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四川省成都市温江区东辰外国语学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷
1．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．已知，下列不等式变形中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．的三边长分别为，，，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　）
A． B．
C．，， D．
4．若正比例函数的图像经过第一、三象限，则一次函数的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系中，点在第三象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于，的二元一次方程组，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．3
7．若点在直线上，则代数式的值为（　　）
A．3 B． C．2 D．0
8．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．若是关于、的二元一次方程的一个解，则的值为　 　．
10．不等式的正整数解为　 　．
11．函数是关于的一次函数，则　 　．
12．点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位得对应点，则点的坐标是　 　．
13．若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为　 　．
14．解方程组和不等式：
（1）；
（2）．
15．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为．
（1）若点在轴上，求出点的坐标；
（2）点的坐标为，若轴，求出点的坐标．
16．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．
（1）请求出的长度；
（2）根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准．
17．数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组．
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，
求关于x，y的方程组的解．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴的负半轴上，且，点P是线段上的动点（点P不与B，C重合），以为斜边在直线的右侧作等腰直角三角形．
（1）求直线的函数表达式；
（2）如图1，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，连接，点E是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
19．把方程写成用含x的式子表示y的形式　 　．
20．已知关于x的不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是　 　．
21．关于函数，给出下列说法正确的是　 　．
①当时，该函数是一次函数；
②若点，在该函数图象上，且，则；
③若该函数不经过第四象限，则；
④该函数恒过定点．
22．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走　 　的路程．
23．如图，在平面直角坐标系中，点在第一三象限角平分线上，过点作轴的平行线，交第二四象限角平分线于点，以线段为边在右侧作正方形；所在的直线交第一三象限角平分线于点，交第二四象限角平分线于点，再以线段为边在右侧作正方形……．以此类推，按照图中的规律，则点的坐标为　 　；第2024个正方形的边长为　 　．
24．如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度（单位：）与下行时间（单位：）之间的函数关系为，乙离一楼地面的高度（单位：）与下行时间（单位：s）的函数关系如图2所示．
（1）求关于的函数解析式；
（2）在下行过程中是否存在某一时刻两人竖直高度相差米，若存在求出此时的下行时间．
25．扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧去有风的地方的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊第一次用元购进甲、乙两种布料共件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价 类别 成本价元件 销售价元件
甲种布料
乙种布料
（1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
（2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价购进甲、乙两种布料共件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的倍，且以相同的销售价全部售完这批布料，设第二次购进甲种布料件，第二次销售完后获得的利润为元，试问第二次以何种进货方案，才能使第二次销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
26．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：如果，，那么点就叫做点的“交变点”．例如：点的“交变点”是点．
（1）若点的“交变点”为点，则点的坐标为______；
（2）已知点，，且点是点的“交变点”，求、的值；
（3）在长方形中，点，，，．已知点、，当线段上存在一点的“交变点”位于长方形的内部（不含边界）时，直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点关于x轴的对称点的坐标为．
故选：B．
【分析】
直接利用关于x轴对称点的坐标性质：横坐标保持不变，纵坐标变为原数的相反数，来推导得出答案.
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，故不符合题意；
B、∵，
∴ ，故不符合题意；
C、∵，
∴ ，故符合题意；
D、∵，
∴ 5a＜5b，
∴，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】不等式的基本性质1，不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；2不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；3不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、，，
，
为直角三角形，故A选项不符合题意；
B、设，，，
，
解得：，
则，
不是直角三角形，故B选项符合题意；
C、∵，，，
，
能构成直角三角形，故C选项不合题意；
D、，
，
能构成直角三角形，故D选项不合题意；
故选：B．
【分析】
A、直角三角形两锐互余，反过两锐角互余的三角形也是直角三角形；
B、三角形的三个角的比值满足较小的两个数字和等于最大数时，这个三角形才是直角三角形；
C、6、8、10是一组勾股数；
D、对已知等式变形可得，既勾股定理的逆定理．
4．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；正比例函数的图象
【解析】【解析】解：∵正比例函数（k≠0）的图象经过第一、三象限，
∴
∵一次函数中， 一次项系数是-1， ， 直线从左上向右下倾斜，y随x的增大而减小 ；
常数项是k ，， 直线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴一次函数经过一、二、四象限.
A 选项：直线上升，代表一次项系数大于 0，和本题一次项系数-1<0矛盾，A错误；
B 选项：直线上升，代表一次项系数大于 0，和本题一次项系数-1<0矛盾，B错误；
C 选项：直线下降，且与y轴交于正半轴，图象经过一、二、四象限，符合条件，C正确；
D 选项：直线虽然下降，但与y轴交于负半轴，说明k<0，和前面推出的k>0矛盾，D错误；
故答案为：C.
