可得到此时的度数。整合两种情况的结果，就能得到最终答案。
（1）证明：连接，如图1所示：
是的直径，
，
即，
，
，
即点是边的中点；
（2）解：当是锐角三角形时，点在边上，如图1所示：
是的直径，
，
，
，
；
当是钝角三角形时，点在的延长线上，如图2所示：
是的直径，
，
，
，
；
综上所述：的度数是或．
22．如图，在中，，点，分别在边，上，．
（1）求证：；
（2）若，，求；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）先由等边对等角可得，又已知，则利用AA可证明结论成立；
（2）由于等腰三角形三线合一，可先过点A作BC的垂线段AM构造直角三角形，则BM等于BC的一半，再解直角三角形可得，再由相似的性质可得，再利用三角形外角的性质及角的和差可得；
（3）先利用（2）的结论可利用AA证明，再利用相似比即可．
（1）略
（2）解：如图，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
．
23．已知二次函数．
（1）若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标；
（2）求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点；
（3）若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围．
【答案】（1）解：二次函数图象经过，
，
，
抛物线为，
，
顶点坐标为．
（2）证明：△，
二次函数图象与轴总有两个公共点．
（3）解：∵点，都在二次函数图象上，对称轴为直线，
，，．
，
，
抛物线过，
，即，
，
，
解得，即，
抛物线开口向上，
当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．
，
，
即，则有或，
解得：或，
综上所述：．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）由抛物线上点的坐标特征可得关于m的方程并求解即可得m=1，再化抛物线的一般式为顶点式即可得顶点坐标；
（2）对于二次函数，若则抛物线必然与x轴相交，则由题意可得关于m的整式，再配方并利用偶次方的非负性即可证明；
（3）由于抛物线的二次项系数为正，则抛物线上的点到对称轴的距离越远则对应的函数值越大，此时再由二次函数的对称性可得其对称轴为直线，再利用抛物线上点的坐标特征、二次函数的性质结合已知可得关于n的不等式组并求解即可．
（1）解：二次函数图象经过，
，
，
抛物线为，
，
顶点坐标为．
（2）略
（3）解：∵点，都在二次函数图象上，
对称轴为直线，
，，．
，
，
抛物线过，
，即，
，
，
解得，即，
抛物线开口向上，
当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．
，
，
即，则有或，
解得：或，
综上所述：．
24．在中，是的直径，弦与交于点E，且点D是弧的中点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的半径；
（3）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵点D是弧的中点，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：如图，过点O作于点M，连接．
∵是的直径，点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴在中，，
即⊙O的半径为2；
（3）解：如图，过点D作于点F，，交的延长线于点G．
∵为直径，
∴，
∵平分，，，
∴，，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴四边形为正方形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；旋转全等模型；圆与三角形的综合
【解析】【分析】
（1）由于可证，则由圆心角、弧、弦的关系即可证明平分；
（2）由于可求得弦CD＝4，则由垂径定理可过点O作CD的垂线段OM，再连接，则，，再利用AA可证明，再由相似比可依次得OE、OD的长；
（3）如图，过点D作BC的垂线段DF于点F，作AC的垂线段CG，先由圆周角定理结合直角三角形两锐角互余可证明和为等腰直角三角形，则可证明四边形为正方形，再利用旋转全等模型可证明，则，再解直角三角形可得DG的长，最后由割补法可得．
（1）略
（2）解：如图，过点O作于点M，连接．
∵是的直径，点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴在中，，
即⊙O的半径为2；
（3）解：如图，过点D作于点F，，交的延长线于点G．
∵为直径，
∴，
∵平分，，，
∴，，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴四边形为正方形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
1 / 1

展开更多......

收起↑