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广东省深圳市福田区外国语学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷
1．下列各数是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、是有限小数，属于有理数，不符合题意；
B、是分数形式，属于有理数，不符合题意；
C、，是整数，属于有理数，不符合题意；
D、中9不是完全立方数，其立方根为无理数，符合题意；
故选：D
【分析】
根据无理数是指无限不循环小数，不能表示为分数形式的数，逐一分析各选项即可。
2．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的边长为（　　）．
A．64 B．16 C．8 D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理；求算术平方根
【解析】【解答】解：设三个正方形的边长由小到大依次为a，b，c，
由题意可知，，，
∵正方形每个角都是直角，
∴中间的三角形为直角三角形，
根据勾股定理得，，
∴正方形A的边长为，
故答案为：C．
【分析】 由正方形面积等于边长的平方，结合勾股定理可知直角三角形两条直角边的平方对应两个小正方形面积，斜边平方对应大正方形面积，由此得到字母 A 代表的正方形面积等于289-225，再对算出的面积求算术平方根得到正方形 A 的边长.
3．在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（　　）
A．（4，1） B．（﹣1，4）
C．（﹣4，﹣1） D．（﹣1，﹣4）
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，
∴点A的坐标是：（4，1）．
故答案为：A．
【分析】关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可解答。
4．若直线y＝2x+b经过点A(﹣2，m)，B(1，n)，则m，n的大小关系正确的是（　　）
A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定
【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵k=2＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵-2＜1，
∴m＜n．
故答案为：A．
【分析】
根据一次函数的性质：“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”；由k=2＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合-2＜1，即可得出m＜n，即可解答．
5．下列判断正确的个数是（　　）
①无理数是无限小数；②4的平方根是±2；③立方根等于它本身的数有3个④与数轴上的点一一对应的数是实数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平方根；立方根及开立方；实数在数轴上的表示；无理数的概念
【解析】【解答】解： ①无理数是无限不循环的小数，故①说法错误；
②4的平方根是±2，故②说法正确；
③立方根等于它本身的数有1，-1，0，一共3个，故③正确；
④实数与数轴上的点成一一对应，故④正确
正确的序号为：②③④
故答案为：C
【分析】根据无理数的定义可对①作出判断；根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，可对②作出判断；根据立方根的性质，可对③作出判断；实数与数轴上的点成一一对应，可对④作出判断，综上所述，可得正确说法的个数。
6．中，，，所对的边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．，，
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：A、，
，
∴是直角三角形，此选项不符合题意；
B、，，，
，
，
∴是直角三角形，此选项不符合题意；
C、，
最大角，
不是直角三角形，此选项符合题意；
D、，，
，
∴是直角三角形，此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、根据勾股定理的逆定理可得∠C=90°，然后根据直角三角形的性质可判断求解；
B、由题意先计算a2+b2、c2的值，根据计算结果可得a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可得∠C=90°，然后根据直角三角形的性质可判断求解；
C、由三角形的内角和等于180°并结合已知可求得最大角∠C的度数，根据最大角∠C的度数和直角三角形的定义即可判断求解；
D、由三角形的内角和等于180°并结合已知可求得最大角∠A的度数，根据最大角∠A的度数和直角三角形的定义即可判断求解.
7．已知点在第四象限，则直线图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，
∴，
∴，
∴直线图象经过第二、三、四象限，
故答案为：B．
【分析】由第四象限点的坐标符号特征，判断出m、n的正负；由此确定一次函数y=nx+mn的斜率n与截距mn的正负，再由一次函数k，b符号判断直线经过的象限，选出对应图像.
8．如图，，，，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，，，
∴的点在轴的正半轴上（为正整数），且这一系列的点中相邻两点之间的距离为2，
∵，
∴在轴的正半轴上，
∴的横坐标为，
∴的坐标为，
故答案为：C．
【分析】由图中等腰直角三角形的排布先观察下标为4n 3的点都在x轴正半轴上，结合A1(2，0)、A5(4，0)、A9(6，0)得到这类点相邻两点横坐标相差 2，再将2025代入4n 3算出n=507，由此计算横坐标为507×2=1014，纵坐标为0，得到A2025的坐标.
9． 的算术平方根是3，则x的值是　 　．
【答案】81
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： 的算术平方根是3，
∴ ＝9，
∴x＝81，
故答案为81．
【分析】先求出 ＝9，再求出x＝81，即可作答。
10．若函数是正比例函数，则　 　．
【答案】
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：函数是正比例函数，
，解得．
故答案为：．
【分析】由正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的定义，可知函数y=2x+3 5a的常数项3 5a要等于0，由此列出方程3 5a=0，再解这个一元一次方程得到a的值.