【分析】
本题考查正比例函数与一次函数的图象和系数之间的关系，解题分两步：①根据正比例函数图象确定k的正负；②由k的符号，判断一次函数y=-x+k经过的象限．
5．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；点的坐标与象限的关系
【解析】【解析】解：∵平面直角坐标系中，点在第三象限，
∴点的纵坐标小于 0，即．
∴．
故选：D．
【分析】
本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征. 四个象限坐标符号：第一象限(+，+)；第二象限(-，+)；第三象限(-，-)；第四象限(+，-). 题目中点(-1，1-2m)在第三象限，说明这个点的横坐标、纵坐标都必须是负数.已知横坐标是-1，已经满足小于 0；所以只需要让纵坐标1-2m<0，解这个不等式，求出m的取值范围．
6．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
，得．
故选：D
【分析】用第二个方程减去第一个方程，就可以得到对应的结果.
7．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】将点P（a，b）代入可得b=2a+1，
∴2a-b=-1，
∴，
故答案为：A.
【分析】先利用函数解析式求出2a-b=-1，再将其代入计算即可.
8．【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：∵雀每只两，燕每只两，
依题意可得，
故选：A.
【分析】设雀每只两，燕每只两，根据“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重”列方程组即可.
9．【答案】2
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是关于、的二元一次方程的一个解，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】
利用二元一次方程的解的定义求解，把代入方程，就可以得到一个只含未知数a的一元一次方程，解这个方程就能得到a的值.
10．【答案】1，2
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：去括号，得：3x-3≤5-x，
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得：x≤2，
则不等式的正整数解有1，2.
故答案为： 1， 2.
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，然后得到正整数解即可.
11．【答案】
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得：，
故答案为：．
【分析】
对一次函数定义，尤其要注意一次项的系数不能等于0，结合一次函数的定义，就可以计算得到m的取值.
12．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；用坐标表示平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解析】解：点先向左平移4个单位长度，横坐标变为；
再向上平移2个单位，纵坐标变为，
所以平移后点的坐标为，
故答案为：．
【分析】
本题考查平面直角坐标系中点的平移规律.记住口诀：左减右加，上加下减.
左右平移：改变横坐标，向左移横坐标减去平移单位，向右移横坐标加上平移单位；上下平移：改变纵坐标，向上移纵坐标加上平移单位，向下移纵坐标减去平移单位.
13．【答案】10或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：本题可分两种情况讨论：
情况一：若6和8均为直角边，根据勾股定理，第三边（斜边）的长为；
情况二：若8为斜边，6为直角边，根据勾股定理，第三边（另一条直角边）的长为．
故第三边的长为10或．
故答案为：10或．
【分析】
题目中给出的两条边分情况讨论，明确它们是都是直角边，还是其中一条是斜边，再根据勾股定理计算第三条边的长度。分两种不同情况进行计算：情况一：若长度为6和8的边都是直角边，此时第三边是斜边，根据勾股定理可得第三边的长度为；情况二：若长度为8的边是斜边，长度为6的边是直角边，此时第三边是另一条直角边，根据勾股定理可得第三边的长度为.
14．【答案】（1）解：
得：，
得：，解得，
代入①得：，解得．
故方程组的解为．

（2）解：去分母：，
去括号：，
移项：，
合并同类项：，
系数化为：．
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）解二元一次方程组时，可以通过加减消元法消去或者，得到只含一个未知数的一元一次方程，解出这个未知数后，再将结果代回原方程组，就可以求出另一个未知数的值；
（2）解一元一次不等式，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、将未知数系数化为1的步骤计算即可得到最终解集.
（1）解：
得：，
得：，解得，
代入①得：，解得．
故方程组的解为．
（2）去分母：，
去括号：，
移项：，
合并同类项：，
系数化为：．
15．【答案】（1）解：点在轴上，
，
，
点坐标为；

（2）解：点的坐标为，若轴，
，
，
点坐标为．

【知识点】坐标与图形性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】
（1）根据y轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标都为0，据此可以先求出参数a的数值，进而得到最终结果；
（2）根据平行于x轴的直线上点的坐标特征：平行于x轴的直线上，所有点的纵坐标都相等，据此可以先求出参数a的数值，进而得到最终结果．
（1）解：点在轴上，
，
，
点坐标为；
（2）解：点的坐标为，若轴，
，
，
点坐标为．
16．【答案】（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：；
答：的长度为；
（2）解：，
即，
∴是直角三角形，且，
即；
答：该车符合安全标准．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的实际应用.解题的关键是正确识别直角三角形，利用勾股定理求边长，再用勾股定理的逆定理判断另一组边是否构成直角三角形.