11．若是二元一次方程组的解，则　 　．
【答案】2023
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程组的解，
∴，
得：，
∴，
故答案为：2023．
【分析】由方程组解的定义把代入原方程组得到关于a、b的方程组，再用① ②求出a b的值，接着把代数式2a 2b+2025变形为2(a b)+2025，最后整体代入a b= 1计算出结果.
12．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　 　．
【答案】
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的性质；圆柱的展开图
【解析】【解答】解：如图，
将杯子侧面展开，作A点关于的对称点，连接，则的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
延长，过点作于D点，
则，，，
由题意得，，
由勾股定理得．
故答案为：．
【分析】由圆柱侧面最短路径问题，想到把圆柱侧面展开成平面矩形；蚂蚁在杯外、蜂蜜在杯内，由此作点A关于杯口边沿的对称点A'，连接A'C，A'C就是最短路径；由底面周长求出展开图水平方向长度，结合题目高度条件算出直角三角形两条直角边的长；最后在直角三角形中利用勾股定理求出A'C的长度.
13．如图，在矩形ABCD中，，在矩形内有一点P，同时满足，延长CP交AD于点E，则　 　.
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：延长AP交CD于F，
∵∠APB=90°，
∴∠FPB=90°，
∴∠CPF+∠CPB=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，BC=AD=3，
∴∠EAP+∠BAP=∠ABP+∠BAP=90°，
∴∠EAP=∠ABP，
∵CP=CB=3，
∴∠CPB=∠CBP，
∴∠CPF=∠ABP=∠EAP，
∵∠EPA=∠CPF，
∴∠EAP=∠APE，
∴AE=PE，
∵CD2+DE2=CE2，
∴42+（3-AE）2=（3+AE）2，
∴
∴CE=3+=
故答案为：
【分析】由矩形性质得到边长与直角条件，结合∠APB=90 、PC=BC，利用等角推导得到∠EAP=∠APE，由此得到AE=PE；再设未知数，在Rt△CDE中使用勾股定理建立方程求出AE，最后求出线段CE的长度.
14．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：；
.
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；开平方（求平方根）
【解析】【分析】(1)由算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则分别化简、(π 3)0、，再按照有理数加减法则合并计算得到结果.
(2)由完全平方公式、平方差公式、二次根式化简以及绝对值的性质分别展开化简( 1)2、(+1)( 1)、|3 |，再合并同类二次根式与常数项求出最终结果.
（1）解：；
；
（2）解：
．
15．解二元一次方程组：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：把①代入②，得，
，
将代入①，得
所以原方程组的解是.
（2）解：①，得③
③+②，得：
将代入②，得
所以原方程组的解是．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】 (1)由方程组中方程①已经用含x的代数式表示y，采用代入消元法，把①代入②消去y得到关于x的一元一次方程，求出x的值，再将x的值代回①求出y的值，从而得到方程组的解.
(2)由方程组中方程①含有分母，先去分母整理得到整式方程③，再和方程②运用加减消元法消去y求出x的值，再将x的值代入②求出y的值，从而得到方程组的解.
（1）解：把①代入②，得，
，
将代入①，得
所以原方程组的解是；
（2）解：①，得③
③+②，得：
将代入②，得
所以原方程组的解是．
16．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点都在格点上，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
请按要求完成下列各题：
（1）将向右平移7个单位，请画出平移后的，并写出点的坐标______；
（2）在图中画出关于y轴对称的，并写出点的坐标______；
（3）观察可知与关于直线l对称，请写出直线l与x轴的交点D的坐标______；
（4）在x轴上找一点P，使最短，则P点坐标为______．
【答案】（1）将向右平移7个单位得，如图：
（2）画出关于y轴对称的，如上图，

（3）
（4）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；一次函数的实际应用-几何问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（1）解：由图可知，的坐标为；
故答案为：；
（2）解：由图知，点的坐标为；
故答案为：；
（3）解：观察与，可知它们关于直线对称，
直线l与x轴的交点D的坐标为；
故答案为：；
（4）解：作关于x轴的对称点，连接交x轴于P，如图：
由对称性可知，，
，
，P，C共线，
此时最短；
设直线的解析式为：，由，得：
，解得：，
∴直线解析式为，
令得，
；
故答案为：.
【分析】(1)由平面直角坐标系中点的平移规律 “右加左减，上加下减”，将点A( 2，3)横坐标加上 7、纵坐标不变得到A1坐标，再用相同方式求出B1、C1，依次连接三点画出平移后的△A1B1C1.
(2)由关于y轴对称的点的坐标特征 “纵坐标不变，横坐标互为相反数”，由点A( 2，3)求出A2坐标，同理得到B2、C2，依次连接三点画出△A2B2C2.
(3)由两组对应点A1与A2、B1与B2的横坐标，求出两点横坐标的平均值，得到对称轴直线，再求出这条直线与x轴交点D的坐标.
(4)由最短路径（将军饮马）模型，作点C关于x轴的对称点，连接对称点与点B得到直线，求出该直线解析式，再求直线与x轴交点，即为点P的坐标.
（1）解：由图可知，的坐标为；
故答案为：；
（2）解：由图知，点的坐标为；
故答案为：；
（3）解：观察与，可知它们关于直线对称，
直线l与x轴的交点D的坐标为；
故答案为：；
（4）解：作关于x轴的对称点，连接交x轴于P，如图：
由对称性可知，，
，
，P，C共线，
此时最短；
设直线的解析式为：，由，得：
，解得：，
∴直线解析式为，
令得，
；
故答案为：
17．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为．
（1）求长方形空地的周长．
（2）已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？
【答案】（1）解：长方形空地的周长为
．
答：长方形空地的周长为．
（2）解：由题意，得种草莓的面积为
，
∴销售收入为（元）．
答：销售收入为元．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）由长方形周长公式，得到周长等于 2×(长 + 宽)，把长、宽代入，先将二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式，再计算求出长方形空地 ABCD 的周长.
（2） 由种草莓的面积等于大长方形面积减去水池面积，分别计算大长方形面积和水池面积，水池计算利用平方差公式；求出草莓种植面积后，结合每平方米产量算出总产量，再乘单价，计算得到销售收入.
（1）解：长方形空地的周长为
．
答：长方形空地的周长为．
（2）解：由题意，得种草莓的面积为
，
∴销售收入为（元）．
答：销售收入为元．
18．如图，分别以的边和边向外作等边三角形，，连接和．
（1）求证：；
（2）若，，，求的度数．
【答案】（1）证明：和是等边三角形，
，，，
，
，
；
（2）解：，
，，
，，
，
，
又，
．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60 ，通过角的等量加等量推出∠DAC=∠BAE，再利用SAS判定△ADC △ABE.
(2)由 (1) 中全等三角形的性质得到CD=BE=7，结合已知DB=AB=5、BC=，通过计算三边平方满足DB2+BC2=CD2，由勾股定理的逆定理得到∠DBC=90 ，再结合等边三角形内角∠DBA=60 ，作差求出∠ABC的度数.
（1）略
（2）解：，
，，
，，
，
，
又，
．
19．【综合与实践】甲乙两人匀速从学校出发到米处的图书馆看书，甲出发分钟后，乙以米/分的速度沿同一路线行走．学习了一次函数以后，同学们用一次函数来研究行程问题．小明同学绘制两人到学校的距离（米）与甲出发时间（分钟）的函数图象（如图），小敏同学绘制了甲乙两人相距（米）与甲行走的时间为（分）函数图象的一部分（如图）．根据图像回答下列问题：
（1）甲行走的速度为______米/分；乙到学校的距离的函数表达式______．
（2）在图中______分钟；______米；
（3）在图坐标系中，补画关于函数图象的剩余部分；这一部分的函数表达式为：______；它对应的自变量的取值范围是______；
（4）当甲出发______分钟时甲、乙两人相距米．
【答案】（1）；
（2）；；
（3）补画关于函数图象的剩余部分如图所示：
（4）和．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由图可得甲行走的速度为：（米/分钟）
由题意得：；
故答案为：；.
（2）解：由得：，
当时，，，
（米）；
故答案为：；.
（3）解：由（2）知，时，乙到达图书馆，此时两人相距米，
（分钟），
甲再经过分钟到达图书馆，此时，
这一部分的函数表达式为：，
它对应的自变量的取值范围是；
故答案为：.
（4）解：由，
得，
由，
得，
甲出发分钟或分钟，甲、乙两人相距米．
故答案为：和．
【分析】（1）由甲先出发 5 分钟走了 150 米，由速度 = 路程 ÷ 时间，求出甲的速度；乙比甲晚出发 5 分钟，乙速度 50 米 / 分，得到乙的路程关于甲出发时间t的一次函数，代入点求出函数表达式y乙.