在第（1）问中，已知，，，直接应用勾股定理：直角边AB、BD与斜边AD满足，因此，注意此处是已知斜边和一条直角边求另一条直角边，不要错用加法；
在第（2）问中，已求得BD，再结合BC，CD计算，因此，由勾股定理的逆定理可知△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，即 BC⊥CD，符合安全标准.
（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：；
答：的长度为；
（2）解：，
即，
∴是直角三角形，且，
即；
答：该车符合安全标准．
17．【答案】（1）
（2）解：设，，则原方程组可化为，
解得，
即有，
解得，
即：方程组的解为；

（3）解：设，，则原方程组可化为，化简，得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，即有，
解得：，
故方程组的解为：．
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）设，，则原方程组可化为，
∵的解为，
∴，
解得，
故答案为：；
【分析】
（1）利用换元法，令，，换元后可以得到方程组，求解这个二元一次方程组就能得到最终答案；
（2）同样使用换元法，设，，代入原方程后，原方程组可以简化为，解出这个关于m、n的方程组后，再回代就可以求出原方程组的解；
（3）采用换元法，设，，换元后原方程组可以改写为，题目已知方程组的解是，因此换元后的方程组对应有，也就是，解这个方程组就能得到原方程组的解.
（1）设，，则原方程组可化为，
∵的解为，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）设，，则原方程组可化为，
解得，
即有，
解得，
即：方程组的解为；
（3）设，，则原方程组可化为，
化简，得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，即有，
解得：，
故方程组的解为：．
18．【答案】（1）解：在中，令得，∴，
∵，
∴，
设直线的函数表达式为，
∴，
解，
∴直线BC的函数表达式为
（2）解：设，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，令得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴；
（3） 解：是定值，的度数为，理由如下：延长到G，使，连接，，如图：
设，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）对于直线，令，可计算得，因此得到点B的坐标为，即。根据条件，结合点C在x轴负半轴，可得C点坐标为，最后利用待定系数法即可求出BC的解析式为；
（2）设点P的坐标为，由P在线段BC上可知。因为，结合题目垂直关系可得，因此面积可整理为。利用两点间距离公式计算得，代入面积公式可得。再计算△ABC的面积：，结合题目给出的面积关系即可解出m的值，最终得到点P的坐标为；
（3）具体做法如下：延长到点G，使得，之后连接和。我们设，，首先可以通过边角边判定定理证明，根据全等三角形的性质可以得到，同时能推导出，进一步推导可得，。接下来我们再通过边角边判定定理证明，根据全等三角形的性质可以得到，，因此可以推出，也就是△DOG是等腰直角三角形，结合E是DG中点，最终即可得到.
（1）解：在中，令得，
∴，
∵，
∴，
设直线的函数表达式为，
∴，
解，
∴直线BC的函数表达式为；
（2）解：设，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，令得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴；
（3）是定值，的度数为，理由如下：
延长到G，使，连接，，如图：
设，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
19．【答案】y＝3x﹣1
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵2x﹣y＝5，∴﹣y＝1﹣3x，
∴y＝3x﹣1，
故答案为：y＝3x﹣1．
【分析】将x当作常数，再解方程即可。
20．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解析】解：解不等式，得，
∵ 不等式的正整数解恰是1，2，3，
∴．
故答案为：．
【分析】
本题考查根据一元一次不等式的正整数解确定参数的取值范围. 首先先解不等式，得到解集x3；要保证4不是不等式的解，则必须满足a≤4.综合两个条件，确定a的取值范围.这类题型的难点是判断端点值能否取等号，需要单独检验边界数字．
21．【答案】①②④
【知识点】一次函数的概念；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解析】解：①当时，该函数 式子符合y=kx+b（）的形式是一次函数，故①正确；
②若点在该函数图象上，且，
，
y随x的增大而增大，则，故②正确；
③若该函数不经过第四象限，则，
，故③错误；
④ 将解析式变形：y=k(x+1)-2， 令x+1=0，即x=-1，此时y=-2，无论k取何值，图像一定经过定点(-1，-2)，故④正确；
故符合题意的有①②④，
故答案为：①②④．
【分析】
本题考查一次函数的定义、图像性质以及一次函数过定点问题. 一次函数定义：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数；k决定增减性：k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小. ①直接对照一次函数定义判断； ②比较两点横坐标大小，结合，判断函数增减性，得到k符号； ③图像不经过第四象限，要满足斜率k>0，且与y轴交点纵坐标大于或等于 0，注意可以取等号； ④求定点：把式子变形，分离参数k，令含k的项系数等于 0，算出定点(x、y).