（2）a表示甲、乙相遇时刻，由甲的路程等于乙的路程列等式，解出t=a；b是t=35时甲乙两人距离，分别算出甲、乙路程，做差得到b的值.
（3）t=35时，乙已经到达图书馆，路程固定为 1500 米，甲继续以 30 米 / 分前进，两人距离s等于 1500 减去甲走的路程；确定两个端点坐标(35，450)、(50，0)，代入求一次函数解析式，同时确定自变量取值范围.
（4）分两段讨论： ①12.5（1）解：由图可得甲行走的速度为：（米/分钟）
由题意得：；
（2）解：由得：，
当时，，，
（米）；
（3）解：由（2）知，时，乙到达图书馆，此时两人相距米，
（分钟），
甲再经过分钟到达图书馆，此时，
这一部分的函数表达式为：，
它对应的自变量的取值范围是；
（4）解：由，
得，
由，
得，
甲出发分钟或分钟，甲、乙两人相距米．
20．如图，直线分别与x轴、y轴交于B点和A点，点C在线段上，沿着直线对折，使点O落在直线上．
（1）点B的坐标为______；直线的表达式为______．
（2）点P在线段上，过点P作x轴的垂线分别交直线和直线于点M、N，若，求出点P的坐标．
（3）是否存在等腰直角三角形，使直角顶点D在直线上，同时点E在直线上，如果存在，直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：设，则，，，
，
，
解得或，
∵点P在线段上，
.
（3）存在，；
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：令，则，
令，则，解得，
，，
，
，
设，则，，
沿着直线对折，使点O落在直线上，
，，，
在中，，
，
解得，
，
设直线的表达式为，
将点A、点C的坐标代入，得
，
解得，
直线的表达式为，
故答案为：，；
（3）解：存在，理由如下：
直角顶点D在直线上，点E在直线上，
设，，
过点D作轴于点M，过点E作于点N，
若是等腰直角三角形，则，
，
，
在和中，
，
，
，
，
解得，
；
过点D作轴于点P，过点E作的延长线于点Q，
若是等腰直角三角形，则，
，
，
在和中，
，
，
，
解得，
；
综上所述，
；．
【分析】(1)由直线y=x+6分别令y=0求出点B横坐标、令x=0求出点A纵坐标，得到A、B坐标，再结合勾股定理求出线段AB的长度，由沿直线AC对折的折叠性质得到AO=AO'，CO=CO'，确定O'B的长度，设C(x，0)在Rt△O'BC中依靠勾股定理建立方程求出C点坐标，再将A、C两点坐标代入y=kx+b，利用待定系数法列方程组求解k和b，进而得到直线AC的表达式.
(2)由点P在线段CB上且在x轴上，设P(a，0)，根据PM垂直x轴，分别代入直线AB、直线AC的解析式写出M、N两点的坐标，通过两点纵坐标相差表示出竖直线段MN的长度，再以MN为底、P的横坐标的绝对值为高，结合三角形面积公式S△AMN=10列出含a的方程并求解，最后根据P在线段CB上的范围条件舍去不符合的解，确定点P的坐标.
(3)由直角顶点D在直线AC上、点E在直线AB上，设D(t， 2t+6)，E(m，m+6)，过点D、E向坐标轴作垂线构造一线三垂直图形，由△ODE是以D为直角顶点的等腰直角三角形得到DO=DE，∠ODE=90 ，通过同角的余角相等推导出一组相等角，证明△DOM △EDN(AAS)，再利用全等三角形对应边相等得到关于t、m的方程组，解方程组求出参数t，分不同位置情况得到所有满足条件的D点坐标.
（1）解：令，则，
令，则，解得，
，，
，
，
设，则，，
沿着直线对折，使点O落在直线上，
，，，
在中，，
，
解得，
，
设直线的表达式为，
将点A、点C的坐标代入，得
，
解得，
直线的表达式为，
故答案为：，；
（2）设，则，，
，
，
，
解得或，
∵点P在线段上，
；
（3）存在，理由如下：
直角顶点D在直线上，点E在直线上，
设，，
过点D作轴于点M，过点E作于点N，
若是等腰直角三角形，则，
，
，
在和中，
，
，
，
，
解得，
；
过点D作轴于点P，过点E作的延长线于点Q，
若是等腰直角三角形，则，
，
，
在和中，
，
，
，
解得，
；
综上所述，
；．
1 / 1广东省深圳市福田区外国语学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷
1．下列各数是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的边长为（　　）．
A．64 B．16 C．8 D．4
3．在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（　　）
A．（4，1） B．（﹣1，4）
C．（﹣4，﹣1） D．（﹣1，﹣4）
4．若直线y＝2x+b经过点A(﹣2，m)，B(1，n)，则m，n的大小关系正确的是（　　）
A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定
5．下列判断正确的个数是（　　）
①无理数是无限小数；②4的平方根是±2；③立方根等于它本身的数有3个④与数轴上的点一一对应的数是实数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．中，，，所对的边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．，，
C． D．
7．已知点在第四象限，则直线图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，，，，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9． 的算术平方根是3，则x的值是　 　．
10．若函数是正比例函数，则　 　．
11．若是二元一次方程组的解，则　 　．
12．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　 　．
13．如图，在矩形ABCD中，，在矩形内有一点P，同时满足，延长CP交AD于点E，则　 　.
14．计算：
（1）
（2）
15．解二元一次方程组：
（1）；
（2）
16．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点都在格点上，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
请按要求完成下列各题：
（1）将向右平移7个单位，请画出平移后的，并写出点的坐标______；
（2）在图中画出关于y轴对称的，并写出点的坐标______；
（3）观察可知与关于直线l对称，请写出直线l与x轴的交点D的坐标______；
（4）在x轴上找一点P，使最短，则P点坐标为______．
17．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为．
（1）求长方形空地的周长．
（2）已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？
18．如图，分别以的边和边向外作等边三角形，，连接和．
（1）求证：；
（2）若，，，求的度数．
19．【综合与实践】甲乙两人匀速从学校出发到米处的图书馆看书，甲出发分钟后，乙以米/分的速度沿同一路线行走．学习了一次函数以后，同学们用一次函数来研究行程问题．小明同学绘制两人到学校的距离（米）与甲出发时间（分钟）的函数图象（如图），小敏同学绘制了甲乙两人相距（米）与甲行走的时间为（分）函数图象的一部分（如图）．根据图像回答下列问题：
（1）甲行走的速度为______米/分；乙到学校的距离的函数表达式______．
（2）在图中______分钟；______米；
（3）在图坐标系中，补画关于函数图象的剩余部分；这一部分的函数表达式为：______；它对应的自变量的取值范围是______；
（4）当甲出发______分钟时甲、乙两人相距米．
20．如图，直线分别与x轴、y轴交于B点和A点，点C在线段上，沿着直线对折，使点O落在直线上．
（1）点B的坐标为______；直线的表达式为______．
（2）点P在线段上，过点P作x轴的垂线分别交直线和直线于点M、N，若，求出点P的坐标．
（3）是否存在等腰直角三角形，使直角顶点D在直线上，同时点E在直线上，如果存在，直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、是有限小数，属于有理数，不符合题意；
B、是分数形式，属于有理数，不符合题意；
C、，是整数，属于有理数，不符合题意；
D、中9不是完全立方数，其立方根为无理数，符合题意；
故选：D
【分析】
根据无理数是指无限不循环小数，不能表示为分数形式的数，逐一分析各选项即可。
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；求算术平方根
【解析】【解答】解：设三个正方形的边长由小到大依次为a，b，c，
由题意可知，，，
∵正方形每个角都是直角，
∴中间的三角形为直角三角形，
根据勾股定理得，，
∴正方形A的边长为，
故答案为：C．
【分析】 由正方形面积等于边长的平方，结合勾股定理可知直角三角形两条直角边的平方对应两个小正方形面积，斜边平方对应大正方形面积，由此得到字母 A 代表的正方形面积等于289-225，再对算出的面积求算术平方根得到正方形 A 的边长.
3．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，
∴点A的坐标是：（4，1）．
故答案为：A．
【分析】关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可解答。
4．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵k=2＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵-2＜1，
∴m＜n．
故答案为：A．
【分析】
根据一次函数的性质：“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”；由k=2＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合-2＜1，即可得出m＜n，即可解答．
5．【答案】C
【知识点】平方根；立方根及开立方；实数在数轴上的表示；无理数的概念
【解析】【解答】解： ①无理数是无限不循环的小数，故①说法错误；
②4的平方根是±2，故②说法正确；
③立方根等于它本身的数有1，-1，0，一共3个，故③正确；
④实数与数轴上的点成一一对应，故④正确
正确的序号为：②③④
故答案为：C
【分析】根据无理数的定义可对①作出判断；根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，可对②作出判断；根据立方根的性质，可对③作出判断；实数与数轴上的点成一一对应，可对④作出判断，综上所述，可得正确说法的个数。
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：A、，
，
∴是直角三角形，此选项不符合题意；
B、，，，
，
，
∴是直角三角形，此选项不符合题意；
C、，
最大角，
不是直角三角形，此选项符合题意；
D、，，
，
∴是直角三角形，此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、根据勾股定理的逆定理可得∠C=90°，然后根据直角三角形的性质可判断求解；
B、由题意先计算a2+b2、c2的值，根据计算结果可得a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可得∠C=90°，然后根据直角三角形的性质可判断求解；
C、由三角形的内角和等于180°并结合已知可求得最大角∠C的度数，根据最大角∠C的度数和直角三角形的定义即可判断求解；
D、由三角形的内角和等于180°并结合已知可求得最大角∠A的度数，根据最大角∠A的度数和直角三角形的定义即可判断求解.