22．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解析】解：如图所示，取的中点M，
∴，
∵长方形地毯，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，
∴，，，
∴半圆的弧长为，
将中间半圆展开，如图所示，连接，
∴ 水平总长度：，
∴ 勾股定理计算 AC ：，
∴一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走的路程，
故答案为： ．
【分析】
本题是立体图形表面最短路径问题，核心思想是曲面展开为平面，依据 “两点之间线段最短”，再结合勾股定理求解. 蚂蚁要翻过半圆柱凸起，需把半圆柱的曲面侧面展开.第一步：根据给出的半圆柱底面直径，计算半圆弧的长度； 第二步：求出展开之后，A 到 C 水平方向的总长度；竖直方向的长度不变，就是BC； 第三步：展开后 A、C 连线为最短路径，构成直角三角形，两条直角边分别是水平总长、BC，利用勾股定理算出斜边 AC，就是最短路程．
23．【答案】；
【知识点】正方形的性质；探索规律-函数上点的规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，轴，
∴的横坐标为1，
∵第一象限角平分线为，第三象限角平分线为，
∴，
∴，
∴正方形的边长为：2；
∴，
∴，
∴的横坐标为3，则，，
∴，，
∴，，
∴，
即第三个正方形的边长为18，
∴，，
以此类推，，，
∴，，
∴，
故答案为：，．
【分析】根据线段的和即可得出第一个正方形的边长为2，再根据正方形的性质及线段的和即可求出第二个正方形的边长为6，依次得出第三个正方形的边长为18，以此类推，可以得到，的坐标，再将代入，即可求得答案．
24．【答案】（1）解：设关于的函数解析式为，
将，代入得：
， 解得，
关于的函数解析式为.
（2）解：存在某一时刻，两人的竖直高度差为，理由如下：
在中，
令，则有， 解得，
在中，
令，则有，解得，
，
甲先到达一楼地面，
令，解得，
令，解得，
当下行或时，两人的竖直高度差为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，结合扶梯下行的场景，考查待定系数法求一次函数解析式， 解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想进行求解．
（1） 乙的图像是一条直线，使用待定系数法，把图像上两个点代入y=kx+b，列出方程组，解出k、b，确定函数解析式 ；
（2）本题需要求何时两人竖直高度相差 1 米，要先确定甲、乙到达地面的时间，以此划分讨论区间 . 先分别令两个函数的高度为 0，求得甲在第 20s 到达地面，乙在第 30s 到达地面.分两种情况讨论： ① 当0≤x≤20时，甲、乙都还在扶梯上，二者高度都可以用对应的一次函数表示，乙的高度减去甲的高度等于 1，列方程求解；② 当20＜x≤30时，甲已经到达一楼地面，甲的竖直高度固定为 0，此时只需乙的高度等于 1，列方程求解.最后检验解是否在对应取值范围内，舍去不符合的解.
（1）解：设关于的函数解析式为，
将，代入得：
， 解得，
关于的函数解析式为；
（2）解：存在某一时刻，两人的竖直高度差为，理由如下：
在中，
令，则有， 解得，
在中，
令，则有，解得，
，
甲先到达一楼地面，
令，解得，
令，解得，
当下行或时，两人的竖直高度差为．
25．【答案】（1）解：设扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件，
根据题意得，，
解得，
答：扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件．
（2）解：由题知：，
解得，，
，
即，
，
随的增大而增大，
当时，元，
此时，件，
答：第二次购进甲种布料件，乙种布料件时获利最大，最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件，结合题目给出的条件列出二元一次方程组，求解即可得到两种布料的购进数量；
（2）先根据利润的计算方法，整理得出利润，再结合甲的数量限制条件，即可求出最终结果.
（1）解：设扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件，
根据题意得，，
解得，
答：扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件．
（2）解：由题知：，
解得，，
，
即，
，
随的增大而增大，
当时，元，
此时，件，
答：第二次购进甲种布料件，乙种布料件时获利最大，最大利润为元．
26．【答案】（1）
（2）解：∵点，，且点是点的“交变点”，∴，
解得：，
∴、的值分别为、．
（3）
【知识点】解二元一次方程组；一元一次不等式组的应用；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】
（1）解：∵点的“交变点”为点，且∴，，
∴点的坐标为，
故答案为：．
（3）解：如图，
由题意，得
或，
解得：或
∴．
【分析】
（1）根据“交变点”的定义，点P（x，y)的交变点Q（a，b）满足a=2y-1，b=2x+1，将点A的坐标代入计算即可；
（2）根据“交变点”的定义将点C和点D的坐标代入列出方程组求解；
（3）根据题目给出的条件，利用“交变点”的定义列出不等式组求解．
（1）解：∵点的“交变点”为点，且
∴，，
∴点的坐标为，
故答案为：．
（2）解：∵点，，且点是点的“交变点”，
∴，
解得：，
∴、的值分别为、．
（3）解：如图，
由题意，得
或，
解得：或
∴．
1 / 1四川省成都市温江区东辰外国语学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷
1．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点关于x轴的对称点的坐标为．
故选：B．
【分析】
直接利用关于x轴对称点的坐标性质：横坐标保持不变，纵坐标变为原数的相反数，来推导得出答案.