7．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，
∴，
∴，
∴直线图象经过第二、三、四象限，
故答案为：B．
【分析】由第四象限点的坐标符号特征，判断出m、n的正负；由此确定一次函数y=nx+mn的斜率n与截距mn的正负，再由一次函数k，b符号判断直线经过的象限，选出对应图像.
8．【答案】C
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，，，
∴的点在轴的正半轴上（为正整数），且这一系列的点中相邻两点之间的距离为2，
∵，
∴在轴的正半轴上，
∴的横坐标为，
∴的坐标为，
故答案为：C．
【分析】由图中等腰直角三角形的排布先观察下标为4n 3的点都在x轴正半轴上，结合A1(2，0)、A5(4，0)、A9(6，0)得到这类点相邻两点横坐标相差 2，再将2025代入4n 3算出n=507，由此计算横坐标为507×2=1014，纵坐标为0，得到A2025的坐标.
9．【答案】81
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： 的算术平方根是3，
∴ ＝9，
∴x＝81，
故答案为81．
【分析】先求出 ＝9，再求出x＝81，即可作答。
10．【答案】
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：函数是正比例函数，
，解得．
故答案为：．
【分析】由正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的定义，可知函数y=2x+3 5a的常数项3 5a要等于0，由此列出方程3 5a=0，再解这个一元一次方程得到a的值.
11．【答案】2023
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程组的解，
∴，
得：，
∴，
故答案为：2023．
【分析】由方程组解的定义把代入原方程组得到关于a、b的方程组，再用① ②求出a b的值，接着把代数式2a 2b+2025变形为2(a b)+2025，最后整体代入a b= 1计算出结果.
12．【答案】
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的性质；圆柱的展开图
【解析】【解答】解：如图，
将杯子侧面展开，作A点关于的对称点，连接，则的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
延长，过点作于D点，
则，，，
由题意得，，
由勾股定理得．
故答案为：．
【分析】由圆柱侧面最短路径问题，想到把圆柱侧面展开成平面矩形；蚂蚁在杯外、蜂蜜在杯内，由此作点A关于杯口边沿的对称点A'，连接A'C，A'C就是最短路径；由底面周长求出展开图水平方向长度，结合题目高度条件算出直角三角形两条直角边的长；最后在直角三角形中利用勾股定理求出A'C的长度.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：延长AP交CD于F，
∵∠APB=90°，
∴∠FPB=90°，
∴∠CPF+∠CPB=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，BC=AD=3，
∴∠EAP+∠BAP=∠ABP+∠BAP=90°，
∴∠EAP=∠ABP，
∵CP=CB=3，
∴∠CPB=∠CBP，
∴∠CPF=∠ABP=∠EAP，
∵∠EPA=∠CPF，
∴∠EAP=∠APE，
∴AE=PE，
∵CD2+DE2=CE2，
∴42+（3-AE）2=（3+AE）2，
∴
∴CE=3+=
故答案为：
【分析】由矩形性质得到边长与直角条件，结合∠APB=90 、PC=BC，利用等角推导得到∠EAP=∠APE，由此得到AE=PE；再设未知数，在Rt△CDE中使用勾股定理建立方程求出AE，最后求出线段CE的长度.
14．【答案】（1）解：；
.
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；开平方（求平方根）
【解析】【分析】(1)由算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则分别化简、(π 3)0、，再按照有理数加减法则合并计算得到结果.
(2)由完全平方公式、平方差公式、二次根式化简以及绝对值的性质分别展开化简( 1)2、(+1)( 1)、|3 |，再合并同类二次根式与常数项求出最终结果.
（1）解：；
；
（2）解：
．
15．【答案】（1）解：把①代入②，得，
，
将代入①，得
所以原方程组的解是.
（2）解：①，得③
③+②，得：
将代入②，得
所以原方程组的解是．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】 (1)由方程组中方程①已经用含x的代数式表示y，采用代入消元法，把①代入②消去y得到关于x的一元一次方程，求出x的值，再将x的值代回①求出y的值，从而得到方程组的解.
(2)由方程组中方程①含有分母，先去分母整理得到整式方程③，再和方程②运用加减消元法消去y求出x的值，再将x的值代入②求出y的值，从而得到方程组的解.
（1）解：把①代入②，得，
，
将代入①，得
所以原方程组的解是；
（2）解：①，得③
③+②，得：
将代入②，得
所以原方程组的解是．
16．【答案】（1）将向右平移7个单位得，如图：
（2）画出关于y轴对称的，如上图，

（3）
（4）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；一次函数的实际应用-几何问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（1）解：由图可知，的坐标为；
故答案为：；
（2）解：由图知，点的坐标为；
故答案为：；
（3）解：观察与，可知它们关于直线对称，
直线l与x轴的交点D的坐标为；
故答案为：；
（4）解：作关于x轴的对称点，连接交x轴于P，如图：
由对称性可知，，
，
，P，C共线，
此时最短；
设直线的解析式为：，由，得：
，解得：，
∴直线解析式为，
令得，
；
故答案为：.
【分析】(1)由平面直角坐标系中点的平移规律 “右加左减，上加下减”，将点A( 2，3)横坐标加上 7、纵坐标不变得到A1坐标，再用相同方式求出B1、C1，依次连接三点画出平移后的△A1B1C1.
(2)由关于y轴对称的点的坐标特征 “纵坐标不变，横坐标互为相反数”，由点A( 2，3)求出A2坐标，同理得到B2、C2，依次连接三点画出△A2B2C2.
(3)由两组对应点A1与A2、B1与B2的横坐标，求出两点横坐标的平均值，得到对称轴直线，再求出这条直线与x轴交点D的坐标.
(4)由最短路径（将军饮马）模型，作点C关于x轴的对称点，连接对称点与点B得到直线，求出该直线解析式，再求直线与x轴交点，即为点P的坐标.
（1）解：由图可知，的坐标为；
故答案为：；
（2）解：由图知，点的坐标为；
故答案为：；
（3）解：观察与，可知它们关于直线对称，
直线l与x轴的交点D的坐标为；
故答案为：；
（4）解：作关于x轴的对称点，连接交x轴于P，如图：
由对称性可知，，
，
，P，C共线，
此时最短；
设直线的解析式为：，由，得：
，解得：，
∴直线解析式为，
令得，
；
故答案为：
17．【答案】（1）解：长方形空地的周长为
．
答：长方形空地的周长为．
（2）解：由题意，得种草莓的面积为
，
∴销售收入为（元）．
答：销售收入为元．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）由长方形周长公式，得到周长等于 2×(长 + 宽)，把长、宽代入，先将二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式，再计算求出长方形空地 ABCD 的周长.
（2） 由种草莓的面积等于大长方形面积减去水池面积，分别计算大长方形面积和水池面积，水池计算利用平方差公式；求出草莓种植面积后，结合每平方米产量算出总产量，再乘单价，计算得到销售收入.
（1）解：长方形空地的周长为
．
答：长方形空地的周长为．
（2）解：由题意，得种草莓的面积为
，
∴销售收入为（元）．
答：销售收入为元．
18．【答案】（1）证明：和是等边三角形，
，，，
，
，
；
（2）解：，
，，
，，
，
，
又，
．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60 ，通过角的等量加等量推出∠DAC=∠BAE，再利用SAS判定△ADC △ABE.
(2)由 (1) 中全等三角形的性质得到CD=BE=7，结合已知DB=AB=5、BC=，通过计算三边平方满足DB2+BC2=CD2，由勾股定理的逆定理得到∠DBC=90 ，再结合等边三角形内角∠DBA=60 ，作差求出∠ABC的度数.
（1）略
（2）解：，
，，
，，
，
，
又，
．
19．【答案】（1）；
（2）；；
（3）补画关于函数图象的剩余部分如图所示：
（4）和．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由图可得甲行走的速度为：（米/分钟）
由题意得：；
故答案为：；.
（2）解：由得：，
当时，，，
（米）；
故答案为：；.
（3）解：由（2）知，时，乙到达图书馆，此时两人相距米，
（分钟），
甲再经过分钟到达图书馆，此时，
这一部分的函数表达式为：，
它对应的自变量的取值范围是；
故答案为：.