2．已知，下列不等式变形中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，故不符合题意；
B、∵，
∴ ，故不符合题意；
C、∵，
∴ ，故符合题意；
D、∵，
∴ 5a＜5b，
∴，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】不等式的基本性质1，不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；2不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；3不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
3．的三边长分别为，，，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　）
A． B．
C．，， D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、，，
，
为直角三角形，故A选项不符合题意；
B、设，，，
，
解得：，
则，
不是直角三角形，故B选项符合题意；
C、∵，，，
，
能构成直角三角形，故C选项不合题意；
D、，
，
能构成直角三角形，故D选项不合题意；
故选：B．
【分析】
A、直角三角形两锐互余，反过两锐角互余的三角形也是直角三角形；
B、三角形的三个角的比值满足较小的两个数字和等于最大数时，这个三角形才是直角三角形；
C、6、8、10是一组勾股数；
D、对已知等式变形可得，既勾股定理的逆定理．
4．若正比例函数的图像经过第一、三象限，则一次函数的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；正比例函数的图象
【解析】【解析】解：∵正比例函数（k≠0）的图象经过第一、三象限，
∴
∵一次函数中， 一次项系数是-1， ， 直线从左上向右下倾斜，y随x的增大而减小 ；
常数项是k ，， 直线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴一次函数经过一、二、四象限.
A 选项：直线上升，代表一次项系数大于 0，和本题一次项系数-1<0矛盾，A错误；
B 选项：直线上升，代表一次项系数大于 0，和本题一次项系数-1<0矛盾，B错误；
C 选项：直线下降，且与y轴交于正半轴，图象经过一、二、四象限，符合条件，C正确；
D 选项：直线虽然下降，但与y轴交于负半轴，说明k<0，和前面推出的k>0矛盾，D错误；
故答案为：C.
【分析】
本题考查正比例函数与一次函数的图象和系数之间的关系，解题分两步：①根据正比例函数图象确定k的正负；②由k的符号，判断一次函数y=-x+k经过的象限．
5．在平面直角坐标系中，点在第三象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；点的坐标与象限的关系
【解析】【解析】解：∵平面直角坐标系中，点在第三象限，
∴点的纵坐标小于 0，即．
∴．
故选：D．
【分析】
本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征. 四个象限坐标符号：第一象限(+，+)；第二象限(-，+)；第三象限(-，-)；第四象限(+，-). 题目中点(-1，1-2m)在第三象限，说明这个点的横坐标、纵坐标都必须是负数.已知横坐标是-1，已经满足小于 0；所以只需要让纵坐标1-2m<0，解这个不等式，求出m的取值范围．
6．已知关于，的二元一次方程组，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
，得．
故选：D
【分析】用第二个方程减去第一个方程，就可以得到对应的结果.
7．若点在直线上，则代数式的值为（　　）
A．3 B． C．2 D．0
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】将点P（a，b）代入可得b=2a+1，
∴2a-b=-1，
∴，
故答案为：A.
【分析】先利用函数解析式求出2a-b=-1，再将其代入计算即可.
8．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：∵雀每只两，燕每只两，
依题意可得，
故选：A.
【分析】设雀每只两，燕每只两，根据“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重”列方程组即可.
9．若是关于、的二元一次方程的一个解，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是关于、的二元一次方程的一个解，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】
利用二元一次方程的解的定义求解，把代入方程，就可以得到一个只含未知数a的一元一次方程，解这个方程就能得到a的值.
10．不等式的正整数解为　 　．
【答案】1，2
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：去括号，得：3x-3≤5-x，
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得：x≤2，
则不等式的正整数解有1，2.
故答案为： 1， 2.
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，然后得到正整数解即可.
11．函数是关于的一次函数，则　 　．
【答案】
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得：，
故答案为：．
【分析】
对一次函数定义，尤其要注意一次项的系数不能等于0，结合一次函数的定义，就可以计算得到m的取值.
12．点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位得对应点，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；用坐标表示平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解析】解：点先向左平移4个单位长度，横坐标变为；
再向上平移2个单位，纵坐标变为，
所以平移后点的坐标为，
故答案为：．
【分析】
本题考查平面直角坐标系中点的平移规律.记住口诀：左减右加，上加下减.
左右平移：改变横坐标，向左移横坐标减去平移单位，向右移横坐标加上平移单位；上下平移：改变纵坐标，向上移纵坐标加上平移单位，向下移纵坐标减去平移单位.
13．若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为　 　．
【答案】10或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：本题可分两种情况讨论：
情况一：若6和8均为直角边，根据勾股定理，第三边（斜边）的长为；
情况二：若8为斜边，6为直角边，根据勾股定理，第三边（另一条直角边）的长为．
故第三边的长为10或．
故答案为：10或．
【分析】
题目中给出的两条边分情况讨论，明确它们是都是直角边，还是其中一条是斜边，再根据勾股定理计算第三条边的长度。分两种不同情况进行计算：情况一：若长度为6和8的边都是直角边，此时第三边是斜边，根据勾股定理可得第三边的长度为；情况二：若长度为8的边是斜边，长度为6的边是直角边，此时第三边是另一条直角边，根据勾股定理可得第三边的长度为.
14．解方程组和不等式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
得：，
得：，解得，
代入①得：，解得．
故方程组的解为．

（2）解：去分母：，
去括号：，
移项：，
合并同类项：，
系数化为：．
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）解二元一次方程组时，可以通过加减消元法消去或者，得到只含一个未知数的一元一次方程，解出这个未知数后，再将结果代回原方程组，就可以求出另一个未知数的值；
（2）解一元一次不等式，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、将未知数系数化为1的步骤计算即可得到最终解集.
（1）解：
得：，
得：，解得，
代入①得：，解得．
故方程组的解为．
（2）去分母：，
去括号：，
移项：，
合并同类项：，
系数化为：．
15．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为．
（1）若点在轴上，求出点的坐标；
（2）点的坐标为，若轴，求出点的坐标．
【答案】（1）解：点在轴上，
，
，
点坐标为；

（2）解：点的坐标为，若轴，
，
，
点坐标为．

【知识点】坐标与图形性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】
（1）根据y轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标都为0，据此可以先求出参数a的数值，进而得到最终结果；
（2）根据平行于x轴的直线上点的坐标特征：平行于x轴的直线上，所有点的纵坐标都相等，据此可以先求出参数a的数值，进而得到最终结果．
（1）解：点在轴上，
，
，
点坐标为；
（2）解：点的坐标为，若轴，
，
，
点坐标为．
16．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．
（1）请求出的长度；
（2）根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准．
【答案】（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：；
答：的长度为；
（2）解：，
即，
∴是直角三角形，且，
即；
答：该车符合安全标准．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的实际应用.解题的关键是正确识别直角三角形，利用勾股定理求边长，再用勾股定理的逆定理判断另一组边是否构成直角三角形.
在第（1）问中，已知，，，直接应用勾股定理：直角边AB、BD与斜边AD满足，因此，注意此处是已知斜边和一条直角边求另一条直角边，不要错用加法；
在第（2）问中，已求得BD，再结合BC，CD计算，因此，由勾股定理的逆定理可知△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，即 BC⊥CD，符合安全标准.
（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：；
答：的长度为；
（2）解：，
即，
∴是直角三角形，且，
即；
答：该车符合安全标准．
17．数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组．
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，
求关于x，y的方程组的解．
【答案】（1）
（2）解：设，，则原方程组可化为，
解得，
即有，
解得，
即：方程组的解为；

（3）解：设，，则原方程组可化为，化简，得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，即有，
解得：，
故方程组的解为：．
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）设，，则原方程组可化为，
∵的解为，
∴，
解得，
故答案为：；
【分析】
（1）利用换元法，令，，换元后可以得到方程组，求解这个二元一次方程组就能得到最终答案；
（2）同样使用换元法，设，，代入原方程后，原方程组可以简化为，解出这个关于m、n的方程组后，再回代就可以求出原方程组的解；
（3）采用换元法，设，，换元后原方程组可以改写为，题目已知方程组的解是，因此换元后的方程组对应有，也就是，解这个方程组就能得到原方程组的解.