（4）解：由，
得，
由，
得，
甲出发分钟或分钟，甲、乙两人相距米．
故答案为：和．
【分析】（1）由甲先出发 5 分钟走了 150 米，由速度 = 路程 ÷ 时间，求出甲的速度；乙比甲晚出发 5 分钟，乙速度 50 米 / 分，得到乙的路程关于甲出发时间t的一次函数，代入点求出函数表达式y乙.
（2）a表示甲、乙相遇时刻，由甲的路程等于乙的路程列等式，解出t=a；b是t=35时甲乙两人距离，分别算出甲、乙路程，做差得到b的值.
（3）t=35时，乙已经到达图书馆，路程固定为 1500 米，甲继续以 30 米 / 分前进，两人距离s等于 1500 减去甲走的路程；确定两个端点坐标(35，450)、(50，0)，代入求一次函数解析式，同时确定自变量取值范围.
（4）分两段讨论： ①12.5（1）解：由图可得甲行走的速度为：（米/分钟）
由题意得：；
（2）解：由得：，
当时，，，
（米）；
（3）解：由（2）知，时，乙到达图书馆，此时两人相距米，
（分钟），
甲再经过分钟到达图书馆，此时，
这一部分的函数表达式为：，
它对应的自变量的取值范围是；
（4）解：由，
得，
由，
得，
甲出发分钟或分钟，甲、乙两人相距米．
20．【答案】（1）；
（2）解：设，则，，，
，
，
解得或，
∵点P在线段上，
.
（3）存在，；
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：令，则，
令，则，解得，
，，
，
，
设，则，，
沿着直线对折，使点O落在直线上，
，，，
在中，，
，
解得，
，
设直线的表达式为，
将点A、点C的坐标代入，得
，
解得，
直线的表达式为，
故答案为：，；
（3）解：存在，理由如下：
直角顶点D在直线上，点E在直线上，
设，，
过点D作轴于点M，过点E作于点N，
若是等腰直角三角形，则，
，
，
在和中，
，
，
，
，
解得，
；
过点D作轴于点P，过点E作的延长线于点Q，
若是等腰直角三角形，则，
，
，
在和中，
，
，
，
解得，
；
综上所述，
；．
【分析】(1)由直线y=x+6分别令y=0求出点B横坐标、令x=0求出点A纵坐标，得到A、B坐标，再结合勾股定理求出线段AB的长度，由沿直线AC对折的折叠性质得到AO=AO'，CO=CO'，确定O'B的长度，设C(x，0)在Rt△O'BC中依靠勾股定理建立方程求出C点坐标，再将A、C两点坐标代入y=kx+b，利用待定系数法列方程组求解k和b，进而得到直线AC的表达式.
(2)由点P在线段CB上且在x轴上，设P(a，0)，根据PM垂直x轴，分别代入直线AB、直线AC的解析式写出M、N两点的坐标，通过两点纵坐标相差表示出竖直线段MN的长度，再以MN为底、P的横坐标的绝对值为高，结合三角形面积公式S△AMN=10列出含a的方程并求解，最后根据P在线段CB上的范围条件舍去不符合的解，确定点P的坐标.
(3)由直角顶点D在直线AC上、点E在直线AB上，设D(t， 2t+6)，E(m，m+6)，过点D、E向坐标轴作垂线构造一线三垂直图形，由△ODE是以D为直角顶点的等腰直角三角形得到DO=DE，∠ODE=90 ，通过同角的余角相等推导出一组相等角，证明△DOM △EDN(AAS)，再利用全等三角形对应边相等得到关于t、m的方程组，解方程组求出参数t，分不同位置情况得到所有满足条件的D点坐标.
（1）解：令，则，
令，则，解得，
，，
，
，
设，则，，
沿着直线对折，使点O落在直线上，
，，，
在中，，
，
解得，
，
设直线的表达式为，
将点A、点C的坐标代入，得
，
解得，
直线的表达式为，
故答案为：，；
（2）设，则，，
，
，
，
解得或，
∵点P在线段上，
；
（3）存在，理由如下：
直角顶点D在直线上，点E在直线上，
设，，
过点D作轴于点M，过点E作于点N，
若是等腰直角三角形，则，
，
，
在和中，
，
，
，
，
解得，
；
过点D作轴于点P，过点E作的延长线于点Q，
若是等腰直角三角形，则，
，
，
在和中，
，
，
，
解得，
；
综上所述，
；．
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