（1）设，，则原方程组可化为，
∵的解为，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）设，，则原方程组可化为，
解得，
即有，
解得，
即：方程组的解为；
（3）设，，则原方程组可化为，
化简，得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，即有，
解得：，
故方程组的解为：．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴的负半轴上，且，点P是线段上的动点（点P不与B，C重合），以为斜边在直线的右侧作等腰直角三角形．
（1）求直线的函数表达式；
（2）如图1，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，连接，点E是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：在中，令得，∴，
∵，
∴，
设直线的函数表达式为，
∴，
解，
∴直线BC的函数表达式为
（2）解：设，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，令得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴；
（3） 解：是定值，的度数为，理由如下：延长到G，使，连接，，如图：
设，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）对于直线，令，可计算得，因此得到点B的坐标为，即。根据条件，结合点C在x轴负半轴，可得C点坐标为，最后利用待定系数法即可求出BC的解析式为；
（2）设点P的坐标为，由P在线段BC上可知。因为，结合题目垂直关系可得，因此面积可整理为。利用两点间距离公式计算得，代入面积公式可得。再计算△ABC的面积：，结合题目给出的面积关系即可解出m的值，最终得到点P的坐标为；
（3）具体做法如下：延长到点G，使得，之后连接和。我们设，，首先可以通过边角边判定定理证明，根据全等三角形的性质可以得到，同时能推导出，进一步推导可得，。接下来我们再通过边角边判定定理证明，根据全等三角形的性质可以得到，，因此可以推出，也就是△DOG是等腰直角三角形，结合E是DG中点，最终即可得到.
（1）解：在中，令得，
∴，
∵，
∴，
设直线的函数表达式为，
∴，
解，
∴直线BC的函数表达式为；
（2）解：设，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，令得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴；
（3）是定值，的度数为，理由如下：
延长到G，使，连接，，如图：
设，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
19．把方程写成用含x的式子表示y的形式　 　．
【答案】y＝3x﹣1
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵2x﹣y＝5，∴﹣y＝1﹣3x，
∴y＝3x﹣1，
故答案为：y＝3x﹣1．
【分析】将x当作常数，再解方程即可。
20．已知关于x的不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解析】解：解不等式，得，
∵ 不等式的正整数解恰是1，2，3，
∴．
故答案为：．
【分析】
本题考查根据一元一次不等式的正整数解确定参数的取值范围. 首先先解不等式，得到解集x3；要保证4不是不等式的解，则必须满足a≤4.综合两个条件，确定a的取值范围.这类题型的难点是判断端点值能否取等号，需要单独检验边界数字．
21．关于函数，给出下列说法正确的是　 　．
①当时，该函数是一次函数；
②若点，在该函数图象上，且，则；
③若该函数不经过第四象限，则；
④该函数恒过定点．
【答案】①②④
【知识点】一次函数的概念；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解析】解：①当时，该函数 式子符合y=kx+b（）的形式是一次函数，故①正确；
②若点在该函数图象上，且，
，
y随x的增大而增大，则，故②正确；
③若该函数不经过第四象限，则，
，故③错误；
④ 将解析式变形：y=k(x+1)-2， 令x+1=0，即x=-1，此时y=-2，无论k取何值，图像一定经过定点(-1，-2)，故④正确；
故符合题意的有①②④，
故答案为：①②④．
【分析】
本题考查一次函数的定义、图像性质以及一次函数过定点问题. 一次函数定义：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数；k决定增减性：k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小. ①直接对照一次函数定义判断； ②比较两点横坐标大小，结合，判断函数增减性，得到k符号； ③图像不经过第四象限，要满足斜率k>0，且与y轴交点纵坐标大于或等于 0，注意可以取等号； ④求定点：把式子变形，分离参数k，令含k的项系数等于 0，算出定点(x、y).
22．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走　 　的路程．
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解析】解：如图所示，取的中点M，
∴，
∵长方形地毯，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，
∴，，，
∴半圆的弧长为，
将中间半圆展开，如图所示，连接，
∴ 水平总长度：，
∴ 勾股定理计算 AC ：，
∴一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走的路程，
故答案为： ．
【分析】
本题是立体图形表面最短路径问题，核心思想是曲面展开为平面，依据 “两点之间线段最短”，再结合勾股定理求解. 蚂蚁要翻过半圆柱凸起，需把半圆柱的曲面侧面展开.第一步：根据给出的半圆柱底面直径，计算半圆弧的长度； 第二步：求出展开之后，A 到 C 水平方向的总长度；竖直方向的长度不变，就是BC； 第三步：展开后 A、C 连线为最短路径，构成直角三角形，两条直角边分别是水平总长、BC，利用勾股定理算出斜边 AC，就是最短路程．
23．如图，在平面直角坐标系中，点在第一三象限角平分线上，过点作轴的平行线，交第二四象限角平分线于点，以线段为边在右侧作正方形；所在的直线交第一三象限角平分线于点，交第二四象限角平分线于点，再以线段为边在右侧作正方形……．以此类推，按照图中的规律，则点的坐标为　 　；第2024个正方形的边长为　 　．
【答案】；
【知识点】正方形的性质；探索规律-函数上点的规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，轴，
∴的横坐标为1，
∵第一象限角平分线为，第三象限角平分线为，
∴，
∴，
∴正方形的边长为：2；
∴，
∴，
∴的横坐标为3，则，，
∴，，
∴，，
∴，
即第三个正方形的边长为18，
∴，，
以此类推，，，
∴，，
∴，
故答案为：，．
【分析】根据线段的和即可得出第一个正方形的边长为2，再根据正方形的性质及线段的和即可求出第二个正方形的边长为6，依次得出第三个正方形的边长为18，以此类推，可以得到，的坐标，再将代入，即可求得答案．
24．如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度（单位：）与下行时间（单位：）之间的函数关系为，乙离一楼地面的高度（单位：）与下行时间（单位：s）的函数关系如图2所示．
（1）求关于的函数解析式；
（2）在下行过程中是否存在某一时刻两人竖直高度相差米，若存在求出此时的下行时间．
【答案】（1）解：设关于的函数解析式为，
将，代入得：
， 解得，
关于的函数解析式为.
（2）解：存在某一时刻，两人的竖直高度差为，理由如下：
在中，
令，则有， 解得，
在中，
令，则有，解得，
，
甲先到达一楼地面，
令，解得，
令，解得，
当下行或时，两人的竖直高度差为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，结合扶梯下行的场景，考查待定系数法求一次函数解析式， 解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想进行求解．
（1） 乙的图像是一条直线，使用待定系数法，把图像上两个点代入y=kx+b，列出方程组，解出k、b，确定函数解析式 ；
（2）本题需要求何时两人竖直高度相差 1 米，要先确定甲、乙到达地面的时间，以此划分讨论区间 . 先分别令两个函数的高度为 0，求得甲在第 20s 到达地面，乙在第 30s 到达地面.分两种情况讨论： ① 当0≤x≤20时，甲、乙都还在扶梯上，二者高度都可以用对应的一次函数表示，乙的高度减去甲的高度等于 1，列方程求解；② 当20＜x≤30时，甲已经到达一楼地面，甲的竖直高度固定为 0，此时只需乙的高度等于 1，列方程求解.最后检验解是否在对应取值范围内，舍去不符合的解.
（1）解：设关于的函数解析式为，
将，代入得：
， 解得，
关于的函数解析式为；
（2）解：存在某一时刻，两人的竖直高度差为，理由如下：
在中，
令，则有， 解得，
在中，
令，则有，解得，
，
甲先到达一楼地面，
令，解得，
令，解得，
当下行或时，两人的竖直高度差为．
25．扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧去有风的地方的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊第一次用元购进甲、乙两种布料共件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价 类别 成本价元件 销售价元件
甲种布料
乙种布料
（1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
（2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价购进甲、乙两种布料共件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的倍，且以相同的销售价全部售完这批布料，设第二次购进甲种布料件，第二次销售完后获得的利润为元，试问第二次以何种进货方案，才能使第二次销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件，
根据题意得，，
解得，
答：扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件．
（2）解：由题知：，
解得，，
，
即，
，
随的增大而增大，
当时，元，
此时，件，
答：第二次购进甲种布料件，乙种布料件时获利最大，最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件，结合题目给出的条件列出二元一次方程组，求解即可得到两种布料的购进数量；
（2）先根据利润的计算方法，整理得出利润，再结合甲的数量限制条件，即可求出最终结果.
（1）解：设扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件，
根据题意得，，
解得，
答：扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件．
（2）解：由题知：，
解得，，
，
即，
，
随的增大而增大，
当时，元，
此时，件，
答：第二次购进甲种布料件，乙种布料件时获利最大，最大利润为元．
26．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：如果，，那么点就叫做点的“交变点”．例如：点的“交变点”是点．
（1）若点的“交变点”为点，则点的坐标为______；
（2）已知点，，且点是点的“交变点”，求、的值；
（3）在长方形中，点，，，．已知点、，当线段上存在一点的“交变点”位于长方形的内部（不含边界）时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：∵点，，且点是点的“交变点”，∴，
解得：，
∴、的值分别为、．
（3）
【知识点】解二元一次方程组；一元一次不等式组的应用；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】
（1）解：∵点的“交变点”为点，且∴，，
∴点的坐标为，
故答案为：．
（3）解：如图，
由题意，得
或，
解得：或
∴．
【分析】
（1）根据“交变点”的定义，点P（x，y)的交变点Q（a，b）满足a=2y-1，b=2x+1，将点A的坐标代入计算即可；
（2）根据“交变点”的定义将点C和点D的坐标代入列出方程组求解；
（3）根据题目给出的条件，利用“交变点”的定义列出不等式组求解．
（1）解：∵点的“交变点”为点，且
∴，，
∴点的坐标为，
故答案为：．
（2）解：∵点，，且点是点的“交变点”，
∴，
解得：，
∴、的值分别为、．
（3）解：如图，
由题意，得
或，
解得：或
∴．
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